მათემატიკური მოდელი b არის რეალობის მათემატიკური წარმოდგენა.

მათემატიკის მოდელირება- მათემატიკური მოდელების აგებისა და შესწავლის პროცესი.

ყველა საბუნებისმეტყველო და სოციალური მეცნიერება, რომელიც იყენებს მათემატიკურ აპარატს, არსებითად არის დაკავებული მათემატიკური მოდელირებით: ისინი ცვლიან რეალურ ობიექტს თავისი მათემატიკური მოდელით და შემდეგ სწავლობენ ამ უკანასკნელს.

განმარტებები.

ვერც ერთი განსაზღვრება სრულად ვერ ფარავს მათემატიკური მოდელირების ფაქტობრივ აქტივობას. ამის მიუხედავად, განმარტებები სასარგებლოა იმით, რომ ისინი ცდილობენ ხაზი გაუსვან ყველაზე მნიშვნელოვან მახასიათებლებს.

მოდელის განმარტება A.A. Lyapunov-ის მიხედვით: მოდელირება არის ობიექტის არაპირდაპირი პრაქტიკული ან თეორიული შესწავლა, რომელშიც უშუალოდ შესწავლილი არ არის თავად ობიექტი, რომელიც გვაინტერესებს, არამედ ზოგიერთი დამხმარე ხელოვნური ან ბუნებრივი სისტემა:

განლაგებულია რაღაც ობიექტურ შესაბამისობაში შესაცნობ ობიექტთან;

შეუძლია შეცვალოს იგი გარკვეული თვალსაზრისით;

რომელიც შესწავლისას საბოლოოდ იძლევა ინფორმაციას მოდელირებული ობიექტის შესახებ.

სოვეტოვისა და იაკოვლევის სახელმძღვანელოს მიხედვით: ”მოდელი არის ორიგინალური ობიექტის შემცვლელი ობიექტი, რომელიც უზრუნველყოფს ორიგინალის ზოგიერთი თვისების შესწავლას”. „ერთი ობიექტის მეორეთი ჩანაცვლებას მოდელის ობიექტის გამოყენებით ორიგინალური ობიექტის ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებების შესახებ ინფორმაციის მისაღებად ეწოდება მოდელირება“. „მათემატიკური მოდელირებაში ჩვენ ვგულისხმობთ მოცემულ რეალურ ობიექტსა და ზოგიერთ მათემატიკურ ობიექტს შორის შესაბამისობის დამყარების პროცესს, რომელსაც ეწოდება მათემატიკური მოდელი, და ამ მოდელის შესწავლას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ განსახილველი რეალური ობიექტის მახასიათებლები. მათემატიკური მოდელის ტიპი დამოკიდებულია როგორც რეალური ობიექტის ბუნებაზე, ასევე ობიექტის შესწავლის ამოცანებზე და ამ პრობლემის გადაჭრის საჭირო სანდოობასა და სიზუსტეზე“.

სამარსკის და მიხაილოვის აზრით, მათემატიკური მოდელი არის ობიექტის „ექვივალენტი“, რომელიც მათემატიკური ფორმით ასახავს მის ყველაზე მნიშვნელოვან თვისებებს: კანონებს, რომლებსაც ემორჩილება, მისი შემადგენელი ნაწილების თანდაყოლილი კავშირები და ა.შ. ის არსებობს ტრიადებში. მოდელი-ალგორითმი-პროგრამა” . ტრიადის „მოდელი-ალგორითმი-პროგრამის“ შექმნის შემდეგ, მკვლევარი იღებს უნივერსალურ, მოქნილ და იაფ ინსტრუმენტს, რომელიც პირველად გამართულია და ტესტირება ხდება საცდელ გამოთვლით ექსპერიმენტებში. მას შემდეგ, რაც დადგინდება ტრიადის ადეკვატურობა თავდაპირველ ობიექტთან, ტარდება სხვადასხვა და დეტალური „ექსპერიმენტები“ მოდელთან, რაც იძლევა ობიექტის ყველა საჭირო თვისებრივ და რაოდენობრივ თვისებასა და მახასიათებელს.

მიშკისის მონოგრაფიის მიხედვით: „გადავიდეთ ზოგად განმარტებაზე. დავუშვათ, რომ ჩვენ ვაპირებთ შევისწავლოთ a-ს რეალური ობიექტის თვისებების S სიმრავლე

მათემატიკის გამოყენებით. ამისთვის ვირჩევთ „მათემატიკურ ობიექტს“ a“ - განტოლებათა სისტემა, ან არითმეტიკული მიმართებები, ან გეომეტრიული ფიგურები, ან ორივეს კომბინაცია და ა.შ. S-ის თვისებები. ამ პირობებში a"-ს ეწოდება ობიექტის მათემატიკური მოდელი მისი თვისებების S სიმრავლესთან შედარებით."

სევოსტიანოვის ა.გ.-ს თანახმად: ”მათემატიკური მოდელი არის მათემატიკური ურთიერთობების, განტოლებების, უტოლობების და ა.

მათემატიკური მოდელის გარკვეულწილად ნაკლებად ზოგადი განმარტება, რომელიც დაფუძნებულია ავტომატების თეორიიდან ნასესხები შეყვანა-გამომავალი-მდგომარეობის იდეალიზაციაზე, მოცემულია ვიქციონის მიერ: „პროცესის, მოწყობილობის ან თეორიული იდეის აბსტრაქტული მათემატიკური წარმოდგენა; ის იყენებს ცვლადების ერთობლიობას შეყვანის, გამომავალი და შიდა მდგომარეობების წარმოსადგენად და განტოლებებისა და უტოლობების ერთობლიობას მათი ურთიერთქმედების აღსაწერად.

და ბოლოს, მათემატიკური მოდელის ყველაზე ლაკონური განმარტება არის: „განტოლება, რომელიც გამოხატავს იდეას“.

მოდელების ფორმალური კლასიფიკაცია.

მოდელების ფორმალური კლასიფიკაცია ეფუძნება გამოყენებული მათემატიკური ინსტრუმენტების კლასიფიკაციას. ხშირად აგებულია დიქოტომიის სახით. მაგალითად, დიქოტომიის ერთ-ერთი პოპულარული ნაკრები:

ხაზოვანი ან არაწრფივი მოდელები; კონცენტრირებული ან განაწილებული სისტემები; დეტერმინისტული ან სტოქასტური; სტატიკური ან დინამიური; დისკრეტული ან უწყვეტი.

და ასე შემდეგ. თითოეული აგებული მოდელი არის წრფივი ან არაწრფივი, დეტერმინისტული თუ სტოქასტური,... ბუნებრივია, შესაძლებელია შერეული ტიპებიც: კონცენტრირებული ერთ მხრივ, განაწილებული მეორეში და ა.შ.

კლასიფიკაცია ობიექტის წარმოდგენის მიხედვით.

ფორმალურ კლასიფიკაციასთან ერთად, მოდელები განსხვავდებიან ობიექტის წარმოდგენით:

სტრუქტურული მოდელები წარმოადგენს ობიექტს, როგორც სისტემას თავისი სტრუქტურით და ფუნქციონირების მექანიზმით. ფუნქციური მოდელები არ იყენებენ ასეთ წარმოდგენებს და ასახავს მხოლოდ ობიექტის გარეგნულად აღქმულ ქცევას. მათი ექსტრემალური გამოხატულებით, მათ ასევე უწოდებენ "შავ ყუთს" მოდელებს, ასევე შესაძლებელია კომბინირებული ტიპის მოდელები, რომლებსაც ზოგჯერ "ნაცრისფერი ყუთის" მოდელებსაც უწოდებენ.

თითქმის ყველა ავტორი, რომელიც აღწერს მათემატიკური მოდელირების პროცესს, მიუთითებს, რომ პირველ რიგში აგებულია სპეციალური იდეალური სტრუქტურა, აზრიანი მოდელი. აქ ჩამოყალიბებული ტერმინოლოგია არ არსებობს და სხვა ავტორები ამ იდეალურ ობიექტს კონცეპტუალურ მოდელს, სპეკულაციურ მოდელს ან წინასწარ მოდელს უწოდებენ. ამ შემთხვევაში, საბოლოო მათემატიკურ კონსტრუქციას უწოდებენ ფორმალურ მოდელს ან უბრალოდ მათემატიკურ მოდელს, რომელიც მიიღება ამ მნიშვნელოვანი მოდელის ფორმალიზების შედეგად. მნიშვნელოვანი მოდელის აგება შეიძლება განხორციელდეს მზა იდეალიზაციების ნაკრების გამოყენებით, როგორც მექანიკაში, სადაც იდეალური ზამბარები, ხისტი სხეულები, იდეალური ქანქარები, ელასტიური მედია და ა.შ. უზრუნველყოფს მზა სტრუქტურულ ელემენტებს აზრიანი მოდელირებისთვის. თუმცა, ცოდნის სფეროებში, სადაც არ არსებობს სრულად დასრულებული ფორმალიზებული თეორიები, მნიშვნელოვანი მოდელების შექმნა მკვეთრად რთულდება.

რ. პეიერლის ნაშრომში მოცემულია მათემატიკური მოდელების კლასიფიკაცია, რომლებიც გამოიყენება ფიზიკაში და, უფრო ფართოდ, საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში. A. N. Gorban და R. G. Khlebopros-ის წიგნში ეს კლასიფიკაცია გაანალიზებულია და გაფართოვებულია. ეს კლასიფიკაცია ძირითადად ორიენტირებულია მნიშვნელოვანი მოდელის აგების ეტაპზე.

ეს მოდელები „ასახავს ფენომენის სავარაუდო აღწერას და ავტორს ან სჯერა მისი შესაძლებლობის ან ჭეშმარიტადაც კი მიიჩნევს მას“. რ. პეიერლის აზრით, ეს არის, მაგალითად, მზის სისტემის მოდელი პტოლემეისა და კოპერნიკის მოდელის მიხედვით, რეზერფორდის ატომური მოდელი და დიდი აფეთქების მოდელი.

მეცნიერებაში არც ერთი ჰიპოთეზა არ შეიძლება ერთხელ და სამუდამოდ დადასტურდეს. რიჩარდ ფეინმანმა ეს ძალიან მკაფიოდ ჩამოაყალიბა:

„ჩვენ ყოველთვის გვაქვს შესაძლებლობა უარვყოთ თეორია, მაგრამ გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ ვერასოდეს დავამტკიცებთ, რომ ეს არის სწორი. დავუშვათ, რომ თქვენ წამოაყენეთ წარმატებული ჰიპოთეზა, გამოთვალეთ სად მივყავართ მას და აღმოაჩინეთ, რომ მისი ყველა შედეგი დადასტურებულია ექსპერიმენტულად. ეს ნიშნავს რომ შენი თეორია სწორია? არა, ეს უბრალოდ ნიშნავს, რომ თქვენ ვერ უარყავით ეს“.

თუ აშენდა პირველი ტიპის მოდელი, ეს ნიშნავს, რომ ის დროებით აღიარებულია ჭეშმარიტებად და შეიძლება სხვა პრობლემებზე კონცენტრირება. თუმცა, ეს არ შეიძლება იყოს კვლევის წერტილი, არამედ მხოლოდ დროებითი პაუზა: პირველი ტიპის მოდელის სტატუსი შეიძლება იყოს მხოლოდ დროებითი.

