vektorový produkt je pseudovektor kolmý na rovinu skonštruovaný dvoma faktormi, ktorý je výsledkom binárnej operácie "vektorové násobenie" na vektoroch v trojrozmernom euklidovskom priestore. Vektorový súčin nemá vlastnosti komutativity a asociatívnosti (je antikomutatívny) a na rozdiel od skalárneho súčinu vektorov je vektorom. Široko používaný v mnohých technických a fyzikálnych aplikáciách. Napríklad moment hybnosti a Lorentzova sila sú matematicky zapísané ako krížový súčin. Krížový súčin je užitočný na „meranie“ kolmosti vektorov – modul krížového súčinu dvoch vektorov sa rovná súčinu ich modulov, ak sú kolmé, a klesá na nulu, ak sú vektory rovnobežné alebo antiparalelné.

Vektorový súčin môžete definovať rôznymi spôsobmi a teoreticky v priestore ľubovoľného rozmeru n môžete vypočítať súčin n-1 vektorov, pričom získate jeden vektor kolmý na všetky. Ale ak je produkt obmedzený na netriviálne binárne produkty s vektorovými výsledkami, potom je tradičný vektorový produkt definovaný iba v trojrozmerných a sedemrozmerných priestoroch. Výsledok vektorového súčinu, podobne ako skalárny súčin, závisí od metriky euklidovského priestoru.

Na rozdiel od vzorca na výpočet skalárneho súčinu zo súradníc vektorov v trojrozmernom pravouhlom súradnicovom systéme, vzorec pre vektorový súčin závisí od orientácie pravouhlého súradnicového systému alebo inými slovami od jeho „chirality“.

Definícia:
Vektorový súčin vektora a a vektora b v priestore R 3 sa nazýva vektor c, ktorý spĺňa nasledujúce požiadavky:
dĺžka vektora c sa rovná súčinu dĺžok vektorov a a b a sínusu uhla φ medzi nimi:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c je ortogonálny ku každému z vektorov a a b;
vektor c smeruje tak, že trojica vektorov abc je pravá;
v prípade priestoru R7 je potrebná asociativita trojice vektorov a,b,c.
Označenie:
c===a×b

Ryža. 1. Plocha rovnobežníka sa rovná modulu krížového produktu

Geometrické vlastnosti krížového produktu:
Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou kolinearity dvoch nenulových vektorov je rovnosť ich vektorového súčinu k nule.

Modul krížového produktu rovná sa plocha S rovnobežník postavený na vektoroch zredukovaných na spoločný pôvod a a b(pozri obr. 1).

Ak e- jednotkový vektor ortogonálny k vektorom a a b a vybrali tak, že trojnásobok a,b,e- správne a S- plocha rovnobežníka na nich postavená (redukovaná na spoločný pôvod), potom pre vektorový produkt platí nasledujúci vzorec:
=S e

Obr.2. Objem kvádra pri použití vektora a skalárneho súčinu vektorov; bodkované čiary znázorňujú projekcie vektora c na a × b a vektora a na b × c, prvým krokom je nájsť vnútorné produkty

Ak c- ľubovoľný vektor π - akákoľvek rovina obsahujúca tento vektor, e- jednotkový vektor ležiaci v rovine π a ortogonálne k c,g- jednotkový vektor kolmý na rovinu π a nasmerované tak, že trojnásobok vektorov EKG je správne, potom pre akékoľvek ležanie v lietadle π vektor a správny vzorec je:
=Pr e a |c|g
kde Pr e a je projekcia vektora e na a
|c|-modul vektora c

Pri použití vektorových a skalárnych produktov môžete vypočítať objem kvádra postaveného na vektoroch zredukovaných na spoločný počiatok a, b a c. Takýto súčin troch vektorov sa nazýva zmiešaný.
V=|a (b×c)|
Obrázok ukazuje, že tento objem možno nájsť dvoma spôsobmi: geometrický výsledok sa zachová aj pri zámene „skalárnych“ a „vektorových“ produktov:
V=a×b c=a b×c

Hodnota krížového súčinu závisí od sínusu uhla medzi pôvodnými vektormi, takže krížový súčin môže byť vnímaný ako stupeň „kolmosti“ vektorov rovnakým spôsobom ako skalárny produkt možno považovať za stupeň „paralelnosti“. Krížový súčin dvoch jednotkových vektorov sa rovná 1 (jednotkový vektor), ak sú počiatočné vektory kolmé, a rovný 0 (nulový vektor), ak sú vektory paralelné alebo antiparalelné.

