En funktion Z= f(x; y) kallas implicit om den ges av ekvationen F(x,y,z)=0 olöst med avseende på Z. Låt oss hitta de partiella derivatorna av funktionen Z givet implicit. För att göra detta, genom att ersätta funktionen f(x;y) i ekvationen istället för Z, får vi identiteten F(x,y, f(x,y))=0. De partiella derivatorna av en funktion som är identiskt lika med noll med avseende på x och y är också lika med noll.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (anses som konstant)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xansedd konstant)

Var
Och

Exempel: Hitta de partiella derivatorna av funktionen Z som ges av ekvationen
.

Här F(x,y,z)=
;
;
;
. Enligt formlerna ovan har vi:

Och

1. Riktningsderivat

Låt en funktion av två variabler Z= f(x; y) ges i ett visst område av punkten M (x,y). Betrakta någon riktning som definieras av enhetsvektorn
, Var
(se bild).

På en rät linje som går i denna riktning genom punkt M, tar vi punkt M 1 (
) så att längden
segmentMM 1 är lika med
. Ökningen av funktionen f(M) bestäms av relationen, där
kopplade av relationer. Förhållandegräns på
kommer att kallas derivatan av funktionen
vid punkten
mot och utses .

=

Om funktionen Z är differentierbar vid punkten
, sedan dess ökning vid denna punkt med hänsyn till relationerna för
kan skrivas i följande form.

dividera båda delarna med

och passerar till gränsen kl
vi får en formel för derivatan av funktionen Z= f(x; y) i riktningen:

1. Lutning

Betrakta en funktion av tre variabler
differentierbar någon gång
.

Gradienten för denna funktion
vid punkt M är en vektor vars koordinater är lika med partiella derivator
vid denna tidpunkt. För att indikera en gradient, använd symbolen
.
=
.

. Gradienten indikerar riktningen för den snabbaste tillväxten av funktionen vid en given punkt.

Eftersom enhetsvektorn har koordinater (
), så skrivs riktningsderivatan för fallet med en funktion av tre variabler i formen, dvs. har formeln för skalärprodukten av vektorer Och
. Låt oss skriva om den sista formeln enligt följande:

, Var - vinkel mellan vektor Och
. Eftersom den
, då följer att derivatan av funktionen i riktning tar maxvärdet vid =0, dvs. när vektorernas riktning Och
passa ihop. Vart i
Det vill säga att en funktions gradient karakteriserar riktningen och storleken på den maximala ökningshastigheten för denna funktion vid en punkt.

1. Extremum av en funktion av två variabler

Begreppen max, min, extremum för en funktion av två variabler liknar motsvarande begrepp för en funktion av en variabel. Låt funktionen Z= f(x; y) definieras i någon domän D, etc. M
tillhör detta område. Punkt M
kallas maxpunkten för funktionen Z= f(x; y) om det finns en sådan δ-grannskap till punkten
, att för varje punkt från detta kvarter ojämlikheten
. Punkten min bestäms på liknande sätt, bara olikhetstecknet kommer att ändras
. Funktionens värde vid punkten max(min) kallas maximum (minimum). Maximum och minimum för en funktion kallas extrema.

1. Nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för ett extremum

Sats:(Nödvändiga förutsättningar för ett extremum). Om vid punkt M
den differentierbara funktionen Z= f(x; y) har ett extremum, då är dess partiella derivator vid denna punkt lika med noll:
,
.

Bevis: Efter att ha fixerat en av variablerna x eller y omvandlar vi Z = f(x; y) till en funktion av en variabel, för vars extremum ovanstående villkor måste uppfyllas. Geometriska likheter
Och
betyda att vid funktionen Z= f(x; y) ytterpunkten är tangentplanet till ytan som representerar funktionen f(x,y)=Z parallell med OXY-planet, eftersom tangentplanets ekvation är Z = Z 0. Den punkt där första ordningens partiella derivator av funktionen Z = f (x; y) är lika med noll, d.v.s.
,
, kallas den stationära punkten för funktionen. En funktion kan ha ett extremum vid punkter där åtminstone en av de partiella derivatorna inte existerar. Till exempel Z=|-
| har max vid punkten O(0,0), men har inga derivator vid denna punkt.

