I. სკალარული ნამრავლი ქრება, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ვექტორებიდან ერთი მაინც არის ნული ან თუ ვექტორები პერპენდიკულარულია. მართლაც, თუ ან, ან მაშინ.

პირიქით, თუ გამრავლებული ვექტორები არ არის ნული, მაშინ იმიტომ, რომ მდგომარეობიდან

როდესაც შემდეგია:

ვინაიდან ნულოვანი ვექტორის მიმართულება განუსაზღვრელია, ნულოვანი ვექტორი შეიძლება ჩაითვალოს ნებისმიერი ვექტორის პერპენდიკულურად. ამრიგად, სკალარული პროდუქტის მითითებული თვისება შეიძლება ჩამოყალიბდეს უფრო მოკლე გზით: სკალარული პროდუქტი ქრება, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები პერპენდიკულურია.

II. სკალარულ პროდუქტს აქვს გადაადგილების თვისება:

ეს თვისება პირდაპირ გამომდინარეობს განმარტებიდან:

რადგან ერთი და იგივე კუთხის სხვადასხვა აღნიშვნა.

III. სადისტრიბუციო კანონს განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს. მისი გამოყენება ისეთივე დიდია, როგორც ჩვეულებრივ არითმეტიკაში ან ალგებრაში, სადაც ის შემდეგნაირად არის ფორმულირებული: ჯამის გასამრავლებლად საჭიროა თითოეული წევრის გამრავლება და მიღებული პროდუქციის დამატება, ე.ი.

ცხადია, არითმეტიკაში მრავალმნიშვნელოვანი რიცხვების ან ალგებრაში მრავალწევრების გამრავლება გამრავლების ამ თვისებას ეფუძნება.

ამ კანონს იგივე ფუნდამენტური მნიშვნელობა აქვს ვექტორულ ალგებრაში, ვინაიდან მის საფუძველზე შეგვიძლია გამოვიყენოთ ვექტორებზე მრავალწევრების გამრავლების ჩვეულებრივი წესი.

დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი სამი ვექტორისთვის A, B, C, ტოლობა

სკალარული პროდუქტის მეორე განმარტების მიხედვით, რომელიც გამოხატულია ფორმულით, ვიღებთ:

ახლავე გამოვიყენოთ § 5 პროგნოზების თვისება 2, ვპოულობთ:

ქ.ე.დ.

IV. სკალარული პროდუქტი აქვს კომბინაციის თვისებას რიცხვითი ფაქტორის მიმართ; ეს თვისება გამოიხატება შემდეგი ფორმულით:

ანუ ვექტორების სკალარული ნამრავლის რიცხვზე გასამრავლებლად საკმარისია ერთ-ერთი ფაქტორი ამ რიცხვზე გავამრავლოთ.

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი

ჩვენ ვაგრძელებთ ვექტორებთან ურთიერთობას. პირველ გაკვეთილზე ვექტორები დუმებისთვისჩვენ განვიხილეთ ვექტორის კონცეფცია, მოქმედებები ვექტორებთან, ვექტორული კოორდინატები და ვექტორებთან უმარტივესი ამოცანები. თუ ამ გვერდზე პირველად მოხვედით საძიებო სისტემიდან, გირჩევთ წაიკითხოთ ზემოაღნიშნული შესავალი სტატია, რადგან მასალის ასიმილაციისთვის საჭიროა იხელმძღვანელოთ ჩემს მიერ გამოყენებული ტერმინებითა და აღნიშვნებით, გქონდეთ ვექტორების საბაზისო ცოდნა. და შეძლოს ელემენტარული პრობლემების გადაჭრა. ეს გაკვეთილი არის თემის ლოგიკური გაგრძელება და მასში დეტალურად გავაანალიზებ ტიპურ ამოცანებს, რომლებიც იყენებენ ვექტორების სკალარული ნამრავლს. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი სამუშაო.. ეცადეთ არ გამოტოვოთ მაგალითები, მათ ახლავს სასარგებლო ბონუსი - პრაქტიკა დაგეხმარებათ გააერთიანოთ დაფარული მასალა და „ხელი ჩაგდოთ“ საერთო პრობლემების გადაჭრაზე. ანალიტიკური გეომეტრია.

ვექტორების დამატება, ვექტორის რიცხვზე გამრავლება... გულუბრყვილო იქნება ვიფიქროთ, რომ მათემატიკოსებს სხვა რამე არ მოუგონიათ. გარდა უკვე განხილული მოქმედებებისა, არსებობს მრავალი სხვა ოპერაციები ვექტორებით, კერძოდ: ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი, ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი. ვექტორების სკალარული ნამრავლი ჩვენთვის სკოლიდან ნაცნობია, დანარჩენი ორი პროდუქტი ტრადიციულად უმაღლესი მათემატიკის კურსს უკავშირდება. თემები მარტივია, ბევრი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი სტერეოტიპული და გასაგები. ერთადერთი რამ. არსებობს ინფორმაციის სოლიდური რაოდენობა, ამიტომ არასასურველია ყველაფრის და ერთდროულად დაუფლების და გადაჭრის მცდელობა. ეს განსაკუთრებით ეხება დუმს, მერწმუნეთ, ავტორს აბსოლუტურად არ სურს თავი იგრძნოს მათემატიკიდან ჩიკატილოზე. რა თქმა უნდა, არც მათემატიკიდან =) უფრო მომზადებულ სტუდენტებს შეუძლიათ გამოიყენონ მასალები შერჩევით, გარკვეული გაგებით, დაკარგული ცოდნის "შეძენისთვის", შენთვის მე ვიქნები უვნებელი გრაფი დრაკულა =)

ბოლოს ცოტა გავაღოთ კარი და შევხედოთ რა ხდება, როცა ორი ვექტორი ერთმანეთს ხვდება...

ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტება.
სკალარული პროდუქტის თვისებები. ტიპიური ამოცანები

წერტილი პროდუქტის კონცეფცია

ჯერ შესახებ კუთხე ვექტორებს შორის. ვფიქრობ, ყველას ინტუიციურად ესმის, რა არის კუთხე ვექტორებს შორის, მაგრამ ყოველი შემთხვევისთვის, ცოტა მეტი. განვიხილოთ თავისუფალი არანულოვანი ვექტორები და . თუ ჩვენ გადავდებთ ამ ვექტორებს თვითნებური წერტილიდან, მაშინ მივიღებთ სურათს, რომელიც ბევრმა უკვე წარმოადგინა გონებრივად:

ვაღიარებ, აქ მე აღვწერე სიტუაცია მხოლოდ გაგების დონეზე. თუ თქვენ გჭირდებათ ვექტორებს შორის კუთხის მკაცრი განსაზღვრა, გთხოვთ, მიმართოთ სახელმძღვანელოს, მაგრამ პრაქტიკული დავალებისთვის, ჩვენ, პრინციპში, ეს არ გვჭირდება. ასევე აქ და შემდგომ, მე ხანდახან უგულებელყოფ ნულოვან ვექტორებს მათი დაბალი პრაქტიკული მნიშვნელობის გამო. მე გავაკეთე დაჯავშნა სპეციალურად საიტის მოწინავე ვიზიტორებისთვის, რომლებსაც შეუძლიათ საყვედური მომცენ ზოგიერთი შემდეგი განცხადების თეორიული არასრულყოფილების გამო.

შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0-დან 180 გრადუსამდე (0-დან რადიანამდე) ჩათვლით. ანალიტიკურად, ეს ფაქტი იწერება ორმაგი უტოლობის სახით: ან (რადიანებში).

ლიტერატურაში კუთხის ხატი ხშირად გამოტოვებულია და უბრალოდ იწერება.

განმარტება:ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ამ ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლის:

ახლა ეს საკმაოდ მკაცრი განმარტებაა.

ჩვენ ყურადღებას ვამახვილებთ არსებით ინფორმაციას:

Დანიშნულება:სკალარული პროდუქტი აღინიშნება ან უბრალოდ.

ოპერაციის შედეგი არის NUMBER: გავამრავლოთ ვექტორი ვექტორზე, რომ მიიღოთ რიცხვი. მართლაც, თუ ვექტორების სიგრძე რიცხვებია, კუთხის კოსინუსი არის რიცხვი, მაშინ მათი ნამრავლი ასევე იქნება რიცხვი.

გახურების რამდენიმე მაგალითი:

მაგალითი 1

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას . Ამ შემთხვევაში:

პასუხი:

კოსინუსების მნიშვნელობები შეგიძლიათ იხილოთ ტრიგონომეტრიული ცხრილი. მის დაბეჭდვას გირჩევთ - კოშკის თითქმის ყველა მონაკვეთში იქნება საჭირო და არაერთხელ იქნება საჭირო.

წმინდა მათემატიკური თვალსაზრისით, სკალარული ნამრავლი განზომილებიანია, ანუ შედეგი, ამ შემთხვევაში, მხოლოდ რიცხვია და ეგაა. ფიზიკის პრობლემების თვალსაზრისით, სკალარულ პროდუქტს ყოველთვის აქვს გარკვეული ფიზიკური მნიშვნელობა, ანუ შედეგის შემდეგ უნდა იყოს მითითებული ერთი ან სხვა ფიზიკური ერთეული. ძალის მუშაობის გამოთვლის კანონიკური მაგალითი შეგიძლიათ ნახოთ ნებისმიერ სახელმძღვანელოში (ფორმულა არის ზუსტად წერტილის ნამრავლი). ძალის მუშაობა იზომება ჯოულებში, შესაბამისად, პასუხი დაიწერება საკმაოდ კონკრეტულად, მაგალითად,.

მაგალითი 2

იპოვეთ თუ და ვექტორებს შორის კუთხე არის .

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის, პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

კუთხე ვექტორებსა და წერტილოვანი პროდუქტის მნიშვნელობას შორის

მაგალით 1-ში სკალარული ნამრავლი აღმოჩნდა დადებითი, ხოლო მე-2 მაგალითში უარყოფითი. მოდით გავარკვიოთ, რაზეა დამოკიდებული სკალარული პროდუქტის ნიშანი. მოდით შევხედოთ ჩვენს ფორმულას: . ნულოვანი ვექტორების სიგრძე ყოველთვის დადებითია: , ასე რომ, ნიშანი შეიძლება დამოკიდებული იყოს მხოლოდ კოსინუსის მნიშვნელობაზე.

Შენიშვნა: ქვემოთ მოცემული ინფორმაციის უკეთ გასაგებად, უმჯობესია შეისწავლოთ სახელმძღვანელოში მოცემული კოსინუს გრაფიკი გრაფიკები და ფუნქციის თვისებები. ნახეთ, როგორ იქცევა კოსინუსი სეგმენტზე.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ვექტორებს შორის კუთხე შეიძლება განსხვავდებოდეს შიგნით და შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები:

1) თუ კუთხევექტორებს შორის ცხარე: (0-დან 90 გრადუსამდე), შემდეგ , და წერტილოვანი პროდუქტი დადებითი იქნება თანარეჟისორი, მაშინ მათ შორის კუთხე ითვლება ნულად და სკალარული ნამრავლიც დადებითი იქნება. ვინაიდან , მაშინ ფორმულა გამარტივებულია: .