Vyjadrenie krížového súčinu v karteziánskych súradniciach
Ak dva vektory a a b sú definované svojimi pravouhlými karteziánskymi súradnicami, presnejšie povedané, sú znázornené v ortonormálny základ
a=(a x,ay,az)
b = (b x , b y , b z)
a súradnicový systém je správny, potom ich vektorový súčin má tvar
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Aby ste si zapamätali tento vzorec:
i =∑ε ijk a j b k
kde ε ijk- symbol Levi-Civita.

V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: krížový súčin vektorov a zmiešaný súčin vektorov (okamžitý odkaz pre tých, ktorí to potrebujú). Nevadí, občas sa stane, že pre úplné šťastie sa navyše bodový súčin vektorov, je potrebné stále viac a viac. Taká je vektorová závislosť. Môže sa zdať, že lezieme do divočiny analytická geometria. To nie je pravda. V tejto časti vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo palivového dreva, snáď až na dosť pre Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva ťažší ako ten istý skalárny produkt, dokonca aj typických úloh bude menej. Hlavnou vecou v analytickej geometrii, ako mnohí vidia alebo už videli, je NEMÝLIŤ SA VÝPOČTOV. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak sa vektory lesknú niekde ďaleko, ako blesky na obzore, nevadí, začnite lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu s informáciami zoznámiť selektívne, snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú praktická práca

Čo ti urobí radosť? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvoma a dokonca aj s tromi loptičkami. Dobre to dopadlo. Teraz nie je potrebné vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvoma súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už jednoduchšie!

V tejto operácii, rovnakým spôsobom ako v skalárnom súčine, dva vektory. Nech sú to nezničiteľné písmená.

Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom: . Sú aj iné možnosti, ale ja som zvyknutý takto označovať krížový súčin vektorov v hranatých zátvorkách krížikom.

A hneď otázka: ak je v bodový súčin vektorov sú zapojené dva vektory a tu sa teda dva vektory tiež vynásobia v čom je rozdiel? Jasný rozdiel predovšetkým vo VÝSLEDKU:

Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je ČÍSLO:

Výsledkom krížového súčinu vektorov je VEKTOR: , čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznych náučnej literatúry aj zápis sa môže líšiť, ja použijem písmeno .

Definícia krížového produktu

Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.

Definícia: krížový súčin nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa nazýva VEKTOR, dĺžkačo je číselne rovná ploche rovnobežníka, postavený na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu:

Rozoberáme definíciu podľa kostí, je tam veľa zaujímavých vecí!

Môžeme teda zdôrazniť nasledujúce dôležité body:

1) Zdrojové vektory označené červenými šípkami podľa definície nie kolineárne. Deje sa kolineárne vektory bude vhodné zvážiť trochu neskôr.

2) Nasnímané vektory v prísnom poradí: – "a" sa vynásobí "byť", nie "byť" na "a". Výsledok násobenia vektorov je VECTOR , ktorý je označený modrou farbou. Ak sú vektory vynásobené o opačné poradie, potom dostaneme vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (karmínová farba). Teda rovnosť .

3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora ) sa numericky rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch . Na obrázku je tento rovnobežník vytieňovaný čiernou farbou.

Poznámka : výkres je schematický a nominálna dĺžka krížového produktu sa samozrejme nerovná ploche rovnobežníka.

Pripomíname si jeden z geometrických vzorcov: plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi. Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového produktu:

Zdôrazňujem, že vo vzorci hovoríme o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký je praktický význam? A význam je taký, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:

Dostávame druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť podľa vzorca:

4) Nemenej dôležitým faktom je, že vektor je ortogonálny k vektorom, tj . Samozrejme, opačne orientovaný vektor (karmínová šípka) je tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.

