Trajektória pohybu hmotného bodu cez vektor polomeru

Keď som trochu zabudol na túto časť matematiky, v mojej pamäti boli pohybové rovnice hmotného bodu vždy reprezentované pomocou závislosti, ktorú poznáme všetci. y(x), a pri pohľade na text úlohy ma trochu zarazilo, keď som videl tie vektory. Ukázalo sa, že existuje znázornenie trajektórie hmotného bodu pomocou vektor polomeru— vektor, ktorý udáva polohu bodu v priestore vzhľadom k nejakému vopred stanovenému bodu, nazývanému počiatok.

Rovnakým spôsobom je opísaný aj vzorec pre trajektóriu hmotného bodu okrem vektora polomeru orts— jednotkové vektory i, j, k v našom prípade sa zhoduje s osami súradnicového systému. A nakoniec, zvážte príklad rovnice pre trajektóriu hmotného bodu (v dvojrozmernom priestore):

Čo je na tomto príklade zaujímavé? Trajektória bodu je daná sínusmi a kosínusmi Ako bude podľa vás vyzerať graf v známom zobrazení y(x)? "Pravdepodobne niečo strašidelné," pomyslel si, ale všetko nie je také zložité, ako sa zdá! Skúsme zostrojiť trajektóriu hmotného bodu y(x), ak sa pohybuje podľa vyššie uvedeného zákona:

Tu som si všimol druhú mocninu kosínusu, ak v akomkoľvek príklade vidíte druhú mocninu sínusu alebo kosínusu, znamená to, že musíte použiť základnú trigonometrickú identitu, čo som urobil (druhý vzorec) a transformoval súradnicový vzorec r, tak, že namiesto sínusu do neho dosadíte vzorec zmeny X:

V dôsledku toho sa hrozný zákon pohybu bodu ukázal ako obyčajný parabola, ktorého vetvy smerujú nadol. Dúfam, že rozumiete približnému algoritmu na zostavenie závislosti y(x) zo znázornenia pohybu cez vektor polomeru. Teraz prejdime k našej hlavnej otázke: ako nájsť vektor rýchlosti a zrýchlenia hmotného bodu, ako aj ich moduly.

Vektor rýchlosti hmotného bodu

Každý vie, že rýchlosť hmotného bodu je vzdialenosť, ktorú bod prejde za jednotku času, to znamená derivácia vzorca pre pohybový zákon. Ak chcete nájsť vektor rýchlosti, musíte vziať deriváciu vzhľadom na čas. Pozrime sa na konkrétny príklad nájdenia vektora rýchlosti.

Príklad nájdenia vektora rýchlosti

Máme zákon pohybu hmotného bodu:

Teraz musíte vziať deriváciu tohto polynómu, ak ste zabudli, ako to urobiť, tu je. V dôsledku toho bude mať vektor rýchlosti nasledujúci tvar:

Všetko sa ukázalo byť jednoduchšie, ako ste si mysleli, teraz poďme nájsť vektor zrýchlenia hmotného bodu pomocou rovnakého zákona, ktorý je uvedený vyššie.

Ako nájsť vektor zrýchlenia hmotného bodu

Vektor bodového zrýchlenia ide o vektorovú veličinu, ktorá charakterizuje zmenu veľkosti a smeru rýchlosti bodu v čase. Ak chcete nájsť vektor zrýchlenia hmotného bodu v našom príklade, musíte vziať deriváciu, ale zo vzorca vektora rýchlosti uvedeného vyššie:

Modul vektora rýchlosti bodu

Teraz nájdime veľkosť vektora rýchlosti hmotného bodu. Ako viete z 9. ročníka, modul vektora je jeho dĺžka, v pravouhlých karteziánskych súradniciach rovnajúca sa druhej odmocnine súčtu druhých mocnín jeho súradníc. A pýtate sa, kde môžeme získať jeho súradnice z vektora rýchlosti, ktorý sme získali vyššie? Všetko je veľmi jednoduché:

Teraz stačí nahradiť čas špecifikovaný v probléme a získať konkrétnu číselnú hodnotu.

Vektorový modul zrýchlenia

Ako ste pochopili z toho, čo bolo napísané vyššie (a z 9. ročníka), nájdenie modulu vektora zrýchlenia prebieha rovnakým spôsobom ako modul vektora rýchlosti: vezmeme druhú odmocninu súčtu druhých mocnín vektorových súradníc , je to jednoduché! No, tu je príklad pre vás, samozrejme:

Ako vidíte, zrýchlenie hmotného bodu podľa vyššie uvedeného zákona nezávisí od času a má konštantnú veľkosť a smer.

