ვექტორების ნამრავლი სივრცეში. ვექტორული პროდუქტი

ცხადია, ჯვარედინი ნამრავლის შემთხვევაში, მნიშვნელოვანია ვექტორების აღების თანმიმდევრობა, უფრო მეტიც,

ასევე, პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი სკალარული ფაქტორის k (რიცხვი) მართებულია შემდეგი:

კოლინარული ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი ნულოვანი ვექტორის ტოლია. გარდა ამისა, ვექტორული პროდუქტიორი ვექტორი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი წრფივია. (იმ შემთხვევაში, თუ ერთ-ერთი მათგანი ნულოვანი ვექტორია, უნდა გვახსოვდეს, რომ ნულოვანი ვექტორი არის კოლინარული ნებისმიერი ვექტორის განსაზღვრებით).

ვექტორულ პროდუქტს აქვს გამანაწილებელი ქონება, ანუ

ჯვარედინი ნამრავლის გამოხატულება ვექტორების კოორდინატებში.

მიეცით ორი ვექტორი

(როგორ ვიპოვოთ ვექტორის კოორდინატები მისი დასაწყისისა და დასასრულის კოორდინატების მიხედვით - იხილეთ სტატია ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი, პუნქტი წერტილოვანი ნამრავლის ალტერნატიული განმარტება ან მათი კოორდინატებით მოცემული ორი ვექტორის წერტილოვანი ნამრავლის გამოთვლა.)

რატომ გჭირდებათ ვექტორული პროდუქტი?

ჯვარედინი ნამრავლის გამოყენების მრავალი გზა არსებობს, მაგალითად, როგორც უკვე დავწერე ზემოთ, ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის გამოთვლით, შეგიძლიათ გაარკვიოთ, არის თუ არა ისინი კოლინარული.

ან ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც ამ ვექტორებიდან აგებული პარალელოგრამის ფართობის გამოსათვლელად. განმარტებიდან გამომდინარე, მიღებული ვექტორის სიგრძე არის ამ პარალელოგრამის ფართობი.

ასევე დიდი თანხააპლიკაციები არსებობს ელექტროენერგიასა და მაგნიტიზმში.

ვექტორული პროდუქტის ონლაინ კალკულატორი.

ამ კალკულატორის გამოყენებით ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლის საპოვნელად, პირველ რიგში უნდა შეიყვანოთ პირველი ვექტორის კოორდინატების თანმიმდევრობით, მეორე - მეორე. ვექტორების კოორდინატები შეიძლება გამოითვალოს მათი საწყისი და დასასრული კოორდინატებიდან (იხილეთ სტატია ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი , პუნქტი წერტილოვანი ნამრავლის ალტერნატიული განმარტება, ან ორი ვექტორის წერტილოვანი ნამრავლის გამოთვლა მათი კოორდინატების გათვალისწინებით.)

განმარტება. ვექტორის ნამრავლი a (გამრავლება) ვექტორით (გამრავლებით), რომელიც არ არის მასთან კოლინარული, არის მესამე ვექტორი c (პროდუქტი), რომელიც აგებულია შემდეგნაირად:

1) მისი მოდული რიცხობრივად ტოლია პარალელოგრამის ფართობის ნახ. 155), აგებულია ვექტორებზე, ანუ ტოლია აღნიშნული პარალელოგრამის სიბრტყის პერპენდიკულარული მიმართულების;

3) ამ შემთხვევაში c ვექტორის მიმართულება არჩეულია (ორი შესაძლოდან) ისე, რომ c ვექტორებმა შექმნან მარჯვენა სისტემა (§ 110).

აღნიშვნა: ან

განმარტების დამატება. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ფიგურის (პირობითად) პარალელოგრამის გათვალისწინებით, ბუნებრივია ნულოვანი ფართობის მინიჭება. მაშასადამე, კოლინარული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი ითვლება ნულოვანი ვექტორის ტოლად.

ვინაიდან ნულ ვექტორს შეიძლება მიენიჭოს ნებისმიერი მიმართულება, ეს კონვენცია არ ეწინააღმდეგება განმარტების მე-2 და მე-3 პუნქტებს.

შენიშვნა 1. ტერმინში „ვექტორული ნამრავლი“ პირველი სიტყვა მიუთითებს, რომ მოქმედების შედეგი არის ვექტორი (სკალარული ნამრავლისგან განსხვავებით; შდრ. § 104, შენიშვნა 1).

მაგალითი 1. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი, სადაც არის სწორი კოორდინატთა სისტემის ძირითადი ვექტორები (სურ. 156).