5) Vektor smeruje tak, že základ Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia priestoru. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka. Mentálne kombinovať ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prstenník a malíček zatlačte do dlane. Ako výsledok palec - vektorový produkt sa vyhľadá. Toto je správne orientovaný základ (je na obrázku). Teraz vymeňte vektory ( ukazovákom a prostredníkom) v dôsledku toho sa na niektorých miestach palec otočí a vektorový produkt sa už bude pozerať nadol. Toto je tiež správne orientovaný základ. Možno máte otázku: aký základ má ľavicová orientácia? "Priraďte" rovnaké prsty ľavá ruka vectors a získajte ľavú základňu a orientáciu ľavého priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora). Obrazne povedané, tieto základy „krútia“ alebo orientujú priestor v rôznych smeroch. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad najbežnejšie zrkadlo mení orientáciu priestoru a ak „vytiahnete odrazený predmet zo zrkadla“, vo všeobecnosti to nebude možné. skombinujte ho s „originálom“. Mimochodom, priložte tri prsty k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)

... aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú hrozné =)

Vektorový súčin kolineárnych vektorov

Definícia bola podrobne vypracovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom môžu byť umiestnené na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „zloží“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník je nulový. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nula

Teda ak , tak a . Upozorňujeme, že samotný krížový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa tiež rovná nule.

Špeciálnym prípadom je vektorový súčin vektora a samotného:

Pomocou krížového produktu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a okrem iného budeme analyzovať aj tento problém.

Na riešenie praktických príkladov môže byť potrebné trigonometrická tabuľka nájsť z neho hodnoty sínusov.

No, založme oheň:

Príklad 1

a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak

b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nie, toto nie je preklep, zámerne som urobil počiatočné údaje v položkách podmienky rovnaké. Pretože dizajn riešení bude iný!

a) Podľa podmienky je potrebné nájsť dĺžka vektor (vektorový súčin). Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Keďže sa pýtali na dĺžku, tak v odpovedi uvádzame rozmer - jednotky.

b) Podľa stavu sa vyžaduje nájsť námestie rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke krížového produktu:

Odpoveď:

Upozorňujeme, že v odpovedi o vektorovom produkte sa vôbec nehovorí, na čo sa nás pýtali oblasť postavy, respektíve rozmer je štvorcových jednotiek.

Vždy sa pozrieme na to, ČO sa má podľa podmienky nájsť, a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale doslovníkov je medzi učiteľmi dosť a úloha s dobrými šancami sa vráti na prepracovanie. Aj keď to nie je obzvlášť napätá hnidopicha - ak je odpoveď nesprávna, potom má človek dojem, že osoba nerozumie jednoduchým veciam a / alebo nepochopila podstatu úlohy. Tento moment treba mať vždy pod kontrolou, riešiť akýkoľvek problém vo vyššej matematike, ale aj v iných predmetoch.

Kam zmizlo veľké písmeno „en“? V zásade by sa to dalo dodatočne prilepiť k riešeniu, ale v záujme skrátenia záznamu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie toho istého.

Populárny príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 2

Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez vektorový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

V praxi je úloha naozaj veľmi bežná, trojuholníky sa dajú vo všeobecnosti mučiť.

Na vyriešenie iných problémov potrebujeme:

Vlastnosti krížového súčinu vektorov

Niektoré vlastnosti vektorového súčinu sme už zvážili, do tohto zoznamu ich však zaradím.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) V iných zdrojoch informácií sa táto položka zvyčajne nerozlišuje vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.

2) - o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť. Inými slovami, na poradí vektorov záleží.

3) - kombinácia resp asociatívne zákony o vektorových produktoch. Konštanty sú ľahko vyňaté z limitov vektorového súčinu. Ozaj, čo tam robia?

4) - distribúcia resp distribúcia zákony o vektorových produktoch. Problémy nie sú ani s otváraním zátvoriek.

Ako ukážku zvážte krátky príklad:

Príklad 3

Nájdite ak

Riešenie: Podľa podmienky je opäť potrebné nájsť dĺžku vektorového súčinu. Namaľujeme našu miniatúru:

(1) Podľa asociatívnych zákonov vyberáme konštanty za hranice vektorového súčinu.

(2) Vyberieme konštantu z modulu, zatiaľ čo modul „žerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.

(3) Čo nasleduje, je jasné.

Odpoveď:

Je čas hodiť drevo do ohňa:

Príklad 4

Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nájdite oblasť trojuholníka pomocou vzorca . Háčik je v tom, že samotné vektory „ce“ a „te“ sú reprezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady č. 3 a 4 z lekcie. Bodový súčin vektorov. Pre prehľadnosť si to rozložme do troch krokov:

1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt prostredníctvom vektorového produktu, v skutočnosti, vyjadriť vektor v termínoch vektora. O dĺžke zatiaľ nepadlo ani slovo!

(1) Dosadíme výrazy vektorov .

(2) Pomocou distributívnych zákonov otvárame zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.