2) თუ კუთხევექტორებს შორის სულელი: (90-დან 180 გრადუსამდე), შემდეგ და შესაბამისად, წერტილოვანი პროდუქტი უარყოფითია: . განსაკუთრებული შემთხვევა: თუ ვექტორები საპირისპიროდ მიმართული, მაშინ განიხილება მათ შორის კუთხე განლაგებული: (180 გრადუსი). სკალარული პროდუქტი ასევე უარყოფითია, ვინაიდან

საპირისპირო განცხადებები ასევე მართალია:

1) თუ , მაშინ ამ ვექტორებს შორის კუთხე მკვეთრია. ალტერნატიულად, ვექტორები თანამიმართულებია.

2) თუ , მაშინ ამ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია. გარდა ამისა, ვექტორები მიმართულია საპირისპიროდ.

მაგრამ მესამე შემთხვევა განსაკუთრებით საინტერესოა:

3) თუ კუთხევექტორებს შორის სწორი: (90 გრადუსი) მერე და წერტილის პროდუქტი ნულის ტოლია: . პირიქითაც მართალია: თუ , მაშინ . კომპაქტური განცხადება ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოცემული ვექტორები ორთოგონალურია. მოკლე მათემატიკური აღნიშვნა:

! შენიშვნა : გაიმეორე მათემატიკური ლოგიკის საფუძვლები: ორმხრივი ლოგიკური შედეგის ხატულა ჩვეულებრივ იკითხება "თუ და მხოლოდ მაშინ", "თუ და მხოლოდ თუ". როგორც ხედავთ, ისრები ორივე მიმართულებით არის მიმართული – „ამისგან მოჰყვება ამას და პირიქით – აქედან მოჰყვება ამას“. სხვათა შორის, რა განსხვავებაა ცალმხრივი მიყოლის ხატისაგან? ხატი აცხადებს მხოლოდ ისრომ „აქედან გამომდინარეობს ეს“, და არა ის, რომ პირიქითაა. მაგალითად: , მაგრამ ყველა ცხოველი არ არის პანტერა, ამიტომ ხატის გამოყენება ამ შემთხვევაში შეუძლებელია. ამავე დროს, ხატის ნაცვლად შეუძლიაგამოიყენეთ ცალმხრივი ხატულა. მაგალითად, ამოცანის ამოხსნისას გავარკვიეთ, რომ დავასკვენით, რომ ვექტორები ორთოგონალურია: - ასეთი ჩანაწერი იქნება სწორი და უფრო შესაბამისიც .

მესამე შემთხვევას დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს., რადგან ის საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ ვექტორები ორთოგონალურია თუ არა. ამ პრობლემას გაკვეთილის მეორე ნაწილში მოვაგვარებთ.

წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები

დავუბრუნდეთ სიტუაციას, როდესაც ორი ვექტორი თანარეჟისორი. ამ შემთხვევაში, მათ შორის კუთხე არის ნული, და სკალარული პროდუქტის ფორმულა იღებს ფორმას: .

რა მოხდება, თუ ვექტორი თავის თავზე მრავლდება? ნათელია, რომ ვექტორი თავის თავთან არის მიმართული, ამიტომ ვიყენებთ ზემოთ გამარტივებულ ფორმულას:

ნომერზე იწოდება სკალარული კვადრატივექტორი და აღინიშნება როგორც .

Ამგვარად, ვექტორის სკალარული კვადრატი უდრის მოცემული ვექტორის სიგრძის კვადრატს:

ამ თანასწორობიდან შეგიძლიათ მიიღოთ ფორმულა ვექტორის სიგრძის გამოსათვლელად:

მართალია გაურკვეველი ჩანს, მაგრამ გაკვეთილის ამოცანები ყველაფერს თავის ადგილზე დააყენებს. პრობლემების გადასაჭრელად ჩვენც გვჭირდება წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები.

თვითნებური ვექტორებისთვის და ნებისმიერი რიცხვისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) - გადაადგილებადი ან შემცვლელისკალარული პროდუქტის კანონი.

2) - განაწილება ან გამანაწილებელისკალარული პროდუქტის კანონი. მარტივად რომ ვთქვათ, შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები.

3) - კომბინაცია ან ასოციაციურისკალარული პროდუქტის კანონი. მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას სკალარული პროდუქტიდან.

ხშირად, ყველა სახის თვისება (რომელიც ასევე საჭიროებს დამტკიცებას!) სტუდენტების მიერ აღიქმება, როგორც არასაჭირო ნაგავი, რომლის დამახსოვრება და უსაფრთხოდ დავიწყება მხოლოდ გამოცდის შემდეგ დაუყოვნებლივ უნდა. როგორც ჩანს, რაც აქ მნიშვნელოვანია, ყველამ უკვე იცის პირველი კლასიდან, რომ პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან: უნდა გაგაფრთხილო, უმაღლეს მათემატიკაში ასეთი მიდგომით ადვილია საქმეების არევა. ასე რომ, მაგალითად, კომუტაციური თვისება არ არის მოქმედი ალგებრული მატრიცები. ეს არ შეესაბამება სიმართლეს ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტი. ამიტომ, სულ მცირე, უმჯობესია ჩაუღრმავდეთ ნებისმიერ თვისებას, რომელსაც შეხვდებით უმაღლესი მათემატიკის კურსში, რათა გაიგოთ, რა შეიძლება და რა არ შეიძლება გაკეთდეს.

