მატრიცები. მატრიცების ტიპები

მატრიცაგანზომილება არის მართკუთხა მაგიდა, რომელიც შედგება ელემენტებისაგან, რომლებიც მდებარეობს მხაზები და ნსვეტები.

მატრიცის ელემენტები (პირველი ინდექსი მე− ხაზის ნომერი, მეორე ინდექსი ჯ− სვეტის ნომერი) შეიძლება იყოს რიცხვები, ფუნქციები და ა.შ. მატრიცები აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით.

მატრიცა ე.წ კვადრატი, თუ მას აქვს მწკრივების იგივე რაოდენობა, რაც სვეტების რაოდენობას ( მ = ნ). ამ შემთხვევაში ნომერი ნეწოდება მატრიცის რიგი, ხოლო თავად მატრიცას მატრიცა ნ- ბრძანება.

ელემენტები იგივე ინდექსებით ფორმა მთავარი დიაგონალიკვადრატული მატრიცა და ელემენტები (ანუ ინდექსების ჯამის ტოლი ნ+1) − გვერდითი დიაგონალი.

Მარტოხელა მატრიცაარის კვადრატული მატრიცა, რომლის მთავარი დიაგონალის ყველა ელემენტი უდრის 1-ს, ხოლო დანარჩენი ელემენტები უდრის 0-ს. იგი აღინიშნება ასოებით. ე.

Ნული მატრიცა− არის მატრიცა, რომლის ყველა ელემენტი 0-ის ტოლია. ნულოვანი მატრიცა შეიძლება იყოს ნებისმიერი ზომის.

ნომერამდე ხაზოვანი მოქმედებები მატრიცებზეეხება:

1) მატრიცის დამატება;

2) მატრიცების გამრავლება რიცხვზე.

მატრიცის დამატების ოპერაცია განისაზღვრება მხოლოდ იმავე განზომილების მატრიცებისთვის.

ორი მატრიცის ჯამი ადა INმატრიცას უწოდებენ თან, რომლის ყველა ელემენტი უდრის შესაბამისი მატრიცის ელემენტების ჯამს ადა IN:

.

მატრიცული პროდუქტი ა თითო რიცხვზე კმატრიცას უწოდებენ IN, რომლის ყველა ელემენტი უდრის ამ მატრიცის შესაბამის ელემენტებს ა, გამრავლებული რიცხვზე კ:

Ოპერაცია მატრიცის გამრავლებაშემოღებულია მატრიცებისთვის, რომლებიც აკმაყოფილებენ პირობას: პირველი მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მეორის სტრიქონების რაოდენობას.

მატრიცული პროდუქტი აზომები მატრიცამდე INგანზომილებას მატრიცა ეწოდება თანზომები, ელემენტი მე-მე ხაზი და ჯრომლის მე-6 სვეტი უდრის ელემენტების ნამრავლების ჯამს მემატრიცის მე-6 მწკრივი აშესაბამის ელემენტებზე ჯმატრიცის მერვე სვეტი IN:

მატრიცების ნამრავლი (განსხვავებით ნამდვილ რიცხვთა ნამრავლისაგან) არ ემორჩილება კომუტატიურ კანონს, ე.ი. ზოგადად ა IN IN ა.

1.2. განმსაზღვრელი. დეტერმინანტების თვისებები

დეტერმინანტის ცნებაშემოღებულია მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის.

მე-2 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება შემდეგი წესის მიხედვით

.

მე-3 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება შემდეგი წესის მიხედვით:

ტერმინებიდან პირველი "+" ნიშნით არის მატრიცის მთავარ დიაგონალზე მდებარე ელემენტების ნამრავლი (). დანარჩენი ორი შეიცავს ელემენტებს, რომლებიც განლაგებულია სამკუთხედების წვეროებზე, რომელთა ფუძე პარალელურია მთავარი დიაგონალის (i) პარალელურად. ნიშანი "-" მოიცავს მეორადი დიაგონალის () ელემენტების პროდუქტებს და ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან სამკუთხედებს ამ დიაგონალის (და) პარალელურად ბაზებით.

მე-3 რიგის დეტერმინანტის გამოთვლის ამ წესს სამკუთხედის წესი (ან სარრუსის წესი) ეწოდება.

დეტერმინანტების თვისებებიმოდით შევხედოთ მე-3 რიგის განმსაზღვრელთა მაგალითს.

1. განმსაზღვრელი ყველა მწკრივის ჩანაცვლებისას სვეტებით იგივე ნომრებით, როგორც რიგები, განმსაზღვრელი არ ცვლის მის მნიშვნელობას, ე.ი. განმსაზღვრელი რიგები და სვეტები ტოლია

.

2. როდესაც ორი მწკრივი (სვეტი) გადალაგდება, განმსაზღვრელი ცვლის თავის ნიშანს.

3. თუ გარკვეული მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტი არის ნული, მაშინ განმსაზღვრელი არის 0.

4. მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტის საერთო კოეფიციენტი შეიძლება აღებული იყოს განმსაზღვრელი ნიშნის მიღმა.

5. განმსაზღვრელი, რომელიც შეიცავს ორ იდენტურ მწკრივს (სვეტს) უდრის 0-ს.

6. განმსაზღვრელი, რომელიც შეიცავს ორ პროპორციულ მწკრივს (სვეტს) ნულის ტოლია.

7. თუ დეტერმინანტის გარკვეული სვეტის (მწკრივის) თითოეული ელემენტი წარმოადგენს ორი წევრის ჯამს, მაშინ განმსაზღვრელი უდრის ორი განმსაზღვრელთა ჯამს, რომელთაგან ერთი შეიცავს პირველ წევრებს იმავე სვეტში (რიგით), ხოლო მეორე შეიცავს მეორეს. ორივე დეტერმინანტის დარჩენილი ელემენტები იგივეა. Ისე,

.

8. განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ სხვა სვეტის (მწკრივის) შესაბამისი ელემენტები დაემატება მისი რომელიმე სვეტის (მწკრივის) ელემენტებს, გამრავლებული იმავე რიცხვზე.

დეტერმინანტის შემდეგი თვისება დაკავშირებულია მცირე და ალგებრული კომპლიმენტის ცნებებთან.

მცირეწლოვანიგანმსაზღვრელი ელემენტი არის განმსაზღვრელი, რომელიც მიღებულია მოცემულისაგან იმ მწკრივისა და სვეტის გადაკვეთით, რომელთა გადაკვეთაზეც ეს ელემენტი მდებარეობს.

მაგალითად, დეტერმინანტის უმნიშვნელო ელემენტიგანმსაზღვრელი ეწოდება.

ალგებრული დანამატიგანმსაზღვრელ ელემენტს უწოდებენ მის მინორს გამრავლებული, სადაც მე- ხაზის ნომერი, ჯ− სვეტის ნომერი, რომლის გადაკვეთაზეც მდებარეობს ელემენტი. ჩვეულებრივ აღინიშნება ალგებრული დანამატი. მე-3 რიგის განმსაზღვრელი ელემენტისთვის, ალგებრული კომპლიმენტი

9. განმსაზღვრელი უდრის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტების ნამრავლების ჯამს მათი შესაბამისი ალგებრული დანამატებით.

მაგალითად, განმსაზღვრელი შეიძლება გაფართოვდეს პირველი რიგის ელემენტებში

,

ან მეორე სვეტი

მათი გამოსათვლელად გამოიყენება დეტერმინანტების თვისებები.

მატრიცები. მატრიცების ტიპები. ოპერაციები მატრიცებზე და მათ თვისებებზე.

n-ე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი. N, Z, Q, R, C,

m*n რიგის მატრიცა არის რიცხვების მართკუთხა ცხრილი, რომელიც შეიცავს m-სტრიქონებს და n-სვეტებს.

მატრიცის თანასწორობა:

ამბობენ, რომ ორი მატრიცა ტოლია, თუ ერთი მათგანის მწკრივების და სვეტების რაოდენობა უდრის, შესაბამისად, მეორის მწკრივებისა და სვეტების რაოდენობას. ამ მატრიცების ელემენტები თანაბარია.

შენიშვნა: იგივე ინდექსების მქონე ელ.წერილები შესაბამისია.

მატრიცების ტიპები:

კვადრატული მატრიცა: მატრიცას ეწოდება კვადრატი, თუ მისი რიგების რაოდენობა უდრის სვეტების რაოდენობას.

მართკუთხა: მატრიცას მართკუთხა ეწოდება, თუ რიგების რაოდენობა არ არის სვეტების რაოდენობის ტოლი.

მწკრივის მატრიცა: 1*n რიგის მატრიცას (m=1) აქვს a11,a12,a13 ფორმა და ეწოდება მწკრივის მატრიცა.