ფენომენოლოგიური მოდელი შეიცავს ფენომენის აღწერის მექანიზმს. თუმცა, ეს მექანიზმი არ არის საკმარისად დამაჯერებელი, არ შეიძლება საკმარისად დადასტურდეს არსებული მონაცემებით, ან კარგად არ ჯდება არსებულ თეორიებთან და ობიექტის შესახებ დაგროვილ ცოდნასთან. აქედან გამომდინარე, ფენომენოლოგიურ მოდელებს აქვთ დროებითი გადაწყვეტის სტატუსი. ითვლება, რომ პასუხი ჯერ კიდევ უცნობია და „ჭეშმარიტი მექანიზმების“ ძიება უნდა გაგრძელდეს. Peierls მოიცავს, მაგალითად, კალორიულ მოდელს და ელემენტარული ნაწილაკების კვარკის მოდელს, როგორც მეორე ტიპს.

მოდელის როლი კვლევაში შეიძლება დროთა განმავლობაში შეიცვალოს; შეიძლება მოხდეს, რომ ახალი მონაცემები და თეორიები ადასტურებენ ფენომენოლოგიურ მოდელებს და ისინი განახლდება

ჰიპოთეზის სტატუსი. ანალოგიურად, ახალი ცოდნა თანდათან შეიძლება შევიდეს კონფლიქტში პირველი ტიპის მოდელ-ჰიპოთეზებთან და მათი გადატანა მეორეში. ამრიგად, კვარკის მოდელი თანდათან გადადის ჰიპოთეზების კატეგორიაში; ატომიზმი ფიზიკაში წარმოიშვა, როგორც დროებითი გამოსავალი, მაგრამ ისტორიის მსვლელობისას იგი გახდა პირველი ტიპი. მაგრამ ეთერულმა მოდელებმა გაიარეს გზა 1-დან მე-2 ტიპამდე და ახლა მეცნიერების მიღმა არიან.

გამარტივების იდეა ძალიან პოპულარულია მოდელების აშენებისას. მაგრამ გამარტივება სხვადასხვა ფორმით მოდის. Peierls განსაზღვრავს სამ ტიპს მოდელირების გამარტივებას.

თუ შესაძლებელია განტოლებების აგება, რომლებიც აღწერს შესასწავლ სისტემას, ეს არ ნიშნავს, რომ მათი ამოხსნა შესაძლებელია კომპიუტერის დახმარებითაც კი. საერთო ტექნიკა ამ შემთხვევაში არის მიახლოებების გამოყენება. მათ შორისაა ხაზოვანი რეაგირების მოდელები. განტოლებები შეიცვალა წრფივი. სტანდარტული მაგალითია ომის კანონი.

თუ ჩვენ გამოვიყენებთ გაზის იდეალურ მოდელს საკმარისად იშვიათი გაზების აღსაწერად, მაშინ ეს არის მე-3 ტიპის მოდელი. უფრო მაღალი სიმკვრივის დროს, ასევე სასარგებლოა უფრო მარტივი სიტუაციის წარმოდგენა იდეალური გაზით ხარისხობრივი გაგებისა და შეფასებისთვის, მაგრამ ეს არის უკვე ტიპი 4.

მე-4 ტიპის მოდელში უგულებელყოფილია დეტალები, რომლებსაც შეუძლიათ მნიშვნელოვანი და არა ყოველთვის კონტროლირებადი გავლენა შედეგზე. იგივე განტოლებები შეიძლება იყოს მე-3 ან მე-4 ტიპის მოდელი, იმისდა მიხედვით, თუ რა ფენომენია გამოყენებული მოდელის შესასწავლად. ასე რომ, თუ ხაზოვანი რეაგირების მოდელები გამოიყენება უფრო რთული მოდელების არარსებობის შემთხვევაში, მაშინ ეს უკვე ფენომენოლოგიური ხაზოვანი მოდელებია და ისინი მიეკუთვნებიან შემდეგ ტიპს 4.

მაგალითები: იდეალური აირის მოდელის გამოყენება არაიდეალურ გაზზე, ვან დერ ვაალის განტოლება, მყარი მდგომარეობის მოდელების უმეტესობა, თხევადი და ბირთვული ფიზიკა. გზა მიკროაღწერიდან დიდი რაოდენობით ნაწილაკებისგან შემდგარი სხეულების თვისებამდე ძალიან გრძელია. ბევრი დეტალი უნდა იქნას აცილებული. ეს იწვევს მე-4 ტიპის მოდელებს.

ევრისტიკული მოდელი ინარჩუნებს მხოლოდ თვისებრივ მსგავსებას რეალობასთან და აკეთებს პროგნოზებს მხოლოდ „სიდიდის მიხედვით“. ტიპიური მაგალითია კინეტიკური თეორიის საშუალო თავისუფალი ბილიკის მიახლოება. იგი იძლევა მარტივ ფორმულებს სიბლანტის, დიფუზიისა და თბოგამტარობის კოეფიციენტებისთვის, რომლებიც შეესაბამება რეალობას სიდიდის მიხედვით.

მაგრამ ახალი ფიზიკის აგებისას დაუყოვნებლივ არ არის შესაძლებელი მოდელის მოპოვება, რომელიც მინიმუმ ხარისხობრივ აღწერას იძლევა ობიექტის - მეხუთე ტიპის მოდელს. ამ შემთხვევაში, მოდელი ხშირად გამოიყენება ანალოგიით, რომელიც ასახავს რეალობას მინიმუმ გარკვეულ დეტალებში.

რ. პეიერსი გვაძლევს ანალოგიების გამოყენების ისტორიას ვ.ჰაიზენბერგის პირველ სტატიაში ბირთვული ძალების ბუნების შესახებ. „ეს მოხდა ნეიტრონის აღმოჩენის შემდეგ და მიუხედავად იმისა, რომ თავად ვ. ჰაიზენბერგმა გააცნობიერა, რომ შესაძლებელი იყო ბირთვების აღწერა, როგორც ნეიტრონებისა და პროტონებისგან შემდგარი ბირთვი, მან მაინც ვერ მოიშორა იდეა, რომ ნეიტრონი საბოლოოდ უნდა შედგებოდეს პროტონისგან და. ელექტრონი. ამ შემთხვევაში წარმოიშვა ანალოგია ნეიტრონო-პროტონულ სისტემაში ურთიერთქმედებასა და წყალბადის ატომისა და პროტონის ურთიერთქმედებას შორის. სწორედ ამ ანალოგიამ მიიყვანა ის დასკვნამდე, რომ ნეიტრონსა და პროტონს შორის უნდა არსებობდეს ურთიერთქმედების გაცვლითი ძალები, რომლებიც მსგავსია H - H სისტემაში არსებული გაცვლის ძალებისა, რომლებიც გამოწვეულია ელექტრონის ორ პროტონს შორის გადასვლით. ... მოგვიანებით, ნეიტრონსა და პროტონს შორის ურთიერთქმედების გაცვლითი ძალების არსებობა მაინც დადასტურდა, თუმცა ისინი ბოლომდე არ იყო ამოწურული.

ურთიერთქმედება ორ ნაწილაკს შორის... მაგრამ, იგივე ანალოგიით, ვ. ჰაიზენბერგი მივიდა იმ დასკვნამდე, რომ არ არსებობს ორ პროტონს შორის ურთიერთქმედების ბირთვული ძალები და ორ ნეიტრონს შორის მოგერიების პოსტულაცია. ორივე ეს უკანასკნელი აღმოჩენა ეწინააღმდეგება უახლეს კვლევებს. ”

ა.აინშტაინი იყო აზროვნების ექსპერიმენტების ერთ-ერთი დიდი ოსტატი. აქ არის მისი ერთ-ერთი ექსპერიმენტი. იგი გამოიგონეს მის ახალგაზრდობაში და საბოლოოდ განაპირობა ფარდობითობის სპეციალური თეორიის აგება. დავუშვათ, რომ კლასიკურ ფიზიკაში სინათლის სიჩქარით ვმოძრაობთ სინათლის ტალღის უკან. ჩვენ დავაკვირდებით ელექტრომაგნიტურ ველს, რომელიც პერიოდულად იცვლება სივრცეში და მუდმივია დროში. მაქსველის განტოლებების მიხედვით, ეს არ შეიძლება მოხდეს. აქედან გამომდინარე, ახალგაზრდა აინშტაინმა დაასკვნა: ან ბუნების კანონები იცვლება, როდესაც საცნობარო სისტემა იცვლება, ან სინათლის სიჩქარე არ არის დამოკიდებული საცნობარო სისტემაზე. მან აირჩია მეორე - უფრო ლამაზი ვარიანტი. კიდევ ერთი ცნობილი აინშტაინის სააზროვნო ექსპერიმენტი არის აინშტაინ-პოდოლსკი-როზენის პარადოქსი.

აქ მოდის ტიპი 8, რომელიც ფართოდ არის გავრცელებული ბიოლოგიური სისტემების მათემატიკურ მოდელებში.

ეს ასევე არის სააზროვნო ექსპერიმენტები წარმოსახვით არსებებთან, რაც აჩვენებს, რომ სავარაუდო ფენომენი შეესაბამება ძირითად პრინციპებს და შინაგანად შეესაბამება. ეს არის მთავარი განსხვავება 7 ტიპის მოდელებისგან, რომლებიც ავლენენ ფარულ წინააღმდეგობებს.

ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი ასეთი ექსპერიმენტია ლობაჩევსკის გეომეტრია. კიდევ ერთი მაგალითია ქიმიური და ბიოლოგიური ვიბრაციების ფორმალურად კინეტიკური მოდელების მასობრივი წარმოება, ავტოტალღები და ა.შ. აინშტაინ-პოდოლსკი-როზენის პარადოქსი ჩაფიქრებული იყო როგორც მე-7 ტიპის მოდელი კვანტური მექანიკის შეუსაბამობის დემონსტრირებისთვის. სრულიად დაუგეგმავად, ის საბოლოოდ გადაიქცა 8 ტიპის მოდელად - ინფორმაციის კვანტური ტელეპორტაციის შესაძლებლობის დემონსტრირება.

განვიხილოთ მექანიკური სისტემა, რომელიც შედგება ერთ ბოლოზე დამაგრებული ზამბარისგან და ზამბარის თავისუფალ ბოლოზე მიმაგრებული m მასისგან. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ დატვირთვას შეუძლია გადაადგილება მხოლოდ ზამბარის ღერძის მიმართულებით. მოდით ავაშენოთ ამ სისტემის მათემატიკური მოდელი. ჩვენ აღვწერთ სისტემის მდგომარეობას დატვირთვის ცენტრიდან მის წონასწორობამდე x მანძილით. მოდით აღვწეროთ ზამბარისა და დატვირთვის ურთიერთქმედება ჰუკის კანონის გამოყენებით და შემდეგ გამოვიყენოთ ნიუტონის მეორე კანონი დიფერენციალური განტოლების სახით გამოსახატავად:

სადაც ნიშნავს x-ის მეორე წარმოებულს დროის მიმართ..

შედეგად მიღებული განტოლება აღწერს განხილული ფიზიკური სისტემის მათემატიკურ მოდელს. ამ მოდელს ეწოდება "ჰარმონიული ოსცილატორი".