მაგალითი 3

.

გამოსავალი:ჯერ განვმარტოთ სიტუაცია ვექტორთან დაკავშირებით. რაზეა საუბარი? ვექტორების ჯამი და არის კარგად განსაზღვრული ვექტორი, რომელიც აღინიშნება . ვექტორებთან მოქმედებების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში ვექტორები დუმებისთვის. იგივე ოხრახუში ვექტორთან არის ვექტორების ჯამი და .

ასე რომ, პირობის მიხედვით, საჭიროა სკალარული პროდუქტის პოვნა. თეორიულად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სამუშაო ფორმულა , მაგრამ უბედურება ის არის, რომ ჩვენ არ ვიცით ვექტორების სიგრძე და მათ შორის კუთხე. მაგრამ პირობით, მსგავსი პარამეტრები მოცემულია ვექტორებისთვის, ამიტომ ჩვენ სხვა გზით წავალთ:

(1) ჩვენ ვცვლით ვექტორების გამოსახულებებს.

(2) ფრჩხილებს ვხსნით მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით, ვულგარული ენის მბრუნავი შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში. რთული რიცხვებიან წილად-რაციონალური ფუნქციის ინტეგრაცია. არ გავიმეორო =) სხვათა შორის, სკალარული პროდუქტის გამანაწილებელი თვისება გვაძლევს საშუალებას გავხსნათ ფრჩხილები. ჩვენ გვაქვს უფლება.

(3) პირველ და ბოლო ტერმინებში ჩვენ კომპაქტურად ვწერთ ვექტორების სკალარული კვადრატებს: . მეორე ტერმინში ვიყენებთ სკალარული პროდუქტის ცვალებადობას: .

(4) აქ არის მსგავსი ტერმინები: .

(5) პირველ ტერმინში ვიყენებთ სკალარული კვადრატის ფორმულას, რომელიც არც ისე დიდი ხნის წინ იყო ნახსენები. ბოლო ტერმინში, შესაბამისად, იგივე მუშაობს: . მეორე ტერმინი გაფართოებულია სტანდარტული ფორმულის მიხედვით .

(6) ჩაანაცვლეთ ეს პირობები , და ფრთხილად განახორციელეთ საბოლოო გამოთვლები.

პასუხი:

წერტილოვანი პროდუქტის უარყოფითი მნიშვნელობა მიუთითებს იმაზე, რომ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია.

დავალება ტიპიურია, აქ არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 4

იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი და თუ ცნობილია, რომ .

ახლა კიდევ ერთი საერთო დავალება, მხოლოდ ვექტორის სიგრძის ახალი ფორმულისთვის. აღნიშვნები აქ ოდნავ გადაფარავს, ასე რომ, სიცხადისთვის, მე სხვა ასოთი გადავწერ:

მაგალითი 5

იპოვეთ ვექტორის სიგრძე თუ .

გამოსავალიიქნება შემდეგი:

(1) ჩვენ ვაძლევთ ვექტორულ გამოსახულებას.

(2) ვიყენებთ სიგრძის ფორმულას: , ხოლო ვექტორად გვაქვს მთელი რიცხვი "ve".

(3) ვიყენებთ სკოლის ფორმულას ჯამის კვადრატისთვის. ყურადღება მიაქციეთ, თუ როგორ მუშაობს აქ საინტერესოდ: - სინამდვილეში, ეს არის განსხვავების კვადრატი და, ფაქტობრივად, ასეა. მსურველებს შეუძლიათ გადააწყონ ვექტორები ადგილებზე: - იგივე გამოვიდა ტერმინების გადალაგებამდე.

(4) რაც შემდეგშია უკვე ნაცნობი ორი წინა პრობლემისგან.

პასუხი:

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ სიგრძეზე, არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ განზომილება - "ერთეულები".

მაგალითი 6

იპოვეთ ვექტორის სიგრძე თუ .

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენ ვაგრძელებთ სასარგებლო ნივთების გამოდევნას სკალარული პროდუქტიდან. მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ჩვენს ფორმულას . პროპორციის წესით, ჩვენ ვაბრუნებთ ვექტორების სიგრძეს მარცხენა მხარის მნიშვნელზე:

მოდით გავცვალოთ ნაწილები:

რა აზრი აქვს ამ ფორმულას? თუ ცნობილია ორი ვექტორის სიგრძე და მათი სკალარული ნამრავლი, მაშინ შეიძლება გამოითვალოს ამ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი და, შესაბამისად, თავად კუთხე.

არის თუ არა სკალარული ნამრავლი რიცხვი? ნომერი. არის თუ არა ვექტორული სიგრძე რიცხვები? ნომრები. ასე რომ, წილადიც არის რიცხვი. და თუ ცნობილია კუთხის კოსინუსი: , შემდეგ ინვერსიული ფუნქციის გამოყენებით ადვილია თავად კუთხის პოვნა: .

მაგალითი 7

იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის და თუ ცნობილია, რომ .

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

გამოთვლების დასკვნით ეტაპზე გამოიყენეს ტექნიკა - მნიშვნელში ირაციონალურობის აღმოფხვრა. ირაციონალურობის აღმოსაფხვრელად მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლე.

