Bana för rörelse av en materialpunkt genom radievektorn

Efter att ha glömt bort denna del av matematiken, i mitt minne har rörelseekvationerna för en materiell punkt alltid representerats med hjälp av det beroende som är bekant för oss alla y(x), och när jag tittade på problemets text blev jag lite förbluffad när jag såg vektorerna. Det visade sig att det finns en representation av banan för en materialpunkt med hjälp av radie vektor— en vektor som specificerar positionen för en punkt i rymden i förhållande till någon förfixerad punkt, kallad origo.

Formeln för en materialpunkts bana, förutom radievektorn, beskrivs på samma sätt orts— enhetsvektorer i, j, k i vårt fall sammanfaller med koordinatsystemets axlar. Och slutligen, överväg ett exempel på ekvationen för en materiell punkts bana (i tvådimensionellt utrymme):

Vad är intressant med det här exemplet? En punkts bana ges av sinus och cosinus Hur tror du att grafen kommer att se ut i den välbekanta representationen y(x)? "Antagligen något läskigt", tänkte du, men allt är inte så komplicerat som det verkar! Låt oss försöka konstruera banan för materialpunkten y(x), om den rör sig enligt lagen som presenteras ovan:

Här märkte jag kvadraten av cosinus, om du i något exempel ser kvadraten av sinus eller cosinus, betyder detta att du måste tillämpa den grundläggande trigonometriska identiteten, vilket är vad jag gjorde (andra formeln) och transformerade koordinatformeln y, så att istället för sinus, ersätt ändringsformeln i den x:

Som ett resultat visade sig den fruktansvärda rörelselagen för en punkt vara vanlig parabel, vars grenar är riktade nedåt. Jag hoppas att du förstår den ungefärliga algoritmen för att konstruera y(x)-beroendet från representationen av rörelse genom radievektorn. Låt oss nu gå vidare till vår huvudfråga: hur man hittar vektorn för hastighet och acceleration för en materialpunkt, såväl som deras moduler.

Hastighetsvektor för en materialpunkt

Alla vet att hastigheten för en materiell punkt är mängden avstånd som punkten tillryggalagt per tidsenhet, det vill säga derivatan av formeln för rörelselagen. För att hitta hastighetsvektorn måste du ta derivatan med avseende på tid. Låt oss titta på ett specifikt exempel på att hitta hastighetsvektorn.

Ett exempel på att hitta hastighetsvektorn

Vi har rörelselagen för en materiell punkt:

Nu måste du ta derivatan av detta polynom, om du har glömt hur du gör detta, här är det. Som ett resultat kommer hastighetsvektorn att ha följande form:

Allt visade sig vara enklare än du trodde, låt oss nu hitta accelerationsvektorn för en materiell punkt med samma lag som presenteras ovan.

Hur man hittar accelerationsvektorn för en materialpunkt

Punktaccelerationsvektor detta är en vektorkvantitet som kännetecknar förändringen över tiden i storleken och riktningen för en punkts hastighet. För att hitta accelerationsvektorn för en materialpunkt i vårt exempel måste du ta derivatan, men från hastighetsvektorformeln precis ovan:

Modulen för punkthastighetsvektorn

Låt oss nu hitta storleken på materialpunktens hastighetsvektor. Som du vet från 9:e klass är modulen för en vektor dess längd, i rektangulära kartesiska koordinater lika med kvadratroten av summan av kvadraterna av dess koordinater. Och var kan vi få dess koordinater från hastighetsvektorn vi fick ovan, frågar du dig? Allt är väldigt enkelt:

Nu behöver du bara ersätta den tid som anges i problemet och få ett specifikt numeriskt värde.

Acceleration vektor modul

Som du förstod av det som skrevs ovan (och från 9:e klass) sker det att hitta modulen för accelerationsvektorn på samma sätt som modulen för hastighetsvektorn: vi tar kvadratroten ur summan av kvadraterna av vektorkoordinaterna , det är enkelt! Tja, här är ett exempel för dig, naturligtvis:

Som du kan se beror accelerationen av en materialpunkt enligt lagen som ges ovan inte på tid och har en konstant storlek och riktning.

Fler exempel på lösningar på problemet med att hitta hastighets- och accelerationsvektorn

Och här kan du hitta exempel på lösningar på andra problem inom fysiken. Och för de som inte riktigt förstår hur man hittar hastighets- och accelerationsvektorn, här är ett par fler exempel från nätverket utan några onödiga förklaringar, jag hoppas att de hjälper dig.