Stationära punkter och punkter där åtminstone en partiell derivata inte finns anropas kritiska punkter. Vid kritiska punkter kan funktionen ha ett extremum eller inte. Likheten mellan partiella derivator till noll är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor för existensen av ett extremum. Till exempel när Z=xy är punkt O(0,0) kritisk. Funktionen Z=xy har dock inget extremum i sig. (Eftersom i kvartal I och III Z>0, och i kvartal II och IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Sats: (Tillräckligt skick för extrema). Låt på en stationär punkt
och i ett visst område har funktionen f(x; y) kontinuerliga partiella derivator upp till 2:a ordningen inklusive. Låt oss beräkna vid punkten
värden
,
Och
. Låt oss beteckna

Om
, extremum vid punkt
det kanske är det eller inte. Mer forskning behövs.

Betrakta funktionen y(x), som skrivs implicit i den allmänna formen $ F(x,y(x)) = 0 $. Derivatan av en implicit funktion finns på två sätt:

1. Genom att skilja båda sidor av ekvationen
2. Genom att använda den färdiga formeln $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

Hur man hittar?

Metod 1

Det finns inget behov av att casta funktionen explicit. Du måste omedelbart börja skilja åt vänster och höger sida av ekvationen med avseende på $ x $. Det är värt att notera att derivatan $ y" $ beräknas enligt differentieringsregeln för en komplex funktion. Till exempel $ (y^2)"_x = 2yy" $. Efter att ha hittat derivatan är det nödvändigt att uttrycka $ y" $ från den resulterande ekvationen och placera $ y" $ på vänster sida.

Metod 2

Du kan använda en formel som använder partiella derivator av den implicita funktionen $ F(x,y(x)) = 0 $ i täljaren och nämnaren. För att hitta täljaren, ta derivatan med avseende på $ x $, och för nämnaren, ta derivatan med avseende på $ y $.

Den andra derivatan av den implicita funktionen kan hittas genom att upprepade gånger differentiera den första derivatan av den implicita funktionen.

Exempel på lösningar

Låt oss titta på praktiska exempel på lösningar för att beräkna derivatan av en implicit specificerad funktion.

Exempel 1

Hitta derivatan av den implicita funktionen $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $

Lösning

Låt oss använda metod nr 1. Vi skiljer nämligen åt vänster och höger sida av ekvationen: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ När du differentierar, glöm inte att använda formeln för derivatan av en produkt av funktioner: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ Om du inte kan lösa ditt problem, skicka det till oss. Vi kommer att tillhandahålla en detaljerad lösning. Du kommer att kunna se framstegen i beräkningen och få information. Detta hjälper dig att få ditt betyg från din lärare i tid!

Svar

$$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$

Exempel 2

Funktionen ges implicit, hitta derivatan $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $

Lösning

Låt oss använda metod nr 2. Hitta partiella derivator av funktionen $ F(x,y) = 0 $ Låt $ y $ vara konstant och differentiera med avseende på $ x $: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ Nu betraktar vi $ x $ som en konstant och differentierar med avseende på $ y $: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3 $$ Nu ersätter vi $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ i formeln och får: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

Svar

$$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

Eller kort och gott - derivatan av en implicit funktion. Vad är en implicit funktion? Eftersom mina lektioner är praktiska försöker jag undvika definitioner och teorem, men det vore lämpligt att göra det här. Vad är en funktion egentligen?

En enkelvariabelfunktion är en regel som säger att det för varje värde på den oberoende variabeln finns ett och bara ett värde på funktionen.

Variabeln kallas oberoende variabel eller argument.
Variabeln kallas beroende variabel eller fungera.

Grovt sett är bokstaven "Y" i detta fall funktionen.

Hittills har vi tittat på funktioner definierade i explicit form. Vad betyder det? Låt oss genomföra en debriefing med hjälp av specifika exempel.

Tänk på funktionen

Vi ser att till vänster har vi ett ensamt "Y" (funktion), och till höger - bara "X". Det vill säga funktionen uttryckligen uttrycks genom den oberoende variabeln.

Låt oss titta på en annan funktion:

Det är här variablerna blandas ihop. Dessutom omöjligt på något sätt uttryck "Y" endast genom "X". Vilka är dessa metoder? Att överföra termer från del till del med byte av tecken, flytta dem utanför parentes, kasta faktorer enligt proportionsregeln, etc. Skriv om likheten och försök uttrycka "y" explicit: . Du kan vrida och vända ekvationen i timmar, men du kommer inte att lyckas.

Låt mig presentera dig: - exempel implicit funktion.

Under loppet av matematisk analys visades det att den implicita funktionen existerar(dock inte alltid), den har en graf (precis som en "normal" funktion). Den implicita funktionen är exakt densamma existerar första derivata, andra derivata osv. Som de säger, alla rättigheter för sexuella minoriteter respekteras.