მატრიცის სვეტი:………….

დიაგონალი: კვადრატული მატრიცის დიაგონალს, რომელიც მიდის ზედა მარცხენა კუთხიდან ქვედა მარჯვენა კუთხეში, ანუ შედგება a11, a22...... ელემენტებისაგან...... მთავარი დიაგონალი ეწოდება. (განმარტება: კვადრატულ მატრიცას, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, გარდა იმ ელემენტებისა, რომლებიც მდებარეობს მთავარ დიაგონალზე, ეწოდება დიაგონალური მატრიცა.

იდენტურობა: დიაგონალურ მატრიცას ეწოდება იდენტურობის მატრიცა, თუ ყველა ელემენტი განლაგებულია მთავარ დიაგონალზე და უდრის 1-ს.

ზედა სამკუთხედი: A=||aij|| ზედა სამკუთხა მატრიცას უწოდებენ, თუ aij=0. მოწოდებულია i>j.

ქვედა სამკუთხედი: aij=0. მე

ნული: ეს არის მატრიცა, რომლის მნიშვნელობები 0-ის ტოლია.

ოპერაციები მატრიცებზე.

1.ტრანსპოზიცია.

2.მატრიცის გამრავლება რიცხვზე.

3. მატრიცების დამატება.

4.მატრიცული გამრავლება.

მატრიცებზე მოქმედებების ძირითადი თვისებები.

1.A+B=B+A (კომუტატიულობა)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (ასოციაციურობა)

3.a(A+B)=aA+aB (განაწილება)

4.(a+b)A=aA+bA (გამანაწილებელი)

5.(აბ)A=a(bA)=b(aA) (ასოც.)

6.AB≠BA (არ კომმ.)

7.A(BC)=(AB)C (ასოც.) – შესრულებულია თუ განსაზღვრულია. შესრულებულია მატრიცული პროდუქტები.

8.A(B+C)=AB+AC (გამანაწილებელი)

(B+C)A=BA+CA (დისტრიბუციული)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი - განმარტება და მისი თვისებები. დეტერმინანტის დაშლა რიგებად და სვეტებად. დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები.

თუ A მატრიცას აქვს რიგი m>1, მაშინ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი არის რიცხვი.

A მატრიცის aij ელემენტის ალგებრული დანამატი Aij არის მცირე Mij რიცხვზე გამრავლებული.

თეორემა 1: A მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის თვითნებური მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტის ნამრავლების ჯამს მათი ალგებრული კომპლიმენტებით.

დეტერმინანტების ძირითადი თვისებები.

1. მატრიცის დეტერმინანტი არ შეიცვლება მისი ტრანსპონირებისას.

2. ორი მწკრივის (სვეტის) გადაწყობისას განმსაზღვრელი ცვლის ნიშანს, მაგრამ მისი აბსოლუტური მნიშვნელობა არ იცვლება.

3. მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელსაც აქვს ორი იდენტური მწკრივი (სვეტი) 0-ის ტოლია.

4. როდესაც მატრიცის მწკრივი (სვეტი) მრავლდება რიცხვზე, მისი განმსაზღვრელი მრავლდება ამ რიცხვზე.

5. თუ მატრიცის ერთ-ერთი მწკრივი (სვეტი) შედგება 0-ისგან, მაშინ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის 0-ს.

6. თუ მატრიცის i-ე რიგის (სვეტის) ყველა ელემენტი წარმოდგენილია ორი წევრის ჯამის სახით, მაშინ მისი განმსაზღვრელი შეიძლება წარმოვიდგინოთ, როგორც ორი მატრიცის განმსაზღვრელთა ჯამი.

7. განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ გამრავლების შემდეგ ერთი სვეტის (მწკრივის) ელემენტები დაემატება მეორე სვეტის (მწკრივის) ელემენტებს შესაბამისად. იგივე ნომრისთვის.

8. დეტერმინანტის ნებისმიერი სვეტის (მწკრივის) თვითნებური ელემენტების ჯამი სხვა სვეტის (მწკრივის) ელემენტების შესაბამისი ალგებრული დანამატით უდრის 0-ს.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

დეტერმინანტის გამოთვლის მეთოდები:

1. განმარტებით ან თეორემა 1.

2. შემცირება სამკუთხა ფორმამდე.

ინვერსიული მატრიცის განმარტება და თვისებები. შებრუნებული მატრიცის გამოთვლა. მატრიცული განტოლებები.

განმარტება: n რიგის კვადრატულ მატრიცას ეწოდება იმავე რიგის A მატრიცის შებრუნებული და აღინიშნება.

იმისათვის, რომ A მატრიცას ჰქონდეს შებრუნებული მატრიცა, აუცილებელია და საკმარისია, რომ A მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავებული იყოს 0-დან.

ინვერსიული მატრიცის თვისებები:

1. უნიკალურობა: მოცემული A მატრიცისთვის მისი ინვერსია უნიკალურია.

2. მატრიცის განმსაზღვრელი

3. ტრანსპოზიციის აღების და შებრუნებული მატრიცის აღების ოპერაცია.

მატრიცული განტოლებები:

მოდით A და B იყოს ერთი და იმავე რიგის ორი კვადრატული მატრიცა.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

მატრიცის სვეტების წრფივი დამოკიდებულებისა და დამოუკიდებლობის კონცეფცია. სვეტის სისტემის წრფივი დამოკიდებულების და წრფივი დამოუკიდებლობის თვისებები.

A1, A2...An სვეტებს უწოდებენ წრფივად დამოკიდებულს, თუ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია 0 სვეტის ტოლი.

სვეტებს A1, A2...An ეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი, თუ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია 0 სვეტის ტოლი.

წრფივ კომბინაციას ეწოდება ტრივიალური, თუ ყველა კოეფიციენტი C(l) უდრის 0-ს და არატრივიალური სხვა შემთხვევაში.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. იმისათვის, რომ სვეტები იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ რომელიმე სვეტი იყოს სხვა სვეტების წრფივი კომბინაცია.

დაე, სვეტებიდან 1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">სხვა სვეტების წრფივი კომბინაცია იყოს.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> წრფივია დამოკიდებული, შემდეგ ყველა სვეტი წრფივად არის დამოკიდებული.

4. თუ სვეტების სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მისი რომელიმე ქვესისტემა ასევე წრფივად დამოუკიდებელია.

(ყველაფერი, რაც ნათქვამია სვეტების შესახებ, ასევე შეესაბამება რიგებს).

მატრიცის არასრულწლოვნები. ძირითადი არასრულწლოვნები. მატრიცის რანგი. მატრიცის რანგის გამოსათვლელად არასრულწლოვანთა მოსაზღვრების მეთოდი.

A მატრიცის k რიგის მინორი არის განმსაზღვრელი, რომლის ელემენტები განლაგებულია A მატრიცის k-სვეტებისა და k-სვეტების გადაკვეთაზე.

თუ A = 0 მატრიცის kth რიგის ყველა მინორი, მაშინ k+1 რიგის ნებისმიერი მინორი ასევე 0-ის ტოლია.

ძირითადი მცირე.

A მატრიცის რანგი არის მისი საბაზისო მინორის რიგი.

მინორების შემოსაზღვრების მეთოდი: - აირჩიეთ A მატრიცის არანულოვანი ელემენტი (თუ ასეთი ელემენტი არ არსებობს, მაშინ რანგი A = 0)

წინა 1-ლი რიგის მინორს ვაპირებთ მე-2 რიგის მინორს. (თუ ეს მინორი არ არის 0-ის ტოლი, მაშინ რანგი არის >=2) თუ ამ მინორის წოდება არის =0, მაშინ არჩეულ 1-ლი რიგის მინორს ვუსაზღვრავთ სხვა მე-2 რიგის მინორებს. (თუ მე-2 რიგის ყველა მცირეწლოვანი = 0, მაშინ მატრიცის რანგი = 1).

მატრიცის რანგი. მატრიცის რანგის პოვნის მეთოდები.

A მატრიცის რანგი არის მისი საბაზისო მინორის რიგი.

გაანგარიშების მეთოდები:

1) მინორების შემოსაზღვრების მეთოდი: - აირჩიეთ A მატრიცის არანულოვანი ელემენტი (თუ ასეთი ელემენტი არ არის, მაშინ რანგი = 0) - წინა 1-ლი რიგის მინორის შემოხაზვა მე-2 რიგის მინორით..gif" width="40 " height="22" >r+1 Mr+1=0.

