Chýbať nebudú ani úlohy na samostatné riešenie, na ktoré si môžete pozrieť odpovede.

Ak sú v úlohe dĺžky vektorov aj uhol medzi nimi prezentované „na striebornom podnose“, potom podmienka úlohy a jej riešenie vyzerá takto:

Príklad 1 Sú uvedené vektory. Nájdite skalárny súčin vektorov, ak ich dĺžky a uhol medzi nimi predstavujú nasledujúce hodnoty:

Platná je aj iná definícia, ktorá je úplne ekvivalentná definícii 1.

Definícia 2. Skalárny súčin vektorov je číslo (skalár), ktoré sa rovná súčinu dĺžky jedného z týchto vektorov a priemetu iného vektora na os určenú prvým z týchto vektorov. Vzorec podľa definície 2:

Úlohu vyriešime pomocou tohto vzorca po ďalšom dôležitom teoretickom bode.

Definícia skalárneho súčinu vektorov z hľadiska súradníc

Rovnaké číslo možno získať, ak sú vynásobené vektory dané ich súradnicami.

Definícia 3. Skalárny súčin vektory je číslo rovné súčtu párových súčinov ich príslušných súradníc.

Na povrchu

Ak dva vektory a v rovine sú definované svojimi dvoma Kartézske súradnice

potom sa bodový súčin týchto vektorov rovná súčtu párových súčinov ich príslušných súradníc:

.

Príklad 2 Nájdite číselnú hodnotu priemetu vektora na os rovnobežnú s vektorom.

Riešenie. Skalárny súčin vektorov nájdeme sčítaním párových súčinov ich súradníc:

Teraz musíme výsledný skalárny súčin prirovnať k súčinu dĺžky vektora a priemetu vektora na os rovnobežnú s vektorom (v súlade so vzorcom).

Dĺžku vektora nájdeme ako druhú odmocninu súčtu druhých mocnín jeho súradníc:

.

Napíšte rovnicu a vyriešte ju:

Odpoveď. Požadovaná číselná hodnota je mínus 8.

Vo vesmíre

Ak sú dva vektory a v priestore definované ich tromi pravouhlými súradnicami

,

potom sa skalárny súčin týchto vektorov rovná súčtu párových súčinov ich príslušných súradníc, ibaže už existujú tri súradnice:

.

Úlohou nájsť skalárny súčin uvažovaným spôsobom je po analýze vlastností skalárneho súčinu. Pretože v úlohe bude potrebné určiť, aký uhol zvierajú vynásobené vektory.

Vlastnosti bodového súčinu vektorov

Algebraické vlastnosti

1. (komutatívna vlastnosť: hodnota ich skalárneho súčinu sa nemení od zmeny miest vynásobených vektorov).

2. (asociatívna vlastnosť vzhľadom na číselný faktor: skalárny súčin vektora vynásobený nejakým faktorom a iného vektora sa rovná skalárnemu súčinu týchto vektorov vynásobenému rovnakým faktorom).

3. (distributívna vlastnosť vzhľadom na súčet vektorov: skalárny súčin súčtu dvoch vektorov tretím vektorom sa rovná súčtu skalárnych súčinov prvého vektora tretím vektorom a druhého vektora tretím vektorom).

4. (skalárny štvorec vektora väčší ako nula) if je nenulový vektor a , if je nulový vektor.

Geometrické vlastnosti

V definíciách skúmanej operácie sme sa už dotkli pojmu uhol medzi dvoma vektormi. Je čas objasniť tento pojem.

Na obrázku vyššie sú viditeľné dva vektory, ktoré sú privedené na spoločný začiatok. A prvá vec, ktorú musíte venovať pozornosť: medzi týmito vektormi sú dva uhly - φ 1 a φ 2 . Ktorý z týchto uhlov sa objavuje v definíciách a vlastnostiach skalárneho súčinu vektorov? Súčet uvažovaných uhlov je 2 π a preto sú kosínusy týchto uhlov rovnaké. Definícia bodového súčinu zahŕňa iba kosínus uhla, nie hodnotu jeho vyjadrenia. Vo vlastnostiach sa však berie do úvahy iba jeden roh. A to je jeden z dvoch uhlov, ktorý nepresahuje π teda 180 stupňov. Tento uhol je znázornený na obrázku ako φ 1 .

1. Volajú sa dva vektory ortogonálne a uhol medzi týmito vektormi je pravý (90 stupňov resp π /2 ) ak skalárny súčin týchto vektorov je nula :

.

Ortogonalita vo vektorovej algebre je kolmosť dvoch vektorov.

2. Dva nenulové vektory tvoria ostrý roh (od 0 do 90 stupňov alebo, čo je rovnaké, menej π bodový produkt je pozitívny .

3. Dva nenulové vektory tvoria Tupý uhol (od 90 do 180 stupňov, alebo, čo je rovnaké - viac π /2 ) vtedy a len vtedy bodový súčin je negatívny .

Príklad 3 Vektory sú uvedené v súradniciach:

.

Vypočítajte bodové súčiny všetkých párov daných vektorov. Aký uhol (akútny, pravý, tupý) zvierajú tieto dvojice vektorov?

Riešenie. Vypočítame pridaním produktov zodpovedajúcich súradníc.

Dostali sme záporné číslo, takže vektory zvierajú tupý uhol.

Dostali sme kladné číslo, takže vektory zvierajú ostrý uhol.

Dostali sme nulu, takže vektory tvoria pravý uhol.

Dostali sme kladné číslo, takže vektory zvierajú ostrý uhol.

.

Dostali sme kladné číslo, takže vektory zvierajú ostrý uhol.