Viac príkladov riešení problému hľadania vektora rýchlosti a zrýchlenia

A tu nájdete príklady riešení iných fyzikálnych problémov. A pre tých, ktorí celkom nerozumejú tomu, ako nájsť vektor rýchlosti a zrýchlenia, tu je pár ďalších príkladov zo siete bez zbytočných vysvetlení, dúfam, že vám pomôžu.

Ak máte nejaké otázky, môžete sa ich opýtať v komentároch.

Teraz nech je funkcia známa. Na obr. 5.10
A
 vektory rýchlosti pohybujúceho sa bodu v momentoch t a  t. Získanie prírastku vektora rýchlosti
posunúť vektor rovnobežne
presne tak M:

Priemerné zrýchlenie bodu za určité časové obdobie  t sa nazýva pomer prírastku vektora rýchlosti
do určitého časového obdobia t:

teda zrýchlenie bodu v danom čase sa rovná prvej derivácii vektora rýchlosti bodu vzhľadom na čas alebo druhej derivácii vektora polomeru vzhľadom k času

. (5.11)

Bodové zrýchlenie ide o vektorovú veličinu, ktorá charakterizuje rýchlosť zmeny vektora rýchlosti v čase.

Zostrojme rýchlostný hodograf (obr. 5.11). Podľa definície je hodograf rýchlosti krivka, ktorá je nakreslená koncom vektora rýchlosti, keď sa bod pohybuje, ak je vektor rýchlosti vykreslený z rovnakého bodu.

Určenie rýchlosti bodu pomocou súradnicovej metódy určenia jeho pohybu

Nech je pohyb bodu určený súradnicovou metódou v karteziánskom súradnicovom systéme

X = X(t), r = r(t), z = z(t)

Vektor polomeru bodu sa rovná

.

Keďže jednotkové vektory
sú konštantné, teda podľa definície

. (5.12)

Označme priemet vektora rýchlosti na os Oh, OU A Oz cez V X , V r , V z

(5.13)

Porovnaním rovnosti (5.12) a (5.13) dostaneme

(5.14)

V nasledujúcom bude derivácia vzhľadom na čas označená bodkou vyššie, t.j.

.

Modul rýchlosti bodu je určený vzorcom

. (5.15)

Smer vektora rýchlosti je určený smerovými kosínusmi:

Určenie zrýchlenia bodu pomocou súradnicovej metódy určenia jeho pohybu

Vektor rýchlosti v karteziánskom súradnicovom systéme je rovný

.

A-priorstvo

Označme priemety vektora zrýchlenia na osi Oh, OU A Oz cez A X , A r , A z V súlade s tým rozširujeme vektor rýchlosti pozdĺž osí:

. (5.17)

Porovnaním rovnosti (5.16) a (5.17) dostaneme

Modul bodového vektora zrýchlenia sa vypočíta podobne ako modul bodového vektora rýchlosti:

, (5.19)

a smer vektora zrýchlenia je smerový kosínus:

Určenie rýchlosti a zrýchlenia bodu pomocou prirodzenej metódy určenia jeho pohybu

Táto metóda používa prirodzené osi začínajúce v aktuálnej polohe bodu M na trajektóriu (obr. 5.12) a jednotkových vektoroch Jednotkový vektor smerované tangenciálne k trajektórii smerom ku kladnej referencii oblúka, jednotkový vektor nasmerovaný pozdĺž hlavnej normály trajektórie smerom k jej konkávnosti, jednotkovému vektoru nasmerovaný pozdĺž binormály k trajektórii v bode M.

Orty A ľahnúť si oskulačná rovina, jednotkové vektory A V normálna rovina, jednotkové vektory A - v vyrovnávacia rovina.

Výsledný trojsten sa nazýva prírodný.

Nech je daný zákon pohybu bodu s = s(t).

Vektor polomeru bodov M vzhľadom na akýkoľvek pevný bod bude komplexnou funkciou času
.

Z diferenciálnej geometrie sú známe Serre-Frenetove vzorce, ktoré vytvárajú spojenia medzi jednotkovými vektormi prirodzených osí a vektorovou funkciou krivky.

kde  je polomer zakrivenia trajektórie.

Použitím definície rýchlosti a Serre-Frenetovho vzorca získame:

. (5.20)

Označuje priemet rýchlosti na dotyčnicu a ak vezmeme do úvahy, že vektor rýchlosti smeruje tangenciálne, máme

. (5.21)

Porovnaním rovníc (5.20) a (5.21) získame vzorce na určenie vektora rýchlosti vo veľkosti a smere

Rozsah kladné ako bod M sa pohybuje v kladnom smere referenčného oblúka s a negatívny v opačnom prípade.