2) მატრიცის დაყვანა ეტაპობრივ ფორმამდე: ეს მეთოდი ეფუძნება ელემენტარულ გარდაქმნებს. ელემენტარული გარდაქმნების დროს მატრიცის რანგი არ იცვლება.

შემდეგ გარდაქმნებს ელემენტარული გარდაქმნები ეწოდება:

ორი რიგის (სვეტების) გადაწყობა.

გარკვეული სვეტის (მწკრივის) ყველა ელემენტის გამრავლება არა =0 რიცხვზე.

გარკვეული სვეტის (მწკრივის) ყველა ელემენტს ემატება სხვა სვეტის (მწკრივის) ელემენტები, ადრე გამრავლებული იმავე რიცხვით.

თეორემა მინორის საფუძველზე. აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ განმსაზღვრელი იყოს ნულის ტოლი.

A მატრიცის საბაზისო მინორი არის უმაღლესი kth რიგის მინორი, რომელიც განსხვავდება 0-ისგან.

ძირითადი მცირე თეორემა:

ძირეული რიგები (სვეტები) წრფივად დამოუკიდებელია. A მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (სვეტი) არის საბაზისო რიგების (სვეტების) წრფივი კომბინაცია.

შენიშვნები: სტრიქონებსა და სვეტებს, რომელთა გადაკვეთაზეც არის საბაზისო მინორი, შესაბამისად, საბაზისო რიგები და სვეტები ეწოდება.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

აუცილებელი და საკმარისი პირობები, რომ განმსაზღვრელი იყოს ნულის ტოლი:

იმისათვის, რომ n-ე რიგის განმსაზღვრელი იყოს =0, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი რიგები (სვეტები) იყოს წრფივად დამოკიდებული.

წრფივი განტოლებათა სისტემები, მათი კლასიფიკაცია და აღნიშვნის ფორმები. კრამერის წესი.

განვიხილოთ 3 წრფივი განტოლების სისტემა სამი უცნობით:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!}

ეწოდება სისტემის განმსაზღვრელი.

მოდით შევადგინოთ კიდევ სამი განმსაზღვრელი შემდეგნაირად: შეცვალეთ თანმიმდევრულად 1, 2 და 3 სვეტები D დეტერმინანტში თავისუფალი ტერმინების სვეტით.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!}

მტკიცებულება. მაშ ასე, განვიხილოთ 3 განტოლების სისტემა სამი უცნობით. მოდით გავამრავლოთ სისტემის 1-ლი განტოლება a11 ელემენტის ალგებრულ დანამატზე A11, მე-2 განტოლება A21-ზე და მე-3 A31-ზე:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!}

მოდით შევხედოთ თითოეულ ფრჩხილს და ამ განტოლების მარჯვენა მხარეს. 1-ლი სვეტის ელემენტებში დეტერმინანტის გაფართოების თეორემით

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!}

ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ და .

ბოლოს და ბოლოს, ამის შემჩნევა ადვილია

ამრიგად, ვიღებთ ტოლობას: .

აქედან გამომდინარე,.

ტოლობები და მიღებულია ანალოგიურად, საიდანაც გამომდინარეობს თეორემის განცხადება.

წრფივი განტოლებათა სისტემები. წრფივი განტოლებათა თავსებადობის პირობა. კრონეკერ-კაპელის თეორემა.

ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამონახსნი არის n რიცხვი C1, C2, C3......Cn, რომელიც ჩანაცვლებულია საწყის სისტემაში x1, x2, x3.....xn. , აქცევს სისტემის ყველა განტოლებას იდენტებად.

წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემას ეწოდება თანმიმდევრული, თუ მას აქვს ერთი ამონახსნი მაინც.

თანმიმდევრულ სისტემას ეწოდება განმსაზღვრელი, თუ მას აქვს უნიკალური ამონახსნები, და განუსაზღვრელი, თუ მას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების თანმიმდევრულობის პირობები.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

თეორემა: იმისათვის, რომ m წრფივი განტოლებათა სისტემა n უცნობით იყოს თანმიმდევრული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ გაფართოებული მატრიცის რანგი ტოლი იყოს A მატრიცის რანგის.

შენიშვნა: ეს თეორემა იძლევა მხოლოდ ამოხსნის არსებობის კრიტერიუმებს, მაგრამ არ მიუთითებს ამოხსნის პოვნის მეთოდზე.

10 კითხვა.

წრფივი განტოლებათა სისტემები. საბაზისო მცირე მეთოდი არის ზოგადი მეთოდი წრფივი განტოლებების სისტემების ყველა ამოხსნის მოსაძებნად.

A=a21 a22…..a2n

ძირითადი მცირე მეთოდი:

მოდით, სისტემა იყოს თანმიმდევრული და RgA=RgA’=r. დაე, საბაზისო მინორი ჩაიწეროს მატრიცის A ზედა მარცხენა კუთხეში.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

შენიშვნები: თუ ძირითადი მატრიცის და განსახილველი მატრიცის რანგი უდრის r=n, მაშინ ამ შემთხვევაში dj=bj და სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.

წრფივი განტოლებათა ჰომოგენური სისტემები.

წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემას ეწოდება ერთგვაროვანი, თუ მისი ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია.

AX=0 – ერთგვაროვანი სისტემა.

AX =B არის ჰეტეროგენული სისტემა.

ჰომოგენური სისტემები ყოველთვის თანმიმდევრულია.

X1 =x2 =..=xn =0

თეორემა 1.

ჰომოგენურ სისტემებს აქვთ არაჰომოგენური გადაწყვეტილებები, როდესაც სისტემის მატრიცის რანგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე.

თეორემა 2.

n-წრფივი განტოლებების ერთგვაროვან სისტემას n-უცნობებთან აქვს არანულოვანი ამონახსნი, როდესაც A მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია. (detA=0)

ერთგვაროვანი სისტემების ხსნარების თვისებები.

ჰომოგენური სისტემის ამოხსნის ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია თავისთავად ამ სისტემის გამოსავალია.

α1C1 +α2C2; α1 და α2 არის რამდენიმე რიცხვი.

A(α1C1 +α2C2) = A(α1C1) +A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, ე.ი. კ (A C1) = 0; (AC2) = 0

არაჰომოგენური სისტემისთვის ეს თვისება არ ვრცელდება.

გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა.

თეორემა 3.

თუ n-უცნობებთან განტოლების მატრიცული სისტემის რანგი უდრის r-ს, მაშინ ამ სისტემას აქვს n-r წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები.

დაე, ბაზის მინორი იყოს ზედა მარცხენა კუთხეში. თუ რ< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1, 1,0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

n-r წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნების სისტემას წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის r რანგის n-უცნობი ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა ეწოდება.

თეორემა 4.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი არის ფუნდამენტური სისტემის ამოხსნის წრფივი კომბინაცია.

С = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r

თუ რ

კითხვა 12.

ჰეტეროგენული სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

ძილი (ზოგადი ჰეტეროგენული) = Coo + Sch (კერძოდ)

AX=B (ჰეტეროგენული სისტემა); AX= 0

(ASoo) + ASch = ASch = B, რადგან (ASoo) = 0

ძილი= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch

გაუსის მეთოდი.

ეს არის უცნობების (ცვლადების) თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი - ის მდგომარეობს იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით განტოლებათა თავდაპირველი სისტემა მცირდება ეტაპობრივი ფორმის ეკვივალენტურ სისტემამდე, საიდანაც გვხვდება ყველა სხვა ცვლადი. თანმიმდევრობით, ბოლო ცვლადებით დაწყებული.

მოდით a≠0 (თუ ეს ასე არ არის, მაშინ ამის მიღწევა შესაძლებელია განტოლებების გადალაგებით).

1) გამოვრიცხავთ x1 ცვლადს მეორე, მესამე...n-ე განტოლებიდან, ვამრავლებთ პირველ განტოლებას შესაფერის რიცხვებზე და მიღებულ შედეგებს ვამატებთ მე-2, მე-3...n-ე განტოლებას, შემდეგ მივიღებთ:

ჩვენ ვიღებთ ორიგინალის ექვივალენტურ სისტემას.

2) გამორიცხეთ x2 ცვლადი

3) გამორიცხეთ ცვლადი x3 და ა.შ.

x4;x5...xr-1 ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის პროცესის გაგრძელებით ვიღებთ (r-1)-ე საფეხურს.

ბოლო n-r-ის რიცხვი ნული განტოლებებში ნიშნავს, რომ მათ მარცხენა მხარეს აქვს ფორმა: 0x1 +0x2+..+0xn

თუ br+1, br+2... რიცხვებიდან ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი, მაშინ შესაბამისი ტოლობა წინააღმდეგობრივია და სისტემა (1) არათანმიმდევრულია. ამრიგად, ნებისმიერი თანმიმდევრული სისტემისთვის ეს br+1 ... bm უდრის ნულს.