ფორმალური კლასიფიკაციის მიხედვით, ეს მოდელი არის წრფივი, დეტერმინისტული, დინამიური, კონცენტრირებული, უწყვეტი. მისი მშენებლობის პროცესში ჩვენ გამოვთქვით მრავალი ვარაუდი, რომელიც შესაძლოა რეალობაში არ შესრულდეს.

რეალობასთან მიმართებაში, ეს ყველაზე ხშირად გამარტივების მე-4 ტიპის მოდელია, ვინაიდან ზოგიერთი არსებითი უნივერსალური მახასიათებელი გამოტოვებულია. გარკვეული მიახლოებით, ასეთი მოდელი საკმაოდ კარგად აღწერს რეალურ მექანიკურ სისტემას, ვინაიდან

უგულებელყოფილი ფაქტორები მის ქცევაზე უმნიშვნელო გავლენას ახდენს. თუმცა, მოდელის დახვეწა შესაძლებელია ზოგიერთი ამ ფაქტორების გათვალისწინებით. ეს გამოიწვევს ახალ მოდელს გამოყენების ფართო სპექტრით.

თუმცა, მოდელის დახვეწისას, მისი მათემატიკური კვლევის სირთულე შეიძლება მნიშვნელოვნად გაიზარდოს და მოდელი პრაქტიკულად უსარგებლო გახდეს. ხშირად, უფრო მარტივი მოდელი რეალური სისტემის უკეთ და ღრმა შესწავლის საშუალებას იძლევა, ვიდრე უფრო რთული.

თუ ჰარმონიული ოსცილატორის მოდელს გამოვიყენებთ ფიზიკისგან შორს მდებარე ობიექტებზე, მისი არსებითი სტატუსი შეიძლება განსხვავებული იყოს. მაგალითად, ბიოლოგიურ პოპულაციებზე ამ მოდელის გამოყენებისას, ის სავარაუდოდ კლასიფიცირდება როგორც მე-6 ტიპის ანალოგი.

მყარი და რბილი მოდელები.

ჰარმონიული ოსცილატორი არის ეგრეთ წოდებული "მყარი" მოდელის მაგალითი. ის მიიღება რეალური ფიზიკური სისტემის ძლიერი იდეალიზაციის შედეგად. მისი გამოყენებადობის საკითხის გადასაჭრელად აუცილებელია გვესმოდეს, რამდენად მნიშვნელოვანია ის ფაქტორები, რომლებიც ჩვენ უგულებელყოფილია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აუცილებელია „რბილი“ მოდელის შესწავლა, რომელიც მიიღება „ხისტის“ მცირე აშლილობით. ეს შეიძლება იყოს მოცემული, მაგალითად, შემდეგი განტოლებით:

აქ არის გარკვეული ფუნქცია, რომელსაც შეუძლია გაითვალისწინოს ხახუნის ძალა ან ზამბარის სიხისტის კოეფიციენტის დამოკიდებულება მისი გაჭიმვის ხარისხზე, ε არის რაღაც მცირე პარამეტრი. ჩვენ არ გვაინტერესებს f ფუნქციის აშკარა ფორმა ამ მომენტში. თუ დავამტკიცებთ, რომ რბილი მოდელის ქცევა ძირეულად არ განსხვავდება მძიმე მოდელის ქცევისგან, პრობლემა დაიყვანება მყარი მოდელის შესწავლაზე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ხისტი მოდელის შესწავლით მიღებული შედეგების გამოყენება დამატებით კვლევას მოითხოვს. მაგალითად, ჰარმონიული ოსცილატორის განტოლების ამოხსნა არის ფორმის ფუნქციები

ანუ მუდმივი ამპლიტუდის მქონე რხევები. აქედან გამომდინარეობს თუ არა, რომ რეალური ოსცილატორი განუსაზღვრელი ვადით ირხევა მუდმივი ამპლიტუდით? არა, რადგან თვითნებურად მცირე ხახუნის მქონე სისტემის გათვალისწინებით, ჩვენ მივიღებთ დარბილებულ რხევებს. ხარისხობრივად შეიცვალა სისტემის ქცევა.

თუ სისტემა ინარჩუნებს თავის ხარისხობრივ ქცევას მცირე დარღვევების დროს, ამბობენ, რომ ის სტრუქტურულად სტაბილურია. ჰარმონიული ოსცილატორი არის სტრუქტურულად არასტაბილური სისტემის მაგალითი. თუმცა, ეს მოდელი შეიძლება გამოყენებულ იქნას პროცესების შესასწავლად შეზღუდული დროის განმავლობაში.

მოდელების მრავალფეროვნება.

ყველაზე მნიშვნელოვან მათემატიკურ მოდელებს, როგორც წესი, აქვთ უნივერსალურობის მნიშვნელოვანი თვისება: ერთი და იგივე მათემატიკური მოდელით შეიძლება აღწერილი იყოს ფუნდამენტურად განსხვავებული რეალური მოვლენები. მაგალითად, ჰარმონიული ოსცილატორი აღწერს არა მხოლოდ დატვირთვის ქცევას ზამბარზე, არამედ სხვა რხევის პროცესებსაც, ხშირად სრულიად განსხვავებული ხასიათისა: ქანქარის მცირე რხევები, სითხის დონის რყევები U- ფორმის ჭურჭელში. , ან დენის სიძლიერის ცვლილება რხევის წრეში. ამრიგად, ერთი მათემატიკური მოდელის შესწავლით, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვსწავლობთ მის მიერ აღწერილ ფენომენთა მთელ კლასს. სწორედ მათემატიკური მოდელებით გამოხატული კანონების ეს იზომორფიზმია სამეცნიერო ცოდნის სხვადასხვა სეგმენტში, რომელმაც შთააგონა ლუდვიგ ფონ ბერტალანფი შექმნა „სისტემების ზოგადი თეორია“.

მათემატიკური მოდელირების პირდაპირი და შებრუნებული ამოცანები

მათემატიკური მოდელირებასთან დაკავშირებული ბევრი პრობლემაა. პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეადგინოთ მოდელირებული ობიექტის ძირითადი დიაგრამა, მისი რეპროდუცირება ამ მეცნიერების იდეალიზაციების ფარგლებში. ამრიგად, მატარებლის ვაგონი იქცევა ფირფიტების სისტემად და უფრო რთულად

სხვადასხვა მასალისგან დამზადებული სხეულები, თითოეული მასალა მითითებულია, როგორც მისი სტანდარტული მექანიკური იდეალიზება, რის შემდეგაც დგება განტოლებები, გზაზე ზოგიერთი დეტალი უგულებელყოფილია, როგორც უმნიშვნელო, კეთდება გამოთვლები, გაზომვებთან შედარებით, მოდელი დახვეწილია და ა.შ. თუმცა, მათემატიკური მოდელირების ტექნოლოგიების შესამუშავებლად, სასარგებლოა ამ პროცესის დაშლა მის ძირითად კომპონენტებად.

ტრადიციულად, მათემატიკურ მოდელებთან დაკავშირებული პრობლემების ორი ძირითადი კლასია: პირდაპირი და ინვერსიული.

პირდაპირი დავალება: მოდელის სტრუქტურა და მისი ყველა პარამეტრი ცნობად ითვლება, მთავარი ამოცანაა მოდელის შესწავლა ობიექტის შესახებ სასარგებლო ცოდნის გამოსატანად. რა სტატიკურ დატვირთვას გაუძლებს ხიდი? როგორ რეაგირებს ის დინამიურ დატვირთვაზე, როგორ გადალახავს თვითმფრინავი ხმის ბარიერს, დაიშლება თუ არა ფრიალისგან - ეს პირდაპირი პრობლემის ტიპიური მაგალითებია. სწორი პირდაპირი პრობლემის დაყენება განსაკუთრებულ უნარს მოითხოვს. თუ სწორი კითხვები არ დაისმება, ხიდი შეიძლება ჩამოინგრეს, მაშინაც კი, თუ აშენდა მისი ქცევის კარგი მოდელი. ამგვარად, 1879 წელს დიდ ბრიტანეთში ჩამოინგრა ლითონის ხიდი მდინარე ტეიზე, რომლის დიზაინერებმა ააშენეს ხიდის მოდელი, გამოთვალეს, რომ მას აქვს 20-ჯერადი უსაფრთხოების ზღვარი ტვირთის მოქმედებისთვის, მაგრამ დაივიწყეს ქარები. მუდმივად უბერავს იმ ადგილებში. და წელიწადნახევრის შემდეგ დაინგრა.

IN უმარტივეს შემთხვევაში, პირდაპირი პრობლემა ძალიან მარტივია და მცირდება ამ განტოლების აშკარა ამოხსნამდე.

ინვერსიული პრობლემა: ცნობილია მრავალი შესაძლო მოდელი, აუცილებელია კონკრეტული მოდელის შერჩევა ობიექტის შესახებ დამატებითი მონაცემების საფუძველზე. ყველაზე ხშირად, მოდელის სტრუქტურა ცნობილია და საჭიროა გარკვეული უცნობი პარამეტრების დადგენა. დამატებითი ინფორმაცია შეიძლება შედგებოდეს დამატებითი ემპირიული მონაცემებისგან ან ობიექტის მოთხოვნებისგან. დამატებითი მონაცემები შეიძლება მოვიდეს ინვერსიული ამოცანის ამოხსნის პროცესისგან დამოუკიდებლად ან გადაწყვეტის დროს სპეციალურად დაგეგმილი ექსპერიმენტის შედეგი იყოს.

შებრუნებული პრობლემის ოსტატურად გადაწყვეტის ერთ-ერთი პირველი მაგალითი ხელმისაწვდომი მონაცემების სრულად გამოყენებით იყო ი. ნიუტონის მიერ შექმნილი მეთოდი ხახუნის ძალების რეკონსტრუქციისთვის დაკვირვებული დაბერებული რხევებიდან.

IN კიდევ ერთი მაგალითია მათემატიკური სტატისტიკა. ამ მეცნიერების ამოცანაა დაკვირვების და ექსპერიმენტული მონაცემების ჩაწერის, აღწერისა და ანალიზის მეთოდების შემუშავება მასობრივი შემთხვევითი ფენომენების ალბათური მოდელების შესაქმნელად. იმათ. შესაძლო მოდელების ნაკრები შემოიფარგლება სავარაუდო მოდელებით. კონკრეტულ ამოცანებში მოდელების ნაკრები უფრო შეზღუდულია.

კომპიუტერული მოდელირების სისტემები.

მათემატიკური მოდელირების მხარდასაჭერად შემუშავდა კომპიუტერული მათემატიკის სისტემები, მაგალითად, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim და ა.შ. ისინი საშუალებას გაძლევთ შექმნათ როგორც მარტივი, ისე რთული პროცესების და მოწყობილობების ფორმალური და ბლოკირებული მოდელები და მარტივად შეცვალოთ მოდელის პარამეტრები. მოდელირება. ბლოკის მოდელები წარმოდგენილია ბლოკებით, რომელთა ნაკრები და კავშირი მითითებულია მოდელის დიაგრამაში.

დამატებითი მაგალითები.