Na autotest môžete použiť online kalkulačka Bodový súčin vektorov a kosínus uhla medzi nimi .

Príklad 4 Vzhľadom na dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi:

.

Určte, pri akej hodnote čísla sú vektory a ortogonálne (kolmé).

Riešenie. Vektory násobíme podľa pravidla násobenia polynómov:

Teraz vypočítajme každý výraz:

.

Zostavme rovnicu (rovnosť súčinu k nule), dajme podobné pojmy a vyriešme rovnicu:

Odpoveď: dostali sme hodnotu λ = 1,8, pri ktorom sú vektory ortogonálne.

Príklad 5 Dokážte, že vektor ortogonálne (kolmé) k vektoru

Riešenie. Aby sme skontrolovali ortogonalitu, vynásobíme vektory a ako polynómy, pričom namiesto neho nahradíme výraz uvedený v problémovej podmienke:

.

Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť každý člen (člen) prvého polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty:

.

V dôsledku toho sa splatný zlomok zníži. Získa sa nasledujúci výsledok:

Záver: v dôsledku násobenia sme dostali nulu, preto je ortogonalita (kolmosť) vektorov dokázaná.

Vyriešte problém sami a potom uvidíte riešenie

Príklad 6 Vzhľadom na dĺžky vektorov a , A uhol medzi týmito vektormi je π /štyri . Určte v akej hodnote μ vektory a sú navzájom kolmé.

Na autotest môžete použiť online kalkulačka Bodový súčin vektorov a kosínus uhla medzi nimi .

Maticová reprezentácia skalárneho súčinu vektorov a súčinu n-rozmerných vektorov

Niekedy je pre prehľadnosť výhodné znázorniť dva vynásobené vektory vo forme matíc. Potom je prvý vektor reprezentovaný ako riadková matica a druhý - ako stĺpcová matica:

Potom bude skalárny súčin vektorov súčin týchto matríc :

Výsledok je rovnaký ako výsledok získaný metódou, ktorú sme už uvažovali. Dostali sme jedno jediné číslo a súčin riadku matice a stĺpca matice je tiež jedno číslo.

V maticovej forme je vhodné reprezentovať súčin abstraktných n-rozmerných vektorov. Súčin dvoch štvorrozmerných vektorov teda bude súčin riadkovej matice so štyrmi prvkami stĺpcovej matice tiež so štyrmi prvkami, súčin dvoch päťrozmerných vektorov bude súčin riadkovej matice s piatimi prvkami podľa stĺpcová matica tiež s piatimi prvkami atď.

Príklad 7 Nájdite bodové produkty párov vektorov

,

pomocou maticovej reprezentácie.

Riešenie. Prvý pár vektorov. Prvý vektor reprezentujeme ako riadkovú maticu a druhý ako stĺpcovú maticu. Skalárny súčin týchto vektorov nájdeme ako súčin riadkovej matice stĺpcovou maticou:

Podobne reprezentujeme druhý pár a nájdeme:

Ako vidíte, výsledky sú rovnaké ako pre rovnaké páry z príkladu 2.

Uhol medzi dvoma vektormi

Odvodenie vzorca pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi je veľmi pekné a výstižné.

Na vyjadrenie bodového súčinu vektorov

(1)

v súradnicovom tvare najprv nájdeme skalárny súčin ortov. Skalárny súčin vektora so sebou samým je podľa definície:

To, čo je napísané vo vzorci vyššie, znamená: skalárny súčin vektora so sebou samým sa rovná druhej mocnine jeho dĺžky. Kosínus nuly sa rovná jednej, takže druhá mocnina každého ortu sa bude rovnať jednej:

Keďže vektory

sú párové kolmé, potom párové súčiny ortov sa budú rovnať nule:

Teraz urobme násobenie vektorových polynómov:

Na pravej strane rovnosti dosadíme hodnoty zodpovedajúcich skalárnych produktov ortov:

Dostaneme vzorec pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi:

Príklad 8 Dané tri body A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Nájdite uhol.

Riešenie. Nájdeme súradnice vektorov:

,

.

Pomocou vzorca pre kosínus uhla dostaneme:

V dôsledku toho, .

Na autotest môžete použiť online kalkulačka Bodový súčin vektorov a kosínus uhla medzi nimi .

Príklad 9 Dané dva vektory

Nájdite súčet, rozdiel, dĺžku, bodový súčin a uhol medzi nimi.

2. Rozdiel

Prednáška: Vektorové súradnice; bodový súčin vektorov; uhol medzi vektormi

Vektorové súradnice

Takže, ako už bolo spomenuté, vektor je riadený segment, ktorý má svoj vlastný začiatok a koniec. Ak začiatok a koniec predstavujú nejaké body, potom majú svoje vlastné súradnice v rovine alebo v priestore.

Ak má každý bod svoje súradnice, potom môžeme získať súradnice celého vektora.

Predpokladajme, že máme nejaký vektor, ktorého začiatok a koniec vektora majú nasledujúce označenia a súradnice: A(A x ; Ay) a B(B x ; By)

Na získanie súradníc tohto vektora je potrebné odpočítať príslušné počiatočné súradnice od súradníc konca vektora:

Na určenie súradnice vektora v priestore použite nasledujúci vzorec:

Bodový súčin vektorov

Existujú dva spôsoby, ako definovať pojem bodový produkt:

• Geometrickým spôsobom. Podľa neho sa skalárny súčin rovná súčinu hodnôt týchto modulov a kosínusu uhla medzi nimi.

• algebraický význam. Skalárny súčin dvoch vektorov je z hľadiska algebry určitá hodnota, ktorá vyplýva zo súčtu súčinov zodpovedajúcich vektorov.