ბოლო n-r განტოლება სისტემაში (1;r-1) არის იდენტობები და შეიძლება მათი იგნორირება.

არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა:

ა) სისტემის განტოლებათა რაოდენობა (1;r-1) უდრის უცნობის რაოდენობას, ანუ r=n (ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს სამკუთხა ფორმა).

ბ)რ

სისტემიდან გადასვლას (1) ეკვივალენტურ სისტემაზე (1;r-1) ეწოდება გაუსის მეთოდის პირდაპირ მოძრაობას.

სისტემიდან ცვლადის პოვნა (1;r-1) გაუსის მეთოდის საპირისპიროა.

მოსახერხებელია გაუსის გარდაქმნების განხორციელება მათი არა განტოლებებით, არამედ მათი კოეფიციენტების გაფართოებული მატრიცით.

კითხვა 13.

მსგავსი მატრიცები.

ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ რიგის კვადრატულ მატრიცებს n/

მატრიცა A არის B მატრიცის მსგავსი (A~B), თუ არსებობს არასიგნორული მატრიცა S ისეთი, რომ A=S-1BS.

მსგავსი მატრიცების თვისებები.

1) მატრიცა A თავის მსგავსია. (A~A)

თუ S=E, მაშინ EAE=E-1AE=A

2) თუ A~B, მაშინ B~A

თუ A=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) თუ A~B და ამავე დროს B~C, მაშინ A~C

მოცემულია, რომ A=S1-1BS1, და B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, სადაც S3 = S2S1

4) მსგავსი მატრიცების დეტერმინანტები ტოლია.

იმის გათვალისწინებით, რომ A~B, აუცილებელია იმის დამტკიცება, რომ detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (შემცირებული) = detB.

5) მსგავსი მატრიცების რიგები ემთხვევა.

მატრიცების საკუთრივვექტორები და საკუთრივ მნიშვნელობები.

რიცხვს λ ეწოდება A მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობას, თუ არსებობს არანულოვანი ვექტორი X (მატრიცის სვეტი) ისეთი, რომ AX = λ X, ვექტორს X ეწოდება A მატრიცის საკუთრივვექტორს და ყველა საკუთრივ მნიშვნელობის სიმრავლეს ე.წ. A მატრიცის სპექტრი.

საკუთრივ ვექტორების თვისებები.

1) საკუთრივ ვექტორის რიცხვზე გამრავლებისას ვიღებთ საკუთრივ ვექტორს იგივე საკუთრივ მნიშვნელობით.

AX = λ X; X≠0

α X => A(α X) = α (AX) = α(λ X) = = λ (αX)

2) წყვილ-წყვილად განსხვავებული საკუთარი მნიშვნელობებით საკუთრივ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია λ1, λ2,.. λк.

მოდით, სისტემა შედგებოდეს 1 ვექტორისგან, ავიღოთ ინდუქციური ნაბიჯი:

С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – გავამრავლოთ A-ზე.

C1 AX1 +C2 AX2 + .. +Cn AXn = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0

გავამრავლოთ λn+1-ზე და გამოვაკლოთ

С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

აუცილებელია, რომ C1 = C2 =... = Cn = 0

Сn+1 Хn+1 λn+1 =0

დამახასიათებელი განტოლება.

A-λE ეწოდება დამახასიათებელ მატრიცას A მატრიცისთვის.

იმისათვის, რომ არანულოვანი ვექტორი X იყოს A მატრიცის საკუთრივ ვექტორი, რომელიც შეესაბამება λ საკუთრივ მნიშვნელობას, აუცილებელია, რომ იგი იყოს წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნი (A - λE)X = 0.

სისტემას აქვს არატრივიალური გამოსავალი, როდესაც det (A - XE) = 0 - ეს არის დამახასიათებელი განტოლება.

განცხადება!

ასეთი მატრიცების დამახასიათებელი განტოლებები ემთხვევა.

det(S-1AS – λE) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λE)S) = det S-1 det(A – λE) detS= det(A – λE)

დამახასიათებელი მრავალწევრი.

det(A – λE) - ფუნქცია λ პარამეტრთან მიმართებაში

det(A – λE) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

ამ მრავალწევრს ეწოდება A მატრიცის დამახასიათებელი პოლინომი.

შედეგი:

1) თუ მატრიცები არის A~B, მაშინ მათი დიაგონალური ელემენტების ჯამი ემთხვევა.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) მსგავსი მატრიცების საკუთრივ მნიშვნელობების ნაკრები ემთხვევა.

თუ მატრიცების დამახასიათებელი განტოლებები ემთხვევა, მაშინ ისინი სულაც არ არიან მსგავსი.

მატრიცისთვის A

მატრიცისთვის B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

იმისათვის, რომ n რიგის A მატრიცა დიაგონალიზაციადი იყოს, აუცილებელია არსებობდეს A მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელი საკუთარი ვექტორები.

შედეგი.

თუ A მატრიცის ყველა საკუთარი მნიშვნელობა განსხვავებულია, მაშინ ის დიაგონალიზაციადია.

ალგორითმი საკუთრივ ვექტორებისა და საკუთრივ მნიშვნელობების საპოვნელად.

1) შეადგინეთ დამახასიათებელი განტოლება

2) იპოვნეთ განტოლებების ფესვები

3) ჩვენ ვადგენთ განტოლებათა სისტემას საკუთარი ვექტორის დასადგენად.

λi (A-λi E)X = 0

4) იპოვნეთ გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა

x1,x2..xn-r, სადაც r არის დამახასიათებელი მატრიცის რანგი.

r =Rg(A - λi E)

5) საკუთრივ ვექტორი, λi საკუთრივ მნიშვნელობები იწერება როგორც:

X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Хn-r, სადაც С12 +С22 +… С2n ≠0

6) შეამოწმეთ შესაძლებელია თუ არა მატრიცა დიაგონალურ ფორმამდე დაყვანა.

7) იპოვეთ აგ

Ag = S-1AS S=

კითხვა 15.

სწორი ხაზის, სიბრტყის, სივრცის საფუძველი.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│, ││). ვექტორის მოდული არის ნული, როდესაც ეს ვექტორი ნულია (│ō│=0 )

4. ორთალური ვექტორი.

მოცემული ვექტორის ორთალი არის ვექტორი, რომელსაც აქვს მოცემული ვექტორის მიმართულება და აქვს ერთის ტოლი მოდული.

თანაბარ ვექტორებს აქვთ თანაბარი ვექტორები.

5.კუთხე ორ ვექტორს შორის.

ეს არის ტერიტორიის უფრო მცირე ნაწილი, შემოიფარგლება ორი სხივით, რომელიც გამოდის ერთი და იმავე წერტილიდან და მიმართულია მოცემულ ვექტორებთან ერთნაირად.

ვექტორის დამატება. ვექტორის გამრავლება რიცხვზე.

1) ორი ვექტორის დამატება

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2)ვექტორის გამრავლება სკალარზე.

ვექტორისა და სკალარის ნამრავლი არის ახალი ვექტორი, რომელსაც აქვს:

ა) = ვექტორის მოდულის ნამრავლი სკალარის აბსოლუტურ მნიშვნელობაზე.

ბ) მიმართულება იგივეა, რაც ვექტორის გამრავლება, თუ სკალარი დადებითია და საპირისპირო, თუ სკალარი უარყოფითია.

λ а(ვექტორი)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

ვექტორებზე წრფივი მოქმედებების თვისებები.

1. გადაცემის კანონი.

2. ასოციაციურობის კანონი.

3. შეკრება ნულით.

a(ვექტორი)+ō= a(ვექტორი)

4. დამატება საპირისპიროდ.

5. (αβ) = α(ბ) = β(ა)

6;7.განაწილების კანონი.

ვექტორის გამოხატვა მისი მოდულისა და ორთის მიხედვით.

წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალურ რაოდენობას საფუძველი ეწოდება.

წრფეზე საფუძველი არის ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი.

სიბრტყეზე საფუძველი არის ნებისმიერი ორი არაკალენარული ვექტორი.

სივრცეში საფუძველი არის ნებისმიერი სამი არათანაბარი ვექტორის სისტემა.

ვექტორის გაფართოების კოეფიციენტს ამ საფუძველში ვექტორის კომპონენტებს ან კოორდინატებს უწოდებენ.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> შეასრულეთ შეკრების და გამრავლების მოქმედება სკალარით, შემდეგ ასეთი მოქმედებების ნებისმიერ რაოდენობას მივიღებთ:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> ეწოდება წრფივად დამოკიდებულს, თუ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ō-ის ტოლი.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> ეწოდება წრფივად დამოუკიდებელ, თუ არ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია.