Použitím definície zrýchlenia a Serre-Frenetovho vzorca získame:

Označme priemet zrýchlenia bodu na dotyčnici , hlavná normálna a binormálna
resp.

Potom je zrýchlenie

Zo vzorcov (5.23) a (5.24) vyplýva, že vektor zrýchlenia leží vždy v kontaktnej rovine a je rozšírený v smeroch A :

(5.25)

Projekcia zrýchlenia na dotyčnicu
volal dotyčnica alebo tangenciálne zrýchlenie. Charakterizuje zmenu rýchlosti.

Projekcia zrýchlenia na hlavnú normálu
volal normálne zrýchlenie. Charakterizuje zmenu vektora rýchlosti v smere.

Veľkosť vektora zrýchlenia sa rovná
.

Ak A rovnakého znamienka, potom sa pohyb bodu zrýchli.

Ak A rôzne znaky, potom bude pohyb bodu pomalý.

Zaveďme jednotkový vektor τ spojený s pohybujúcim sa bodom A a smerujúci tangenciálne k trajektórii v smere rastúcej oblúkovej súradnice (obr. 1.6). Je zrejmé, že τ je premenný vektor: závisí od l. Vektor rýchlosti v bodu A smeruje tangenciálne k trajektórii, takže ho možno znázorniť takto

kde v τ =dl/dt je priemet vektora v do smeru vektora τ a v τ je algebraická veličina. Okrem toho |v τ |=|v|=v.

Bodové zrýchlenie

Rozlišujme (1.22) vzhľadom na čas

(1.23)

Transformujme posledný výraz tohto výrazu

(1.24)

Určme prírastok vektora τ o dl (obr. 1.7).

Ako je možné vidieť z obr. 1,7, uhol , odkiaľ a o .

Zavedením jednotkového vektora n normály do trajektórie v bode 1, smerujúceho k stredu zakrivenia, zapíšeme poslednú rovnosť vo vektorovom tvare

Dosadíme (1.23) do (1.24) a výsledný výraz do (1.22). V dôsledku toho nájdeme

(1.26)

Tu je prvý termín tzv tangenciálny a τ , druhá - normálne a n.

Celkové zrýchlenie a bodu teda možno znázorniť ako geometrický súčet tangenciálneho a normálového zrýchlenia.

Modul plného bodového zrýchlenia

(1.27)

Smeruje ku konkávnosti trajektórie pod uhlom α k vektoru rýchlosti a .

Ak je uhol α ostrý, potom tanα>0, teda dv/dt>0, pretože v 2 /R>0 je vždy.

V tomto prípade sa veľkosť rýchlosti časom zvyšuje - pohyb sa nazýva zrýchlené(obr. 1.8).

V prípade, že rýchlosť v priebehu času klesá, nazýva sa pohyb pomaly(obr. 1.9).

Ak je uhol α=90°, tanα=∞, teda dv/dt=0. V tomto prípade sa rýchlosť nemení v priebehu času a celkové zrýchlenie sa bude rovnať dostredivému

(1.28)

Konkrétne, celkové zrýchlenie rovnomerného rotačného pohybu (R=konšt., v=konšt.) je dostredivé zrýchlenie, ktorého hodnota sa rovná a n=v2/R a smeruje celý čas k stredu.

Naopak, pri lineárnom pohybe sa celkové zrýchlenie telesa rovná tangenciálnemu. V tomto prípade a n = 0, keďže priamu trajektóriu možno považovať za kružnicu s nekonečne veľkým polomerom as R→∞; v2/R=0; a n = 0; a=a τ .

Uvažuje sa o príklade riešenia úlohy s komplexným pohybom bodu. Bod sa pohybuje v priamke pozdĺž dosky. Doska sa otáča okolo pevnej osi. Určuje sa absolútna rýchlosť a absolútne zrýchlenie bodu.

Obsah

Úloha

Obdĺžniková doska sa otáča okolo pevnej osi podľa zákona φ = 6 t 2 - 3 t 3. Kladný smer uhla φ je na obrázkoch znázornený oblúkovou šípkou. Os otáčania OO 1 leží v rovine platne (doska sa otáča v priestore).

Bod M sa pohybuje pozdĺž dosky pozdĺž priamky BD. Je daný zákon jeho relatívneho pohybu, teda závislosť s = AM = 40 (t - 2 t 3) - 40(s - v centimetroch, t - v sekundách). Vzdialenosť b = 20 cm. Na obrázku je bod M zobrazený v polohe, kde s = AM > 0 (na s< 0 bod M je na druhej strane bodu A).