Och i den här lektionen kommer vi att lära oss hur man hittar derivatan av en funktion specificerad implicit. Det är inte så svårt! Alla differentieringsregler och tabellen över derivator av elementära funktioner förblir i kraft. Skillnaden ligger i ett märkligt ögonblick, som vi kommer att titta på just nu.

Ja, och jag ska berätta de goda nyheterna - uppgifterna som diskuteras nedan utförs enligt en ganska strikt och tydlig algoritm utan en sten framför tre spår.

Exempel 1

1) I det första steget fäster vi slag till båda delarna:

2) Vi använder reglerna för linjäritet för derivatan (de två första reglerna i lektionen Hur hittar man derivatan? Exempel på lösningar):

3) Direkt differentiering.
Hur man särskiljer är helt klart. Vad ska man göra där det finns "spel" under slagen?

Bara till den grad av skam derivatan av en funktion är lika med dess derivata: .

Hur man kan skilja

Här har vi komplex funktion. Varför? Det verkar som om det bara finns en bokstav "Y" under sinus. Men faktum är att det bara finns en bokstav "y" - ÄR SJÄLV EN FUNKTION(se definition i början av lektionen). Således är sinus en extern funktion och är en intern funktion. Vi använder regeln för att differentiera en komplex funktion:

Vi differentierar produkten enligt den vanliga regeln:

Observera att - också är en komplex funktion, alla "spel med klockor och visselpipor" är en komplex funktion:

Själva lösningen borde se ut ungefär så här:

Om det finns parenteser, expandera dem:

4) På vänster sida samlar vi termerna som innehåller ett "Y" med ett primtal. Flytta allt annat till höger sida:

5) På vänster sida tar vi derivatan ur parentes:

6) Och enligt proportionsregeln släpper vi dessa parenteser i nämnaren på höger sida:

Derivatet har hittats. Redo.

Det är intressant att notera att vilken funktion som helst kan skrivas om implicit. Funktionen kan till exempel skrivas om så här: . Och särskilj det med den algoritm som just diskuterades. Faktum är att fraserna "implicit funktion" och "implicit funktion" skiljer sig åt i en semantisk nyans. Frasen "funktion specificerad i implicit form" är mer generell och korrekt - den här funktionen anges i implicit form, men här kan du uttrycka "spelet" och representera funktionen explicit. Frasen "implicit funktion" syftar på den "klassiska" implicita funktionen när "y" inte kan uttryckas.

Andra lösningen

Uppmärksamhet! Du kan bara bekanta dig med den andra metoden om du vet hur man säkert hittar partiella derivator. Nybörjare och nybörjare i att studera matematisk analys, snälla läs inte och hoppa över denna punkt, annars kommer ditt huvud att bli en hel röra.

Låt oss hitta derivatan av den implicita funktionen med den andra metoden.

Vi flyttar alla termer till vänster sida:

Och betrakta en funktion av två variabler:

Då kan vår derivata hittas med hjälp av formeln

Låt oss hitta de partiella derivatorna:

Således:

Den andra lösningen låter dig utföra en kontroll. Men det är inte tillrådligt för dem att skriva ut den slutliga versionen av uppgiften, eftersom partiella derivator bemästras senare, och en student som studerar ämnet "Derivat av en funktion av en variabel" borde ännu inte känna till partiella derivator.

Låt oss titta på några fler exempel.

Exempel 2

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Lägg till streck till båda delarna:

Vi använder linjäritetsregler:

Hitta derivat:

Öppna alla parenteser:

Vi flyttar alla termer med till vänster sida, resten - till höger sida:

På vänster sida sätter vi det utanför parentes:

Slutligt svar:

Exempel 3

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Fullständig lösning och provdesign i slutet av lektionen.

Det är inte ovanligt att fraktioner uppstår efter differentiering. I sådana fall måste du bli av med fraktioner. Låt oss titta på ytterligare två exempel: varje term i varje del

Exempel 5

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Det enda är att innan du blir av med bråket måste du först bli av med den tre våningar höga strukturen av själva bråket. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Derivat av en funktion specificerad implicit.
Derivat av en parametriskt definierad funktion

I den här artikeln ska vi titta på två mer typiska uppgifter som ofta finns i prov i högre matematik. För att framgångsrikt bemästra materialet måste du kunna hitta derivator åtminstone på en mellannivå. Du kan lära dig att hitta derivat praktiskt taget från grunden i två grundläggande lektioner och Derivat av en komplex funktion. Om din differentieringsförmåga är okej, låt oss gå.