(3) Pomocou asociatívnych zákonov odstránime všetky konštanty za vektorovými súčinmi. S malými skúsenosťami je možné vykonať akcie 2 a 3 súčasne.

(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (vektor nula) kvôli príjemnej vlastnosti . V druhom termíne používame vlastnosť antikomutativity vektorového produktu:

(5) Uvádzame podobné výrazy.

V dôsledku toho sa ukázalo, že vektor je vyjadrený prostredníctvom vektora, čo bolo potrebné na dosiahnutie:

2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia je podobná ako v príklade 3:

3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka:

Kroky 2-3 riešenia by mohli byť usporiadané v jednej línii.

Odpoveď:

Uvažovaný problém je celkom bežný v kontrolná práca, tu je príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 5

Nájdite ak

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny. Pozrime sa, ako pozorní ste boli pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)

Krížový súčin vektorov v súradniciach

uvedené na ortonormálnom základe , sa vyjadruje vzorcom:

Vzorec je naozaj jednoduchý: súradnicové vektory napíšeme do horného riadku determinantu, súradnice vektorov „zabalíme“ do druhého a tretieho riadku a dáme v prísnom poradí- najprv súradnice vektora "ve", potom súradnice vektora "double-ve". Ak je potrebné vynásobiť vektory v inom poradí, riadky by sa mali tiež vymeniť:

Príklad 10

Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
a)
b)

Riešenie: Test je založený na jednom z tvrdení v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, ich krížový súčin je nula (nulový vektor): .

a) Nájdite vektorový súčin:

Takže vektory nie sú kolineárne.

b) Nájdite vektorový súčin:

Odpoveď: a) nie kolineárne, b)

Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.

Táto časť nebude príliš veľká, pretože existuje len málo problémov, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko spočívať na definícii, geometrickom význame a niekoľkých pracovných vzorcoch.

Zmiešaný súčin vektorov je súčinom troch vektorov:

Takto sa zoradili ako vlak a čakajú, nevedia sa dočkať, kým sa spočítajú.

Najprv opäť definícia a obrázok:

Definícia: Zmiešaný produkt nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa volá objem rovnobežnostena, postavené na týchto vektoroch, vybavené znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „-“, ak je základ ľavý.

Urobme kresbu. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanou čiarou:

Poďme sa ponoriť do definície:

2) Nasnímané vektory v určitom poradí, to znamená, že permutácia vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, nezostane bez následkov.

3) Pred komentovaním geometrického významu si všimnem zrejmú skutočnosť: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO: . Vo vzdelávacej literatúre môže byť dizajn trochu odlišný, zvykol som označovať zmiešaný produkt a výsledok výpočtov písmenom „pe“.

Podľa definície zmiešaný produkt je objem kvádra, postavený na vektoroch (postava je nakreslená červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu daného rovnobežnostena.

Poznámka : Výkres je schematický.

4) Nezaťažujme sa opäť pojmom orientácia základne a priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Zjednodušene povedané, zmiešaný produkt môže byť negatívny: .

Vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch priamo vyplýva z definície.