წრფივად დამოკიდებული და დამოუკიდებელი ვექტორების თვისებები:

1) ვექტორთა სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს, არის წრფივი დამოკიდებული.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> იყო წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია, რომ რომელიმე ვექტორი იყოს სხვა ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

3) თუ a1(ვექტორი), a2(ვექტორი)... ak(ვექტორი) სისტემის ზოგიერთი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ყველა ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული.

4) თუ ყველა ვექტორი https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

ხაზოვანი მოქმედებები კოორდინატებში.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src=">

წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები:

1. კომუტატიურობა

3. (a;b)=0, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები ორთოგანალურია ან ზოგიერთი ვექტორი 0-ის ტოლია.

4. განაწილება (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. a და b-ის სკალარული ნამრავლის გამოხატვა მათი კოორდინატების მიხედვით

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

როდესაც () პირობა დაკმაყოფილებულია, h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> და ეწოდება მესამე ვექტორი, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ განტოლებებს:

3. – მართალია

ვექტორული პროდუქტის თვისებები:

4. კოორდინატთა ერთეული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი

ორთონორალური საფუძველი.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

ხშირად 3 სიმბოლო გამოიყენება ორთონორმალური საფუძვლის ერთეული ვექტორების აღსანიშნავად

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

თუ ორთონორმალური საფუძველია, მაშინ

https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15"> - სწორი ხაზის განტოლება OX ღერძის პარალელურად

2) - სწორი ხაზის განტოლება op-amp-ის ღერძის პარალელურად

2. 2 სწორი ხაზის ორმხრივი განლაგება.

თეორემა 1 სწორი ხაზების განტოლებები მოცემულია აფინური კოორდინატთა სისტემის მიმართ

ა) მაშინ აუცილებელი და საკმარისი პირობა მათი გადაკვეთისას აქვს ფორმა:

ბ) მაშინ აუცილებელი და საკმარისი პირობა იმისა, რომ წრფეები პარალელურია, არის პირობა:

ბ) მაშინ აუცილებელი და საკმარისი პირობა იმისთვის, რომ ხაზები ერთში გაერთიანდეს, არის პირობა:

3. მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.

თეორემა. მანძილი წერტილიდან წრფემდე დეკარტის კოორდინატულ სისტემასთან მიმართებაში:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის. პერპენდიკულარობის მდგომარეობა.

2 სწორი ხაზი განისაზღვროს დეკარტის კოორდინატთა სისტემის მიმართ ზოგადი განტოლებებით.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

თუ , მაშინ ხაზები პერპენდიკულარულია.

კითხვა 24.

თვითმფრინავი კოსმოსში. ვექტორისა და სიბრტყის თანმიმდევრული პირობა. მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე. ორი სიბრტყის პარალელურობისა და პერპენდიკულარობის პირობა.

1. ვექტორისა და სიბრტყის თანმიმდევრული პირობა.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Nameless4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Nameless5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. კუთხე 2 სიბრტყეს შორის. პერპენდიკულარობის მდგომარეობა.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

თუ , მაშინ სიბრტყეები პერპენდიკულარულია.

კითხვა 25.

სწორი ხაზი სივრცეში. სწორი ხაზის განტოლების სხვადასხვა ტიპები სივრცეში.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. წრფის ვექტორული განტოლება სივრცეში.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. კანონიკური განტოლება პირდაპირია.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Nameless3.jpg" width="56" height="51">!}

ხაზოვანი ალგებრის ამოცანები. მატრიცის კონცეფცია. მატრიცების ტიპები. ოპერაციები მატრიცებით. მატრიცის ტრანსფორმაციის ამოცანების ამოხსნა.

მათემატიკაში სხვადასხვა ამოცანების ამოხსნისას ხშირად გიწევთ საქმე რიცხვების ცხრილებთან, რომლებსაც მატრიცები ეწოდება. მატრიცების გამოყენებით მოსახერხებელია წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა, ვექტორებით მრავალი ოპერაციის შესრულება, კომპიუტერული გრაფიკის სხვადასხვა ამოცანების და სხვა საინჟინრო ამოცანების გადაჭრა.

მატრიცა ე.წ რიცხვების მართკუთხა ცხრილი, რომელიც შეიცავს რაოდენობას მხაზები და გარკვეული რაოდენობა პსვეტები. ნომრები თდა პმატრიცულ ბრძანებებს უწოდებენ. თუ თ = P,მატრიცას ეწოდება კვადრატი, ხოლო რიცხვი m = n -მისი შეკვეთა.

მომავალში მატრიცების დასაწერად გამოყენებული იქნება ორმაგი ტირე ან ფრჩხილები:

ან

მატრიცის მოკლედ აღსანიშნავად, ხშირად გამოყენებული იქნება ერთი დიდი ასო (მაგალითად, A) ან სიმბოლო. || a ij ||და ზოგჯერ განმარტებით: ა = || a ij || = (აი),სად (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n).

ნომრები აიი,ამ მატრიცაში შედის მისი ელემენტები. ჩაწერაში იჯპირველი ინდექსი і ნიშნავს ხაზის ნომერს და მეორე ინდექსს ჯ- სვეტის ნომერი. კვადრატული მატრიცის შემთხვევაში

(1.1)

შემოღებულია ძირითადი და მეორადი დიაგონალების ცნებები. მატრიცის (1.1) მთავარ დიაგონალს დიაგონალი ეწოდება 11 და 12 … ენმიდის ამ მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხიდან მის ქვედა მარჯვენა კუთხეში. იმავე მატრიცის გვერდით დიაგონალს დიაგონალი ეწოდება a n 1 a (n -1)2… a 1 n,ქვედა მარცხენა კუთხიდან ზედა მარჯვენა კუთხეში გადასვლა.

ძირითადი ოპერაციები მატრიცებზე და მათ თვისებებზე.

მოდით გადავიდეთ მატრიცებზე ძირითადი მოქმედებების განსაზღვრაზე.

მატრიცის დამატება.ორი მატრიცის ჯამი A = || a ij || ,სად და B = || b ij || ,სად (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)იგივე ბრძანებები თდა პეწოდება მატრიცა C = || c ij || (i =1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n)იგივე ბრძანებები თდა P,ელემენტები ij-თან ერთადრომლებიც განისაზღვრება ფორმულით

, სად (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2)

ორი მატრიცის ჯამის აღსანიშნავად გამოიყენება აღნიშვნა C = A + B.მატრიცების ჯამის შედგენის ოპერაციას მათი შეკრება ეწოდება. ასე რომ, განმარტებით:

+ =

მატრიცების ჯამის განსაზღვრებიდან, უფრო ზუსტად ფორმულებიდან (1.2), მაშინვე გამომდინარეობს, რომ მატრიცების დამატების ოპერაციას აქვს იგივე თვისებები, რაც რეალური რიცხვების შეკრების ოპერაციას, კერძოდ:

1) კომუტაციური თვისება: A + B = B + A,

2) ასოციაციური თვისება: A + B) + C = A + (B + C).

ეს თვისებები საშუალებას გაძლევთ არ ინერვიულოთ მატრიცის ტერმინების თანმიმდევრობაზე ორი ან მეტი მატრიცის დამატებისას.

მატრიცის გამრავლება რიცხვზე. მატრიცის ნამრავლი A = || a ij || , სადაც (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) რეალური რიცხვით l, ეწოდება მატრიცა C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), რომლის ელემენტები განისაზღვრება ფორმულით:

, სად (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3)

მატრიცისა და რიცხვის ნამრავლის აღსანიშნავად გამოიყენება აღნიშვნა C = l Aან C = A l.მატრიცის ნამრავლის რიცხვით შედგენის ოპერაციას მატრიცის ამ რიცხვზე გამრავლება ეწოდება.

პირდაპირ ფორმულიდან (1.3) ცხადია, რომ მატრიცის რიცხვზე გამრავლებას აქვს შემდეგი თვისებები:

1) ასოციაციური თვისება რიცხვითი მულტიპლიკატორის მიმართ: (ლ მ) A = ლ (მ A);

2) განაწილების თვისება მატრიცების ჯამის მიმართ: l (A + B) = l A + l B;

3) გამანაწილებელი თვისება რიცხვთა ჯამის მიმართ: (l + m) A = l A + m A

კომენტარი.ორი მატრიცის განსხვავება ადა INიდენტური შეკვეთები თდა პასეთი მატრიცის დარქმევა ბუნებრივია თანიგივე ბრძანებები თდა P,რომელიც ჯამდება მატრიცასთან ბიძლევა მატრიცას A. ორი მატრიცის სხვაობის აღსანიშნავად გამოიყენება ბუნებრივი აღნიშვნა: C = A - B.