1. ვინაიდან ძირითადი ვექტორების სიგრძეები მასშტაბის ერთეულის ტოლია, პარალელოგრამის (კვადრატის) ფართობი რიცხობრივად ერთის ტოლია. მაშასადამე, ვექტორული ნამრავლის მოდული უდრის ერთს.

2. ვინაიდან სიბრტყეზე პერპენდიკულარული არის ღერძი, სასურველი ვექტორული ნამრავლი არის ვექტორი k ვექტორის თანამიმართული; და რადგან ორივე მათგანს აქვს მოდული 1, საჭირო ჯვარედინი პროდუქტი არის k ან -k.

3. ამ ორი შესაძლო ვექტორიდან პირველი უნდა ავირჩიოთ, ვინაიდან k ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სისტემას (ხოლო ვექტორები ქმნიან მარცხენას).

მაგალითი 2. იპოვეთ ჯვარედინი ნამრავლი

გამოსავალი. როგორც მაგალითად 1-ში, ჩვენ დავასკვნათ, რომ ვექტორი არის k ან -k. მაგრამ ახლა ჩვენ უნდა ავირჩიოთ -k, რადგან ვექტორები ქმნიან სწორ სისტემას (და ვექტორები ქმნიან მარცხენას). Ისე,

მაგალითი 3 ვექტორებს აქვთ სიგრძე 80 და 50 სმ შესაბამისად და ქმნიან 30° კუთხეს. მეტრის სიგრძის ერთეულის სახით იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე a

გამოსავალი. ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ტოლია სასურველი ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის

მაგალითი 4. იპოვეთ იგივე ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე, აიღეთ სანტიმეტრი სიგრძის ერთეულით.

გამოსავალი. ვინაიდან ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი უდრის ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს, არის 2000 სმ, ე.ი.

მე-3 და მე-4 მაგალითების შედარება აჩვენებს, რომ ვექტორის სიგრძე დამოკიდებულია არა მხოლოდ ფაქტორების სიგრძეზე, არამედ სიგრძის ერთეულის არჩევანზე.

ვექტორული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა.ვექტორული ნამრავლით წარმოდგენილი მრავალი ფიზიკური სიდიდედან განვიხილავთ მხოლოდ ძალის მომენტს.

ვთქვათ A არის ძალის გამოყენების წერტილი. O წერტილთან მიმართებით ძალის მომენტს ეწოდება ვექტორული ნამრავლი. ვინაიდან ამ ვექტორული ნამრავლის მოდული რიცხობრივად უდრის პარალელოგრამის ფართობს (ნახ. 157), მომენტის მოდული უდრის ფუძის ნამრავლს სიმაღლით, ანუ ძალა გამრავლებული მანძილით O წერტილიდან სწორ ხაზამდე, რომლის გასწვრივაც მოქმედებს ძალა.

მექანიკაში დადასტურებულია, რომ ხისტი სხეულის წონასწორობისთვის აუცილებელია, რომ არა მხოლოდ სხეულზე მიმართული ძალების გამომსახველი ვექტორების ჯამი, არამედ ძალების მომენტების ჯამიც იყოს ნულის ტოლი. იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა ძალა პარალელურია ერთი და იმავე სიბრტყის პარალელურად, მომენტების გამოსახული ვექტორების დამატება შეიძლება შეიცვალოს მათი მოდულების შეკრებითა და გამოკლებით. მაგრამ ძალების თვითნებური მიმართულებისთვის, ასეთი ჩანაცვლება შეუძლებელია. ამის შესაბამისად, ჯვარედინი პროდუქტი განისაზღვრება ზუსტად როგორც ვექტორი და არა როგორც რიცხვი.