Nájdite absolútnu rýchlosť a absolútne zrýchlenie bodu M v čase t 1 = 1 s.

Inštrukcie. Táto úloha zahŕňa zložitý pohyb bodu. Na jeho vyriešenie je potrebné použiť vety o sčítaní rýchlostí a sčítaní zrýchlení (Coriolisova veta). Pred vykonaním všetkých výpočtov je potrebné podľa podmienok úlohy určiť, kde sa bod M nachádza na doske v čase t 1 = 1 s a nakreslite bod presne v tejto polohe (a nie v ľubovoľnej polohe znázornenej na obrázku pre úlohu).

Riešenie problému

Vzhľadom na to: b = 20 cm, φ = 6 t 2 - 3 t 3, s = |AM| = 40 (t - 2 t 3) - 40,t 1 = 1 s.

Nájsť: v abs, abs

Určenie polohy bodu

Určte polohu bodu v čase t = t 1 = 1 s.
s = 40 (ti - 2 t 1 3) - 40 = 40 (1 - 2 1 3) - 40 = -80 cm.
Keďže s< 0 potom bod M je bližšie k bodu B ako k D.
|AM| = |-80| = 80 cm.
Urobme si kresbu.

Podľa vety o sčítaní rýchlostí sa absolútna rýchlosť bodu rovná vektorovému súčtu relatívnych a prenosných rýchlostí:
.

Určenie relatívnej rýchlosti bodu

Určenie relatívnej rýchlosti. Aby sme to dosiahli, predpokladáme, že platňa je nehybná a bod M vykonáva daný pohyb. To znamená, že bod M sa pohybuje pozdĺž priamky BD. Diferencovaním s časom t nájdeme priemet rýchlosti do smeru BD:
.
V čase t = t 1 = 1 s,
cm/s.
Od , potom je vektor nasmerovaný v smere opačnom k ​​BD. Teda z bodu M do bodu B. Modul relatívnej rýchlosti
v od = 200 cm/s.

Určenie prenosovej rýchlosti bodu

Určenie prenosovej rýchlosti. Aby sme to dosiahli, predpokladáme, že bod M je pevne spojený s doskou a doska vykonáva daný pohyb. To znamená, že doska sa otáča okolo osi OO1. Diferenciáciou φ časom t zistíme uhlovú rýchlosť otáčania dosky:
.
V čase t = t 1 = 1 s,
.
Pretože vektor uhlovej rýchlosti smeruje k kladnému uhlu rotácie φ, to znamená z bodu O do bodu O1. Modul uhlovej rýchlosti:
ω = 3 s -1.
Na obrázku znázorňujeme vektor uhlovej rýchlosti dosky.

Z bodu M spustíme kolmicu HM na os OO 1.
Počas translačného pohybu sa bod M pohybuje po kružnici s polomerom |HM| so stredom v bode H.
|HM| = |HK| + |KM| = 3 b + |AM| hriech 30° = 60 + 80 0,5 = 100 cm;
Rýchlosť prenosu:
v pruh = ω|HM| = 3,100 = 300 cm/s.

Vektor smeruje tangenciálne ku kružnici v smere otáčania.

Určenie absolútnej rýchlosti bodu

Určenie absolútnej rýchlosti. Absolútna rýchlosť bodu sa rovná vektorovému súčtu relatívnych a prenosných rýchlostí:
.
Nakreslíme osi pevného súradnicového systému Oxyz. Nasmerujme os z pozdĺž osi rotácie dosky. Nech je v uvažovanom čase os x kolmá na dosku a os y leží v rovine dosky. Potom vektor relatívnej rýchlosti leží v rovine yz. Vektor prenosovej rýchlosti smeruje opačne k osi x. Pretože vektor je kolmý na vektor, potom podľa Pytagorovej vety modul absolútnej rýchlosti je:
.

Určenie absolútneho zrýchlenia bodu

Podľa vety o sčítaní zrýchlení (Coriolisova veta) sa absolútne zrýchlenie bodu rovná vektorovému súčtu relatívnych, transportných a Coriolisových zrýchlení:
,
Kde
- Coriolisovo zrýchlenie.

Stanovenie relatívneho zrýchlenia

Určenie relatívneho zrýchlenia. Aby sme to dosiahli, predpokladáme, že platňa je nehybná a bod M vykonáva daný pohyb. To znamená, že bod M sa pohybuje pozdĺž priamky BD. Dvojnásobnou diferenciáciou s vzhľadom na čas t nájdeme priemet zrýchlenia do smeru BD:
.
V čase t = t 1 = 1 s,
cm/s2.
Od , potom je vektor nasmerovaný v smere opačnom k ​​BD. Teda z bodu M do bodu B. Modul relatívneho zrýchlenia
a od = 480 cm/s 2.
Vektor zobrazujeme na obrázku.