ზრდის ტემპი ამჟამინდელი მოსახლეობის რაოდენობის პროპორციულია. იგი აღწერილია დიფერენციალური განტოლებით

სადაც α არის გარკვეული პარამეტრი, რომელიც განისაზღვრება შობადობისა და სიკვდილიანობის მაჩვენებელს შორის სხვაობით. ამ განტოლების ამონახსნი არის ექსპონენციალური ფუნქცია x = x0 e. თუ შობადობა აღემატება სიკვდილიანობას, მოსახლეობის რაოდენობა იზრდება განუსაზღვრელი ვადით და ძალიან სწრაფად. გასაგებია, რომ სინამდვილეში ეს არ შეიძლება მოხდეს შეზღუდვების გამო

რესურსები. როდესაც მოსახლეობის გარკვეული კრიტიკული ზომა მიიღწევა, მოდელი წყვეტს ადეკვატურობას, რადგან ის არ ითვალისწინებს შეზღუდულ რესურსებს. მალტუსის მოდელის დახვეწა შეიძლება იყოს ლოგისტიკური მოდელი, რომელიც აღწერილია ვერჰულსტის დიფერენციალური განტოლებით.

სადაც xs არის მოსახლეობის „წონასწორი“ ზომა, რომლის დროსაც შობადობა ზუსტად ანაზღაურდება სიკვდილიანობის მაჩვენებლით. პოპულაციის ზომა ასეთ მოდელში მიდრეკილია xs წონასწორობის მნიშვნელობისკენ და ეს ქცევა სტრუქტურულად სტაბილურია.

ვთქვათ, რომ კონკრეტულ ტერიტორიაზე ორი სახეობის ცხოველი ცხოვრობს: კურდღელი და მელა. კურდღლების რაოდენობა იყოს x, მელიების რაოდენობა იყოს y. მალტუსის მოდელის გამოყენებით საჭირო ცვლილებებით, მელიების მიერ კურდღლების ჭამის გათვალისწინებით, მივდივართ შემდეგ სისტემამდე, რომელიც ატარებს ლოტკა-ვოლტერას მოდელის სახელს:

ამ სისტემას აქვს წონასწორული მდგომარეობა, როდესაც კურდღლებისა და მელაების რაოდენობა მუდმივია. ამ მდგომარეობიდან გადახრა იწვევს კურდღლებისა და მელაების რაოდენობის რყევებს, ჰარმონიული ოსცილატორის რყევების მსგავსი. როგორც ჰარმონიული ოსცილატორის შემთხვევაში, ეს ქცევა არ არის სტრუქტურულად სტაბილური: მოდელის მცირე ცვლილებამ შეიძლება გამოიწვიოს ქცევის თვისებრივი ცვლილება. მაგალითად, წონასწორობის მდგომარეობა შეიძლება გახდეს სტაბილური და რიცხვების რყევები გაქრება. შესაძლებელია საპირისპირო ვითარებაც, როდესაც წონასწორობის პოზიციიდან რაიმე მცირე გადახრა გამოიწვევს კატასტროფულ შედეგებს, ერთ-ერთი სახეობის სრულ გადაშენებამდე. ვოლტერა-ლოტკას მოდელი არ პასუხობს კითხვას, თუ რომელი სცენარი რეალიზდება: აქ საჭიროა დამატებითი კვლევა.

მათემატიკური მოდელის განმარტება

მათემატიკის როლის განმსაზღვრელი მნიშვნელოვანი ფაქტორი სხვადასხვა აპლიკაციებში არის შესასწავლი ობიექტის ყველაზე არსებითი მახასიათებლებისა და თვისებების აღწერის შესაძლებლობა მათემატიკური სიმბოლოებისა და ურთიერთობების ენაზე. ასეთ აღწერას ჩვეულებრივ უწოდებენ მათემატიკური მოდელირებას ან ფორმალიზაციას.

განმარტება 1.მათემატიკური მოდელირეალური ობიექტის (ფენომენის) ეწოდება მის გამარტივებულ, იდეალიზებულ დიაგრამას, რომელიც შედგენილია მათემატიკური სიმბოლოებისა და მოქმედებების (დაკავშირების) გამოყენებით.

კონკრეტული ეკონომიკური ამოცანის (პრობლემის) მათემატიკური მოდელის ასაგებად რეკომენდებულია სამუშაოს შემდეგი თანმიმდევრობის შესრულება:

1. ცნობილი და უცნობი სიდიდეების, აგრეთვე არსებული პირობებისა და წინაპირობების განსაზღვრა (რა არის მოცემული და რა არის საჭირო?);

2. პრობლემის ყველაზე მნიშვნელოვანი ფაქტორების იდენტიფიცირება;

3. კონტროლირებადი და უკონტროლო პარამეტრების იდენტიფიცირება;

4. მათემატიკური აღწერა მოდელის ელემენტებს (პარამეტრებს, ცვლადებს) შორის განტოლებების, უტოლობების, ფუნქციების და სხვა მიმართებების საშუალებით, განსახილველი პრობლემის შინაარსიდან გამომდინარე.

განხილულია პრობლემის ცნობილი პარამეტრები მის მათემატიკურ მოდელთან მიმართებაში გარე(მოცემულია აპრიორი, ანუ მოდელის აშენებამდე). ეკონომიკურ ლიტერატურაში მათ ეძახიან ეგზოგენური ცვლადები. თავდაპირველად უცნობი ცვლადების მნიშვნელობები გამოითვლება მოდელის შესწავლის შედეგად, ამიტომ მოდელთან მიმართებაში ისინი განიხილება შიდა. ეკონომიკურ ლიტერატურაში მათ ეძახიან ენდოგენური ცვლადები.

მიზნის თვალსაზრისით, შეგვიძლია გამოვყოთ აღწერითი მოდელებიდა გადაწყვეტილების მიღების მოდელები. აღწერითი მოდელებიასახავს ეკონომიკური ობიექტების, როგორც ასეთის შინაარსს და ძირითად თვისებებს. მათი დახმარებით გამოითვლება ეკონომიკური ფაქტორების და ინდიკატორების რიცხვითი მნიშვნელობები.

გადაწყვეტილების მიღების მოდელები დაგეხმარებათ იპოვოთ საუკეთესო ვარიანტები დაგეგმილი ინდიკატორების ან მენეჯმენტის გადაწყვეტილებებისთვის. მათ შორის ყველაზე ნაკლებად რთულია ოპტიმიზაციის მოდელები, რომლის მეშვეობითაც აღწერილია (მოდელირებულია) ისეთი ამოცანები, როგორიცაა დაგეგმვა, და ყველაზე რთულია თამაშის მოდელები, რომლებიც აღწერს კონფლიქტურ პრობლემებს, სხვადასხვა ინტერესების გადაკვეთის გათვალისწინებით. ეს მოდელები განსხვავდებიან აღწერილობითი მოდელებისგან იმით, რომ მათ აქვთ კონტროლის პარამეტრების მნიშვნელობების არჩევის უნარი (რაც არ ხდება აღწერილ მოდელებში).

გადაწყვეტილების მიღების ზოგადი სქემა

მათემატიკური ეკონომიკაში რთულია გადაწყვეტილების მიღების მოდელების როლის გადაჭარბება. ყველაზე ხშირად გამოიყენება ისეთები, რომლებიც ამცირებს წარმოების ოპტიმალური დაგეგმვის, შეზღუდული რესურსების რაციონალური განაწილებისა და ეკონომიკური სუბიექტების ეფექტური საქმიანობის თავდაპირველ პრობლემებს უკიდურეს პრობლემებამდე, ოპტიმალური კონტროლის პრობლემებამდე და თამაშის პრობლემებამდე. როგორია ასეთი მოდელების ზოგადი სტრუქტურა?

გადაწყვეტილების მიღების ნებისმიერ ამოცანას ახასიათებს გარკვეული მიზნების მიმავალი პირის ან პირების არსებობა და ამისთვის გარკვეული შესაძლებლობების მქონე. აქედან გამომდინარე, გადაწყვეტილების მიღების მოდელის ძირითადი ელემენტების დასადგენად, აუცილებელია პასუხის გაცემა შემდეგ კითხვებზე:

ვინ იღებს გადაწყვეტილებას?

რა არის გადაწყვეტილების მიღების მიზნები?

џ რისგან შედგება გადაწყვეტილების მიღება?

რა არის მიზნის მიღწევის მრავალი შესაძლო ვარიანტი?

џ რა პირობებში ხდება გადაწყვეტილება?

ასე რომ, ჩვენ წინაშე დგას გარკვეული ზოგადი გადაწყვეტილების მიღების ამოცანა. მისი ფორმალური სქემის (მოდელის) ასაგებად, ჩვენ შემოგთავაზებთ ზოგად აღნიშვნას.

წერილი ნავღნიშნოთ ყველა გადაწყვეტილების მიმღები მხარის ნაკრები. დაე N=(1,2,..., n),იმათ. მხოლოდ n მონაწილეა გამოვლენილი მხოლოდ ნომრებით. თითოეულ ელემენტს ეწოდება გადაწყვეტილების მიმღები (DM). (მაგალითად, ფიზიკური პირი, კომპანია, დიდი კონცერნის დაგეგმვის ორგანო, მთავრობა და ა.შ.).

დავუშვათ, რომ თითოეული გადაწყვეტილების მიმღების ყველა შესაძლო ამოხსნის (ალტერნატივები, სტრატეგიები) ნაკრები ადრე იყო შესწავლილი და აღწერილი მათემატიკურად (მაგალითად, უტოლობების სისტემის სახით). მოდით აღვნიშნოთ ისინი X 1 , X 2 ,..., X ნ . ამის შემდეგ გადაწყვეტილების მიმღები ყველა პირის გადაწყვეტილების მიღების პროცესი მცირდება შემდეგ ფორმალურ აქტამდე: თითოეული გადაწყვეტილების მიმღები ირჩევს კონკრეტულ ელემენტს გადაწყვეტილებების დასაშვები ნაკრებიდან,..., . შედეგი არის შერჩეული ამონახსნების x =(x1,...,xn) ნაკრები, რომელსაც ჩვენ ვუწოდებთ სიტუაციას.

x სიტუაციის შესაფასებლად გადაწყვეტილების მიმღების მიმღები მიზნების თვალსაზრისით, აგებულია ფუნქციები. ვ 1 ,...,ფ ნ (ე.წ. ობიექტური ფუნქციები ან ხარისხის კრიტერიუმები), რომლებიც ანიჭებენ x ციფრულ ქულებს თითოეულ სიტუაციას ვ 1 (x),..., ვ ნ (x)(მაგალითად, ფირმების შემოსავალი x სიტუაციაში, ან მათი ხარჯები და ა.შ.). შემდეგ მიზანი მე- გადაწყვეტილების მიმღები ფორმალიზებულია შემდეგნაირად: აირჩიე გამოსავალი ისეთი, რომ სიტუაციაში x =(x 1 ,...,X ნ ) ნომერი ვ მე (X)იყო რაც შეიძლება დიდი (ან პატარა). თუმცა, ამ მიზნის მიღწევა მასზეა დამოკიდებული ნაწილობრივ სხვა მხარეების არსებობის გამო, რომლებიც გავლენას ახდენენ საერთო სიტუაციაზე x საკუთარი მიზნების მისაღწევად. ინტერესთა გადაკვეთის (კონფლიქტის) ეს ფაქტი გამოიხატება იმაში, რომ ფუნქცია ვ მეგარდა ამისა x მედამოკიდებულია სხვა ცვლადებზე x ჯ (j i).ამიტომ, გადაწყვეტილების მიღების მოდელებში მრავალ მონაწილესთან, მათი მიზნები სხვაგვარად უნდა იყოს ფორმალიზებული, ვიდრე ფუნქციის მნიშვნელობების მაქსიმიზაცია ან მინიმუმამდე შემცირება. ვ მე (X).და ბოლოს, მოდით, შევძლოთ მათემატიკურად აღვწეროთ ყველა ის პირობა, რომლითაც მიიღება გადაწყვეტილება. (კონტროლირებად და უკონტროლო ცვლადებს შორის კავშირების აღწერა, შემთხვევითი ფაქტორების გავლენის აღწერა დინამიური მახასიათებლების გათვალისწინებით და ა.შ.). სიმარტივისთვის, ყველა ამ პირობის მთლიანობა აღინიშნა ერთი სიმბოლოთი.