განმარტება. ვექტორის a და b ვექტორის ნამრავლი არის ვექტორი, რომელიც აღინიშნება სიმბოლოთი [«, b] (ან l x b), ისე, რომ 1) ვექტორის სიგრძე [a, b] ტოლია (p, სადაც y არის კუთხე a და b ვექტორებს შორის (31); 2) ვექტორი [a, b) პერპენდიკულარულია a და b ვექტორებზე, ე.ი. ამ ვექტორების სიბრტყეზე პერპენდიკულარული; 3) ვექტორი [a, b] მიმართულია ისე, რომ ამ ვექტორის ბოლოდან ჩანს უმოკლეს შემობრუნება a-დან b-მდე საათის ისრის საწინააღმდეგოდ (სურ. 32). ბრინჯი. 32 სურ.31 სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორები a, b და [а, b) ქმნიან ვექტორთა მარჯვენა სამეულს, ე.ი. მდებარეობს მარჯვენა ხელის ცერა, საჩვენებელი და შუა თითების მსგავსად. თუ a და b ვექტორები წრფივია, დავუშვებთ, რომ [a, b] = 0. განმარტებით, ვექტორული ნამრავლის სიგრძე რიცხობრივად ტოლია გამრავლებულ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის Sa ფართობის (ნახ. 33). a და b როგორც გვერდებზე: 6.1 . ვექტორული ნამრავლის თვისებები 1. ვექტორული ნამრავლი ტოლია ნულოვანი ვექტორის, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გამრავლებული ვექტორებიდან ერთი მაინც არის ნული, ან როცა ეს ვექტორები წრფივია (თუ a და b ვექტორები წრფივია, მაშინ მათ შორის კუთხე. არის 0 ან 7r). ამის მიღება ადვილია იქიდან, რომ თუ ჩვენ მივიჩნევთ ნულოვანი ვექტორის კოლინზარს რომელიმე ვექტორთან, მაშინ a და b ვექტორების კოლინარობის პირობა შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად 2. ვექტორული ნამრავლი არის ანტიკომუტაციური, ე.ი. ყოველთვის. მართლაც, ვექტორებს (a, b) და აქვთ იგივე სიგრძე და ხაზოვანი. ამ ვექტორების მიმართულებები საპირისპიროა, რადგან ვექტორის ბოლოდან [a, b] უმოკლესი შემობრუნება a-დან b-მდე ჩანს, რომელიც ხდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ხოლო ვექტორის ბოლოდან [b, a] - საათის ისრის მიმართულებით (ნახ. 34). 3. ვექტორულ ნამრავლს აქვს გამანაწილებელი თვისება მიმატების მიმართ 4. რიცხვითი ფაქტორი A შეიძლება ამოღებულ იქნას ვექტორული ნამრავლის ნიშნიდან 6.2. კოორდინატებით მოცემული ვექტორების ნამრავლი მოდით, a და b ვექტორები მოცემული იყოს მათი კოორდინატების საფუძველზე. ვექტორული ნამრავლის განაწილების თვისების გამოყენებით ვპოულობთ კოორდინატებით მოცემულ ვექტორთა ნამრავლს. შერეული სამუშაო. მოდით ჩამოვწეროთ კოორდინატთა ორტების ვექტორული ნამრავლები (ნახ. 35): მაშასადამე, a და b ვექტორების ვექტორული ნამრავლისთვის, (3) ფორმულიდან ვიღებთ შემდეგ გამოსახულებას, განმსაზღვრელი 1-ლი რიგის ელემენტებზე, ვიღებთ ( 4). მაგალითები. 1. იპოვეთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი (ნახ. 36). ნათელია, რომ სს სამკუთხედის b "d ფართობი უდრის O AC B პარალელოგრამის S ფართობის ნახევარს. ვექტორული ნამრავლის გამოთვლა (a, b | ვექტორების a \u003d OA და b \u003d b \u003d ob). ), ვიღებთ (a, b), c) = [a, |b, c)) არ არის ჭეშმარიტი ზოგად შემთხვევაში, მაგალითად, a = ss j-სთვის გვაქვს § 7. ვექტორების შერეული ნამრავლი. სამი ვექტორი a,b და c. ვამრავლებთ ვექტორებს a და 1> ვექტორულად. შედეგად ვიღებთ ვექტორს [a, 1>]. მას სკალარულად ვამრავლებთ c ვექტორზე: (k b), c. რიცხვი ( [a, b], e) ჰქვია a, b.c ვექტორების შერეული ნამრავლი და აღინიშნება სიმბოლოთი (a, 1), e) 7.1 შერეული ნამრავლის გეომეტრიული მნიშვნელობა გვერდის ავლით ვექტორები a, b და O ზოგადი წერტილიდან (ნახ. 37). თუ ოთხივე წერტილი O, A, B, C დევს ერთ სიბრტყეში ( a, b და c ვექტორები ამ შემთხვევაში თანაპლანტარულია), მაშინ შერეული ნამრავლი ([a, b], c) = 0. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ ვექტორი [a, b| პერპენდიკულარულია იმ სიბრტყის, რომელშიც დევს ვექტორები a და 1 ", და აქედან გამომდინარე ვექტორი c. / თუ t O, A, B, C წერტილები არ დევს ერთ სიბრტყეში (ვექტორები a, b და c არათანაბარია), ჩვენ ავაშენებთ პარალელეპიპედს OA, OB და OS კიდეებზე (ნახ. 38 ა). ჯვარედინი ნამრავლის განმარტებით, გვაქვს (a,b) = So c, სადაც So არის OADB პარალელოგრამის ფართობი და c არის ერთეული ვექტორი a და b ვექტორების პერპენდიკულარული და ისეთი, რომ სამმაგი a. , ბ, გ მართალია, ე.