Ak sú vektory uvedené v priestore, mali by ste použiť podobný vzorec:

Vlastnosti:

• Ak skalárne vynásobíte dva rovnaké vektory, ich skalárny súčin bude nezáporný:

• Ak sa skalárny súčin dvoch identických vektorov rovná nule, potom sa tieto vektory považujú za nulové:

• Ak sa určitý vektor vynásobí sám o sebe, skalárny súčin sa bude rovnať druhej mocnine jeho modulu:

• Skalárny súčin má komunikačnú vlastnosť, to znamená, že skalárny súčin sa nezmení z permutácie vektorov:

• Skalárny súčin nenulových vektorov môže byť nula iba vtedy, ak sú vektory na seba kolmé:

• Pre skalárny súčin vektorov platí komutatívny zákon v prípade vynásobenia jedného z vektorov číslom:

• Pri bodovom súčine môžete použiť aj distribučnú vlastnosť násobenia:

Uhol medzi vektormi

Definícia 1

Skalárny súčin vektorov sa nazýva číslo rovné súčinu dynov týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi.

Zápis pre súčin vektorov a → a b → má tvar a → , b → . Prevedieme na vzorec:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → a b → označujú dĺžky vektorov, a → , b → ^ označujú uhol medzi danými vektormi. Ak je aspoň jeden vektor nulový, to znamená, že má hodnotu 0, výsledok bude nula, a → , b → = 0

Keď vynásobíme vektor sám o sebe, dostaneme druhú mocninu jeho dyna:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definícia 2

Samotné skalárne násobenie vektora sa nazýva skalárny štvorec.

Vypočítané podľa vzorca:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Zápis a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → ukazuje, že n p b → a → je číselná projekcia a → na b → , n p a → a → - projekcia b → na a → resp.

Sformulujeme definíciu súčinu pre dva vektory:

Skalárny súčin dvoch vektorov a → by b → sa nazýva súčin dĺžky vektora a → priemetom b → smerom a → alebo súčin dĺžky b → priemetom a →, resp.

Bodový súčin v súradniciach

Výpočet skalárneho súčinu je možné vykonať pomocou súradníc vektorov v danej rovine alebo v priestore.

Skalárny súčin dvoch vektorov v rovine v trojrozmernom priestore sa nazýva súčet súradníc dané vektory a → a b → .

Pri výpočte na rovine bodového súčinu daných vektorov a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) v karteziánskom systéme použite:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

pre trojrozmerný priestor platí výraz:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

V skutočnosti ide o tretiu definíciu bodkového produktu.

Poďme to dokázať.

Dôkaz 1

Aby sme to dokázali, používame a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y pre vektory a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) na karteziánskom systéme.

Vektory by sa mali odložiť

O A → = a → = a x , a y a O B → = b → = b x , b y .

Potom bude dĺžka vektora A B → rovná A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Uvažujme trojuholník O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) je pravdivé na základe kosínusovej vety.

Podľa podmienky možno vidieť, že O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , takže vzorec na nájdenie uhla medzi vektormi napíšeme inak.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Potom z prvej definície vyplýva, že b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , teda (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Použitím vzorca na výpočet dĺžky vektorov dostaneme:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Dokážme rovnosť:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– respektíve pre vektory trojrozmerného priestoru.

Skalárny súčin vektorov so súradnicami hovorí, že skalárny štvorec vektora sa rovná súčtu druhých mocnín jeho súradníc v priestore a v rovine. a → = (ax, ay, az), b → = (bx, by, bz) a (a →, a →) = a x2 + ay2.

Bodový produkt a jeho vlastnosti

Existujú vlastnosti bodového produktu, ktoré platia pre a → , b → a c → :

1. komutatívnosť (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivita (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. asociatívna vlastnosť (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - ľubovoľné číslo;
4. skalárny štvorec je vždy väčší ako nula (a → , a →) ≥ 0 , kde (a → , a →) = 0, keď a → nula.

Príklad 1

Vlastnosti sú vysvetlené definíciou bodového súčinu v rovine a vlastnosťami sčítania a násobenia reálnych čísel.

Dokážte vlastnosť komutativity (a → , b →) = (b → , a →) . Z definície máme, že (a → , b →) = a y b y + a y b y a (b → , a →) = b x a x + b y a y .

Podľa vlastnosti komutatívnosti sú rovnosti a x · b x = b x · a x a ay · b y = b y · a y pravdivé, takže a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Z toho vyplýva, že (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Distributivita platí pre všetky čísla:

(a (1) → + a (2) → + ... + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

a (a → , b (1) → + b (2) → + ... + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)),

preto máme

(a (1) → + a (2) → + ... + a (n) → , b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Bodový produkt s príkladmi a riešeniami

Akýkoľvek problém takéhoto plánu sa rieši pomocou vlastností a vzorcov týkajúcich sa skalárneho produktu:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y alebo (a → , b →) = a x b x + a y b y + az b z;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Pozrime sa na niekoľko príkladov riešení.

Príklad 2

Dĺžka a → je 3, dĺžka b → je 7. Nájdite bodový súčin, ak má uhol 60 stupňov.

Riešenie

Podľa podmienky máme všetky údaje, takže vypočítame podľa vzorca:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Odpoveď: (a → , b →) = 21 2 .

Príklad 3

Dané vektory a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Čo je skalárny súčin.

Riešenie

V tomto príklade sa berie do úvahy vzorec na výpočet súradníc, pretože sú špecifikované vo vyhlásení o probléme:

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Odpoveď: (a → , b →) = - 9

Príklad 4

Nájdite vnútorný súčin A B → a A C → . Na rovine súradníc sú uvedené body A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1).