Om du har några frågor kan du ställa dem i kommentarerna.

Låt nu funktionen vara känd. I fig. 5.10
Och
 hastighetsvektorer för en rörlig punkt vid ögonblick t och  t. För att få hastighetsvektorinkrementet
flytta vektorn parallellt
exakt M:

Genomsnittlig acceleration av en punkt under en tidsperiod  t kallas hastighetsvektorns inkrementförhållande
till en tidsperiod t:

Därav, accelerationen av en punkt vid en given tidpunkt är lika med den första derivatan med avseende på tiden av punktens hastighetsvektor eller den andra derivatan av radievektorn med avseende på tiden

. (5.11)

Punktacceleration detta är en vektorkvantitet som kännetecknar hastighetsvektorns förändringshastighet över tiden.

Låt oss konstruera en hastighetshodograf (Fig. 5.11). Per definition är hastighetshodografen den kurva som ritas av slutet av hastighetsvektorn när en punkt rör sig, om hastighetsvektorn plottas från samma punkt.

Bestämma hastigheten för en punkt med hjälp av koordinatmetoden för att specificera dess rörelse

Låt en punkts rörelse specificeras med koordinatmetoden i det kartesiska koordinatsystemet

X = x(t), y = y(t), z = z(t)

Radievektorn för en punkt är lika med

.

Eftersom enhetsvektorerna
är konstanta, då per definition

. (5.12)

Låt oss beteckna projektionerna av hastighetsvektorn på axeln Åh, OU Och Uns genom V x , V y , V z

(5.13)

Genom att jämföra likheter (5.12) och (5.13) får vi

(5.14)

I det följande kommer derivatan med avseende på tid att betecknas med punkten ovan, dvs.

.

En punkts hastighetsmodul bestäms av formeln

. (5.15)

Hastighetsvektorns riktning bestäms av riktningscosinuserna:

Bestämma accelerationen av en punkt med hjälp av koordinatmetoden för att specificera dess rörelse

Hastighetsvektorn i det kartesiska koordinatsystemet är lika med

.

A-priory

Låt oss beteckna projektionerna av accelerationsvektorn på axeln Åh, OU Och Uns genom A x , A y , A z Följaktligen expanderar vi hastighetsvektorn längs axlarna:

. (5.17)

Genom att jämföra likheter (5.16) och (5.17) får vi

Modulen för punktaccelerationsvektorn beräknas på samma sätt som modulen för punkthastighetsvektorn:

, (5.19)

och accelerationsvektorns riktning är riktningscosinus:

Bestämma hastigheten och accelerationen för en punkt med den naturliga metoden för att specificera dess rörelse

Denna metod använder naturliga axlar som börjar vid punktens aktuella position M på banan (Fig. 5.12) och enhetsvektorer Enhet vektor riktad tangentiellt till banan mot den positiva referensen för bågen, enhetsvektor riktad längs banans huvudnormal mot dess konkavitet, enhetsvektor riktad längs det binormala till banan vid punkten M.

Orty Och ligga i oskulerande plan, enhetsvektorer Och V normalt plan, enhetsvektorer Och - i rätande plan.

Den resulterande trihedronen kallas naturlig.

Låt lagen om punktrörelse ges s = s(t).

Radie vektor poäng M i förhållande till vilken fast punkt som helst kommer att vara en komplex funktion av tid
.

Från differentialgeometri är Serre-Frenet-formlerna kända, som etablerar samband mellan enhetsvektorer för naturliga axlar och kurvans vektorfunktion

där  är krökningsradien för banan.

Med hjälp av definitionen av hastighet och Serre-Frenet-formeln får vi:

. (5.20)

Betecknar projektionen av hastighet på tangenten och med hänsyn till att hastighetsvektorn är tangentiellt riktad har vi

. (5.21)

Genom att jämföra likheter (5.20) och (5.21) får vi formler för att bestämma hastighetsvektorn i storlek och riktning

Magnitud positiv om poängen M rör sig i den positiva riktningen av bågreferensen s och negativ i motsatt fall.

Med hjälp av definitionen av acceleration och Serre-Frenet-formeln får vi:

Låt oss beteckna projektionen av punktens acceleration på en tangent , huvudnormal och binormal
respektive.