Definícia. Vektorový súčin vektora a a vektora b je vektor označený symbolom [«, b] (alebo l x b), takže 1) dĺžka vektora [a, b] je rovná (p, kde y je uhol medzi vektormi a a b ( 31), 2) vektor [a, b) je kolmý na vektory a a b, t.j. kolmá na rovinu týchto vektorov; 3) vektor [a, b] je nasmerovaný tak, že od konca tohto vektora je vidieť najkratší obrat z a do b proti smeru hodinových ručičiek (obr. 32). Ryža. 32 Obr.31 Inými slovami, vektory a, b a [а, b) tvoria pravú trojicu vektorov, t.j. umiestnené ako palec, ukazovák a prostredník pravej ruky. Ak sú vektory a a b kolineárne, budeme predpokladať, že [a, b] = 0. Podľa definície sa dĺžka vektorového súčinu numericky rovná ploche Sa rovnobežníka (obr. 33) postaveného na vynásobených vektoroch. a a b ako na stranách: 6.1 . Vlastnosti vektorového súčinu 1. Vektorový súčin sa rovná nulovému vektoru vtedy a len vtedy, ak je aspoň jeden z vynásobených vektorov nula alebo keď sú tieto vektory kolineárne (ak sú vektory a a b kolineárne, potom uhol medzi nimi je buď 0 alebo 7r). To sa dá ľahko získať z faktu, že Ak uvažujeme nulový vektor kolinzar k ľubovoľnému vektoru, potom podmienku kolinarity vektorov a a b možno vyjadriť nasledovne 2. Vektorový súčin je antikomutatívny, t.j. vždy. V skutočnosti vektory (a, b) a majú rovnakú dĺžku a sú kolineárne. Smery týchto vektorov sú opačné, pretože od konca vektora [a, b] bude vidieť najkratší obrat z a do b proti smeru hodinových ručičiek a od konca vektora [b, a] - v smere hodinových ručičiek (obr. 34). 3. Vektorový súčin má distribučnú vlastnosť vzhľadom na sčítanie 4. Číselný faktor A možno vyňať zo znamienka vektorového súčinu 6.2. Vektorový súčin vektorov, dané súradnice Nech sú vektory a a b dané ich súradnicami v základe. Pomocou distribučnej vlastnosti vektorového súčinu nájdeme vektorový súčin vektorov daný súradnicami. Zmiešaná práca. Vypíšme vektorové súčiny súradnicových ortov (obr. 35): Preto pre vektorový súčin vektorov a a b získame zo vzorca (3) nasledujúci výrazový determinant nad prvkami 1. riadku, dostaneme ( 4). Príklady. 1. Nájdite plochu rovnobežníka postaveného na vektoroch. Požadovaná plocha Preto nájdeme = odkiaľ 2. Nájdite obsah trojuholníka (obr. 36). Je zrejmé, že plocha b "d trojuholníka JSC sa rovná polovici plochy S rovnobežníka O AC B. Výpočet vektorového súčinu (a, b | vektorov a \u003d OA a b \u003d b \u003d ob ), dostaneme (a, b), c) = [a, |b, c)) vo všeobecnom prípade neplatí Napríklad pre a = ss j máme § 7. Zmiešaný súčin vektorov Nech máme tri vektory a, b a c. Vektorovo vynásobíme vektory a a 1>. Výsledkom je vektor [a, 1>], ktorý skalárne vynásobíme vektorom c: (k b), c. Číslo ( [a, b], e) sa nazýva zmiešaný súčin vektorov a, b) c a označuje sa symbolom (a, 1), e) 7.1 Geometrický význam zmiešaného súčinu Ponechajme stranou vektory a, b a zo všeobecného bodu O (obr. 37) Ak všetky štyri body O, A, B, C ležia v rovnakej rovine (vektory a, b a c sa v tomto prípade nazývajú koplanárne), potom zmiešané súčin ([a, b], c) = 0. Vyplýva to z toho, že vektor [a, b| je kolmý na rovinu, v ktorej ležia vektory a a 1 ", a teda vektor c. / Ak t body O, A, B, C neležia v rovnakej rovine (vektory a, b a c sú nekoplanárne), na hranách OA, OB a OS postavíme rovnobežnosten (obr. 38 a). Podľa definície krížového súčinu máme (a,b) = So c, kde So je plocha rovnobežníka OADB a c je jednotkový vektor kolmý na vektory a a b a taký, že trojité a , b, c je správne, t.j. vektory a, b a c sú umiestnené ako palec, ukazovák a prostredník pravej ruky (obr. 38 b). Vynásobením oboch častí