Riešenie

Na začiatok sa vypočítajú súradnice vektorov, pretože súradnice bodov sú dané podmienkou:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Dosadením do vzorca pomocou súradníc dostaneme:

(A B →, AC →) = 40 + 74 = 0 + 28 = 28.

Odpoveď: (A B → , A C →) = 28 .

Príklad 5

Dané vektory a → = 7 m → + 3 n → a b → = 5 m → + 8 n → nájdite ich súčin. m → sa rovná 3 a n → sa rovná 2 jednotkám, sú kolmé.

Riešenie

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Aplikovaním distribučnej vlastnosti dostaneme:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Zoberieme koeficient mimo znamienka súčinu a dostaneme:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Vlastnosťou komutativnosti transformujeme:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

V dôsledku toho dostaneme:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →).

Teraz použijeme vzorec pre skalárny súčin s uhlom určeným podmienkou:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Odpoveď: (a → , b →) = 411

Ak existuje numerická projekcia.

Príklad 6

Nájdite vnútorný súčin a → a b → . Vektor a → má súradnice a → = (9 , 3 , - 3) , projekcia b → má súradnice (- 3 , - 1 , 1) .

Riešenie

Podľa podmienky sú vektory a → a projekcia b → smerované opačne, pretože a → = - 1 3 n p a → b → → , takže projekcia b → zodpovedá dĺžke n p a → b → → , a s „-“ znamenie:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Dosadením do vzorca dostaneme výraz:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Odpoveď: (a → , b →) = - 33 .

Problémy so známym skalárnym súčinom, kde je potrebné nájsť dĺžku vektora alebo numerickej projekcie.

Príklad 7

Akú hodnotu má mať λ pre daný skalárny súčin a → \u003d (1, 0, λ + 1) a b → \u003d (λ, 1, λ) sa bude rovnať -1.

Riešenie

Zo vzorca je zrejmé, že je potrebné nájsť súčet súčinov súradníc:

(a → , b →) = 1 λ + 01 + (λ + 1) λ = λ2 + 2 λ.

V danom prípade máme (a → , b →) = - 1 .

Aby sme našli λ, vypočítame rovnicu:

λ2 + 2 · λ = -1, teda λ = -1.

Odpoveď: λ = - 1 .

Fyzikálny význam skalárneho súčinu

Mechanika zvažuje aplikáciu bodového produktu.

Pri práci A konštantnou silou F → pohybujúce sa teleso z bodu M do N môžete nájsť súčin dĺžok vektorov F → a M N → s kosínusom uhla medzi nimi, čo znamená, že práca je rovnaká na súčin vektorov sily a posunutia:

A = (F → , M N →).

Príklad 8

Posunutie hmotného bodu o 3 metre pôsobením sily rovnajúcej sa 5 Nton je nasmerované pod uhlom 45 stupňov vzhľadom na os. Nájsť .

Riešenie

Keďže práca je súčinom vektora sily a posunutia, potom na základe podmienky F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° dostaneme A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Odpoveď: A = 15 2 2 .

Príklad 9

Hmotný bod pohybujúci sa z M (2, - 1, - 3) do N (5, 3 λ - 2, 4) pod silou F → = (3, 1, 2) vykonal prácu rovnajúcu sa 13 J. Vypočítajte dĺžka pohybu.

Riešenie

Pre dané súradnice vektora M N → máme M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Vzorcom na hľadanie práce s vektormi F → = (3 , 1 , 2) a M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) dostaneme A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 27 = 22 + 3λ.

Podľa podmienky je dané, že A \u003d 13 J, čo znamená 22 + 3 λ \u003d 13. To znamená λ = - 3, teda MN → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Na nájdenie dĺžky dráhy M N → použijeme vzorec a dosadíme hodnoty:

MN -> = 32 + (-10)2 + 72 = 158.

Odpoveď: 158.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Vektorový a bodový súčin uľahčuje výpočet uhla medzi vektormi. Nech sú dané dva vektory $\overline(a)$ a $\overline(b)$, orientovaný uhol medzi nimi je rovný $\varphi$. Vypočítajme hodnoty $x = (\overline(a),\overline(b))$ a $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Potom $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, kde $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ a $\varphi$ je požadované uhol, to znamená, že bod $(x, y)$ má polárny uhol rovný $\varphi$, a preto $\varphi$ možno nájsť ako atan2(y, x).

Oblasť trojuholníka

Pretože vektorový produkt obsahuje súčin dvoch vektorových dĺžok a kosínus uhla medzi nimi, vektorový súčin možno použiť na výpočet plochy trojuholníka ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Bod patriaci k čiare

Nech je daný bod $P$ a priamka $AB$ (daná dvoma bodmi $A$ a $B$). Je potrebné skontrolovať, či bod patrí do priamky $AB$.

Bod patrí do priamky $AB$ vtedy a len vtedy, ak sú vektory $AP$ a $AB$ kolineárne, teda ak $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Príslušnosť bodu k lúču

Nech je daný bod $P$ a lúč $AB$ (daný dvoma bodmi - začiatok lúča $A$ a bod na lúči $B$). Je potrebné skontrolovať, či bod patrí lúču $AB$.

K podmienke, že bod $P$ patrí úsečke $AB$, je potrebné pridať ďalšiu podmienku - vektory $AP$ a $AB$ sú kolineárne, to znamená, že sú kolineárne a ich skalárny súčin je nezáporný, teda $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

Bod patriaci do segmentu

Nech je daný bod $P$ a segment $AB$. Je potrebné skontrolovať, či bod patrí do segmentu $AB$.