ამრიგად, გადაწყვეტილების მიღების პრობლემის ზოგადი მონახაზი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

მოდელის ელემენტების (1.6.1.) დაზუსტებით, მათი მახასიათებლებისა და თვისებების გარკვევით შესაძლებელია გადაწყვეტილების მიღების მოდელების ამა თუ იმ კონკრეტული კლასის მიღება. ასე რომ, თუ (1.6.1.) ნშედგება მხოლოდ ერთი ელემენტისგან (n=1),და თავდაპირველი რეალური პრობლემის ყველა პირობა და წინაპირობა შეიძლება აღწერილი იყოს ამ გადაწყვეტილების მიმღებისთვის მისაღები გადაწყვეტილებების ნაკრების სახით, შემდეგ (1.6.1.) ვიღებთ ოპტიმიზაციის (ექსტრემალური) პრობლემის სტრუქტურას:< Х, f >. ამ სქემაში გადაწყვეტილების მიმღები შეიძლება ჩაითვალოს დაგეგმვის ორგანოდ. ამ სქემის გამოყენებით შეგიძლიათ დაწეროთ ორი ტიპის ექსტრემალური პრობლემები:

თუ ექსტრემალური პრობლემა აშკარად ითვალისწინებს დროის ფაქტორს, მაშინ მას უწოდებენ ოპტიმალური კონტროლის პრობლემას. თუ n 2, მაშინ (1.6.1.) არის კონფლიქტის პირობებში გადაწყვეტილების მიღების პრობლემის ზოგადი სქემა, ანუ იმ სიტუაციებში, როდესაც იკვეთება ორი ან მეტი მხარის ინტერესები.

ხშირად გადაწყვეტილების მიმღებს აქვს არა ერთი, არამედ რამდენიმე მიზანი. ამ შემთხვევაში, (1)-დან ვიღებთ დიაგრამას, სადაც ყველა ფუნქციაა ვ 1 (x),..., ვ ნ (x)განსაზღვრულია იმავე X სიმრავლეზე. ასეთ ამოცანებს უწოდებენ მრავალკრიტერიუმულ ოპტიმიზაციის ამოცანებს.

არსებობს გადაწყვეტილების მიღების პრობლემების კლასები, რომლებმაც მიიღეს სახელები მათი დანიშნულებიდან გამომდინარე: რიგის სისტემები, ინვენტარის მართვის პრობლემები, ქსელისა და დაგეგმვის პრობლემები, საიმედოობის თეორია და ა.შ.

თუ მოდელის (1) ელემენტები ცალსახად არ არის დამოკიდებული დროზე, ანუ გადაწყვეტილების მიღების პროცესი მცირდება მოცემული სიმრავლიდან წერტილის არჩევის მყისიერ მოქმედებამდე, მაშინ პრობლემა ე.წ. სტატიკური.წინააღმდეგ შემთხვევაში, როდესაც გადაწყვეტილების მიღება არის მრავალსაფეხურიანი დისკრეტული ან დროში უწყვეტი პროცესი, ამოცანა ე.წ. დინამიური. თუ (1) მოდელის ელემენტები არ შეიცავს შემთხვევით ცვლადებს და ალბათურ მოვლენებს, მაშინ პრობლემას ეწოდება დეტერმინისტული, წინააღმდეგ შემთხვევაში მას სტოქასტური.

იმისდა მიხედვით, თუ რა საშუალებებით, რა პირობებში და შემეცნების რომელ ობიექტებთან მიმართებაში ხდება მოდელების რეალობის ასახვის უნარი, წარმოიქმნება მათი დიდი მრავალფეროვნება და მასთან ერთად კლასიფიკაცია. არსებული კლასიფიკაციების განზოგადებით ჩვენ გამოვყოფთ ძირითად მოდელებს გამოყენებული მათემატიკური აპარატის საფუძველზე, რომლის საფუძველზეც შემუშავებულია სპეციალური მოდელები (სურათი 8.1).

სურათი 8.1 - მოდელების ფორმალური კლასიფიკაცია

მათემატიკური მოდელები აჩვენებენ შესასწავლ ობიექტებს (პროცესები, სისტემები) აშკარა ფუნქციონალური მიმართებების სახით: ალგებრული ტოლობები და უტოლობა, ინტეგრალური და დიფერენციალური, სასრული სხვაობა და სხვა მათემატიკური გამონათქვამები (შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი, რეგრესიის მოდელები და ა.შ. ), ასევე ურთიერთობების მათემატიკური ლოგიკა.

მათემატიკური მოდელის აგების ორი ფუნდამენტური მახასიათებლის მიხედვით - მიზეზ-შედეგობრივი ურთიერთობების აღწერის ტიპი და დროთა განმავლობაში მათი ცვლილებები - განასხვავებენ დეტერმინისტულ და სტოქასტურ, სტატიკური და დინამიური მოდელები (სურათი 8.2).

ნახატზე წარმოდგენილი დიაგრამის მიზანია შემდეგი მახასიათებლების ჩვენება:

1) მათემატიკური მოდელები შეიძლება იყოს როგორც დეტერმინისტული, ასევე სტოქასტური;

2) დეტერმინისტული და სტოქასტური მოდელები შეიძლება იყოს როგორც სტატიკური, ასევე დინამიური.

მათემატიკური მოდელი ე.წ დეტერმინისტული (დეტერმინისტული), თუ მისი ყველა პარამეტრი და ცვლადი არის ცალსახად განსაზღვრული სიდიდეები და დაკმაყოფილებულია ასევე ინფორმაციის სრული სიზუსტის პირობა. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ინფორმაციის გაურკვევლობის პირობებში, როდესაც მოდელის პარამეტრები და ცვლადები შემთხვევითი ცვლადებია, მოდელი ე.წ. სტოქასტური (სავარაუდო).

სურათი 8.2 – მათემატიკური მოდელების კლასები

მოდელი ე.წ დინამიური, თუ ერთი ცვლადი მაინც იცვლება დროის პერიოდებში და სტატიკური, თუ დაშვებულია ჰიპოთეზა, რომ ცვლადები არ იცვლება დროის პერიოდებში.

უმარტივეს შემთხვევაში ბალანსის მოდელები იმოქმედეთ საბალანსო განტოლების სახით, სადაც მარცხენა მხარეს არის ნებისმიერი შემოსული თანხა, ხოლო მარჯვნივ არის ხარჯების ნაწილი, ასევე თანხის სახით. მაგალითად, ასე არის წარმოდგენილი ორგანიზაციის წლიური ბიუჯეტი.

სტატისტიკურ მონაცემებზე დაყრდნობით შეიძლება აშენდეს არა მხოლოდ ბალანსის მოდელები, არამედ კორელაციური და რეგრესიული მოდელები.

თუ ფუნქცია Y დამოკიდებულია არა მხოლოდ x 1, x 2, ... x n ცვლადებზე, არამედ სხვა ფაქტორებზეც, კავშირი Y-სა და x 1, x 2, ... x n-ს შორის არის არაზუსტი ან კორელაციური, განსხვავებით ზუსტი ან ფუნქციური კავშირი. კორელაციურია, მაგალითად, უმეტეს შემთხვევაში კავშირები შეინიშნება OPS-ის გამომავალ პარამეტრებსა და მისი შიდა და გარე გარემოს ფაქტორებს შორის (იხ. თემა 5).

კორელაციულ-რეგრესიული მოდელებიმიიღება ფაქტორების მთელი კომპლექსის გავლენის შესწავლით კონკრეტული მახასიათებლის მნიშვნელობაზე სტატისტიკური აპარატის გამოყენებით. ამ შემთხვევაში ამოცანაა არა მხოლოდ კორელაციური ურთიერთობის დამყარება, არამედ ამ ურთიერთობის ანალიტიკურად გამოხატვა, ანუ ტოლობების შერჩევა, რომლებიც აღწერს ამ კორელაციური დამოკიდებულებას (რეგრესიის განტოლება).

რეგრესიის განტოლების პარამეტრების რიცხვითი მნიშვნელობების საპოვნელად გამოიყენება უმცირესი კვადრატების მეთოდი. ამ მეთოდის არსი არის ისეთი წრფის არჩევა, რომ მისგან ცალკეული წერტილების Y ორდინატების კვადრატული გადახრების ჯამი იყოს ყველაზე მცირე.

კორელაციულ-რეგრესიული მოდელები ხშირად გამოიყენება ფენომენების შესწავლისას, როდესაც საჭიროა ორ ან მეტ სერიაში შესაბამის მახასიათებლებს შორის კავშირის დამყარება. ამ შემთხვევაში ძირითადად გამოიყენება ფორმის დაწყვილებული და მრავალჯერადი წრფივი რეგრესია

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b.

უმცირესი კვადრატების მეთოდის გამოყენების შედეგად დგინდება a ან a 1, a 2, ..., a n და b პარამეტრების მნიშვნელობები, შემდეგ კი მიახლოების სიზუსტე და მიღებული რეგრესიის განტოლების მნიშვნელობა. ფასდება.

გამოყოფილია სპეციალური ჯგუფი გრაფიკულ-ანალიტიკური მოდელები . ისინი იყენებენ სხვადასხვა გრაფიკულ გამოსახულებებს და, შესაბამისად, აქვთ კარგი სიცხადე.

გრაფიკის თეორია არის დისკრეტული მათემატიკის ერთ-ერთი თეორია, რომელიც სწავლობს გრაფიკებს, რომლებიც გაგებულია, როგორც წერტილებისა და ხაზების ერთობლიობა, რომლებიც აკავშირებს მათ. გრაფიკი დამოუკიდებელი მათემატიკური ობიექტია (პირველად შემოიღო დ. კოენიგმა). ხის და ქსელის მოდელები ყველაზე ხშირად აგებულია გრაფიკის თეორიის საფუძველზე.

ხის მოდელი (ხე) არის არამიმართული დაკავშირებული გრაფიკი, რომელიც არ შეიცავს მარყუჟებს ან ციკლებს. ასეთი მოდელის მაგალითია მიზნის ხე.

ქსელის მოდელებმა იპოვეს ფართო გამოყენება სამუშაო მენეჯმენტში. ქსელის მოდელები (გრაფიკები) ასახავს სამუშაოს თანმიმდევრობას და თითოეული სამუშაოს ხანგრძლივობას (სურათი 8.3).