განსხვავების დადასტურება ძალიან მარტივია თანორი მატრიცა ადა INმიღება შესაძლებელია წესით C = A + (–1) V.

მატრიცების პროდუქტიან მატრიცის გამრავლება.

მატრიცული პროდუქტი A = || a ij || , სადაც (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)შესაბამისად თანაბარი შეკვეთების მქონე თდა n,მატრიცამდე B = || b ij || ,სად (i = 1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., p),შესაბამისად თანაბარი შეკვეთების მქონე ნდა R,მატრიცას უწოდებენ C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), რომელსაც აქვს ბრძანებები შესაბამისად თანაბარი თდა რრომლის ელემენტები განისაზღვრება ფორმულით:

სად (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

მატრიცის ნამრავლის აღსანიშნავად ამატრიცამდე INგამოიყენეთ ჩანაწერი C = A × B. მატრიცული პროდუქტის შედგენის ოპერაცია ამატრიცამდე INეწოდება ამ მატრიცების გამრავლება.

ზემოთ ჩამოყალიბებული განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მატრიცა A არ შეიძლება გამრავლდეს ყველა B მატრიცზე,აუცილებელია მატრიცის სვეტების რაოდენობა აუდრის მატრიცის მწკრივების რაოდენობას IN.

ფორმულა (1.4) არის C მატრიცის ელემენტების შედგენის წესი, რომელიც არის მატრიცის ნამრავლი. ამატრიცამდე IN.ეს წესი შეიძლება ჩამოყალიბდეს სიტყვიერად: ელემენტი c i j, რომელიც დგას i-ე მწკრივისა და მატრიცის j-ე სვეტის გადაკვეთაზე C = A B უდრის A მატრიცის i-ე მწკრივის და j-ე სვეტის შესაბამისი ელემენტების წყვილი ნამრავლის ჯამს. მატრიცის B.

ამ წესის გამოყენების მაგალითად წარმოგიდგენთ მეორე რიგის კვადრატული მატრიცების გამრავლების ფორმულას.

× =

ფორმულიდან (1.4) გამოდის მატრიცული პროდუქტის შემდეგი თვისებები: ამატრიცაზე IN:

1) ასოციაციური თვისება: (A B) C = A (B C);

2) გამანაწილებელი თვისება მატრიცების ჯამის მიმართ:

(A + B) C = A C + B C ან A (B + C) = A B + A C.

კითხვა მატრიცის ნამრავლის კომუტაციური თვისების შესახებ ამატრიცამდე INაზრი აქვს მისი დაყენება მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის A და Bიგივე ბრძანება.

მოდით წარმოვადგინოთ მატრიცების მნიშვნელოვანი განსაკუთრებული შემთხვევები, რომლებისთვისაც პერმუტაციის თვისება ასევე მართალია. ორ მატრიცას, რომელთა პროდუქტს აქვს commutation თვისება, ჩვეულებრივ უწოდებენ commuting.

კვადრატულ მატრიცებს შორის ჩვენ გამოვყოფთ ე.წ. წესრიგის თითოეული დიაგონალური მატრიცა პროგორც ჩანს

D= (1.5)

სად d 1, d 2,… , დნ- ნებისმიერი რიცხვი. ადვილი მისახვედრია, რომ თუ ყველა ეს რიცხვი ერთმანეთის ტოლია, ე.ი. d 1 = d 2 =… = d nშემდეგ ნებისმიერი კვადრატული მატრიცისთვის აშეკვეთა პთანასწორობა მართალია A D = D A.

ყველა დიაგონალურ მატრიცებს შორის (1.5) დამთხვევის ელემენტებით d 1 = d 2 =… = dn= = დორი მატრიცა განსაკუთრებით მნიშვნელოვან როლს ასრულებს. ამ მატრიცებიდან პირველი მიღებულია d = 1,იდენტობის მატრიცას უწოდებენ ნ ე.მეორე მატრიცა მიიღება როდესაც d = 0, ეწოდება ნულოვანი მატრიცა ნ-ე რიგი და აღინიშნება სიმბოლოთი ო.ამრიგად,

E= O=

იმის გამო, რაც ზემოთ დადასტურდა A E = E Aდა A O = O A.უფრო მეტიც, ამის ჩვენება ადვილია

A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6)

ფორმულებიდან პირველი (1.6) ახასიათებს იდენტურობის მატრიცის განსაკუთრებულ როლს E,მსგავსი როლი, რომელსაც ასრულებს რიცხვი 1-ის რეალური რიცხვების გამრავლებისას. რაც შეეხება ნულოვანი მატრიცის განსაკუთრებულ როლს შესახებ,მაშინ იგი ვლინდება არა მხოლოდ ფორმულის მეორით (1.7), არამედ ელემენტარული შესამოწმებელი თანასწორობით.

A + 0 = 0 + A = A.

დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ნულოვანი მატრიცის კონცეფცია ასევე შეიძლება შემოღებულ იქნას არაკვადრატული მატრიცებისთვის (ნულოვანი ე.წ. ნებისმიერიმატრიცა, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია).

ბლოკირების მატრიცები

დავუშვათ, რომ რაღაც მატრიცა A = || a ij ||ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ხაზების გამოყენებით, იგი იყოფა ცალკეულ მართკუთხა უჯრედებად, რომელთაგან თითოეული არის უფრო მცირე ზომის მატრიცა და ეწოდება თავდაპირველი მატრიცის ბლოკი. ამ შემთხვევაში შესაძლებელი ხდება ორიგინალური მატრიცის გათვალისწინება აროგორც რაღაც ახალი (ე.წ. ბლოკის) მატრიცა ა = || A a b ||, რომლის ელემენტებია მითითებული ბლოკები. ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ელემენტებს დიდი ასოებით, რათა ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ ისინი, ზოგადად, მატრიცებია და არა რიცხვები და (ჩვეულებრივი რიცხვითი ელემენტების მსგავსად) ვაძლევთ ორ ინდექსს, რომელთაგან პირველი მიუთითებს "ბლოკის" ხაზის რაოდენობაზე, ხოლო მეორე - სვეტის "ბლოკის" ნომერი.

მაგალითად, მატრიცა

შეიძლება ჩაითვალოს ბლოკის მატრიცად

რომლის ელემენტებია შემდეგი ბლოკები:

აღსანიშნავია ის ფაქტი, რომ ძირითადი ოპერაციები ბლოკის მატრიცებით შესრულებულია იმავე წესებით, რომლითაც ისინი სრულდება ჩვეულებრივი რიცხვითი მატრიცებით, მხოლოდ ბლოკები მოქმედებენ ელემენტებად.

დეტერმინანტის ცნება.

განვიხილოთ ნებისმიერი რიგის თვითნებური კვადრატული მატრიცა P:

A= (1.7)

თითოეულ ასეთ მატრიცას ჩვენ ვუკავშირებთ კარგად განსაზღვრულ რიცხვობრივ მახასიათებელს, რომელსაც დეტერმინანტი ეწოდება, რომელიც შეესაბამება ამ მატრიცას.

თუ ბრძანება ნმატრიცა (1.7) უდრის ერთს, მაშინ ეს მატრიცა შედგება ერთი ელემენტისგან და მე j პირველი რიგის განმსაზღვრელი, რომელიც შეესაბამება ასეთ მატრიცას, ჩვენ დავარქმევთ ამ ელემენტის მნიშვნელობას.

მაშინ მეორე რიგის განმსაზღვრელი, რომელიც შეესაბამება ასეთ მატრიცას, არის რიცხვი ტოლი a 11 a 22 - a 12 a 21და აღინიშნება ერთ-ერთი სიმბოლოთი:

ასე რომ, განსაზღვრებით

(1.9)

ფორმულა (1.9) არის მეორე რიგის დეტერმინანტის აგების წესი შესაბამისი მატრიცის ელემენტებიდან. ამ წესის სიტყვიერი ფორმულირება ასეთია: მატრიცის (1.8) შესაბამისი მეორე რიგის განმსაზღვრელი უდრის სხვაობას ამ მატრიცის მთავარ დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლსა და მის მეორად დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლს შორის. მეორე და უმაღლესი რიგის განმსაზღვრელი ფართოდ გამოიყენება წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას.