poslednej rovnosti na pravom skaláre vektorom c dostaneme, že vektorový súčin vektorov daný súradnicami. Zmiešaná práca. Číslo rc c sa rovná výške h zostrojeného kvádra, pričom sa berie so znamienkom „+“, ak je uhol medzi vektormi c a c ostrý (trojica a, b, c je pravá), a so znamienkom „ -“ ak je uhol tupý (trojité a, b, c - vľavo), takže zmiešaný súčin vektorov a, b a c sa rovná objemu V kvádra postaveného na týchto vektoroch ako na hranách ak je trojica a, b, c vpravo a -V, ak je trojica a, b, c - vľavo. Na základe geometrického významu zmiešaného súčinu môžeme usúdiť, že vynásobením rovnakých vektorov a, b a c v akomkoľvek inom poradí vždy dostaneme buď +7 alebo -K. Znak pro- Obr. 38 odkaz bude závisieť len od toho, ktorý triplet tvoria vynásobené vektory - pravý alebo ľavý. Ak vektory a, b, c tvoria pravú trojicu, potom trojice b, c, a a c, a, b budú tiež pravé. Súčasne všetky tri triplety b, a, c; a, c, b a c, b, a - vľavo. Teda (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b , a). Ešte raz zdôrazňujeme, že zmiešaný súčin vektorov sa rovná nule práve vtedy, ak sú vynásobené vektory a, b, c koplanárne: (a, b, c sú koplanárne) 7.2. Zmiešaný súčin v súradniciach Nech sú vektory a, b, c dané súradnicami v báze i, j, k: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Nájdime výraz pre ich zmiešaný súčin (a, b, c). Máme zmiešaný súčin vektorov daný ich súradnicami v báze i, J, k rovný determinantu tretieho rádu, ktorého čiary sú zložené zo súradníc prvého, druhého a tretieho vynásobeného vektory. Nevyhnutnú a postačujúcu podmienku komplanárnosti vektorov a y\, Z|), b = (xx, y2.22), c = (x3, uz, 23) je možné zapísať v nasledujúcom tvare z, ar2y2-2 = 0. Príklad Uz. Skontrolujte, či vektory v = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) sú koplanárne. Uvažované vektory budú koplanárne alebo nekoplanárne v závislosti od toho, či sa determinant rovná nule alebo nie. Rozšírením o prvky prvého riadku dostaneme 7.3. Dvojitý krížový súčin Dvojitý krížový súčin [a, [b, c]] je vektor kolmý na vektory a a [b, c]. Preto leží v rovine vektorov b a c a môže sa v týchto vektoroch rozširovať. Dá sa ukázať, že platí vzorec [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b). Cvičenia 1. Tri vektory AB = c, W? = o a CA = b slúžia ako strany trojuholníka. Vyjadrite pomocou a, b a c vektory, ktoré sa zhodujú s mediánmi AM, DN, CP trojuholníka. 2. Aká podmienka musí byť spojená medzi vektormi p a q, aby vektor p + q rozdelil uhol medzi nimi na polovicu? Predpokladá sa, že všetky tri vektory súvisia so spoločným pôvodom. 3. Vypočítajte dĺžku uhlopriečok rovnobežníka postaveného na vektoroch a = 5p + 2q a b = p - 3q, ak je známe, že |p| = 2v/2, |q| = 3H-(p7ci) = f. 4. Označením strán kosoštvorca aab strany kosoštvorca vychádzajúceho zo spoločného vrcholu dokážte, že uhlopriečky kosoštvorca sú navzájom kolmé. 5. Vypočítajte bodový súčin vektorov a = 4i + 7j + 3k a b = 31 - 5j + k. 6. Nájdite jednotkový vektor a0 rovnobežný s vektorom a = (6, 7, -6). 7. Nájdite priemet vektora a = l+ j- kHa vektor b = 21 - j - 3k. 8. Nájdite kosínus uhla medzi vektormi IS "w, ak A (-4.0.4), B (-1.6.7), C (1.10.9). 9. Nájdite jednotkový vektor p°, ktorý je súčasne kolmý na vektor a = (3, 6, 8) a os x. 10. Vypočítajte sínus uhla medzi uhlopriečkami rovnobežníka postaveného na vektoroch a = 2i+J-k, b=i-3j + k ako na stranách. Vypočítajte výšku h kvádra postaveného na vektoroch a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, ak sa za základ vezme rovnobežník zostavený z vektorov a a I). Odpovede