სურათი 8.3 - სამუშაოს წარმოების ქსელური მოდელი

ქსელის დიაგრამის თითოეული ხაზი არის გარკვეული სამუშაო. მის გვერდით რიცხვი მიუთითებს მისი შესრულების ხანგრძლივობაზე.

ქსელის მოდელები შესაძლებელს ხდის ეგრეთ წოდებული კრიტიკული გზის პოვნას და სამუშაო განრიგის ოპტიმიზაციას დროთა განმავლობაში სხვა რესურსებზე შეზღუდვით.

ქსელის მოდელები შეიძლება იყოს დეტერმინისტული ან სტოქასტური. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, სამუშაოს ხანგრძლივობა განისაზღვრება შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონებით.

ოპტიმიზაციის მოდელებიემსახურება სისტემის მიზნის მისაღწევად ოპტიმალური ტრაექტორიის განსაზღვრას მისი ქცევისა და მოძრაობის კონტროლზე გარკვეული შეზღუდვების დაწესებისას. ამ შემთხვევაში, ოპტიმიზაციის მოდელები აღწერს გარკვეული ობიექტური ფუნქციის ექსტრემის პოვნის სხვადასხვა სახის პრობლემებს (ოპტიმიზაციის კრიტერიუმი).

შეზღუდული რესურსების პირობებში მენეჯმენტის მიზნების მიღწევის ოპტიმალური გზის გამოსავლენად გამოიყენება ტექნიკური, მატერიალური, შრომითი და ფინანსური - ოპერაციული კვლევის მეთოდები. მათ შორისაა მათემატიკური პროგრამირების მეთოდები (წრფივი და არაწრფივი, მთელი რიცხვი, დინამიური და სტოქასტური პროგრამირება), ანალიტიკურ და ალბათურ-სტატისტიკური მეთოდები, ქსელური მეთოდები, რიგის თეორიის მეთოდები, თამაშის თეორია (კონფლიქტური სიტუაციების თეორია) და ა.შ.

ოპტიმიზაციის მოდელები გამოიყენება მოცულობისა და დაგეგმვის დაგეგმვის, ინვენტარის მართვის, რესურსებისა და სამუშაოების განაწილებისთვის, აღჭურვილობის გამოცვლის, პარამეტრიზაციისა და სტანდარტიზაციისთვის, სასაქონლო მარაგების ნაკადების განაწილებისთვის სატრანსპორტო ქსელში და სხვა მართვის ამოცანები.

ოპერაციების კვლევის თეორიის ერთ-ერთი მთავარი მიღწევაა მენეჯმენტის მოდელებისა და პრობლემების გადაჭრის მეთოდების ტიპიზაცია. მაგალითად, ტრანსპორტის პრობლემის გადასაჭრელად, მისი განზომილებიდან გამომდინარე, შემუშავებულია სტანდარტული მეთოდები - ვოგელის მეთოდი, პოტენციური მეთოდი, სიმპლექსის მეთოდი. ასევე, მარაგების მართვის პრობლემის გადაჭრისას, მისი ფორმულირებიდან გამომდინარე, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ანალიტიკური და ალბათურ-სტატისტიკური მეთოდები, დინამიური და სტოქასტური პროგრამირების მეთოდები.

მენეჯმენტში განსაკუთრებული მნიშვნელობა ენიჭება ქსელის დაგეგმვის მეთოდებს. ამ მეთოდებმა შესაძლებელი გახადა ახალი და ძალიან მოსახერხებელი ენის პოვნა რთული მრავალსაფეხურიანი სამუშაოებისა და პროექტების აღწერისთვის, მოდელირებისთვის და ანალიზისთვის. ოპერაციების კვლევაში მნიშვნელოვანი ადგილი ეთმობა რთული სისტემების კონტროლის გაუმჯობესებას რიგის თეორიის მეთოდების გამოყენებით (იხ. სექცია 8.3) და მარკოვის პროცესების აპარატურა.

მარკოვის შემთხვევითი პროცესების მოდელები- დიფერენციალური განტოლებათა სისტემა, რომელიც აღწერს სისტემის ფუნქციონირებას ან მის პროცესებს მოწესრიგებული მდგომარეობების სახით სისტემის ქცევის გარკვეული ტრაექტორიის გასწვრივ. მოდელების ეს კლასი ფართოდ გამოიყენება რთული სისტემების ფუნქციონირების მათემატიკურ მოდელირებაში.

თამაშის თეორიის მოდელებიემსახურება ოპტიმალური სტრატეგიის შერჩევას შეზღუდული შემთხვევითი ინფორმაციის ან სრული გაურკვევლობის პირობებში.

თამაში არის რეალური კონფლიქტური სიტუაციის მათემატიკური მოდელი, რომლის გადაწყვეტა ხორციელდება გარკვეული წესებისა და ალგორითმების მიხედვით, რომლებიც აღწერს გადაწყვეტილების მიმღების ქცევის გარკვეულ სტრატეგიას გაურკვევლობის პირობებში.

არსებობს "თამაშები ბუნებასთან" და "თამაშები მტერთან". სიტუაციიდან გამომდინარე განისაზღვრება გადაწყვეტილების მიღების შეფასების მეთოდები და კრიტერიუმები. ამრიგად, „ბუნებასთან თამაშისას“ გამოიყენება შემდეგი კრიტერიუმები: Laplace, maximin (Wald კრიტერიუმი) და minimax, Hurwitz and Savage და რიგი სხვა ალგორითმული წესები. „მოწინააღმდეგესთან თამაშებში“ გადახდის მატრიცები, მაქსიმალური და მინიმალური კრიტერიუმები, ასევე სპეციალური მათემატიკური გარდაქმნები გამოიყენება გადაწყვეტილების მისაღებად, იმის გამო, რომ გადაწყვეტილების მიმღებს უპირისპირდება არამეგობრული მოწინააღმდეგე.

მათემატიკური მოდელების განხილული ტიპები არ მოიცავს მათ მთელ შესაძლო მრავალფეროვნებას, მაგრამ მხოლოდ ცალკეულ ტიპებს ახასიათებს კლასიფიკაციის მიღებული ასპექტიდან გამომდინარე. V.A. კარდაში ცდილობდა შეექმნა მოდელების კლასიფიკაციის სისტემა დეტალების ოთხი ასპექტის მიხედვით (სურათი 8.4).

A - მოდელები პარამეტრების სივრცითი დიფერენციაციის გარეშე;

B - მოდელები პარამეტრების სივრცითი დიფერენცირებით

სურათი 8.4 - მოდელების კლასიფიკაცია დეტალების ოთხი ასპექტის მიხედვით

გამოთვლითი ხელსაწყოების შემუშავებით, გადაწყვეტილების მიღების ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული მეთოდია ბიზნეს თამაში, რომელიც არის რიცხვითი ექსპერიმენტი პირის აქტიური მონაწილეობით. ასობით ბიზნეს თამაშია. ისინი გამოიყენება მენეჯმენტის, ეკონომიკის, ორგანიზაციული თეორიის, ფსიქოლოგიის, ფინანსებისა და კომერციის სფეროს პრობლემების შესასწავლად.

კომპიუტერი მტკიცედ შემოვიდა ჩვენს ცხოვრებაში და პრაქტიკულად არ არსებობს ადამიანის საქმიანობის სფერო, სადაც კომპიუტერი არ გამოიყენება. კომპიუტერები ახლა ფართოდ გამოიყენება ახალი მანქანების, ახალი ტექნოლოგიური პროცესების შექმნისა და კვლევის პროცესში და მათი ოპტიმალური ვარიანტების ძიებაში; ეკონომიკური პრობლემების გადაჭრისას, დაგეგმვისა და წარმოების მართვის პრობლემების გადაჭრისას სხვადასხვა დონეზე. დიდი ობიექტების შექმნა სარაკეტო ტექნოლოგიაში, თვითმფრინავების წარმოებაში, გემთმშენებლობაში, ასევე კაშხლების, ხიდების და ა.შ. ზოგადად შეუძლებელია კომპიუტერების გამოყენების გარეშე.

გამოყენებითი ამოცანების გადაჭრისას კომპიუტერის გამოსაყენებლად, უპირველეს ყოვლისა, გამოყენებული ამოცანა უნდა „ითარგმნოს“ ფორმალურ მათემატიკურ ენაზე, ე.ი. რეალური ობიექტისთვის, პროცესისთვის ან სისტემისთვის ის უნდა აშენდეს მათემატიკური მოდელი.

სიტყვა "მოდელი" მომდინარეობს ლათინური modus-დან (ასლი, სურათი, მონახაზი). მოდელირება არის A ობიექტის ჩანაცვლება სხვა B ობიექტით. შეცვლილ A ობიექტს ეწოდება ორიგინალი ან სამოდელო ობიექტი, ხოლო B ჩანაცვლებას მოდელი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდელი არის ობიექტი, რომელიც არის ორიგინალური ობიექტის შემცვლელი, რომელიც უზრუნველყოფს ორიგინალის ზოგიერთი თვისების შესწავლას.

სიმულაციის მიზანიარის ინფორმაციის მიღება, დამუშავება, პრეზენტაცია და გამოყენება ობიექტების შესახებ, რომლებიც ურთიერთობენ ერთმანეთთან და გარე გარემოზე; და მოდელი აქ მოქმედებს როგორც ობიექტის თვისებებისა და ქცევის ნიმუშების გაგების საშუალება.

მოდელირება ფართოდ გამოიყენება ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში, განსაკუთრებით დიზაინისა და მენეჯმენტის სფეროებში, სადაც განსაკუთრებულია მიღებული ინფორმაციის საფუძველზე ეფექტური გადაწყვეტილებების მიღების პროცესები.

მოდელი ყოველთვის აგებულია კონკრეტული მიზნით, რომელიც გავლენას ახდენს ობიექტური ფენომენის რომელი თვისებებია მნიშვნელოვანი და რომელი არა. მოდელი ჰგავს ობიექტური რეალობის პროექციას გარკვეული კუთხით. ზოგჯერ, მიზნებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია მივიღოთ ობიექტური რეალობის არაერთი პროგნოზი, რომელიც კონფლიქტში მოდის. ეს ტიპიურია, როგორც წესი, კომპლექსური სისტემებისთვის, რომლებშიც თითოეული პროექცია ირჩევს იმას, რაც აუცილებელია კონკრეტული მიზნისთვის არაარსებითი სისტემიდან.

მოდელირების თეორია არის მეცნიერების ფილიალი, რომელიც სწავლობს ორიგინალური ობიექტების თვისებების შესწავლის გზებს მათი სხვა მოდელის ობიექტებით ჩანაცვლების საფუძველზე. მოდელირების თეორია ეფუძნება მსგავსების თეორიას. მოდელირებისას აბსოლუტური მსგავსება არ ხდება და მხოლოდ ის ცდილობს, რომ მოდელი საკმარისად კარგად ასახავდეს შესწავლილი ობიექტის ფუნქციონირების ასპექტს. აბსოლუტური მსგავსება შეიძლება მოხდეს მხოლოდ მაშინ, როდესაც ერთი ობიექტი შეიცვლება სხვა ზუსტად იგივე.

ყველა მოდელი შეიძლება დაიყოს ორ კლასად:

1. რეალური,
2. სრულყოფილი.