ი. ვექტორები a, b და c განლაგებულია შესაბამისად მარჯვენა ხელის ცერა, საჩვენებელი და შუა თითების სახით (სურ. 38 ბ). მარჯვენა სკალარზე ბოლო ტოლობის ორივე ნაწილის გამრავლებით c ვექტორზე მივიღებთ, რომ კოორდინატებით მოცემული ვექტორების ნამრავლი. შერეული სამუშაო. რიცხვი rc c უდრის აგებული პარალელეპიპედის h სიმაღლეს, აღებული "+" ნიშნით, თუ კუთხე c და c ვექტორებს შორის მწვავეა (სამმაგი a, b, c სწორია) და ნიშნით " -“ თუ კუთხე ბლაგვია (სამმაგი a, b, c - მარცხნივ), ასე რომ, a, b და c ვექტორების შერეული ნამრავლი უდრის ამ ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის V მოცულობას, როგორც კიდეებზე. თუ სამმაგი a, b, c სწორია და -V თუ სამმაგი a , b, c - მარცხნივ. შერეული ნამრავლის გეომეტრიული მნიშვნელობიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ იგივე a, b და c ვექტორების სხვა თანმიმდევრობით გამრავლებით, ყოველთვის მივიღებთ ან +7 ან -K. ნიშანი პრო- ნახ. 38 მითითება დამოკიდებული იქნება მხოლოდ იმაზე, თუ რომელ სამეულს ქმნიან გამრავლებული ვექტორები - მარჯვნივ თუ მარცხნივ. თუ a, b, c ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სამეულს, მაშინ სამმაგი b, c, a და c, a, b ასევე სწორი იქნება. ამავე დროს, სამივე სამეული b, a, c; a, c, b და c, b, a - მარცხნივ. ამრიგად, (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b, ა). კიდევ ერთხელ ხაზს ვუსვამთ, რომ ვექტორების შერეული ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გამრავლებული a, b, c ვექტორები თანაპლანსურია: (a, b, c თანაპლექტურია) 7.2. შერეული პროდუქტი კოორდინატებში მოდით, a, b, c ვექტორები მოცემული იყოს მათი კოორდინატებით i, j, k საფუძვლებში: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c. = (x3, uz, 23). ვიპოვოთ გამოხატულება მათი შერეული პროდუქტისთვის (a, b, c). გვაქვს ვექტორების შერეული ნამრავლი, რომლებიც მოცემულია მათი კოორდინატებით i, J, k საფუძველში, მესამე რიგის განმსაზღვრელი, რომლის წრფეები შედგენილია, შესაბამისად, გამრავლებულის პირველი, მეორე და მესამე კოორდინატებისგან. ვექტორები. a y\, Z|), b = (xx, y2.22), c = (x3, uz, 23) ვექტორების თანასწორობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით. z, ar2 y2 -2 =0. Uz მაგალითი. შეამოწმეთ არის თუ არა ვექტორები v = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) თანაპლენარული. განსახილველი ვექტორები იქნება თანაპლენარული თუ არათანასწორი, იმის მიხედვით, ტოლია თუ არა განმსაზღვრელი ნულის ტოლია თუ არა, პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით მისი გაფართოებით მივიღებთ. 7.3. ორმაგი ჯვარედინი ნამრავლი ორმაგი ჯვარედინი ნამრავლი [a, [b, c]] არის ვექტორი a და [b, c] ვექტორების პერპენდიკულარული. მაშასადამე, ის დევს b და c ვექტორების სიბრტყეში და შეიძლება გაფართოვდეს ამ ვექტორებში. შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ ფორმულა [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) მოქმედებს. სავარჯიშოები 1. სამი ვექტორი AB = c, W? = o და CA = b ემსახურებიან სამკუთხედის გვერდებს. გამოხატეთ a, b და c მნიშვნელობით ვექტორები, რომლებიც ემთხვევა სამკუთხედის AM, DN, CP მედიანებს. 2. რა პირობა უნდა იყოს დაკავშირებული p და q ვექტორებს შორის ისე, რომ ვექტორმა p + q გაყოს მათ შორის კუთხე შუაზე? ვარაუდობენ, რომ სამივე ვექტორი დაკავშირებულია საერთო საწყისთან. 3. გამოთვალეთ a = 5p + 2q და b = p - 3q ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის დიაგონალების სიგრძე, თუ ცნობილია, რომ |p| = 2v/2, |q| = 3 H-(p7ci) = f. 4. a და b-ით რომბის საერთო წვეროდან გამომავალი გვერდების აღნიშვნა დაამტკიცეთ რომბის დიაგონალები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია. 5. გამოთვალეთ a = 4i + 7j + 3k და b = 31 - 5j + k ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. 6. იპოვეთ ერთეული ვექტორი a0 ვექტორის პარალელურად a = (6, 7, -6). 7. იპოვეთ ვექტორის პროექცია a = l+ j- kHa ვექტორი b = 21 - j - 3k. 8. იპოვეთ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი IS "w, თუ A (-4.0.4), B (-1.6.7), C (1.10.9). 9. იპოვეთ ერთეული ვექტორი p°, რომელიც ერთდროულად პერპენდიკულარულია a = (3, 6, 8) ვექტორზე და x ღერძზე. 10. გამოთვალეთ a = 2i+J-k, b=i-3j + k ვექტორებზე აგებულ პარალელოფამის დიაგონალებს შორის კუთხის სინუსი, როგორც გვერდებზე. გამოთვალეთ ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის h სიმაღლე a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, თუ a და I ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამი ფუძედ არის აღებული). პასუხები