ასე რომ, თუ , შემდეგ:

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების პოვნა შესაძლებელია ტრიგონომეტრიული ცხრილი. მიუხედავად იმისა, რომ ეს იშვიათად ხდება. ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში ზოგიერთი მოუხერხებელი დათვი უფრო ხშირად ჩნდება და კუთხის მნიშვნელობა დაახლოებით კალკულატორის გამოყენებით უნდა მოიძებნოს. ფაქტობრივად, ჩვენ ვიხილავთ ამ სურათს ისევ და ისევ.

პასუხი:

კიდევ ერთხელ, არ დაგავიწყდეთ განზომილების მითითება - რადიანები და გრადუსები. პირადად, იმისათვის, რომ განზრახ „ამოიღოს ყველა კითხვა“, მირჩევნია ორივე მივუთითო (თუ, რა თქმა უნდა, პირობით, არ არის საჭირო პასუხის წარმოდგენა მხოლოდ რადიანებით ან მხოლოდ გრადუსით).

ახლა თქვენ შეძლებთ დამოუკიდებლად გაუმკლავდეთ უფრო რთულ ამოცანას:

მაგალითი 7*

მოცემულია ვექტორების სიგრძე და მათ შორის კუთხე. იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის, .

ამოცანა არც ისე რთულია, როგორც მრავალმხრივი.
მოდით გავაანალიზოთ ამოხსნის ალგორითმი:

1) პირობის მიხედვით, საჭიროა ვიპოვოთ კუთხე ვექტორებს შორის და ასე რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა .

2) ჩვენ ვპოულობთ სკალარულ პროდუქტს (იხ. მაგალითები No3, 4).

3) იპოვეთ ვექტორის სიგრძე და ვექტორის სიგრძე (იხ. მაგალითები No5, 6).

4) ამონახსნის დასასრული ემთხვევა მაგალითს No7 - ვიცით რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ თავად კუთხის პოვნა ადვილია:

მოკლე ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

გაკვეთილის მეორე ნაწილი ეთმობა იმავე წერტილოვან პროდუქტს. კოორდინატები. ეს კიდევ უფრო ადვილი იქნება, ვიდრე პირველ ნაწილში.

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი,
კოორდინატებით მოცემულია ორთონორმალური საფუძველზე

პასუხი:

ზედმეტია იმის თქმა, რომ კოორდინატებთან ურთიერთობა გაცილებით სასიამოვნოა.

მაგალითი 14

იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი და თუ

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ოპერაციის ასოციაციურობა, ანუ არ დათვალოთ, მაგრამ დაუყოვნებლივ ამოიღოთ სამმაგი სკალარული პროდუქტიდან და გაამრავლოთ მასზე ბოლოს. ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

აბზაცის ბოლოს, ვექტორის სიგრძის გამოთვლის პროვოკაციული მაგალითი:

მაგალითი 15

იპოვეთ ვექტორების სიგრძე , თუ

გამოსავალი:ისევ წინა ნაწილის მეთოდი გვთავაზობს თავის თავს: მაგრამ არის სხვა გზა:

ვიპოვოთ ვექტორი:

და მისი სიგრძე ტრივიალური ფორმულის მიხედვით :

სკალარული პროდუქტი აქ საერთოდ არ არის აქტუალური!

რამდენად გამოუსადეგარია ვექტორის სიგრძის გაანგარიშებისას:
გაჩერდი. რატომ არ ისარგებლოთ ვექტორის აშკარა სიგრძის თვისებით? რა შეიძლება ითქვას ვექტორის სიგრძეზე? ეს ვექტორი ვექტორზე 5-ჯერ გრძელია. მიმართულება საპირისპიროა, მაგრამ ამას არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან სიგრძეზე ვსაუბრობთ. ცხადია, ვექტორის სიგრძე ნამრავლის ტოლია მოდულირიცხვები ვექტორის სიგრძეზე:
- მოდულის ნიშანი "ჭამს" რიცხვის შესაძლო მინუსს.

Ამგვარად:

პასუხი:

ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულა, რომლებიც მოცემულია კოორდინატებით

ახლა ჩვენ გვაქვს სრული ინფორმაცია, რათა გამოვხატოთ ადრე მიღებული ფორმულა ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსისთვის, ვექტორების კოორდინატების მიხედვით:

სიბრტყის ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსიდა, მიცემული ორთონორალური საფუძველი , გამოიხატება ფორმულით:
.

სივრცის ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსიმოცემული ორთონორმალური საფუძველზე, გამოიხატება ფორმულით:

მაგალითი 16

მოცემულია სამკუთხედის სამი წვერო. იპოვეთ (ვერტექსის კუთხე).

გამოსავალი:პირობით, ნახატი არ არის საჭირო, მაგრამ მაინც:

საჭირო კუთხე აღინიშნება მწვანე რკალით. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიხსენებთ კუთხის სკოლის აღნიშვნას: - განსაკუთრებული ყურადღება შუაასო - ეს არის ჩვენთვის საჭირო კუთხის წვერო. მოკლედ, ის ასევე შეიძლება დაიწეროს მარტივად.

ნახაზიდან აშკარად ჩანს, რომ სამკუთხედის კუთხე ემთხვევა ვექტორებს შორის კუთხეს და სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: .

სასურველია ვისწავლოთ გონებრივად ჩატარებული ანალიზის ჩატარება.