Derivat av en funktion specificerad implicit

Eller kort sagt derivatan av en implicit funktion. Vad är en implicit funktion? Låt oss först komma ihåg själva definitionen av en funktion av en variabel:

En variabel funktionär en regel enligt vilken varje värde på den oberoende variabeln motsvarar ett och endast ett värde på funktionen.

Variabeln kallas oberoende variabel eller argument.
Variabeln kallas beroende variabel eller fungera .

Hittills har vi tittat på funktioner definierade i explicit form. Vad betyder det? Låt oss genomföra en debriefing med hjälp av specifika exempel.

Tänk på funktionen

Vi ser att till vänster har vi en ensam "spelare" och till höger - bara "X". Det vill säga funktionen uttryckligen uttrycks genom den oberoende variabeln.

Låt oss titta på en annan funktion:

Det är här variablerna blandas ihop. Dessutom omöjligt på något sätt uttryck "Y" endast genom "X". Vilka är dessa metoder? Att överföra termer från del till del med byte av tecken, flytta dem utanför parentes, kasta faktorer enligt proportionsregeln, etc. Skriv om likheten och försök uttrycka "y" explicit: . Du kan vrida och vända ekvationen i timmar, men du kommer inte att lyckas.

Låt mig presentera dig: – exempel implicit funktion.

Under loppet av matematisk analys visades det att den implicita funktionen existerar(dock inte alltid), den har en graf (precis som en "normal" funktion). Den implicita funktionen är exakt densamma existerar första derivata, andra derivata osv. Som de säger, alla rättigheter för sexuella minoriteter respekteras.

Och i den här lektionen kommer vi att lära oss hur man hittar derivatan av en funktion specificerad implicit. Det är inte så svårt! Alla differentieringsregler och tabellen över derivator av elementära funktioner förblir i kraft. Skillnaden ligger i ett märkligt ögonblick, som vi kommer att titta på just nu.

Ja, och jag ska berätta de goda nyheterna - uppgifterna som diskuteras nedan utförs enligt en ganska strikt och tydlig algoritm utan en sten framför tre spår.

Exempel 1

1) I det första steget fäster vi slag till båda delarna:

2) Vi använder reglerna för linjäritet för derivatan (de två första reglerna i lektionen Hur hittar man derivatan? Exempel på lösningar):

3) Direkt differentiering.
Hur man särskiljer är helt klart. Vad ska man göra där det finns "spel" under slagen?

- bara till den grad av skam, derivatan av en funktion är lika med dess derivata: .

Hur man kan skilja
Här har vi komplex funktion. Varför? Det verkar som om det bara finns en bokstav "Y" under sinus. Men faktum är att det bara finns en bokstav "y" - ÄR SJÄLV EN FUNKTION(se definition i början av lektionen). Således är sinus en extern funktion och är en intern funktion. Vi använder regeln för att differentiera en komplex funktion :

Vi differentierar produkten enligt den vanliga regeln :

Observera att – också är en komplex funktion, alla "spel med klockor och visselpipor" är en komplex funktion:

Själva lösningen borde se ut ungefär så här:


Om det finns parenteser, expandera dem:

4) På vänster sida samlar vi termerna som innehåller ett "Y" med ett primtal. Flytta allt annat till höger sida:

5) På vänster sida tar vi derivatan ur parentes:

6) Och enligt proportionsregeln släpper vi dessa parenteser i nämnaren på höger sida:

Derivatet har hittats. Redo.

Det är intressant att notera att vilken funktion som helst kan skrivas om implicit. Till exempel funktionen kan skrivas om så här: . Och särskilj det med den algoritm som just diskuterades. Faktum är att fraserna "implicit funktion" och "implicit funktion" skiljer sig åt i en semantisk nyans. Frasen "implicit specificerad funktion" är mer generell och korrekt, – denna funktion specificeras implicit, men här kan du uttrycka "spelet" och presentera funktionen explicit. Orden "implicit funktion" betyder oftare "klassisk" implicit funktion, när "spelet" inte kan uttryckas.

Det bör också noteras att en "implicit ekvation" implicit kan specificera två eller till och med flera funktioner samtidigt, till exempel definierar en cirkels ekvation implicit funktionerna , , som definierar halvcirklar. Men inom ramen för denna artikel, vi kommer inte att göra någon speciell skillnad mellan termer och nyanser, det var bara information för allmän utveckling.