ვნახოთ, როგორ სრულდება ისინი ოპერაციები მატრიცებით MathCad სისტემაში . მატრიცული ალგებრის უმარტივესი ოპერაციები MathCad-ში ხორციელდება ოპერატორების სახით. ოპერატორების ჩაწერა რაც შეიძლება ახლოსაა მნიშვნელობით მათ მათემატიკურ მოქმედებასთან. თითოეული ოპერატორი გამოიხატება შესაბამისი სიმბოლოთი. განვიხილოთ მატრიცული და ვექტორული ოპერაციები MathCad 2001-ში. ვექტორები არის განზომილების მატრიცების განსაკუთრებული შემთხვევა. n x 1,მაშასადამე, მათთვის მართებულია ყველა იგივე ოპერაცია, რაც მატრიცებისთვის, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც კონკრეტულად არის მითითებული შეზღუდვები (მაგალითად, ზოგიერთი ოპერაცია გამოიყენება მხოლოდ კვადრატულ მატრიცებზე n x n). ზოგიერთი ქმედება მოქმედებს მხოლოდ ვექტორებისთვის (მაგალითად, სკალარული ნამრავლი), ზოგი კი, მიუხედავად ერთი და იგივე მართლწერისა, განსხვავებულად მოქმედებს ვექტორებსა და მატრიცებზე.

დიალოგში, რომელიც გამოჩნდება, მიუთითეთ მატრიცის სტრიქონების და სვეტების რაოდენობა.

q ღილაკზე OK დაჭერის შემდეგ იხსნება ველი მატრიცის ელემენტების შესაყვანად. მატრიცის ელემენტის შესაყვანად მოათავსეთ კურსორი მონიშნულ პოზიციაზე და შეიყვანეთ რიცხვი ან გამოთქმა კლავიატურიდან.

ინსტრუმენტთა ზოლის გამოყენებით ნებისმიერი ოპერაციის შესასრულებლად საჭიროა:

q აირჩიეთ მატრიცა და დააწკაპუნეთ ოპერაციის ღილაკზე პანელში,

q ან დააჭირეთ ღილაკს პანელში და ჩაწერეთ მატრიცის სახელი მონიშნულ პოზიციაზე.

მენიუ "სიმბოლოები" შეიცავს სამ ოპერაციას - ტრანსპოზირება, ინვერსია, განმსაზღვრელი.

ეს ნიშნავს, რომ, მაგალითად, შეგიძლიათ გამოთვალოთ მატრიცის განმსაზღვრელი ბრძანების გაშვებით სიმბოლოები/მატრიცები/დეტერმინანტი.

MathCAD ინახავს მატრიცის პირველი რიგის (და პირველი სვეტის) რიცხვს ORIGIN ცვლადში. ნაგულისხმევად, დათვლა იწყება ნულიდან. მათემატიკური აღნიშვნებისას უფრო ხშირია 1-დან დათვლა. იმისათვის, რომ MathCAD-მა დათვალოს მწკრივების და სვეტების რიცხვები 1-დან, თქვენ უნდა დააყენოთ ORIGIN:=1 ცვლადის მნიშვნელობა.

ხაზოვანი ალგებრის ამოცანებთან მუშაობისთვის შექმნილი ფუნქციები გროვდება დიალოგში „ჩასმა ფუნქციის“ განყოფილებაში „ვექტორები და მატრიცები“ (შეგახსენებთ, რომ ის გამოიძახება „სტანდარტული“ პანელის ღილაკით). ამ ფუნქციების ძირითადი ნაწილი მოგვიანებით იქნება აღწერილი.

ტრანსპონირება

ნახ.2 მატრიცების ტრანსპოზირება

MathCAD-ში შეგიძლიათ დაამატოთ მატრიცები და გამოკლოთ ისინი ერთმანეთს. ამ ოპერატორებისთვის გამოყენებული სიმბოლოებია <+> ან <-> შესაბამისად. მატრიცებს უნდა ჰქონდეთ იგივე განზომილება, წინააღმდეგ შემთხვევაში წარმოიქმნება შეცდომის შეტყობინება. ორი მატრიცის ჯამის თითოეული ელემენტი უდრის მატრიცა-ბრძანებების შესაბამისი ელემენტების ჯამს (მაგალითი ნახ. 3-ში).
მატრიცების დამატების გარდა, MathCAD მხარს უჭერს მატრიცის დამატების ოპერაციას სკალარული რაოდენობით, ე.ი. ნომერი (მაგალითი ნახ. 4). შედეგად მიღებული მატრიცის თითოეული ელემენტი უდრის ორიგინალური მატრიცის შესაბამისი ელემენტისა და სკალარული რაოდენობის ჯამს.
გამრავლების სიმბოლოს შესაყვანად, თქვენ უნდა დააჭიროთ ვარსკვლავის ღილაკს<*>ან გამოიყენეთ ხელსაწყოების პანელი მატრიცამასზე ღილაკის დაჭერით წერტილოვანი პროდუქტი (გამრავლება)(ნახ. 1). მატრიცის გამრავლება ნაგულისხმევად აღინიშნება წერტილით, როგორც ნაჩვენებია მაგალითში 6-ში. მატრიცის გამრავლების სიმბოლო შეიძლება შეირჩეს ისევე, როგორც სკალარული გამოსახულებების დროს.
კიდევ ერთი მაგალითი, რომელიც დაკავშირებულია ვექტორის მწკრივის მატრიცით და, პირიქით, მწკრივის ვექტორით გამრავლებასთან, ნაჩვენებია ნახ. 7. ამ მაგალითის მეორე სტრიქონი გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება ფორმულა გამრავლების ოპერატორის ჩვენების არჩევისას არა სივრცე (ერთად).თუმცა, ერთი და იგივე გამრავლების ოპერატორი განსხვავებულად მოქმედებს ორ ვექტორზე .

Დაკავშირებული ინფორმაცია.

1 კურსი უმაღლესი მათემატიკა სწავლა მატრიცებიდა ძირითადი მოქმედებები მათზე. აქ ჩვენ ვაწყობთ ძირითად ოპერაციებს, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მატრიცებით. სად დავიწყოთ მატრიცების გაცნობა? რა თქმა უნდა, უმარტივესი საგნებიდან - განმარტებები, ძირითადი ცნებები და მარტივი ოპერაციები. გარწმუნებთ, რომ მატრიცები ყველასთვის გასაგები იქნება, ვინც ცოტა დროს მაინც უთმობს მათ!

მატრიცის განმარტება

მატრიცაარის ელემენტების მართკუთხა ცხრილი. ისე, მარტივი სიტყვებით - რიცხვების ცხრილი.

როგორც წესი, მატრიცები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით. მაგალითად, მატრიცა ა , მატრიცა ბ და ასე შემდეგ. მატრიცები შეიძლება იყოს სხვადასხვა ზომის: მართკუთხა, კვადრატული და ასევე არის მწკრივისა და სვეტის მატრიცები, რომლებსაც ვექტორები ეწოდება. მატრიცის ზომა განისაზღვრება სტრიქონებისა და სვეტების რაოდენობით. მაგალითად, დავწეროთ ზომის მართკუთხა მატრიცა მ on ნ , სად მ - ხაზების რაოდენობა და ნ - სვეტების რაოდენობა.

ნივთები, რისთვისაც i=j (a11, a22, .. ) ქმნიან მატრიცის მთავარ დიაგონალს და უწოდებენ დიაგონალს.

რა შეგიძლიათ გააკეთოთ მატრიცებით? დამატება/გამოკლება, რიცხვზე გამრავლება, გამრავლდნენ ერთმანეთში, გადატანა. ახლა მატრიცებზე ყველა ამ ძირითადი ოპერაციის შესახებ თანმიმდევრობით.

მატრიცის შეკრება და გამოკლების ოპერაციები

დაუყოვნებლივ გაფრთხილებთ, რომ შეგიძლიათ დაამატოთ მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცები. შედეგი იქნება იგივე ზომის მატრიცა. მატრიცების დამატება (ან გამოკლება) მარტივია - თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ მათი შესაბამისი ელემენტები . მოვიყვანოთ მაგალითი. შევასრულოთ ორი A და B ზომის ორი მატრიცის შეკრება.

გამოკლება ხდება ანალოგიით, მხოლოდ საპირისპირო ნიშნით.