7.1. Definícia krížového produktu

Tri nekoplanárne vektory a , b a c , brané v uvedenom poradí, tvoria pravú trojicu, ak od konca tretieho vektora c najkratšiu odbočku z prvého vektora a do druhého vektora b vidíme proti smeru hodinových ručičiek a ľavý v smere hodinových ručičiek (pozri obr. . 16).

Vektorový súčin vektora a a vektora b sa nazýva vektor c, ktorý:

1. Kolmo na vektory a a b, teda c ^ a a c ^ b;

2. Má dĺžku, ktorá sa číselne rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a ab ako na bokoch (pozri obr. 17), t.j.

3. Vektory a , b a c tvoria pravú trojicu.

Vektorový súčin je označený axb alebo [a,b]. Z definície vektorového produktu priamo vyplývajú nasledujúce vzťahy medzi orts, j a k(pozri obr. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Dokážme to napríklad i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, ale | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vektory i, ja k tvoria pravú trojicu (pozri obr. 16).

7.2. Vlastnosti krížových produktov

1. Pri preusporiadaní faktorov vektorový súčin zmení znamienko, t.j. a xb \u003d (b xa) (pozri obr. 19).

Vektory a xb a b xa sú kolineárne, majú rovnaké moduly (plocha rovnobežníka zostáva nezmenená), ale sú opačne orientované (trojice a, b, a xb a a, b, b x a opačnej orientácie). Teda axb = -(bxa).

2. Vektorový súčin má kombinačnú vlastnosť vzhľadom na skalárny faktor, t.j. l ​​(a xb) \u003d (la) x b \u003d a x (l b).

Nech l >0. Vektor l (a xb) je kolmý na vektory a a b. vektor ( l a)x b je tiež kolmá na vektory a a b(vektory a, l ale ležia v rovnakej rovine). Takže vektory l(a xb) a ( l a)x b kolineárne. Je zrejmé, že ich smery sa zhodujú. Majú rovnakú dĺžku:

Preto l(a xb)= l a xb. Dokazuje sa to podobne aj pre l<0.

3. Dva nenulové vektory a a b sú kolineárne vtedy a len vtedy, ak sa ich vektorový súčin rovná nulovému vektoru, t.j. a ||b<=>a xb \u003d 0.

Konkrétne i*i=j*j=k*k=0.

4. Vektorový súčin má distribučnú vlastnosť:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Prijmite bez dôkazu.

7.3. Vyjadrenie krížového produktu z hľadiska súradníc

Použijeme vektorovú tabuľku krížových produktov i , j a k:

ak sa smer najkratšej cesty z prvého vektora do druhého zhoduje so smerom šípky, potom sa súčin rovná tretiemu vektoru, ak sa nezhoduje, tretí vektor sa berie so znamienkom mínus.

Nech dva vektory a =a x i +a y j+az k a b=bx i+ podľa j+bz k. Nájdite vektorový súčin týchto vektorov ich vynásobením ako polynómy (podľa vlastností vektorového súčinu):

Výsledný vzorec možno napísať ešte kratšie:

keďže pravá strana rovnosti (7.1) zodpovedá rozšíreniu determinantu tretieho rádu z hľadiska prvkov prvého radu Rovnosť (7.2) je ľahko zapamätateľná.

7.4. Niektoré aplikácie krížového produktu

Stanovenie kolinearity vektorov

Nájdenie oblasti rovnobežníka a trojuholníka

Podľa definície krížového súčinu vektorov a a b |a xb | =| a | * |b |sin g , teda S par = |a x b |. A preto D S \u003d 1/2 | a x b |.

Určenie momentu sily okolo bodu

Nech v bode A pôsobí sila F = AB nechaj to tak O- nejaký bod v priestore (pozri obr. 20).

Z fyziky je známe, že krútiaci moment F vzhľadom na bod O nazývaný vektor M , ktorý prechádza cez bod O a:

1) kolmo na rovinu prechádzajúcu bodmi O, A, B;

2) číselne sa rovná súčinu sily a ramena

3) tvorí pravú trojicu s vektormi OA a A B .

Preto M \u003d OA x F.

Nájdenie lineárnej rýchlosti otáčania

Rýchlosť v bod M tuhého telesa rotujúceho uhlovou rýchlosťou w okolo pevnej osi, je určený Eulerovým vzorcom v \u003d w x r, kde r \u003d OM, kde O je nejaký pevný bod osi (pozri obr. 21).

ZMIEŠANÝ PRODUKT TROCH VEKTOROV A JEHO VLASTNOSTI

zmiešaný produkt tri vektory sa nazýva číslo rovné . Označené . Tu sa prvé dva vektory vynásobia vektorovo a výsledný vektor sa potom skalárne vynásobí tretím vektorom. Je zrejmé, že takýto produkt je nejaké číslo.

Zvážte vlastnosti zmiešaného produktu.

1. geometrický zmysel zmiešaný produkt. Zmiešaný súčin 3 vektorov až po znamienko sa rovná objemu kvádra postaveného na týchto vektoroch, ako na hranách, t.j. .

   Takto a .

   

   Dôkaz. Odložme vektory zo spoločného pôvodu a postavme na nich rovnobežnosten. Označme a všimnime si, že . Podľa definície skalárneho súčinu

   Za predpokladu, že a označovať cez h výšku rovnobežnostena, nájdeme .

   Teda pri

   Ak , tak a . V dôsledku toho, .

   Kombináciou oboch týchto prípadov dostaneme alebo .