Då är accelerationen

Av formlerna (5.23) och (5.24) följer att accelerationsvektorn alltid ligger i kontaktplanet och expanderas i riktningar Och :

(5.25)

Projicering av acceleration på en tangent
kallad tangent eller tangentiell acceleration. Det kännetecknar hastighetsförändringen.

Projicering av acceleration på huvudnormalen
kallad normal acceleration. Det karakteriserar förändringen i hastighetsvektorn i riktning.

Storleken på accelerationsvektorn är lika med
.

Om Och av samma tecken, kommer punktens rörelse att accelereras.

Om Och olika tecken, då blir punktens rörelse långsam.

Låt oss introducera en enhetsvektor τ associerad med den rörliga punkten A och riktad tangentiellt till banan i riktning mot ökande bågkoordinat (fig. 1.6). Det är uppenbart att τ är en variabel vektor: den beror på l. Hastighetsvektorn v för punkt A är riktad tangentiellt mot banan, så den kan representeras enligt följande

där v τ =dl/dt är projektionen av vektorn v i riktningen av vektorn τ, och v τ är en algebraisk storhet. Dessutom, |v τ |=|v|=v.

Punktacceleration

Låt oss skilja (1.22) med avseende på tid

(1.23)

Låt oss omvandla den sista termen i detta uttryck

(1.24)

Låt oss bestämma ökningen av vektorn τ med dl (Fig. 1.7).

Som framgår av fig. 1,7, vinkel , varifrån och vid .

Genom att införa en enhetsvektor n av normalen till banan vid punkt 1, riktad mot krökningscentrum, skriver vi den sista likheten i vektorform

Låt oss ersätta (1.23) i (1.24) och det resulterande uttrycket i (1.22). Som ett resultat kommer vi att hitta

(1.26)

Här kallas den första termen tangentiell a τ , andra - vanligt en.

Således kan den totala accelerationen a för en punkt representeras som den geometriska summan av tangentiell och normal acceleration.

Fullpunktsaccelerationsmodul

(1.27)

Den är riktad mot banans konkavitet i en vinkel α mot hastighetsvektorn, och .

Om vinkeln α är spetsig, så är tanα>0, därför dv/dt>0, eftersom v 2 /R>0 alltid är.

I det här fallet ökar storleken på hastigheten med tiden - rörelsen kallas accelererad(Fig. 1.8).

I det fall då hastigheten minskar i storlek med tiden kallas rörelsen långsam(Fig. 1.9).

Om vinkeln α=90°, tanα=∞, det vill säga dv/dt=0. I det här fallet ändras inte hastigheten i storlek över tiden, och den totala accelerationen kommer att vara lika med centripetalen

(1.28)

I synnerhet är den totala accelerationen av likformig rotationsrörelse (R=const, v=const) en centripetalacceleration, lika i värde som a n =v 2 /R och riktad hela tiden mot mitten.

I linjär rörelse, tvärtom, är kroppens totala acceleration lika med den tangentiella. I detta fall är a n =0, eftersom en rätlinjig bana kan betraktas som en cirkel med oändligt stor radie, och med R→∞; v2/R=0; a n=0; a=a τ .

Ett exempel på att lösa ett problem med komplex rörelse av en punkt betraktas. Punkten rör sig i en rak linje längs plattan. Plattan roterar runt en fast axel. Punktens absoluta hastighet och absoluta acceleration bestäms.

Innehåll

Uppgiften

En rektangulär platta roterar runt en fast axel enligt lagen φ = 6 t 2 - 3 t 3. Den positiva riktningen för vinkeln φ visas i figurerna med en bågpil. Rotationsaxel OO 1 ligger i plattans plan (plattan roterar i rymden).

Punkt M rör sig längs plattan längs den raka linjen BD. Lagen för dess relativa rörelse är given, dvs beroendet s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s - i centimeter, t - i sekunder). Avstånd b = 20 cm. I figuren visas punkt M i en position där s = AM > 0 (vid s< 0 punkt M är på andra sidan punkt A).

Hitta den absoluta hastigheten och den absoluta accelerationen för punkt M vid tidpunkten t 1 = 1 s.