სანამ ვექტორული ნამრავლის ცნებას მოვიყვანთ, მივმართოთ a → , b → , c → ვექტორების მოწესრიგებული სამეულის ორიენტაციის საკითხს სამგანზომილებიან სივრცეში.

დასაწყისისთვის, ერთი წერტილიდან გამოვყოთ a → , b → , c → ვექტორები. a → , b → , c → სამმაგი ორიენტაცია არის მარჯვნივ ან მარცხნივ, რაც დამოკიდებულია c → ვექტორის მიმართულებაზე. იმ მიმართულებიდან, რომლითაც კეთდება უმოკლესი ბრუნი a → b → ვექტორიდან c → → ვექტორის ბოლოდან, განისაზღვროს სამმაგი a → , b → , c →.

თუ უმოკლეს ბრუნვა არის საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაშინ ვექტორების სამმაგი a → , b → , c → ე.წ. უფლებათუ საათის ისრის მიმართულებით - დატოვა.

შემდეგი, აიღეთ ორი კოლინარული ვექტორები a → და b → . შემდეგ გადავდოთ ვექტორები A B → = a → და A C → = b → A წერტილიდან. ავაშენოთ ვექტორი A D → = c →, რომელიც ერთდროულად არის პერპენდიკულარული A B → და A C →. ამრიგად, A D → = c → ვექტორის აგებისას, ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ორი რამ, მივცეთ მას ერთი მიმართულება ან საპირისპირო (იხ. ილუსტრაცია).

a → , b → , c → ვექტორების მოწესრიგებული სამეული შეიძლება იყოს, როგორც გავარკვიეთ, მარჯვნივ ან მარცხნივ, ვექტორის მიმართულებიდან გამომდინარე.

ზემოაღნიშნულიდან შეგვიძლია შემოვიტანოთ ვექტორული პროდუქტის განმარტება. ეს განმარტება მოცემულია ორ ვექტორზე, რომლებიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

განმარტება 1

ორი ვექტორის a → და b → ვექტორული ნამრავლი ჩვენ დავარქმევთ ისეთ ვექტორს, რომელიც მოცემულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, რომ:

• თუ a → და b → ვექტორები წრფივია, ის იქნება ნული;
• ის იქნება პერპენდიკულარული როგორც a →​​ ვექტორის, ასევე b ვექტორის მიმართ, ე.ი. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• მისი სიგრძე განისაზღვრება ფორმულით: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → ვექტორების სამეულს იგივე ორიენტაცია აქვს, რაც მოცემულ კოორდინატულ სისტემას.

a → და b → ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლს აქვს შემდეგი აღნიშვნა: a → × b → .

ჯვარედინი პროდუქტის კოორდინატები

ვინაიდან ნებისმიერ ვექტორს აქვს გარკვეული კოორდინატები კოორდინატთა სისტემაში, შესაძლებელია შემოვიტანოთ ვექტორული ნამრავლის მეორე განმარტება, რომელიც საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ მისი კოორდინატები ვექტორების მოცემული კოორდინატებიდან.