Andra lösningen

Uppmärksamhet! Du kan bekanta dig med den andra metoden bara om du vet hur du säkert hittar partiella derivat. Calculus nybörjare och dummies, tack läs inte och hoppa över den här punkten, annars blir ditt huvud en hel röra.

Låt oss hitta derivatan av den implicita funktionen med den andra metoden.

Vi flyttar alla termer till vänster sida:

Och betrakta en funktion av två variabler:

Då kan vår derivata hittas med hjälp av formeln
Låt oss hitta de partiella derivatorna:

Således:

Den andra lösningen låter dig utföra en kontroll. Men det är inte tillrådligt för dem att skriva ut den slutliga versionen av uppgiften, eftersom partiella derivator bemästras senare, och en student som studerar ämnet "Derivat av en funktion av en variabel" borde ännu inte känna till partiella derivator.

Låt oss titta på några fler exempel.

Exempel 2

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Lägg till streck till båda delarna:

Vi använder linjäritetsregler:

Hitta derivat:

Öppna alla parenteser:

Vi flyttar alla termer med till vänster sida, resten till höger sida:

Slutligt svar:

Exempel 3

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Fullständig lösning och provdesign i slutet av lektionen.

Det är inte ovanligt att fraktioner uppstår efter differentiering. I sådana fall måste du bli av med fraktioner. Låt oss titta på ytterligare två exempel.

Exempel 4

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Vi omsluter båda delarna under streck och använder linjäritetsregeln:

Differentiera med hjälp av regeln för att differentiera en komplex funktion och regeln om differentiering av kvoter :

Utöka parenteserna:

Nu måste vi bli av med fraktionen. Detta kan göras senare, men det är mer rationellt att göra det direkt. Bråkens nämnare innehåller . Multiplicera på . I detalj kommer det att se ut så här:

Ibland uppstår efter differentiering 2-3 fraktioner. Om vi ​​hade ett annat bråk, till exempel, skulle operationen behöva upprepas - multiplicera varje termin i varje del på

På vänster sida sätter vi det utanför parentes:

Slutligt svar:

Exempel 5

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Det enda är att innan du blir av med bråket måste du först bli av med den tre våningar höga strukturen av själva bråket. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Derivat av en parametriskt definierad funktion

Låt oss inte stressa, allt i det här stycket är också ganska enkelt. Du kan skriva ner den allmänna formeln för en parametriskt definierad funktion, men för att göra det tydligt kommer jag omedelbart att skriva ner ett specifikt exempel. I parametrisk form ges funktionen av två ekvationer: . Ofta skrivs ekvationer inte under parenteser, utan sekventiellt: , .

Variabeln kallas en parameter och kan ta värden från "minus oändlighet" till "plus oändlighet". Betrakta till exempel värdet och ersätt det i båda ekvationerna: . Eller i mänskliga termer: "om x är lika med fyra, då är y lika med ett." Du kan markera en punkt på koordinatplanet, och denna punkt kommer att motsvara parameterns värde. På samma sätt kan du hitta en punkt för valfritt värde på parametern "te". När det gäller en "vanlig" funktion, för indianerna av en parametriskt definierad funktion, respekteras också alla rättigheter: du kan bygga en graf, hitta derivator, etc. Förresten, om du behöver rita en graf över en parametriskt definierad funktion kan du använda mitt program.

I de enklaste fallen är det möjligt att representera funktionen explicit. Låt oss uttrycka parametern: – från den första ekvationen och ersätta den med den andra ekvationen: . Resultatet är en vanlig kubisk funktion.

I mer "allvarliga" fall fungerar inte detta trick. Men det spelar ingen roll, eftersom det finns en formel för att hitta derivatan av en parametrisk funktion:

Vi hittar derivatan av "spelet med avseende på variabeln te":

Alla differentieringsregler och tabellen över derivat är naturligtvis giltiga för bokstaven, alltså, det finns ingen nyhet i processen att hitta derivat. Byt bara mentalt ut alla "X" i tabellen med bokstaven "Te".

Vi hittar derivatan av "x med avseende på variabeln te":

Nu återstår bara att ersätta de hittade derivaten i vår formel:

Redo. Derivatan, liksom själva funktionen, beror också på parametern.

När det gäller notationen, istället för att skriva den i formeln, skulle man helt enkelt kunna skriva den utan ett abonnemang, eftersom detta är en "vanlig" derivata "med avseende på X". Men i litteraturen finns det alltid ett alternativ, så jag kommer inte att avvika från standarden.