Vägbeskrivning. Denna uppgift involverar komplex förflyttning av en punkt. För att lösa det är det nödvändigt att använda satserna om addition av hastigheter och addition av accelerationer (Coriolis sats). Innan du gör alla beräkningar är det nödvändigt att bestämma, enligt villkoren för problemet, var punkt M är belägen på plattan vid tidpunkten t 1 = 1 s, och rita punkten i exakt denna position (och inte i en godtycklig som visas i figuren för problemet).

Lösningen på problemet

Given: b = 20 cm, φ = 6 t 2 - 3 t 3, s = |AM| = 40(t - 2 t 3) - 40,t 1 = 1 s.

Hitta: v abs, a abs

Bestämma positionen för en punkt

Bestäm positionen för punkten vid tidpunkten t = t 1 = 1 s.
s = 40(t 1 - 2 t 1 3) - 40 = 40(1 - 2 1 3) - 40 = -80 cm.
Sedan s< 0 , då är punkt M närmare punkt B än D.
|AM| = |-80| = 80 cm.
Låt oss göra en ritning.

Enligt satsen om tillägg av hastigheter är den absoluta hastigheten för en punkt lika med vektorsumman av de relativa och bärbara hastigheterna:
.

Bestämma den relativa hastigheten för en punkt

Fastställande av relativ hastighet. För att göra detta antar vi att plattan är orörlig, och punkt M utför en given rörelse. Det vill säga, punkt M rör sig längs den räta linjen BD. Genom att differentiera s med tiden t finner vi projektionen av hastigheten i riktningen BD:
.
Vid tidpunkten t = t 1 = 1 s,
cm/s.
Sedan är vektorn riktad i motsatt riktning mot BD. Det vill säga från punkt M till punkt B. Relativ hastighetsmodul
v från = 200 cm/s.

Bestämma överföringshastigheten för en punkt

Bestämma överföringshastigheten. För att göra detta antar vi att punkten M är stelt ansluten till plattan, och plattan utför en given rörelse. Det vill säga att plattan roterar runt OO 1-axeln. Genom att differentiera φ med tiden t finner vi plattans vinkelhastighet:
.
Vid tidpunkten t = t 1 = 1 s,
.
Eftersom vinkelhastighetsvektorn är riktad mot den positiva rotationsvinkeln φ, det vill säga från punkt O till punkt O 1. Vinkelhastighetsmodul:
ω = 3 s -1.
Vi visar vektorn för plattans vinkelhastighet i figuren.

Från punkt M sänker vi den vinkelräta HM till axeln OO 1.
Under translationsrörelse rör sig punkten M längs en cirkel med radie |HM| med centrum i punkt H.
|HM| = |HK| + |KM| = 3 b + |AM| sin 30° = 60 + 80 0,5 = 100 cm;
Bärhastighet:
v bana = ω|HM| = 3·100 = 300 cm/s.

Vektorn är riktad tangentiellt mot cirkeln i rotationsriktningen.

Bestämma den absoluta hastigheten för en punkt

Fastställande av absolut hastighet. Den absoluta hastigheten för en punkt är lika med vektorsumman av de relativa och bärbara hastigheterna:
.
Vi ritar axlarna för det fasta koordinatsystemet Oxyz. Låt oss rikta z-axeln längs plattans rotationsaxel. Låt vid det aktuella ögonblicket x-axeln vara vinkelrät mot plattan och y-axeln ligga i plattans plan. Då ligger den relativa hastighetsvektorn i yz-planet. Vektorn för överföringshastigheten är riktad motsatt x-axeln. Eftersom vektorn är vinkelrät mot vektorn är den absoluta hastighetsmodulen enligt Pythagoras sats:
.

Bestämma den absoluta accelerationen för en punkt

Enligt satsen om addition av accelerationer (Coriolis-satsen) är den absoluta accelerationen för en punkt lika med vektorsumman av relativ-, transport- och Coriolisaccelerationerna:
,
Var
- Coriolisacceleration.

Bestämning av relativ acceleration

Fastställande av relativ acceleration. För att göra detta antar vi att plattan är orörlig, och punkt M utför en given rörelse. Det vill säga, punkt M rör sig längs den räta linjen BD. Genom att differentiera s två gånger med avseende på tid t, finner vi projektionen av acceleration i riktningen BD:
.
Vid tidpunkten t = t 1 = 1 s,
cm/s2.
Sedan är vektorn riktad i motsatt riktning mot BD. Det vill säga från punkt M till punkt B. Relativ accelerationsmodul
a från = 480 cm/s 2.
Vi avbildar vektorn i figuren.