V tomto prípade musí bod patriť lúču $AB$ aj lúču $BA$, preto je potrebné skontrolovať nasledujúce podmienky:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Vzdialenosť od bodu k čiare

Nech je daný bod $P$ a priamka $AB$ (daná dvoma bodmi $A$ a $B$). Je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu priamky $AB$.

Zvážte trojuholník ABP. Na jednej strane je jeho plocha $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

Na druhej strane, jeho plocha je $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, kde $h$ je výška od $P$, t.j. vzdialenosť od $P$ po $ AB $. Odkiaľ $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Vzdialenosť od bodu k lúču

Nech je daný bod $P$ a lúč $AB$ (daný dvoma bodmi - začiatok lúča $A$ a bod na lúči $B$). Je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu k lúču, teda dĺžku najkratšieho segmentu od bodu $P$ k ľubovoľnému bodu lúča.

Táto vzdialenosť sa rovná buď dĺžke $AP$ alebo vzdialenosti od bodu $P$ po priamku $AB$. Ktorý z prípadov nastane, sa dá ľahko určiť vzájomnou polohou lúča a bodu. Ak je uhol PAB ostrý, t.j. $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, potom je odpoveďou vzdialenosť od bodu $P$ k priamke $AB$, inak je odpoveďou dĺžka segmentu $AB$.

Vzdialenosť od bodu k čiare

Nech je daný bod $P$ a segment $AB$. Je potrebné nájsť vzdialenosť od $P$ k segmentu $AB$.

Ak základňa kolmice klesla z $P$ na priamku $AB$ pripadá na segment $AB$, čo je možné skontrolovať pomocou podmienok

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

potom je odpoveďou vzdialenosť od bodu $P$ k priamke $AB$. V opačnom prípade bude vzdialenosť rovná $\min(AP, BP)$.

Bodový súčin vektorov

Naďalej sa zaoberáme vektormi. Na prvej lekcii Vektory pre figuríny zvažovali sme koncept vektora, akcie s vektormi, vektorové súradnice a najjednoduchšie problémy s vektormi. Ak ste na túto stránku prišli prvýkrát z vyhľadávača, vrelo odporúčam prečítať si vyššie uvedený úvodný článok, pretože na to, aby ste si materiál osvojili, sa musíte orientovať v pojmoch a notácii, ktoré používam, mať základné znalosti o vektoroch a vedieť riešiť elementárne problémy. Táto lekcia je logickým pokračovaním témy a podrobne v nej rozoberiem typické úlohy, ktoré využívajú skalárny súčin vektorov. Toto je VEĽMI DÔLEŽITÁ práca.. Snažte sa nepreskakovať príklady, sú doplnené užitočným bonusom – prax vám pomôže upevniť si preberané učivo a „dostať sa do ruky“ pri riešení bežných problémov analytická geometria.

Sčítanie vektorov, násobenie vektora číslom... Bolo by naivné si myslieť, že matematici neprišli na niečo iné. Okrem už uvažovaných akcií existuje množstvo ďalších operácií s vektormi, a to: bodový súčin vektorov, krížový súčin vektorov a zmiešaný súčin vektorov. Skalárny súčin vektorov je nám známy zo školy, ďalšie dva súčine tradične súvisia s kurzom vyššej matematiky. Témy sú jednoduché, algoritmus riešenia mnohých problémov stereotypný a zrozumiteľný. Jediná vec. Informácií je slušné množstvo, preto je nežiaduce snažiť sa zvládnuť a riešiť VŠETKO A RAZ. To platí najmä pre figuríny, verte, že autor sa absolútne nechce cítiť ako Chikatilo z matematiky. No z matematiky, samozrejme, tiež nie =) Pripravenejší študenti môžu materiály využiť selektívne, v istom zmysle „nadobudnúť“ chýbajúce vedomosti, pre vás budem neškodný gróf Drakula =)

Nakoniec pootvorme dvere a pozrime sa, čo sa stane, keď sa stretnú dva vektory….

Definícia skalárneho súčinu vektorov.
Vlastnosti skalárneho súčinu. Typické úlohy

Koncept bodového produktu

Najprv o uhol medzi vektormi. Myslím, že každý intuitívne chápe, aký je uhol medzi vektormi, ale pre každý prípad trochu viac. Zvážte voľné nenulové vektory a . Ak tieto vektory odložíme z ľubovoľného bodu, získame obraz, ktorý už mnohí mentálne predstavili:

Priznám sa, tu som opísal situáciu len v rovine pochopenia. Ak potrebujete presne definovať uhol medzi vektormi, pozrite si učebnicu, ale pre praktické úlohy to v zásade nepotrebujeme. Aj TU A ĎALEJ budem niekedy ignorovať nulové vektory pre ich nízky praktický význam. Rezerváciu som urobil špeciálne pre pokročilých návštevníkov stránky, ktorí mi môžu vytknúť teoretickú neúplnosť niektorých z nasledujúcich tvrdení.

môže nadobúdať hodnoty od 0 do 180 stupňov (od 0 do radiánov) vrátane. Analyticky je táto skutočnosť zapísaná ako dvojitá nerovnosť: alebo (v radiánoch).

V literatúre sa ikona uhla často vynecháva a jednoducho sa píše.

Definícia: Skalárny súčin dvoch vektorov je ČÍSLO rovné súčinu dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi:

Teraz je to dosť prísna definícia.

Zameriavame sa na základné informácie:

Označenie: skalárny súčin je označený alebo jednoducho .

Výsledkom operácie je ČÍSLO: Vynásobením vektora vektorom získate číslo. Ak sú dĺžky vektorov čísla, kosínus uhla je číslo, potom ich súčin bude tiež číslo.