განმარტება 2

სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი a → = (a x ; a y ; a z) და b → = (b x ; b y ; b z) მოვუწოდებთ ვექტორს c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , სადაც i → , j → , k → არის კოორდინატული ვექტორები.

ვექტორული ნამრავლი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც მესამე რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, სადაც პირველი მწკრივი არის ორტა ვექტორები i → , j → , k → , მეორე რიგი შეიცავს a → ვექტორის კოორდინატებს, ხოლო მესამე. არის b → ვექტორის კოორდინატები მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, ეს მატრიცის განმსაზღვრელი ასე გამოიყურება: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

ამ განმსაზღვრელი პირველი რიგის ელემენტებზე გავაფართოვოთ, მივიღებთ ტოლობას: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b = → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები

ცნობილია, რომ ვექტორული ნამრავლი კოორდინატებში წარმოდგენილია c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z მატრიცის განმსაზღვრელი, შემდეგ ფუძეზე. მატრიცის განმსაზღვრელი თვისებებიშემდეგი ვექტორული პროდუქტის თვისებები:

1. ანტიკომუტატიურობა a → × b → = - b → × a →;
2. განაწილება a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ან a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ასოციაციურობა λ a → × b → = λ a → × b → ან a → × (λ b →) = λ a → × b → , სადაც λ არის თვითნებური რეალური რიცხვი.

ამ თვისებებს არ გააჩნია რთული მტკიცებულებები.

მაგალითად, ჩვენ შეგვიძლია დავამტკიცოთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურობის თვისება.

ანტიკომუტატიურობის მტკიცებულება

განმარტებით, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z და b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. და თუ მატრიცის ორი მწკრივი ერთმანეთს ენაცვლება, მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს საპირისპიროდ, შესაბამისად, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y. - b → × a → , რაც და ადასტურებს ვექტორული ნამრავლის ანტიკომუტატიურობას.

ვექტორული პროდუქტი - მაგალითები და გადაწყვეტილებები

უმეტეს შემთხვევაში, არსებობს სამი სახის დავალება.

პირველი ტიპის ამოცანებში, როგორც წესი, მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე, მაგრამ თქვენ უნდა იპოვოთ ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე. ამ შემთხვევაში გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

მაგალითი 1

იპოვეთ a → და b → ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე, თუ ცნობილია a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.

გამოსავალი

a → და b → ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძის განსაზღვრის გამოყენებით ვხსნით ამ ამოცანას: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

პასუხი: 15 2 2 .

მეორე ტიპის ამოცანებს აქვს კავშირი ვექტორების კოორდინატებთან, შეიცავს ვექტორულ ნამრავლს, მის სიგრძეს და ა.შ. მოძებნა ცნობილი კოორდინატები მოცემული ვექტორები a → = (a x ; a y ; a z) და b → = (b x ; b y ; b z) .

ამ ტიპის ამოცანისთვის შეგიძლიათ ამოცანების მრავალი ვარიანტის გადაჭრა. მაგალითად, არა a → და b → ვექტორების კოორდინატები, არამედ მათი გაფართოებები ფორმის კოორდინატულ ვექტორებში. b → = b x i → + b y j → + b z k → და c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ან a → და b → ვექტორები შეიძლება მიცემული იყოს მათი კოორდინატებით. საწყისი და დასასრული წერტილები.

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითები.

მაგალითი 2

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში დაყენებულია ორი ვექტორი a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . იპოვეთ მათი ვექტორული პროდუქტი.

გამოსავალი

მეორე განმარტებით, ჩვენ ვპოულობთ ორი ვექტორის ვექტორულ ნამრავლს მოცემული კოორდინატები: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + (( - 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

თუ ვექტორულ ნამრავლს ჩავწერთ მატრიცის განმსაზღვრელი საშუალებით, მაშინ ამ მაგალითის ამოხსნა ასეთია: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

პასუხი: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

მაგალითი 3

იპოვეთ i → - j → და i → + j → + k → ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე, სადაც i → , j → , k → - მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ორტები.

გამოსავალი

ჯერ ვიპოვოთ მოცემული ვექტორული ნამრავლის კოორდინატები i → - j → × i → + j → + k → მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

ცნობილია, რომ i → - j → და i → + j → + k → ვექტორებს აქვთ კოორდინატები (1 ; - 1 ; 0) და (1 ; 1 ; 1) შესაბამისად. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე მატრიცის განმსაზღვრელი გამოყენებით, შემდეგ გვაქვს i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 კ → .