Exempel 6

Vi använder formeln

I detta fall:

Således:

En speciell egenskap för att hitta derivatan av en parametrisk funktion är det faktum att vid varje steg är det fördelaktigt att förenkla resultatet så mycket som möjligt. Så när jag hittade det i exemplet öppnade jag parentesen under roten (även om jag kanske inte gjorde det). Det finns en god chans att när du byter in i formeln kommer många saker att reduceras bra. Även om det förstås finns exempel med klumpiga svar.

Exempel 7

Hitta derivatan av en funktion specificerad parametriskt

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand.

I artikeln De enklaste typiska problemen med derivat vi tittade på exempel där vi behövde hitta andraderivatan av en funktion. För en parametriskt definierad funktion kan du också hitta den andra derivatan, och den hittas med följande formel: . Det är ganska uppenbart att för att hitta den andra derivatan måste du först hitta den första derivatan.

Exempel 8

Hitta första och andra derivatan av en funktion given parametriskt

Låt oss först hitta den första derivatan.
Vi använder formeln

I detta fall:

Vi kommer att lära oss att hitta derivator av funktioner som specificeras implicit, det vill säga specificerade av vissa ekvationer som kopplar ihop variabler x Och y. Exempel på funktioner som anges implicit:

,

Derivater av funktioner specificerade implicit, eller derivator av implicita funktioner, hittas helt enkelt. Låt oss nu titta på motsvarande regel och exempel och ta reda på varför detta behövs i allmänhet.

För att hitta derivatan av en funktion specificerad implicit måste du differentiera båda sidor av ekvationen med avseende på x. De termer där endast X är närvarande kommer att förvandlas till den vanliga derivatan av funktionen från X. Och termerna med spelet måste differentieras med hjälp av regeln för att differentiera en komplex funktion, eftersom spelet är en funktion av X. För att uttrycka det helt enkelt bör den resulterande derivatan av termen med x resultera i: derivatan av funktionen från y multiplicerat med derivatan från y. Till exempel kommer derivatan av en term att skrivas som , derivatan av en term kommer att skrivas som . Därefter, från allt detta måste du uttrycka detta "spelslag" och den önskade derivatan av funktionen som anges implicit kommer att erhållas. Låt oss titta på detta med ett exempel.

Exempel 1.

Lösning. Vi differentierar båda sidor av ekvationen med avseende på x, förutsatt att i är en funktion av x:

Härifrån får vi den derivata som krävs i uppgiften:

Nu något om den tvetydiga egenskapen hos funktioner som anges implicit, och varför särskilda regler för deras differentiering behövs. I vissa fall kan du se till att ersätta uttrycket i termer av x i en given ekvation (se exempel ovan) istället för spelet, leder till att denna ekvation förvandlas till en identitet. Så. Ovanstående ekvation definierar implicit följande funktioner:

Efter att ha ersatt uttrycket för det kvadratiska spelet genom x i den ursprungliga ekvationen, får vi identiteten:

.

Uttrycken som vi bytte ut erhölls genom att lösa ekvationen för spelet.

Om vi ​​skulle särskilja motsvarande explicita funktion

då skulle vi få svaret som i exempel 1 - från en funktion specificerad implicit:

Men inte alla funktioner som anges implicit kan representeras i formuläret y = f(x) . Så till exempel de implicit specificerade funktionerna

uttrycks inte genom elementära funktioner, det vill säga dessa ekvationer kan inte lösas med avseende på spelet. Därför finns det en regel för att differentiera en funktion specificerad implicit, som vi redan har studerat och kommer att tillämpa vidare konsekvent i andra exempel.

Exempel 2. Hitta derivatan av en funktion given implicit:

.

Vi uttrycker primtal och - vid utgången - derivatan av den angivna funktionen implicit:

Exempel 3. Hitta derivatan av en funktion given implicit:

.

Lösning. Vi differentierar båda sidor av ekvationen med avseende på x:

.

Exempel 4. Hitta derivatan av en funktion given implicit:

.

Lösning. Vi differentierar båda sidor av ekvationen med avseende på x:

.

Vi uttrycker och erhåller derivatan:

.

Exempel 5. Hitta derivatan av en funktion given implicit:

Lösning. Vi flyttar termerna på höger sida av ekvationen till vänster sida och lämnar noll till höger. Vi differentierar båda sidor av ekvationen med avseende på x.