Len pár príkladov zahrievania:

Príklad 1

Riešenie: Používame vzorec . V tomto prípade:

odpoveď:

Kosínové hodnoty nájdete v trigonometrická tabuľka. Odporúčam ho vytlačiť - bude sa vyžadovať takmer vo všetkých častiach veže a bude sa vyžadovať mnohokrát.

Čisto z matematického hľadiska je skalárny súčin bezrozmerný, to znamená, že výsledkom je v tomto prípade iba číslo a je to. Z hľadiska problémov fyziky má skalárny súčin vždy určitú fyzický význam, to znamená, že po výsledku musí byť uvedená jedna alebo druhá fyzikálna jednotka. Kanonický príklad výpočtu práce sily možno nájsť v ktorejkoľvek učebnici (vzorec je presne bodový súčin). Práca sily sa meria v jouloch, preto bude odpoveď napísaná celkom konkrétne, napríklad.

Príklad 2

Nájdite ak a uhol medzi vektormi je .

Toto je príklad pre sebarozhodovanie, odpoveď je na konci lekcie.

Uhol medzi vektormi a hodnotou bodového súčinu

V príklade 1 sa skalárny produkt ukázal ako pozitívny a v príklade 2 sa ukázal ako negatívny. Poďme zistiť, od čoho závisí znamenie skalárneho súčinu. Pozrime sa na náš vzorec: . Dĺžky nenulových vektorov sú vždy kladné: , takže znamienko môže závisieť iba od hodnoty kosínusu.

Poznámka: Pre lepšie pochopenie nižšie uvedených informácií je lepšie preštudovať si kosínusový graf v príručke Grafy a funkčné vlastnosti. Pozrite sa, ako sa kosínus správa na segmente.

Ako už bolo uvedené, uhol medzi vektormi sa môže meniť a sú možné tieto prípady:

1) Ak rohu medzi vektormi pikantné: (od 0 do 90 stupňov), potom , a bodový produkt bude pozitívny spolurežírovaný, potom sa uhol medzi nimi považuje za nulový a skalárny súčin bude tiež kladný. Od , potom je vzorec zjednodušený: .

2) Ak rohu medzi vektormi hlúpy: (od 90 do 180 stupňov), potom a zodpovedajúcim spôsobom, bodový súčin je negatívny: . Špeciálny prípad: ak vektory smerované opačne, potom sa berie do úvahy uhol medzi nimi nasadené: (180 stupňov). Skalárny súčin je tiež negatívny, keďže

Aj opačné tvrdenia sú pravdivé:

1) Ak , potom je uhol medzi týmito vektormi ostrý. Alternatívne sú vektory kosmerné.

2) Ak , potom je uhol medzi týmito vektormi tupý. Alternatívne sú vektory smerované opačne.

Tretí prípad je však obzvlášť zaujímavý:

3) Ak rohu medzi vektormi rovno: (90 stupňov) potom a bodový súčin je nula: . Platí to aj naopak: ak , tak . Kompaktné vyhlásenie je formulované takto: Skalárny súčin dvoch vektorov je nula práve vtedy, ak sú dané vektory ortogonálne. Krátky matematický zápis:

! Poznámka : opakovať základy matematickej logiky: ikona obojstranného logického dôsledku sa zvyčajne číta „ak a len vtedy“, „ak a len vtedy“. Ako vidíte, šípky sú nasmerované oboma smermi - "z tohto vyplýva toto a naopak - z tohto vyplýva toto." Mimochodom, aký je rozdiel od ikony jednosmerného sledovania? Ikona tvrdí len to, žeže „z toho vyplýva toto“, a nie skutočnosť, že opak je pravdou. Napríklad: , ale nie každé zviera je panter, takže ikonu v tomto prípade nemožno použiť. Zároveň namiesto ikony môcť použite jednostrannú ikonu. Napríklad pri riešení úlohy sme zistili, že sme dospeli k záveru, že vektory sú ortogonálne: - takýto záznam bude správny a ešte vhodnejší ako .

Tretí prípad má veľký praktický význam., pretože vám umožňuje skontrolovať, či sú vektory ortogonálne alebo nie. Tento problém vyriešime v druhej časti lekcie.

Bodové vlastnosti produktu

Vráťme sa k situácii, keď dva vektory spolurežírovaný. V tomto prípade je uhol medzi nimi nula, a vzorec skalárneho súčinu má tvar: .

Čo sa stane, ak sa vektor vynásobí sám od seba? Je jasné, že vektor je riadený sám so sebou, takže použijeme vyššie uvedený zjednodušený vzorec:

Číslo sa volá skalárny štvorec vektor a sú označené ako .

Touto cestou, skalárny štvorec vektora sa rovná štvorcu dĺžky daného vektora:

Z tejto rovnosti môžete získať vzorec na výpočet dĺžky vektora:

Aj keď sa to zdá nejasné, ale úlohy lekcie umiestnia všetko na svoje miesto. Na riešenie problémov potrebujeme aj my bodové vlastnosti produktu.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) - posuvné resp komutatívny skalárny produktový zákon.

2) - distribúcia resp distributívny skalárny produktový zákon. Jednoducho povedané, môžete otvárať zátvorky.

3) - kombinácia resp asociatívne skalárny produktový zákon. Konštantu možno vybrať zo skalárneho súčinu.

Často sú všelijaké vlastnosti (ktoré treba aj dokázať!) študentmi vnímané ako nepotrebný odpad, ktorý si treba len zapamätať a bezpečne zabudnúť hneď po skúške. Zdá sa, že čo je dôležité, každý už od prvej triedy vie, že produkt sa nemení permutáciou faktorov:. Musím vás varovať, vo vyššej matematike s takýmto prístupom je ľahké pokaziť veci. Takže napríklad komutatívna vlastnosť nie je platná pre algebraické matice. Nie je to pravda pre krížový súčin vektorov. Preto je aspoň lepšie zahĺbiť sa do akýchkoľvek vlastností, s ktorými sa stretnete na kurze vyššej matematiky, aby ste pochopili, čo sa dá a čo nie.