ამიტომ ვექტორულ ნამრავლს i → - j → × i → + j → + k → აქვს კოორდინატები (- 1 ; - 1 ; 2) მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში.

ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს ვპოულობთ ფორმულით (იხ. განყოფილება ვექტორის სიგრძის პოვნის შესახებ): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

პასუხი: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

მაგალითი 4

სამი წერტილის A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) კოორდინატები მოცემულია მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. იპოვნეთ A B → და A C → პერპენდიკულარული ვექტორი ერთდროულად.

გამოსავალი

A B → და A C → ვექტორებს აქვთ შემდეგი კოორდინატები (- 1 ; 2 ; 2) და (0 ; 4 ; 1) შესაბამისად. ვიპოვეთ A B → და A C → ვექტორების ვექტორული ნამრავლი, აშკარაა, რომ ის არის პერპენდიკულარული ვექტორი A B → და A C →, ანუ ის არის ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა. იპოვეთ ის A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

პასუხი: - 6 i → + j → - 4 k → . არის ერთ-ერთი პერპენდიკულარული ვექტორი.

მესამე ტიპის ამოცანები ფოკუსირებულია ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებაზე. რომლის გამოყენების შემდეგ ჩვენ მივიღებთ მოცემული პრობლემის გადაწყვეტას.

მაგალითი 5

ვექტორები a → და b → პერპენდიკულარულია და მათი სიგრძეა შესაბამისად 3 და 4. იპოვეთ ჯვრის ნამრავლის სიგრძე 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

გამოსავალი

ვექტორული ნამრავლის განაწილების თვისებით შეგვიძლია დავწეროთ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

ასოციაციურობის თვისებით ვიღებთ რიცხვით კოეფიციენტებს ვექტორული ნამრავლების ნიშნის მიღმა ბოლო გამოსახულებაში: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

ვექტორული ნამრავლები a → × a → და b → × b → ტოლია 0-ის, ვინაიდან a → × a → = a → a → sin 0 = 0 და b → × b → = b → b → sin 0 = 0, შემდეგ 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. .

ვექტორული ნამრავლის ანტიკომუტატიურობიდან გამომდინარეობს - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებით ვიღებთ ტოლობას 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

პირობით, a → და b → ვექტორები პერპენდიკულარულია, ანუ მათ შორის კუთხე π 2-ის ტოლია. ახლა რჩება მხოლოდ ნაპოვნი მნიშვნელობების შესაბამის ფორმულებში ჩანაცვლება: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

პასუხი: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე განსაზღვრებით არის a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b →. ვინაიდან უკვე ცნობილია (სასკოლო კურსიდან), რომ სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ორი გვერდის სიგრძის ნამრავლის ნახევარს, გამრავლებული ამ გვერდებს შორის კუთხის სინუსზე. მაშასადამე, ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის პარალელოგრამის ფართობს - გაორმაგებული სამკუთხედის, კერძოდ, გვერდების ნამრავლი ვექტორების a → და b → სახით, ერთი წერტილიდან, სინუსზე. მათ შორის კუთხის sin ∠ a → , b → .

ეს არის ვექტორული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ვექტორული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა

მექანიკაში, ფიზიკის ერთ-ერთ ფილიალში, ვექტორული პროდუქტის წყალობით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ძალის მომენტი სივრცის წერტილთან შედარებით.

განმარტება 3

F → ძალის მომენტში, რომელიც გამოიყენება B წერტილზე, A წერტილის მიმართ ჩვენ გავიგებთ შემდეგ ვექტორულ ნამრავლს A B → × F →.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები

სკალარული პროდუქტივექტორები, განმარტება, თვისებები

ხაზოვანი მოქმედებები ვექტორებზე.

ვექტორები, ძირითადი ცნებები, განმარტებები, მათზე წრფივი მოქმედებები

სიბრტყეზე ვექტორი არის მისი წერტილების მოწესრიგებული წყვილი, ხოლო პირველ წერტილს ეწოდება დასაწყისი, ხოლო მეორეს დასასრული - ვექტორის.

ორ ვექტორს ტოლი ეწოდება, თუ ისინი ტოლია და თანამიმართულები.

ვექტორებს, რომლებიც დევს ერთსა და იმავე წრფეზე, ეწოდება თანამიმართულები, თუ ისინი თანამიმართულნი არიან იმავე ვექტორთან, რომელიც არ დევს ამ წრფეზე.