Definition av bärbar acceleration

Fastställande av bärbar acceleration. Under translationsrörelse är punkten M fast ansluten till plattan, det vill säga den rör sig längs en cirkel med radie |HM| med centrum i punkt H. Låt oss bryta ner den bärbara accelerationen till en tangent till cirkeln och normal acceleration:
.
Genom att differentiera φ två gånger med avseende på tiden t finner vi projektionen av plattans vinkelacceleration på axeln OO 1 :
.
Vid tidpunkten t = t 1 = 1 s,
s-2.
Eftersom vinkelaccelerationsvektorn är riktad i motsatt riktning mot den positiva rotationsvinkeln φ, det vill säga från punkt O 1 till punkt O. Vinkelaccelerationsmodul:
ε = 6 s -2.
Vi visar vektorn för plattans vinkelacceleration i figuren.

Överförbar tangentiell acceleration:
en τ-bana = ε |HM| = 6 100 = 600 cm/s 2.
Vektorn är riktad tangentiellt mot cirkeln. Eftersom vinkelaccelerationsvektorn är riktad i motsatt riktning mot den positiva rotationsvinkeln φ, är den riktad i riktningen motsatt den positiva rotationsriktningen φ. Det vill säga, den är riktad mot x-axeln.

Bärbar normal acceleration:
a n per = ω 2 |HM| = 3 2 100 = 900 cm/s 2.
Vektorn är riktad mot mitten av cirkeln. Det vill säga i riktning motsatt y-axeln.

Definition av Coriolisacceleration

Coriolis (roterande) acceleration:
.
Vinkelhastighetsvektorn är riktad längs z-axeln. Den relativa hastighetsvektorn är riktad längs den räta linjen |DB| . Vinkeln mellan dessa vektorer är lika med 150°. Enligt egenskapen hos vektorprodukten,
.
Vektorns riktning bestäms av gimletregeln. Om gimlethandtaget vrids från position till position kommer gimletskruven att röra sig i motsatt riktning mot x-axeln.

Bestämning av absolut acceleration

Absolut acceleration:
.
Låt oss projicera denna vektorekvation på xyz-axeln i koordinatsystemet.

;

;

.
Absolut accelerationsmodul:

.

Absolut hastighet;
absolut acceleration.

Låt oss ta reda på hur hastigheten och accelerationen för en punkt beräknas om rörelsen ges av ekvationerna (3) eller (4). Frågan om bestämning av banan i detta fall har redan behandlats i 37 §.

Formlerna (8) och (10), som bestämmer värdena för v och a, innehåller tidsderivatorna för vektorerna . I likheter som innehåller derivator av vektorer utförs övergången till beroenden mellan projektioner med hjälp av följande teorem: projektionen av derivatan av en vektor på en axel fixerad i ett givet referenssystem är lika med derivatan av projektionen av den differentierbara vektorn på samma axel, dvs.

1. Bestämma hastigheten för en punkt. Hastighetsvektor för en punkt Härifrån, baserat på formler (I), med hänsyn till att vi hittar:

där pricken ovanför bokstaven är en symbol för differentiering med avseende på tid. Således är projektionerna av punktens hastighet på koordinataxlarna lika med de första derivatorna av punktens motsvarande koordinater med avseende på tid.

Genom att känna till projektionerna av hastighet kommer vi att hitta dess storlek och riktning (dvs vinklarna som vektorn v bildar med koordinataxlarna) med hjälp av formlerna

2. Bestämning av en punkts acceleration. Accelerationsvektor för en punkt Härifrån, baserat på formler (11), får vi:

dvs. projektionerna av en punkts acceleration på koordinataxlarna är lika med den första derivatan av hastighetsprojektionerna eller den andra derivatan av motsvarande koordinater för punkten med avseende på tid. Accelerationens storlek och riktning kan hittas från formlerna

var är de vinklar som bildas av accelerationsvektorn med koordinataxlarna.

Så om en punkts rörelse ges i kartesiska rektangulära koordinater av ekvationerna (3) eller (4), så bestäms punktens hastighet av formlerna (12) och (13), och accelerationen av formlerna (14) och (15). Dessutom, om rörelse sker i ett plan, bör projektionen på axeln kasseras i alla formler