თავის მხრივ, რეალური მოდელები შეიძლება დაიყოს:

1. სრულმასშტაბიანი,
2. ფიზიკური,
3. მათემატიკური.

იდეალური მოდელებიშეიძლება დაიყოს:

1. ვიზუალური,
2. ხატოვანი,
3. მათემატიკური.

რეალური სრულმასშტაბიანი მოდელები არის რეალური ობიექტები, პროცესები და სისტემები, რომლებზეც ტარდება სამეცნიერო, ტექნიკური და სამრეწველო ექსპერიმენტები.

რეალური ფიზიკური მოდელები- ეს არის მოდელები, დუმები, რომლებიც ასახავს ორიგინალების ფიზიკურ თვისებებს (კინემატიკური, დინამიური, ჰიდრავლიკური, თერმული, ელექტრო, მსუბუქი მოდელები).

რეალური მათემატიკური მოდელებია ანალოგური, სტრუქტურული, გეომეტრიული, გრაფიკული, ციფრული და კიბერნეტიკური მოდელები.

იდეალური ვიზუალური მოდელებია დიაგრამები, რუქები, ნახატები, გრაფიკები, გრაფიკები, ანალოგები, სტრუქტურული და გეომეტრიული მოდელები.

იდეალური ხელმოწერილი მოდელებია სიმბოლოები, ანბანი, პროგრამირების ენები, მოწესრიგებული აღნიშვნა, ტოპოლოგიური აღნიშვნა, ქსელის წარმოდგენა.

იდეალური მათემატიკური მოდელები- ეს არის ანალიტიკური, ფუნქციური, სიმულაციური, კომბინირებული მოდელები.

ზემოაღნიშნულ კლასიფიკაციაში, ზოგიერთ მოდელს აქვს ორმაგი ინტერპრეტაცია (მაგალითად, ანალოგი). ყველა მოდელი, სრულმასშტაბიანის გარდა, შეიძლება გაერთიანდეს გონებრივი მოდელების ერთ კლასში, რადგან ისინი ადამიანის აბსტრაქტული აზროვნების პროდუქტია.

მოდით ვისაუბროთ მოდელირების ერთ-ერთ უნივერსალურ ტიპზე - მათემატიკაზე, რომელიც ემთხვევა იმიტირებულ ფიზიკურ პროცესს მათემატიკური ურთიერთობების სისტემასთან, რომლის გადაწყვეტა საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ პასუხი კითხვაზე ობიექტის ქცევის შესახებ, შექმნის გარეშე. ფიზიკური მოდელი, რომელიც ხშირად ძვირი და არაეფექტური აღმოჩნდება.

მათემატიკის მოდელირება- არის რეალური ობიექტის, პროცესის ან სისტემის შესწავლის საშუალება მათი ჩანაცვლებით მათემატიკური მოდელი, უფრო მოსახერხებელია კომპიუტერის გამოყენებით ექსპერიმენტული კვლევისთვის.

მათემატიკური მოდელიარის რეალური ობიექტების, პროცესების ან სისტემების მიახლოებითი წარმოდგენა, გამოხატული მათემატიკური ტერმინებით და ორიგინალის არსებითი მახასიათებლების შენარჩუნებით. მათემატიკური მოდელებირაოდენობრივი ფორმით, ლოგიკური და მათემატიკური კონსტრუქციების გამოყენებით, ისინი აღწერენ ობიექტის, პროცესის ან სისტემის ძირითად თვისებებს, მის პარამეტრებს, შიდა და გარე კავშირებს.

წარმოიდგინეთ თვითმფრინავი: ფრთები, ფიუზელაჟი, კუდი, ეს ყველაფერი ერთად - ნამდვილი უზარმაზარი, უზარმაზარი, მთელი თვითმფრინავი. ან შეგიძლიათ გააკეთოთ თვითმფრინავის მოდელი, პატარა, მაგრამ ისევე, როგორც რეალურ ცხოვრებაში, იგივე ფრთები და ა.შ., მაგრამ კომპაქტური. ასეა მათემატიკური მოდელიც. არის ტექსტის პრობლემა, უხერხული, შეგიძლიათ უყუროთ, წაიკითხოთ, მაგრამ ბოლომდე ვერ გაიგოთ და მით უმეტეს, გაუგებარია როგორ გადაჭრას. რა მოხდება, თუ შექმნით დიდი სიტყვის ამოცანის პატარა მოდელს, მათემატიკურ მოდელს? რას ნიშნავს მათემატიკური? ეს ნიშნავს მათემატიკური აღნიშვნის წესებისა და კანონების გამოყენებით ტექსტის გარდაქმნას ლოგიკურად სწორ წარმოდგენად რიცხვებისა და არითმეტიკული ნიშნების გამოყენებით. Ისე, მათემატიკური მოდელი არის რეალური სიტუაციის წარმოდგენა მათემატიკური ენის გამოყენებით.

დავიწყოთ მარტივით: რიცხვი მეტია რიცხვზე. ეს უნდა ჩავწეროთ სიტყვების გარეშე, მაგრამ მხოლოდ მათემატიკის ენაზე. თუ მეტია, მაშინ გამოდის, რომ თუ გამოვაკლებთ, მაშინ ამ რიცხვების იგივე სხვაობა ტოლი დარჩება. იმათ. ან. გესმით აზრი?

ახლა უფრო რთულია, ახლა იქნება ტექსტი, რომელიც უნდა ეცადოთ წარმოადგინოთ მათემატიკური მოდელის სახით, ჯერ არ წაიკითხოთ როგორ გავაკეთებ, თავად სცადეთ! ოთხი რიცხვია: , და. პროდუქტი პროდუქტზე ორჯერ დიდია.

Რა მოხდა?

მათემატიკური მოდელის სახით ასე გამოიყურება:

იმათ. პროდუქტი დაკავშირებულია როგორც ორიდან ერთთან, მაგრამ ეს შეიძლება კიდევ უფრო გამარტივდეს:

კარგი, კარგი, მარტივი მაგალითებით მიხვდები აზრს, ვფიქრობ. გადავიდეთ სრულფასოვან ამოცანებზე, რომლებშიც ეს მათემატიკური მოდელებიც უნდა ამოხსნას! აი გამოწვევა.

მათემატიკური მოდელი პრაქტიკაში

პრობლემა 1

წვიმის შემდეგ ჭაში წყლის დონემ შესაძლოა მოიმატოს. ბიჭი ზომავს ჭაში პატარა კენჭების ჩავარდნის დროს და ითვლის მანძილს წყალამდე ფორმულის გამოყენებით, სადაც არის მანძილი მეტრებში და დაცემის დრო წამებში. წვიმამდე კენჭების ცვენის დრო იყო ს. რამდენად უნდა გაიზარდოს წყლის დონე წვიმის შემდეგ, რომ გაზომილი დრო s-მდე შეიცვალოს? გამოხატეთ თქვენი პასუხი მეტრებში.

Ო ღმერთო! რა ფორმულები, როგორი ჭა, რა ხდება, რა ვქნა? წავიკითხე შენი გონება? დამშვიდდით, ამ ტიპის პრობლემებში კიდევ უფრო საშინელი პირობებია, მთავარია გახსოვდეთ, რომ ამ პრობლემაში თქვენ გაინტერესებთ ფორმულები და ურთიერთობები ცვლადებს შორის და რას ნიშნავს ეს ყველაფერი უმეტეს შემთხვევაში არ არის ძალიან მნიშვნელოვანი. რას ხედავთ აქ სასარგებლო? მე პირადად ვხედავ. ამ პრობლემების გადაჭრის პრინციპი შემდეგია: თქვენ იღებთ ყველა ცნობილ რაოდენობას და ცვლით მათ.მაგრამ, ხანდახან უნდა იფიქრო!

ჩემი პირველი რჩევის შემდეგ და ყველაფერი ცნობილი განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

სწორედ მე შევცვალე წამის დრო და ვიპოვე ის სიმაღლე, რომელსაც ქვა წვიმის წინ აფრინდა. ახლა ჩვენ უნდა დავთვალოთ წვიმის შემდეგ და ვიპოვოთ განსხვავება!

ახლა მოუსმინეთ მეორე რჩევას და დაფიქრდით მასზე, კითხვაზე მითითებულია „რამდენი უნდა გაიზარდოს წყლის დონე წვიმის შემდეგ, რომ გაზომილი დრო შეიცვალოს s-მდე“. დაუყოვნებლივ უნდა გაარკვიოთ, რომ წვიმის შემდეგ წყლის დონე მატულობს, რაც იმას ნიშნავს, რომ ქვის წყლის დონემდე ვარდნის დრო უფრო მოკლეა და აქ მორთული ფრაზა „ისე, რომ გაზომილი დრო იცვლება“ კონკრეტულ მნიშვნელობას იძენს: დაცემა. დრო არ იზრდება, მაგრამ მცირდება მითითებული წამებით. ეს ნიშნავს, რომ წვიმის შემდეგ სროლის შემთხვევაში, უბრალოდ უნდა გამოვაკლოთ c საწყისი დრო c და მივიღებთ განტოლებას იმ სიმაღლისთვის, რომელსაც ქვა წვიმის შემდეგ გაფრინდება:

და ბოლოს, იმის გასარკვევად, თუ რამდენი უნდა გაიზარდოს წყლის დონე წვიმის შემდეგ, რომ გაზომილი დრო გადავიდეს s.-მდე, თქვენ უბრალოდ უნდა გამოაკლოთ მეორე პირველი დაცემის სიმაღლეს!

ვიღებთ პასუხს: მეტრზე.

როგორც ხედავ, არაფერია რთული, მთავარია, ზედმეტად ნუ იდარდებ იმაზე, თუ საიდან გაჩნდა პირობების ასეთი გაუგებარი და ზოგჯერ რთული განტოლება და რას ნიშნავს მასში ყველაფერი, მიიღე ჩემი სიტყვა, უმეტესობა ეს განტოლებები აღებულია ფიზიკიდან და იქ ჯუნგლები ალგებრაზე უარესია. ხანდახან მეჩვენება, რომ ეს ამოცანები გამოიგონეს ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე სტუდენტის დასაშინებლად რთული ფორმულებისა და ტერმინების სიმრავლით და უმეტეს შემთხვევაში ისინი თითქმის არ საჭიროებენ ცოდნას. უბრალოდ ყურადღებით წაიკითხეთ მდგომარეობა და შეცვალეთ ცნობილი რაოდენობები ფორმულაში!

აქ არის კიდევ ერთი ამოცანა, უკვე არა ფიზიკაში, არამედ ეკონომიკური თეორიის სამყაროდან, თუმცა მათემატიკის გარდა სხვა მეცნიერებების ცოდნა აქ ისევ არ არის საჭირო.

პრობლემა 2

მონოპოლისტური საწარმოს პროდუქტებზე მოთხოვნის მოცულობის (თვეში ერთეული) დამოკიდებულება ფასზე (ათასი რუბლი) მოცემულია ფორმულით.

საწარმოს შემოსავალი თვეში (ათას რუბლში) გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით. განსაზღვრეთ უმაღლესი ფასი, რომლითაც ყოველთვიური შემოსავალი იქნება მინიმუმ ათასი რუბლი. მიეცით თქვენი პასუხი ათასი რუბლით.