Definícia prenosného zrýchlenia

Určenie prenosného zrýchlenia. Počas translačného pohybu je bod M pevne spojený s doskou, to znamená, že sa pohybuje po kružnici s polomerom |HM| so stredom v bode H. Rozložme prenosné zrýchlenie na dotyčnicu ku kružnici a normálne zrýchlenie:
.
Dvojnásobnou diferenciáciou φ vzhľadom na čas t nájdeme priemet uhlového zrýchlenia dosky na os OO. 1 :
.
V čase t = t 1 = 1 s,
s-2.
Pretože vektor uhlového zrýchlenia smeruje v smere opačnom k ​​kladnému uhlu natočenia φ, teda z bodu O 1 do bodu O. Modul uhlového zrýchlenia:
ε = 6 s -2.
Na obrázku znázorňujeme vektor uhlového zrýchlenia dosky.

Prenosné tangenciálne zrýchlenie:
a τ pruh = ε |HM| = 6 100 = 600 cm/s 2.
Vektor smeruje tangenciálne ku kružnici. Pretože vektor uhlového zrýchlenia smeruje v smere opačnom k ​​kladnému uhlu rotácie φ, smeruje v smere opačnom k ​​kladnému smeru rotácie φ. To znamená, že smeruje k osi x.

Prenosné normálne zrýchlenie:
a n per = ω 2 |HM| = 3 2 100 = 900 cm/s 2.
Vektor smeruje do stredu kruhu. Teda v smere opačnom k ​​osi y.

Definícia Coriolisovho zrýchlenia

Coriolisovo (rotačné) zrýchlenie:
.
Vektor uhlovej rýchlosti smeruje pozdĺž osi z. Vektor relatívnej rýchlosti smeruje pozdĺž priamky |DB| . Uhol medzi týmito vektormi je rovný 150°. Podľa vlastnosti vektorového produktu,
.
Smer vektora je určený gimletovým pravidlom. Ak sa rukoväť príchytky otáča z polohy do polohy , skrutka príchytky sa bude pohybovať v smere opačnom k ​​osi x.

Stanovenie absolútneho zrýchlenia

Absolútne zrýchlenie:
.
Premietnime túto vektorovú rovnicu na os xyz súradnicového systému.

;

;

.
Modul absolútneho zrýchlenia:

.

Absolútna rýchlosť;
absolútne zrýchlenie.

Poďme zistiť, ako sa vypočíta rýchlosť a zrýchlenie bodu, ak je pohyb daný rovnicami (3) alebo (4). Otázkou určenia dráhy v tomto prípade sa zaoberal už § 37.

Vzorce (8) a (10), ktoré určujú hodnoty v a a, obsahujú časové derivácie vektorov. V rovnostiach obsahujúcich derivácie vektorov sa prechod na závislosti medzi projekciami uskutočňuje pomocou nasledujúcej vety: projekcia derivácie vektora na os pevnú v danom referenčnom systéme sa rovná derivácii projekcie diferencovateľného vektora. na rovnakú os, t.j.

1. Určenie rýchlosti bodu. Vektor rýchlosti bodu Odtiaľ, na základe vzorcov (I), berúc do úvahy, že zistíme:

kde bodka nad písmenom je symbol pre diferenciáciu vzhľadom na čas. Projekcie rýchlosti bodu na súradnicové osi sa teda rovnajú prvým deriváciám zodpovedajúcich súradníc bodu vzhľadom na čas.

Keď poznáme projekcie rýchlosti, zistíme jej veľkosť a smer (t. j. uhly, ktoré zviera vektor v so súradnicovými osami) pomocou vzorcov

2. Určenie zrýchlenia bodu. Vektor zrýchlenia bodu Odtiaľ na základe vzorcov (11) získame:

t.j. priemety zrýchlenia bodu na súradnicové osi sa rovnajú prvým deriváciám priemetov rýchlosti alebo druhým deriváciám zodpovedajúcich súradníc bodu vzhľadom na čas. Veľkosť a smer zrýchlenia možno zistiť zo vzorcov

kde sú uhly, ktoré zviera vektor zrýchlenia so súradnicovými osami.

Ak je teda pohyb bodu daný v kartézskych pravouhlých súradniciach rovnicami (3) alebo (4), rýchlosť bodu je určená vzorcami (12) a (13) a zrýchlenie vzorcami (14) a (15). Okrem toho v prípade pohybu v jednej rovine by sa mala projekcia na os zahodiť vo všetkých vzorcoch