Príklad 3

.

Riešenie: Najprv si objasnime situáciu s vektorom. O čo vlastne ide? Súčet vektorov a je dobre definovaný vektor, ktorý je označený . Geometrickú interpretáciu akcií s vektormi nájdete v článku Vektory pre figuríny. Rovnaký petržlen s vektorom je súčtom vektorov a .

Takže podľa stavu je potrebné nájsť skalárny súčin. Teoreticky musíte použiť pracovný vzorec , ale problém je, že nepoznáme dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Ale v podmienke sú pre vektory uvedené podobné parametre, takže pôjdeme iným spôsobom:

(1) Dosadíme výrazy vektorov .

(2) Zátvorky otvárame podľa pravidla násobenia mnohočlenov, vulgárny jazykolam nájdete v článku Komplexné čísla alebo Integrácia zlomkovo-racionálnej funkcie. Nebudem sa opakovať =) Mimochodom, distributívna vlastnosť skalárneho súčinu nám umožňuje otvárať zátvorky. Máme právo.

(3) V prvom a poslednom člene kompaktne zapíšeme skalárne štvorce vektorov: . V druhom člene používame komutabilitu skalárneho súčinu: .

(4) Tu sú podobné výrazy: .

(5) V prvom člene používame vzorec skalárneho štvorca, ktorý bol spomenutý nie tak dávno. V poslednom termíne, respektíve funguje to isté: . Druhý člen sa rozširuje podľa štandardného vzorca .

(6) Nahradiť tieto podmienky a OPATRNE vykonajte konečné výpočty.

odpoveď:

Záporná hodnota bodového súčinu vyjadruje skutočnosť, že uhol medzi vektormi je tupý.

Úloha je typická, tu je príklad nezávislého riešenia:

Príklad 4

Nájdite skalárny súčin vektorov a , ak je to známe .

Teraz ďalšia bežná úloha, len pre nový vzorec dĺžky vektora. Označenia sa tu budú trochu prekrývať, takže pre prehľadnosť to prepíšem na iné písmeno:

Príklad 5

Nájdite dĺžku vektora if .

Riešenie bude nasledovný:

(1) Dodávame vektorový výraz .

(2) Používame dĺžkový vzorec: , pričom máme celočíselný výraz ako vektor "ve".

(3) Na druhú mocninu súčtu použijeme školský vzorec. Venujte pozornosť tomu, ako to tu kuriózne funguje: - v skutočnosti je to druhá mocnina rozdielu a v skutočnosti je to tak. Tí, ktorí chcú, môžu usporiadať vektory na miestach: - dopadlo to isté až do preskupenia pojmov.

(4) To, čo nasleduje, je už známe z dvoch predchádzajúcich problémov.

odpoveď:

Keďže hovoríme o dĺžke, nezabudnite uviesť rozmer – „jednotky“.

Príklad 6

Nájdite dĺžku vektora if .

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Pokračujeme vo vytláčaní užitočných vecí zo skalárneho produktu. Pozrime sa znova na náš vzorec . Podľa pravidla proporcie resetujeme dĺžky vektorov na menovateľ ľavej strany:

Vymeňme časti:

Aký je význam tohto vzorca? Ak sú známe dĺžky dvoch vektorov a ich skalárny súčin, potom je možné vypočítať kosínus uhla medzi týmito vektormi a následne aj samotný uhol.

Je skalárny súčin číslo? číslo. Sú dĺžky vektorov čísla? čísla. Takže zlomok je tiež číslo. A ak je známy kosínus uhla: , potom pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol: .

Príklad 7

Nájdite uhol medzi vektormi a , ak je známe, že .

Riešenie: Používame vzorec:

V záverečnej fáze výpočtov bola použitá technika - odstránenie iracionality v menovateli. Aby som odstránil iracionalitu, vynásobil som čitateľa a menovateľa číslom .

Ak teda , potom:

Hodnoty inverzných goniometrických funkcií možno nájsť pomocou trigonometrická tabuľka. Aj keď sa to stáva zriedka. V úlohách analytickej geometrie sa oveľa častejšie objavuje nejaký nemotorný medvedík a hodnotu uhla treba zistiť približne pomocou kalkulačky. V skutočnosti budeme tento obrázok vidieť znova a znova.

odpoveď:

Opäť nezabudnite uviesť rozmer – radiány a stupne. Osobne, aby som úmyselne „odstránil všetky otázky“, uprednostňujem uvedenie oboch (pokiaľ, samozrejme, podľa podmienky nie je potrebné uvádzať odpoveď iba v radiánoch alebo iba v stupňoch).

Teraz sa budete môcť sami vyrovnať s ťažšou úlohou:

Príklad 7*

Dané sú dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Nájdite uhol medzi vektormi , .

Úloha nie je taká náročná ako viacsmerná.
Poďme analyzovať algoritmus riešenia:

1) Podľa podmienky je potrebné nájsť uhol medzi vektormi a , takže musíte použiť vzorec .

2) Nájdeme skalárny súčin (pozri príklady č. 3, 4).

3) Nájdite dĺžku vektora a dĺžku vektora (pozri Príklady č. 5, 6).

4) Koniec riešenia sa zhoduje s príkladom č. 7 - poznáme číslo , čo znamená, že je ľahké nájsť samotný uhol:

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Druhá časť lekcie je venovaná rovnakému bodovému súčinu. Súradnice. Bude to ešte jednoduchšie ako v prvej časti.