მოდი ვიპოვოთ ვექტორები:

მოდით გამოვთვალოთ სკალარული პროდუქტი:

და ვექტორების სიგრძე:

კუთხის კოსინუსი:

სწორედ დავალების ამ თანმიმდევრობას ვურჩევ დუმს. უფრო მოწინავე მკითხველებს შეუძლიათ დაწერონ გამოთვლები "ერთ ხაზზე":

აქ არის "ცუდი" კოსინუსის მნიშვნელობის მაგალითი. მიღებული მნიშვნელობა საბოლოო არ არის, ამიტომ მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორებას დიდი აზრი არ აქვს.

მოდი ვიპოვოთ კუთხე:

თუ ნახატს დააკვირდებით, შედეგი საკმაოდ დამაჯერებელია. კუთხის შესამოწმებლად ასევე შეიძლება გაიზომოს პროტრატორით. არ დააზიანოთ მონიტორის საფარი =)

პასუხი:

პასუხში ეს არ დაგავიწყდეთ იკითხა სამკუთხედის კუთხის შესახებ(და არა ვექტორებს შორის კუთხის შესახებ), არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ ზუსტი პასუხი: და კუთხის სავარაუდო მნიშვნელობა: ნაპოვნია კალკულატორით.

მათ, ვისაც ეს პროცესი მოეწონა, შეუძლია გამოთვალოს კუთხეები და დარწმუნდეს, რომ კანონიკური თანასწორობა მართალია

მაგალითი 17

სამკუთხედი მოცემულია სივრცეში მისი წვეროების კოორდინატებით. იპოვეთ კუთხე გვერდებს შორის და

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს

მცირე საბოლოო მონაკვეთი დაეთმობა პროგნოზებს, რომელშიც ასევე "ჩართულია" სკალარული პროდუქტი:

ვექტორის პროექცია ვექტორზე. ვექტორული პროექცია კოორდინატთა ღერძებზე.
ვექტორული მიმართულების კოსინუსები

განვიხილოთ ვექტორები და:

ვექტორს ვაპროექტებთ ვექტორზე, ამისთვის გამოვტოვებთ ვექტორის დასაწყისს და დასასრულს პერპენდიკულარებითითო ვექტორზე (მწვანე წერტილოვანი ხაზები). წარმოიდგინეთ, რომ სინათლის სხივები პერპენდიკულარულად ეცემა ვექტორზე. მაშინ სეგმენტი (წითელი ხაზი) ​​იქნება ვექტორის „ჩრდილი“. ამ შემთხვევაში, ვექტორის პროექცია ვექტორზე არის სეგმენტის სიგრძე. ანუ პროექცია არის რიცხვი.

ეს რიცხვი აღინიშნება შემდეგნაირად: , "დიდი ვექტორი" ნიშნავს ვექტორს ᲠᲝᲛᲔᲚᲘპროექტი, "მცირე ქვესკრიპტის ვექტორი" აღნიშნავს ვექტორს ᲖᲔრომელიც დაპროექტებულია.

თავად ჩანაწერი ასე იკითხება: „ა“ ვექტორის პროექცია ვექტორზე „იყოს“.

რა მოხდება, თუ ვექტორი "be" არის "ძალიან მოკლე"? ვხატავთ სწორ ხაზს, რომელიც შეიცავს ვექტორს "be". და ვექტორი "a" უკვე დაპროექტებული იქნება ვექტორის "იყოს" მიმართულებით, უბრალოდ - სწორ ხაზზე, რომელიც შეიცავს ვექტორს "be". იგივე მოხდება, თუ ვექტორი „a“ განზე იქნება ოცდამეათე სამეფოში - ის მაინც ადვილად იქნება პროექცია ვექტორის „be“-ს შემცველ ხაზზე.

თუ კუთხევექტორებს შორის ცხარე(როგორც სურათზე), მაშინ

თუ ვექტორები ორთოგონალური, მაშინ (პროექცია არის წერტილი, რომლის ზომები ნავარაუდევია ნულამდე).

თუ კუთხევექტორებს შორის სულელი(სურათზე, გონებრივად გადაანაწილეთ ვექტორის ისარი), შემდეგ (იგივე სიგრძე, მაგრამ აღებული მინუს ნიშნით).

ერთი წერტილიდან გამოვყოთ ეს ვექტორები:

ცხადია, ვექტორის გადაადგილებისას მისი პროექცია არ იცვლება

ასევე იქნება ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, რომლებზეც შეგიძლიათ ნახოთ პასუხები.

თუ ამოცანაში ვექტორების სიგრძეც და კუთხეც მათ შორისაა წარმოდგენილი "ვერცხლის ლანგარზე", მაშინ პრობლემის მდგომარეობა და მისი ამოხსნა ასე გამოიყურება:

მაგალითი 1მოცემულია ვექტორები. იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი, თუ მათი სიგრძე და მათ შორის კუთხე წარმოდგენილია შემდეგი მნიშვნელობებით:

ასევე მოქმედებს სხვა განმარტება, რომელიც სრულიად ექვივალენტურია განმარტება 1-ისა.

განმარტება 2. ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის რიცხვი (სკალარული) ტოლი ამ ვექტორებიდან ერთ-ერთის სიგრძისა და მეორე ვექტორის პროექციის ღერძზე, რომელიც განსაზღვრულია ამ ვექტორებიდან პირველით. ფორმულა მე-2 განმარტების მიხედვით:

ამოცანას ამ ფორმულის გამოყენებით მოვაგვარებთ შემდეგი მნიშვნელოვანი თეორიული პუნქტის შემდეგ.

ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტება კოორდინატების მიხედვით

იგივე რიცხვი შეიძლება მივიღოთ, თუ გამრავლებული ვექტორები მოცემულია მათი კოორდინატებით.

განმარტება 3.ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი არის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლების ჯამის ტოლი რიცხვი.

ზედაპირზე

თუ ორი ვექტორი და სიბრტყეში განისაზღვრება მათი ორით დეკარტის კოორდინატები

მაშინ ამ ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილთა ნამრავლის ჯამს:

.

მაგალითი 2იპოვეთ ვექტორის პროექციის რიცხვითი მნიშვნელობა ვექტორის პარალელურ ღერძზე.

გამოსავალი. ვექტორების სკალარული ნამრავლს ვპოულობთ მათი კოორდინატების წყვილი ნამრავლის დამატებით:

ახლა ჩვენ უნდა გავაიგივოთ მიღებული სკალარული ნამრავლი ვექტორის სიგრძის ნამრავლთან და ვექტორის პროექცია ვექტორის პარალელურ ღერძზე (ფორმულის შესაბამისად).

ვექტორის სიგრძეს ვპოულობთ, როგორც მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი:

.

დაწერეთ განტოლება და ამოხსენით:

უპასუხე. სასურველი რიცხვითი მნიშვნელობა არის მინუს 8.

Კოსმოსში

თუ ორი ვექტორი და სივრცეში განისაზღვრება მათი სამი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატით

,

მაშინ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი ასევე უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლების ჯამს, მხოლოდ იქ უკვე სამი კოორდინატია:

.

სკალარული პროდუქტის განხილული გზით პოვნის ამოცანაა სკალარული პროდუქტის თვისებების ანალიზი. რადგან ამოცანაში საჭირო იქნება იმის დადგენა, თუ რა კუთხეს ქმნიან გამრავლებული ვექტორები.

ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები

ალგებრული თვისებები

1. (კომუტაციური თვისება: მათი სკალარული ნამრავლის მნიშვნელობა არ იცვლება გამრავლებული ვექტორების ადგილების შეცვლით).

2. (ასოციაციური თვისება რიცხვითი ფაქტორის მიმართ: ვექტორის სკალარული ნამრავლი გამრავლებული რომელიმე ფაქტორზე და სხვა ვექტორი ტოლია ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამრავლებული იმავე კოეფიციენტზე).

3. (გამანაწილებელი თვისება ვექტორთა ჯამის მიმართ: მესამე ვექტორის მიერ ორი ვექტორის ჯამის სკალარული ნამრავლი უდრის პირველი ვექტორის სკალარული ნამრავლების ჯამს მესამე ვექტორზე და მეორე ვექტორის მესამე ვექტორზე).

4. (ნულზე მეტი ვექტორის სკალარული კვადრატი) თუ არის არანულოვანი ვექტორი და, თუ არის ნულოვანი ვექტორი.

გეომეტრიული თვისებები

შესასწავლი ოპერაციის განმარტებებში უკვე შევეხეთ ორ ვექტორს შორის კუთხის ცნებას. დროა განვმარტოთ ეს კონცეფცია.

ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ჩანს ორი ვექტორი, რომლებიც მიყვანილია საერთო საწყისამდე. და პირველი, რასაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ: ამ ვექტორებს შორის ორი კუთხეა - φ 1 და φ 2 . ამ კუთხიდან რომელი ჩნდება ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტებებსა და თვისებებში? განხილული კუთხეების ჯამი არის 2 π და ამიტომ ამ კუთხეების კოსინუსები ტოლია. წერტილოვანი პროდუქტის განმარტება მოიცავს მხოლოდ კუთხის კოსინუსს და არა მისი გამოხატვის მნიშვნელობას. მაგრამ თვისებებში მხოლოდ ერთი კუთხეა გათვალისწინებული. და ეს არის ერთი ორი კუთხიდან, რომელიც არ აღემატება π ანუ 180 გრადუსი. ეს კუთხე ნაჩვენებია ფიგურაში, როგორც φ 1 .

1. ორი ვექტორი ეწოდება ორთოგონალური და ამ ვექტორებს შორის კუთხე არის მართი (90 გრადუსი ან π /2) თუ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის ნული :

.

ორთოგონალობა ვექტორულ ალგებრაში არის ორი ვექტორის პერპენდიკულარულობა.

2. ორი არანულოვანი ვექტორი შედგება მკვეთრი კუთხე (0-დან 90 გრადუსამდე, ან, რაც იგივეა, ნაკლები π წერტილოვანი პროდუქტი დადებითია .

3. ორი არანულოვანი ვექტორი შედგება ბლაგვი კუთხე (90-დან 180 გრადუსამდე, ან, რაც იგივეა - მეტი π /2) თუ და მხოლოდ თუ წერტილოვანი პროდუქტი უარყოფითია .

მაგალითი 3ვექტორები მოცემულია კოორდინატებში:

.

გამოთვალეთ მოცემული ვექტორების ყველა წყვილის წერტილოვანი ნამრავლები. რა კუთხეს (მწვავე, მარჯვენა, ბლაგვი) ქმნიან ვექტორების ეს წყვილი?

გამოსავალი. გამოვთვლით შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების მიმატებით.

მივიღეთ უარყოფითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან ბლაგვ კუთხეს.

მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.

მივიღეთ ნული, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მართ კუთხეს.

მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.

.

მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი.

მაგალითი 4მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე:

.

დაადგინეთ რიცხვის რომელ მნიშვნელობზეა ვექტორები და არიან ორთოგონალური (პერპენდიკულარული).