   Z dôkazu tejto vlastnosti predovšetkým vyplýva, že ak je trojica vektorov správna, potom zmiešaný súčin , a ak je ľavý, potom .

2. Pre všetky vektory , , rovnosť

   Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z vlastnosti 1. Skutočne je ľahké preukázať, že a . Okrem toho sa znaky "+" a "-" berú súčasne, pretože uhly medzi vektormi a a a sú ostré alebo tupé.

3. Keď sú akékoľvek dva faktory zamenené, zmiešaný produkt zmení znamienko.

   V skutočnosti, ak vezmeme do úvahy zmiešaný produkt , potom napríklad alebo

4. Zmiešaný súčin vtedy a len vtedy, ak sa jeden z faktorov rovná nule alebo sú vektory koplanárne.

   Dôkaz.

   Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre komplanárnosť 3 vektorov je teda rovnosť nuly ich zmiešaného produktu. Okrem toho z toho vyplýva, že tri vektory tvoria základ v priestore, ak .

   Ak sú vektory uvedené v súradnicovej forme, potom je možné ukázať, že ich zmiešaný produkt sa nachádza podľa vzorca:

   .

   Zmiešaný produkt sa teda rovná determinantu tretieho rádu, ktorého prvý riadok obsahuje súradnice prvého vektora, druhý riadok obsahuje súradnice druhého vektora a tretí riadok obsahuje súradnice tretieho vektora.

   Príklady.

ANALYTICKÁ GEOMETRIA V PRIESTORE

Rovnica F(x, y, z)= 0 definuje v priestore Oxyz nejaký povrch, t.j. lokus bodov, ktorých súradnice x, y, z splniť túto rovnicu. Táto rovnica sa nazýva povrchová rovnica a x, y, z– aktuálne súradnice.

Často však povrch nie je definovaný rovnicou, ale ako množina bodov v priestore, ktoré majú tú či onú vlastnosť. V tomto prípade je potrebné nájsť rovnicu povrchu na základe jeho geometrických vlastností.

PLANE (lietadlo).

NORMÁLNY ROVINNÝ VEKTOR.

ROVNICE LETADLA PRECHÁDZAJÚCEHO CEZ DANÝ BOD

Uvažujme ľubovoľnú rovinu σ v priestore. Jeho poloha je určená nastavením vektora kolmého na túto rovinu a nejakého pevného bodu M0(x0, y 0, z0) ležiace v rovine σ.

Vektor kolmý na rovinu σ sa nazýva normálne vektor tejto roviny. Nech má vektor súradnice .

Odvodíme rovnicu pre rovinu σ prechádzajúcu daným bodom M0 a majúci normálny vektor . Za týmto účelom zoberte ľubovoľný bod v rovine σ M(x, y, z) a zvážte vektor .

Za akýkoľvek bod MÎ σ vektor. Preto sa ich skalárny súčin rovná nule. Táto rovnosť je podmienkou, že bod MО σ. Platí pre všetky body tejto roviny a porušuje sa hneď po bode M bude mimo roviny σ.

Ak označíme vektorom polomeru body M, je vektor polomeru bodu M0, potom možno rovnicu zapísať ako

Táto rovnica sa nazýva vektor rovinná rovnica. Napíšme to v súradnicovom tvare. Odvtedy

Získali sme teda rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom. Na zostavenie rovnice roviny teda potrebujete poznať súradnice normálového vektora a súradnice nejakého bodu ležiaceho v rovine.

Všimnite si, že rovnica roviny je rovnicou 1. stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice x, y a z.

Príklady.

VŠEOBECNÁ ROVNICE LIETADLA

Dá sa ukázať, že akákoľvek rovnica prvého stupňa vzhľadom na karteziánske súradnice x, y, z je rovnica nejakej roviny. Táto rovnica je napísaná takto:

Ax+By+Cz+D=0

a volal všeobecná rovnica rovinu a súradnice A, B, C tu sú súradnice normálového vektora roviny.

Uvažujme o konkrétnych prípadoch všeobecnej rovnice. Poďme zistiť, ako je rovina umiestnená vzhľadom na súradnicový systém, ak jeden alebo viac koeficientov rovnice zmizne.

A je dĺžka segmentu odrezaného rovinou na osi Vôl. Podobne sa to dá ukázať b a c sú dĺžky segmentov odrezaných uvažovanou rovinou na osiach Oj a Oz.

Na konštrukciu rovín je vhodné použiť rovnicu roviny v segmentoch.