Bodový súčin vektorov,
daný súradnicami na ortonormálnom základe

odpoveď:

Netreba dodávať, že narábanie so súradnicami je oveľa príjemnejšie.

Príklad 14

Nájdite skalárny súčin vektorov a ak

Toto je príklad „urob si sám“. Tu môžete využiť asociatívnosť operácie, teda nepočítať, ale hneď zo skalárneho súčinu vytiahnuť trojku a vynásobiť ňou ako poslednú. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Na konci odseku provokatívny príklad výpočtu dĺžky vektora:

Príklad 15

Nájdite dĺžky vektorov , ak

Riešenie: opäť sa navrhuje metóda z predchádzajúcej časti: existuje však aj iný spôsob:

Poďme nájsť vektor:

A jeho dĺžka podľa triviálneho vzorca :

Skalárny súčin tu vôbec nie je relevantný!

Ako mimochodom je to pri výpočte dĺžky vektora:
Stop. Prečo nevyužiť zrejmú vlastnosť dĺžky vektora? Čo možno povedať o dĺžke vektora? Tento vektor je 5-krát dlhší ako vektor. Smer je opačný, ale to nevadí, pretože sa bavíme o dĺžke. Je zrejmé, že dĺžka vektora sa rovná súčinu modul počet na dĺžku vektora:
- znamienko modulu "žerie" možné mínus čísla.

Touto cestou:

odpoveď:

Vzorec pre kosínus uhla medzi vektormi, ktoré sú dané súradnicami

Teraz máme úplné informácie, aby sme vyjadrili predtým odvodený vzorec pre kosínus uhla medzi vektormi z hľadiska súradníc vektorov:

Kosínus uhla medzi rovinnými vektormi a , uvedené na ortonormálnom základe , sa vyjadruje vzorcom:
.

Kosínus uhla medzi priestorovými vektormi uvedené na ortonormálnom základe , sa vyjadruje vzorcom:

Príklad 16

Sú dané tri vrcholy trojuholníka. Nájdite (vrcholový uhol).

Riešenie: Podľa podmienky sa kresba nevyžaduje, ale stále:

Požadovaný uhol je označený zeleným oblúkom. Hneď sa nám vybaví školské označenie uhla: - osobitná pozornosť na stred písmeno - to je vrchol uhla, ktorý potrebujeme. Pre stručnosť by sa to dalo napísať aj jednoducho.

Z výkresu je celkom zrejmé, že uhol trojuholníka sa zhoduje s uhlom medzi vektormi a, inými slovami: .

Je žiaduce naučiť sa vykonávať analýzu vykonanú mentálne.

Poďme nájsť vektory:

Vypočítajme skalárny súčin:

A dĺžky vektorov:

Kosínus uhla:

Toto poradie úloh odporúčam figurínom. Pokročilejší čitatelia môžu písať výpočty „do jedného riadku“:

Tu je príklad „zlej“ hodnoty kosínusu. Výsledná hodnota nie je konečná, preto nemá veľký zmysel zbavovať sa iracionality v menovateli.

Poďme nájsť uhol:

Ak sa pozriete na kresbu, výsledok je celkom vierohodný. Na kontrolu je možné uhol merať aj uhlomerom. Nepoškoďte povrch monitora =)

odpoveď:

V odpovedi na to nezabudnite spýtal sa na uhol trojuholníka(a nie o uhle medzi vektormi), nezabudnite uviesť presnú odpoveď: a približnú hodnotu uhla: nájsť pomocou kalkulačky.

Tí, ktorí si tento proces užili, môžu vypočítať uhly a uistiť sa, že kanonická rovnosť je pravdivá

Príklad 17

Trojuholník je daný v priestore súradnicami jeho vrcholov. Nájdite uhol medzi stranami a

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny

Malá záverečná časť bude venovaná projekciám, v ktorých je „zahrnutý“ aj skalárny súčin:

Projekcia vektora na vektor. Vektorová projekcia na súradnicové osi.
Vektorový smer kosínusy

Zvážte vektory a:

Vektor premietneme na vektor , preto vynecháme začiatok a koniec vektora kolmice na vektor (zelené bodkované čiary). Predstavte si, že lúče svetla dopadajú kolmo na vektor. Potom bude segment (červená čiara) "tieňom" vektora. V tomto prípade je projekcia vektora na vektor DĹŽKA segmentu. Teda PROJEKCIA JE ČÍSLO.

Toto ČÍSLO je označené nasledovne: , "veľký vektor" označuje vektor KTORÝ projekt, "malý dolný index" označuje vektor NA ktorý sa premieta.

Samotný záznam znie takto: „projekcia vektora „a“ na vektor „be“.

Čo sa stane, ak je vektor „byť“ „príliš krátky“? Nakreslíme priamku obsahujúcu vektor „byť“. A vektor "a" sa už premietne do smeru vektora "byť", jednoducho - na priamke obsahujúcej vektor "byť". To isté sa stane, ak sa vektor "a" odloží v tridsiatom kráľovstve - stále sa bude ľahko premietať na čiaru obsahujúcu vektor "be".

Ak uhol medzi vektormi pikantné(ako na obrázku), teda

Ak vektory ortogonálne, potom (projekcia je bod, ktorého rozmery sa považujú za nulové).

Ak uhol medzi vektormi hlúpy(na obrázku mentálne preusporiadajte šípku vektora), potom (rovnaká dĺžka, ale so znamienkom mínus).

Odložte tieto vektory z jedného bodu:

Je zrejmé, že pri pohybe vektora sa jeho projekcia nemení