გამოიცანით ახლა რას გავაკეთებ? დიახ, დავიწყებ იმის ჩართვას, რაც ვიცით, მაგრამ, კიდევ ერთხელ, ცოტათი მაინც მომიწევს ფიქრი. მოდით წავიდეთ ბოლოდან, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რომელი. მაშ, არის, რაღაცის ტოლია, ვპოულობთ კიდევ რის ტოლია ეს და უდრის, ამიტომ ჩავწერთ. როგორც ხედავთ, მე ნამდვილად არ მაწუხებს ყველა ამ რაოდენობის მნიშვნელობა, მე უბრალოდ ვუყურებ პირობებიდან, რომ ვნახო, რა არის რისი ტოლი, ეს არის ის, რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ. დავუბრუნდეთ პრობლემას, თქვენ უკვე გაქვთ ის, მაგრამ როგორც გახსოვთ ერთი განტოლებიდან ორი ცვლადით, ვერცერთს ვერ იპოვით, რა უნდა გააკეთოთ? დიახ, ჩვენ ჯერ კიდევ გვაქვს გამოუყენებელი ნაჭერი მდგომარეობაში. ახლა უკვე არის ორი განტოლება და ორი ცვლადი, რაც ნიშნავს, რომ ახლა ორივე ცვლადის პოვნა შესაძლებელია - შესანიშნავია!

შეგიძლიათ გადაჭრათ ასეთი სისტემა?

ჩვენ ვხსნით ჩანაცვლებით, ის უკვე გამოხატულია, ამიტომ ჩავანაცვლოთ იგი პირველ განტოლებაში და გავამარტივოთ.

ვიღებთ ამ კვადრატულ განტოლებას: , ვხსნით, ფესვები ასეთია, . ამოცანა მოითხოვს ყველაზე მაღალი ფასის პოვნას, რომლითაც დაკმაყოფილდება ყველა ის პირობა, რომელიც გავითვალისწინეთ სისტემის შექმნისას. ოჰ, თურმე ეს იყო ფასი. მაგარია, ასე რომ, ჩვენ ვიპოვნეთ ფასები: და. ყველაზე მაღალი ფასი, თქვენ ამბობთ? კარგი, მათგან ყველაზე დიდი, ცხადია, პასუხად ვწერთ. ისე, რთულია? ვფიქრობ, არა და არ არის საჭირო ამაში ზედმეტი ჩაღრმავება!

და აქ არის რამდენიმე საშინელი ფიზიკა, უფრო სწორად, კიდევ ერთი პრობლემა:

პრობლემა 3

ვარსკვლავების ეფექტური ტემპერატურის დასადგენად გამოიყენება შტეფან-ბოლცმანის კანონი, რომლის მიხედვითაც, სად არის ვარსკვლავის გამოსხივების ძალა, არის მუდმივი, არის ვარსკვლავის ზედაპირის ფართობი და არის ტემპერატურა. ცნობილია, რომ გარკვეული ვარსკვლავის ზედაპირის ფართობი ტოლია, ხოლო მისი გამოსხივების სიმძლავრე W-ის ტოლია. იპოვეთ ამ ვარსკვლავის ტემპერატურა კელვინის გრადუსებში.

როგორ არის გასაგები? დიახ, პირობა ამბობს, რა უდრის რა. ადრე ვურჩევდი ყველა უცნობის ერთბაშად ჩანაცვლებას, მაგრამ აქ ჯობია ჯერ უცნობი ძიების გამოხატვა. ნახეთ, რა მარტივია: არის ფორმულა და მასში ვიცით და (ეს არის ბერძნული ასო „სიგმა“. ზოგადად, ფიზიკოსებს უყვართ ბერძნული ასოები, შეეგუეთ). და ტემპერატურა უცნობია. გამოვხატოთ ფორმულის სახით. იმედი მაქვს, იცით როგორ გააკეთოთ ეს? მე-9 კლასში სახელმწიფო საგამოცდო ტესტისთვის ასეთი დავალებები ჩვეულებრივ მოცემულია:

ახლა რჩება მხოლოდ მარჯვენა მხარეს ასოების ნაცვლად რიცხვების ჩანაცვლება და გამარტივება:

აი პასუხი: გრადუსი კელვინი! და რა საშინელი დავალება იყო!

ჩვენ ვაგრძელებთ ფიზიკის პრობლემების ტანჯვას.

პრობლემა 4

გასროლილი ბურთის სიმაღლე მიწის ზემოთ იცვლება კანონის მიხედვით, სადაც არის სიმაღლე მეტრებში და არის დრო წამებში, რომელიც გავიდა სროლის მომენტიდან. რამდენი წამი დარჩება ბურთი მინიმუმ სამი მეტრის სიმაღლეზე?

ეს იყო ყველა განტოლება, მაგრამ აქ ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ რამდენი ხნის მანძილზე იყო ბურთი მინიმუმ სამი მეტრის სიმაღლეზე, რაც ნიშნავს სიმაღლეზე. რას გამოვადგენთ? უთანასწორობა, ზუსტად! ჩვენ გვაქვს ფუნქცია, რომელიც აღწერს როგორ დაფრინავს ბურთი, სად - ეს არის ზუსტად იგივე სიმაღლე მეტრებში, ჩვენ გვჭირდება სიმაღლე. ნიშნავს

ახლა კი თქვენ უბრალოდ ხსნით უტოლობას, მთავარია არ დაგავიწყდეთ უტოლობის ნიშნის შეცვლა მეტიდან ან ტოლიდან მცირეზე ან ტოლზე, როცა ამრავლებთ უტოლობის ორივე მხარეს, რათა თავიდან აიცილოთ მინუსი წინ.

ეს არის ფესვები, ჩვენ ვაშენებთ ინტერვალებს უთანასწორობისთვის:

ჩვენ გვაინტერესებს ინტერვალი, სადაც არის მინუს ნიშანი, რადგან უთანასწორობა იქ უარყოფით მნიშვნელობებს იღებს, ეს არის ორივედან ჩათვლით. ახლა მოდით ჩავრთოთ ტვინი და კარგად დავფიქრდეთ: უთანასწორობისთვის გამოვიყენეთ განტოლება, რომელიც აღწერს ბურთის ფრენას, ის როგორღაც დაფრინავს პარაბოლას გასწვრივ, ე.ი. აფრინდება, აღწევს მწვერვალს და ეცემა, როგორ გავიგოთ რამდენ ხანს დარჩება მინიმუმ მეტრის სიმაღლეზე? აღმოვაჩინეთ 2 შემობრუნება, ე.ი. მომენტი, როდესაც ის აფრინდება მეტრზე მაღლა და მომენტი, როდესაც დაცემით, აღწევს იმავე ნიშნულს, ეს ორი წერტილი გამოიხატება დროის სახით, ე.ი. ჩვენ ვიცით, ფრენის რომელ წამში შევიდა ის ჩვენთვის საინტერესო ზონაში (მეტრზე მაღლა) და რომელ წამში დატოვა იგი (დაეცა მეტრის ნიშნულს ქვემოთ). რამდენი წამი იყო ამ ზონაში? ლოგიკურია, რომ ავიღოთ ზონიდან გასვლის დრო და გამოვაკლოთ ამ ზონაში შესვლის დრო. შესაბამისად: - ამდენი ხანი იყო მეტრზე მაღლა ზონაში, ეს არის პასუხი.

გაგიმართლათ, რომ ამ თემაზე მაგალითების უმეტესობა შეიძლება აიღონ ფიზიკის ამოცანების კატეგორიიდან, ასე რომ დაიჭირეთ კიდევ ერთი, ეს არის ბოლო, ასე რომ აიძულეთ თავი, სულ ცოტა დარჩა!

პრობლემა 5

გარკვეული მოწყობილობის გათბობის ელემენტისთვის ექსპერიმენტულად იქნა მიღებული ტემპერატურის დამოკიდებულება სამუშაო დროზე:

სად არის დრო წუთებში, . ცნობილია, რომ თუ გათბობის ელემენტის ტემპერატურა უფრო მაღალია, მოწყობილობა შეიძლება გაუარესდეს, ამიტომ ის უნდა გამორთოთ. იპოვეთ მუშაობის დაწყებიდან ყველაზე დიდი დრო, რომელიც გჭირდებათ მოწყობილობის გამორთვაზე. გამოხატეთ თქვენი პასუხი წუთებში.

ჩვენ ვმოქმედებთ კარგად ჩამოყალიბებული სქემის მიხედვით, ჯერ ვწერთ ყველაფერს, რაც მოცემულია:

ახლა ჩვენ ვიღებთ ფორმულას და ვატოლებთ მას იმ ტემპერატურულ მნიშვნელობას, რომლითაც მოწყობილობა შეიძლება მაქსიმალურად გაცხელდეს სანამ არ დაიწვება, ანუ:

ახლა ჩვენ ვცვლით რიცხვებს, სადაც ისინი ცნობილია ასოების ნაცვლად:

როგორც ხედავთ, მოწყობილობის მუშაობის დროს ტემპერატურა აღწერილია კვადრატული განტოლებით, რაც ნიშნავს, რომ იგი ნაწილდება პარაბოლის გასწვრივ, ე.ი. მოწყობილობა თბება გარკვეულ ტემპერატურამდე და შემდეგ კლებულობს. ჩვენ მივიღეთ პასუხები და, მაშასადამე, გაცხელების დროს და წუთებში ტემპერატურა უდრის კრიტიკულს, მაგრამ წუთებს შორის - ლიმიტზე მეტიც კი!

ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა გამორთოთ მოწყობილობა რამდენიმე წუთის შემდეგ.

მათემატიკური მოდელები. მოკლედ მთავარის შესახებ

ყველაზე ხშირად, მათემატიკური მოდელები გამოიყენება ფიზიკაში: თქვენ ალბათ მოგიწევთ ათობით ფიზიკური ფორმულის დამახსოვრება. და ფორმულა არის სიტუაციის მათემატიკური წარმოდგენა.

OGE-სა და ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში არის ამოცანები ზუსტად ამ თემაზე. ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში (პროფილში) ეს არის დავალება ნომერი 11 (ყოფილი B12). OGE-ში - დავალება ნომერი 20.

გადაწყვეტის სქემა აშკარაა:

1) პირობის ტექსტიდან აუცილებელია სასარგებლო ინფორმაციის „იზოლირება“ - რას ვწერთ ფიზიკის ამოცანებში სიტყვის ქვეშ „მოცემული“. ეს სასარგებლო ინფორმაციაა:

• ფორმულა
• ცნობილი ფიზიკური რაოდენობა.

ანუ, ფორმულიდან თითოეული ასო უნდა იყოს დაკავშირებული გარკვეულ რიცხვთან.

2) აიღეთ ყველა ცნობილი რაოდენობა და ჩაანაცვლეთ ისინი ფორმულაში. უცნობი რაოდენობა რჩება ასოს სახით. ახლა თქვენ უბრალოდ უნდა ამოხსნათ განტოლება (ჩვეულებრივ საკმაოდ მარტივია) და პასუხი მზად არის.

გახდი YouClever-ის სტუდენტი,

მოემზადეთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ან მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის,

ასევე მიიღეთ წვდომა YouClever სახელმძღვანელოზე შეზღუდვების გარეშე...