ნებისმიერი მატრიცა შეიძლება გამრავლდეს თვითნებურ რიცხვზე. Გააკეთო ეს, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მისი თითოეული ელემენტი ამ რიცხვზე. მაგალითად, მოდით გავამრავლოთ მატრიცა A პირველი მაგალითიდან 5 რიცხვზე:

მატრიცის გამრავლების ოპერაცია

ყველა მატრიცა არ შეიძლება გამრავლდეს ერთად. მაგალითად, გვაქვს ორი მატრიცა - A და B. მათი გამრავლება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის B მატრიცის რიგების რაოდენობას. ამ შემთხვევაში შედეგად მიღებული მატრიცის თითოეული ელემენტი, რომელიც მდებარეობს i-ე მწკრივში და j-ე სვეტში, ტოლი იქნება შესაბამისი ელემენტების ნამრავლების ჯამს პირველი ფაქტორის i-ე მწკრივში და j-ე სვეტში. მეორე. ამ ალგორითმის გასაგებად, მოდით დავწეროთ როგორ მრავლდება ორი კვადრატული მატრიცა:

და მაგალითი რეალური რიცხვებით. გავამრავლოთ მატრიცები:

მატრიცის ტრანსპოზის ოპერაცია

მატრიცის ტრანსპოზიცია არის ოპერაცია, სადაც ხდება შესაბამისი სტრიქონების და სვეტების გაცვლა. მაგალითად, გადავიტანოთ მატრიცა A პირველი მაგალითიდან:

მატრიცის განმსაზღვრელი

დეტერმინანტი, ანუ განმსაზღვრელი, წრფივი ალგებრის ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა. ოდესღაც ხალხს წრფივი განტოლებები მოჰყვა და მათ შემდეგ უნდა მოეფიქრებინათ განმსაზღვრელი. საბოლოო ჯამში, თქვენზეა დამოკიდებული, გაუმკლავდეთ ამ ყველაფერს, ასე რომ, ბოლო ბიძგი!

განმსაზღვრელი არის კვადრატული მატრიცის რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც საჭიროა მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად.
უმარტივესი კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ განსხვავება ძირითადი და მეორადი დიაგონალების ელემენტების პროდუქტებს შორის.

პირველი რიგის მატრიცის, ანუ ერთი ელემენტისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ამ ელემენტის ტოლია.

რა მოხდება, თუ მატრიცა არის სამი სამზე? ეს უფრო რთულია, მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ მისი მართვა.

ასეთი მატრიცისთვის, განმსაზღვრელი მნიშვნელობა უდრის მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლების ჯამს და ძირითადი დიაგონალის პარალელურ პირის მქონე სამკუთხედებზე მდებარე ელემენტების ნამრავლების ჯამს, საიდანაც არის ნამრავლი გამოკლებულია მეორადი დიაგონალის ელემენტები და პარალელური მეორადი დიაგონალის პირის მქონე სამკუთხედებზე დაყრილი ელემენტების ნამრავლი.

საბედნიეროდ, პრაქტიკაში იშვიათად არის საჭირო დიდი ზომის მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლა.

აქ ჩვენ გადავხედეთ ძირითად ოპერაციებს მატრიცებზე. რა თქმა უნდა, რეალურ ცხოვრებაში შეიძლება არასოდეს შეგხვდეთ განტოლებათა მატრიცული სისტემის მინიშნებაც კი, ან, პირიქით, შეგხვდეთ ბევრად უფრო რთულ შემთხვევებს, როდესაც ნამდვილად მოგიწევთ ჭკუის დალაგება. სწორედ ასეთი შემთხვევებისთვის არსებობს პროფესიონალი სტუდენტური სერვისები. ითხოვეთ დახმარება, მიიღეთ მაღალი ხარისხის და დეტალური გადაწყვეტა, ისიამოვნეთ აკადემიური წარმატებებით და თავისუფალი დროით.

მომსახურების მიზანი. მატრიცის კალკულატორიშექმნილია მატრიცული გამონათქვამების გადასაჭრელად, როგორიცაა 3A-CB 2 ან A -1 +B T.

ინსტრუქციები. ონლაინ გადაწყვეტისთვის, თქვენ უნდა მიუთითოთ მატრიცის გამოხატულება. მეორე ეტაპზე საჭირო იქნება მატრიცების განზომილების გარკვევა. მოქმედი ოპერაციები: გამრავლება (*), შეკრება (+), გამოკლება (-), შებრუნებული მატრიცა A^(-1), გაძლიერება (A^2, B^3), მატრიცის ტრანსპოზიცია (A^T).

მოქმედი ოპერაციები: გამრავლება (*), შეკრება (+), გამოკლება (-), შებრუნებული მატრიცა A^(-1), გაძლიერება (A^2, B^3), მატრიცის ტრანსპოზიცია (A^T).
ოპერაციების სიის შესასრულებლად გამოიყენეთ მძიმით (;) გამყოფი. მაგალითად, სამი ოპერაციის შესასრულებლად:
ა) 3A+4B
ბ) AB-VA
გ) (A-B) -1
თქვენ უნდა დაწეროთ ასე: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

მატრიცა არის მართკუთხა რიცხვითი ცხრილი m მწკრივით და n სვეტით, ამიტომ მატრიცა სქემატურად შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მართკუთხედის სახით.
ნულოვანი მატრიცა (ნულის მატრიცა)არის მატრიცა, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია და აღინიშნება 0-ით.
იდენტობის მატრიცაეწოდება ფორმის კვადრატული მატრიცა

ორი მატრიცა A და B ტოლია, თუ ისინი ერთნაირი ზომისაა და მათი შესაბამისი ელემენტები ტოლია.
სინგულარული მატრიცაარის მატრიცა, რომლის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია (Δ = 0).

განვსაზღვროთ ძირითადი ოპერაციები მატრიცებზე.

მატრიცის დამატება

განმარტება . ორი მატრიცის ჯამი A=||a i k || და B=||b i k || იგივე ზომის მატრიცა C=||c i k || იგივე განზომილებების, რომელთა ელემენტები გვხვდება c i k =a i k +b i k ფორმულით. აღინიშნება C=A+B-ით.

მაგალითი 6. .
მატრიცის მიმატების ოპერაცია ვრცელდება ნებისმიერი რაოდენობის ტერმინების შემთხვევაში. ცხადია A+0=A.
კიდევ ერთხელ ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ შესაძლებელია მხოლოდ ერთი და იმავე ზომის მატრიცების დამატება; სხვადასხვა ზომის მატრიცებისთვის დამატების ოპერაცია არ არის განსაზღვრული.

მატრიცების გამოკლება

განმარტება . B-A ერთი და იგივე ზომის მატრიცების B-A განსხვავება არის C მატრიცა ისეთი, რომ A+C=B.

მატრიცული გამრავლება

განმარტება . A=||a i k || მატრიცის ნამრავლი α რიცხვით არის მატრიცა C=||c i k ||, მიღებული A-დან მისი ყველა ელემენტის α-ზე გამრავლებით, c i k =α·a i k.

განმარტება . მოდით ორი მატრიცა A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) და B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p) და A-ს სვეტების რაოდენობა უდრის B-ის მწკრივების რაოდენობას. A და B-ის ნამრავლი არის C=||c i k || მატრიცა, რომლის ელემენტები გვხვდება ფორმულით. .
აღინიშნება C=A·B.
სქემატურად, მატრიცის გამრავლების ოპერაცია შეიძლება გამოისახოს შემდეგნაირად:

და პროდუქტში ელემენტის გამოთვლის წესი:

კიდევ ერთხელ ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ A·B ნამრავლს აქვს აზრი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირველი ფაქტორის სვეტების რაოდენობა უდრის მეორის მწკრივების რაოდენობას და ნამრავლი აწარმოებს მატრიცას, რომლის მწკრივების რაოდენობა უდრის. პირველი ფაქტორის სტრიქონების რაოდენობა, ხოლო სვეტების რაოდენობა უდრის მეორის სვეტების რაოდენობას. თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ გამრავლების შედეგი სპეციალური ონლაინ კალკულატორის გამოყენებით.

მაგალითი 7. მოცემული მატრიცები და . იპოვეთ მატრიცები C = A·B და D = B·A.
გამოსავალი. უპირველეს ყოვლისა, გაითვალისწინეთ, რომ პროდუქტი A·B არსებობს, რადგან A-ს სვეტების რაოდენობა უდრის B-ის მწკრივების რაოდენობას.

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგად შემთხვევაში A·B≠B·A, ე.ი. მატრიცების პროდუქტი ანტიკომუტატიულია.
ვიპოვოთ B·A (გამრავლება შესაძლებელია).

მაგალითი 8. მოცემულია მატრიცა . იპოვეთ 3A 2 – 2A.
გამოსავალი.

.
; .
.
აღვნიშნოთ შემდეგი საინტერესო ფაქტი.
მოგეხსენებათ, ორი არანულოვანი რიცხვის ნამრავლი არ არის ნულის ტოლი. მატრიცებისთვის მსგავსი გარემოება შეიძლება არ მოხდეს, ანუ ნულოვანი მატრიცების ნამრავლი შეიძლება აღმოჩნდეს ნულოვანი მატრიცის ტოლი.