ვექტორებს, რომლებიც დევს ერთსა და იმავე წრფეზე ან პარალელურ ხაზებზე, ეწოდება კოლინარული, ხოლო კოლინარული, მაგრამ არა თანამიმართულები, საპირისპირო მიმართულები.

პერპენდიკულარულ წრფეებზე მოთავსებულ ვექტორებს ორთოგონალური ეწოდება.

განმარტება 5.4. ჯამი ა+ბ ვექტორები ა და ბ ეწოდება ვექტორი, რომელიც მოდის ვექტორის დასაწყისიდან ა ვექტორის ბოლომდე ბ , თუ ვექტორის დასაწყისი ბ ემთხვევა ვექტორის დასასრულს ა .

განმარტება 5.5. განსხვავება ა - ბ ვექტორები ა და ბ ასეთ ვექტორს უწოდებენ თან , რომელიც ვექტორთან ერთად ბ იძლევა ვექტორს ა .

განმარტება 5.6. მუშაობაკ ა ვექტორი ა თითო რიცხვზე კვექტორი ეწოდება ბ , კოლინარული ვექტორი ა , რომელსაც აქვს მოდული | კ||ა | და მიმართულება, რომელიც იგივეა, რაც მიმართულება ა ზე კ>0 და საპირისპირო ა ზე კ<0.

ვექტორის რიცხვზე გამრავლების თვისებები:

საკუთრება 1. კ(ა+ბ ) = კ ა+ კ ბ.

საკუთრება 2. (კ+მ)ა = კ ა+ მ ა.

საკუთრება 3. კ(მ ა) = (კმ)ა .

შედეგი. თუ არა ნულოვანი ვექტორები ა და ბ არის კოლინარული, მაშინ არის რიცხვი კ, რა b= კ ა.

ორი არანულოვანი ვექტორის სკალარული ნამრავლი ადა ბამ ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის φ კუთხის კოსინუსის ნამრავლის ტოლი რიცხვი (სკალარი). სკალარული პროდუქტი შეიძლება გამოიხატოს სხვადასხვა გზით, მაგალითად, როგორც აბ, ა · ბ, (ა , ბ), (ა · ბ). ასე რომ, წერტილის პროდუქტი არის:

ა · ბ = |ა| · | ბ| cos φ

თუ ვექტორებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია, მაშინ სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია.

პერმუტაციის თვისება: ა · ბ = ბ · ა(სკალარული პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან);

განაწილების საკუთრება: ა · ( ბ · გ) = (ა · ბ) · გ(შედეგი არ არის დამოკიდებული გამრავლების თანმიმდევრობაზე);

კომბინაციის თვისება (სკალარული ფაქტორის მიმართ): (λ ა) · ბ = λ ( ა · ბ).

ორთოგონალურობის თვისება (პერპენდიკულარულობა): თუ ვექტორი ადა ბარა ნულოვანი, მაშინ მათი წერტილოვანი ნამრავლი არის მხოლოდ მაშინ, როდესაც ეს ვექტორები ორთოგონალურია (ერთმანეთზე პერპენდიკულარული) ა ┴ ბ;

კვადრატული ქონება: ა · ა = ა 2 = |ა| 2 (ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთან უდრის მისი მოდულის კვადრატს);

თუ ვექტორების კოორდინატები ა=(x 1 , y 1 , z 1 ) და ბ=(x 2 , y 2 , z 2 ), მაშინ სკალარული ნამრავლია ა · ბ= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.

ვექტორების დამჭერი ვექტორები. განმარტება: ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი და გაგებულია, როგორც ვექტორი, რომლისთვისაც:

მოდული უდრის ამ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობს, ე.ი. , სად არის კუთხე ვექტორებს შორის და

ეს ვექტორი პერპენდიკულარულია გამრავლებულ ვექტორებზე, ე.ი.

თუ ვექტორები არასწორხაზოვანია, მაშინ ისინი ქმნიან ვექტორთა მარჯვენა სამეულს.

ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები:

1. როდესაც ფაქტორების თანმიმდევრობა იცვლება, ვექტორული ნამრავლი ცვლის თავის ნიშანს საპირისპიროდ, ინარჩუნებს მოდულს, ე.ი.

2 .ვექტორული კვადრატი უდრის ნულოვან ვექტორს, ე.ი.

3 .სკალარული ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ვექტორული ნამრავლის ნიშნიდან, ე.ი.

4 .ნებისმიერი სამი ვექტორისთვის ტოლობა

5 .აუცილებელი და საკმარისი პირობა ორი ვექტორის კოლინარობისთვის და :