გამოსავალი. ვექტორებს ვამრავლებთ მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით:

ახლა მოდით გამოვთვალოთ თითოეული ტერმინი:

.

მოდით შევადგინოთ განტოლება (ნამრავლის ტოლობა ნულამდე), მივცეთ მსგავსი ტერმინები და ამოვხსნათ განტოლება:

პასუხი: ჩვენ მივიღეთ ღირებულება λ = 1.8, სადაც ვექტორები ორთოგონალურია.

მაგალითი 5დაამტკიცეთ რომ ვექტორი ორთოგონალური (პერპენდიკულარული) ვექტორზე

გამოსავალი. ორთოგონალურობის შესამოწმებლად, ჩვენ ვამრავლებთ ვექტორებს და პოლინომებად, მის ნაცვლად ვცვლით პრობლემის მდგომარეობაში მოცემულ გამოსახულებას:

.

ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი მრავალწევრის თითოეული წევრი (ტერმინი) მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქტები:

.

შედეგად, ფრაქცია მცირდება. მიიღება შემდეგი შედეგი:

დასკვნა: გამრავლების შედეგად მივიღეთ ნული, შესაბამისად დადასტურებულია ვექტორების ორთოგონალურობა (პერპენდიკულარულობა).

თავად მოაგვარეთ პრობლემა და შემდეგ იხილეთ გამოსავალი

მაგალითი 6მოცემული ვექტორების სიგრძეები და , და კუთხე ამ ვექტორებს შორის არის π /ოთხი. განსაზღვრეთ რა ღირებულებით μ ვექტორები და ერთმანეთის პერპენდიკულარულია.

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი.

ვექტორების სკალარული ნამრავლის და n-განზომილებიანი ვექტორების ნამრავლის მატრიცული წარმოდგენა

ზოგჯერ, სიცხადისთვის, ხელსაყრელია ორი გამრავლებული ვექტორის წარმოდგენა მატრიცების სახით. შემდეგ პირველი ვექტორი წარმოდგენილია მწკრივის მატრიცის სახით, ხოლო მეორე - სვეტის მატრიცის სახით:

მაშინ ვექტორების სკალარული ნამრავლი იქნება ამ მატრიცების პროდუქტი :

შედეგი იგივეა, რაც ჩვენ მიერ უკვე განხილული მეთოდით მიღებული. ჩვენ მივიღეთ ერთი რიცხვი და მატრიცა-სტრიქონის ნამრავლი მატრიცა-სვეტის მიერ არის ასევე ერთი რიცხვი.

მატრიცის სახით მოსახერხებელია აბსტრაქტული n-განზომილებიანი ვექტორების ნამრავლის წარმოდგენა. ამრიგად, ორი ოთხგანზომილებიანი ვექტორის ნამრავლი იქნება მწკრივის მატრიცის ნამრავლი ოთხი ელემენტით სვეტის მატრიცით ასევე ოთხი ელემენტით, ორი ხუთგანზომილებიანი ვექტორის ნამრავლი იქნება მწკრივის მატრიცის ნამრავლი ხუთი ელემენტით. სვეტის მატრიცა ასევე ხუთი ელემენტით და ა.შ.

მაგალითი 7იპოვნეთ ვექტორთა წყვილი წერტილოვანი პროდუქტები

,

მატრიცული წარმოდგენის გამოყენებით.

გამოსავალი. ვექტორების პირველი წყვილი. ჩვენ წარმოვადგენთ პირველ ვექტორს, როგორც მწკრივის მატრიცას, ხოლო მეორეს, როგორც სვეტის მატრიცას. ჩვენ ვპოულობთ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლს, როგორც მწკრივის მატრიცის ნამრავლს სვეტის მატრიცით:

ანალოგიურად, ჩვენ წარმოვადგენთ მეორე წყვილს და ვპოულობთ:

როგორც ხედავთ, შედეგები იგივეა, რაც იგივე წყვილებისთვის მე-2 მაგალითიდან.

კუთხე ორ ვექტორს შორის

ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულის წარმოშობა ძალიან ლამაზი და ლაკონურია.

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის გამოხატვა

(1)

კოორდინატთა სახით, ჯერ ვპოულობთ ორტების სკალარული ნამრავლს. ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთავად არის:

რაც წერია ზემოთ მოცემულ ფორმულაში ნიშნავს: ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთან უდრის მისი სიგრძის კვადრატს. ნულის კოსინუსი უდრის ერთს, ამიტომ თითოეული ორთის კვადრატი იქნება ერთის ტოლი:

ვინაიდან ვექტორები

არის წყვილი პერპენდიკულარული, მაშინ ორტების წყვილი ნამრავლი იქნება ნულის ტოლი:

ახლა შევასრულოთ ვექტორული მრავალწევრების გამრავლება:

ჩვენ ვცვლით ტოლობის მარჯვენა მხარეს ორტების შესაბამისი სკალარული პროდუქტების მნიშვნელობებს:

ვიღებთ ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულას:

მაგალითი 8მოცემულია სამი ქულა ა(1;1;1), ბ(2;2;1), C(2;1;2).

იპოვეთ კუთხე.

გამოსავალი. ვპოულობთ ვექტორების კოორდინატებს:

,

.

კუთხის კოსინუსის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

შესაბამისად,.

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი.

მაგალითი 9მოცემულია ორი ვექტორი

იპოვეთ ჯამი, განსხვავება, სიგრძე, წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხე.

2.განსხვავება