MJEŠOVITI PROIZVOD TRI VEKTORA I NJEGOVA SVOJSTVA

mješoviti proizvod tri vektora naziva se broj jednak . Označeno . Ovdje se prva dva vektora množe vektorski, a zatim se rezultirajući vektor množi skalarno trećim vektorom. Očigledno, takav proizvod je neki broj.

Razmotrite svojstva miješanog proizvoda.

1. geometrijskog smisla mješoviti proizvod. Mješoviti proizvod 3 vektora, do znaka, jednak je zapremini paralelepipeda izgrađenog na ovim vektorima, kao na ivicama, tj. .

   Dakle, i .

   

   Dokaz. Odložimo vektore iz zajedničkog porijekla i na njima izgradimo paralelepiped. Označimo i primijetimo da . Po definiciji skalarnog proizvoda

   Pretpostavljajući to i označavajući kroz h visina paralelepipeda, nalazimo .

   Dakle, kod

   Ako , onda i . Shodno tome, .

   Kombinirajući oba ova slučaja, dobivamo ili .

   Iz dokaza ovog svojstva, posebno, slijedi da ako je trojka vektora desno, onda mješoviti proizvod , a ako je lijevo, onda .

2. Za bilo koje vektore , , jednakost

   Dokaz ovog svojstva slijedi iz svojstva 1. Doista, lako je pokazati da i . Štaviše, znakovi "+" i "-" uzimaju se istovremeno, jer uglovi između vektora i i i su oštri ili tupi.

3. Izmjenom bilo koja dva faktora mješoviti proizvod menja znak.

   Doista, ako uzmemo u obzir mješoviti proizvod, onda, na primjer, ili

4. Mješoviti proizvod ako i samo ako je jedan od faktora jednak nuli ili su vektori komplanarni.

   Dokaz.

   Dakle, neophodan i dovoljan uslov za komplanarnost 3 vektora je jednakost nule njihovog mješovitog proizvoda. Osim toga, iz ovoga slijedi da tri vektora čine osnovu u prostoru ako .

   Ako su vektori dati u koordinatnom obliku, onda se može pokazati da se njihov mješoviti proizvod nalazi po formuli:

   .

   Dakle, mješoviti proizvod je jednak determinanti trećeg reda čiji prvi red sadrži koordinate prvog vektora, drugi red sadrži koordinate drugog vektora, a treći red sadrži koordinate trećeg vektora.

   Primjeri.

ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU

Jednačina F(x, y, z)= 0 definira u prostoru Oxyz neke površine, tj. lokus tačaka čije koordinate x, y, z zadovoljiti ovu jednačinu. Ova jednačina se naziva površinska jednačina i x, y, z– trenutne koordinate.

Međutim, često se površina ne definira jednadžbom, već kao skup točaka u prostoru koje imaju jedno ili drugo svojstvo. U ovom slučaju potrebno je pronaći jednadžbu površine, na osnovu njenih geometrijskih svojstava.

AVION.

NORMALNI RAVNI VEKTOR.

JEDNAČINA RAVNINE KOJA PROLAZI KROZ ZADANU TAČKU

Razmotrimo proizvoljnu ravan σ u prostoru. Njegov položaj se određuje postavljanjem vektora okomitog na ovu ravan i neke fiksne tačke M0(x0, y 0, z0) koji leži u ravni σ.

Vektor okomit na ravan σ naziva se normalno vektor ove ravni. Neka vektor ima koordinate .

Izvodimo jednačinu za ravan σ koja prolazi kroz datu tačku M0 i imaju normalan vektor . Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu tačku na ravni σ M(x, y, z) i razmotrimo vektor .

Za bilo koju tačku MÎ σ vektor, pa je njihov skalarni proizvod jednak nuli. Ova jednakost je uslov da tačka M O σ. Važi za sve tačke ove ravni i narušava se čim tačka M biće izvan ravni σ.

Ako označimo radijus vektorom tačke M, je radijus vektor tačke M0, tada se jednačina može napisati kao

Ova jednačina se zove vektor ravan jednadžba. Zapišimo to u koordinatnom obliku. Od tada

Dakle, dobili smo jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku. Dakle, da biste sastavili jednadžbu ravnine, morate znati koordinate vektora normale i koordinate neke tačke koja leži na ravni.

Imajte na umu da je jednadžba ravni jednačina 1. stepena u odnosu na trenutne koordinate x, y i z.

Primjeri.

OPŠTA JEDNAČINA RAVNI

Može se pokazati da bilo koja jednačina prvog stepena u odnosu na kartezijanske koordinate x, y, z je jednadžba neke ravni. Ova jednačina se piše kao:

Ax+By+Cz+D=0

i pozvao opšta jednačina ravni i koordinate A, B, C ovdje su koordinate vektora normale ravni.

Razmotrimo posebne slučajeve opšte jednačine. Hajde da saznamo kako se ravan nalazi u odnosu na koordinatni sistem ako jedan ili više koeficijenata jednačine nestane.

A je dužina segmenta odsečenog ravninom na osi Ox. Slično, to se može pokazati b i c su dužine segmenata odsječenih razmatranom ravninom na osi Oy i Oz.

Pogodno je koristiti jednadžbu ravnine u segmentima za konstruisanje ravni.

Svojstva točkastih proizvoda

Skalarni proizvod vektori, definicija, svojstva

Linearne operacije nad vektorima.

Vektori, osnovni pojmovi, definicije, linearne operacije nad njima

Vektor na ravni je uređeni par njegovih tačaka, dok se prva tačka naziva početak, a druga kraj - vektora

Dva vektora se nazivaju jednaka ako su jednaka i kosmjerna.

Vektori koji leže na istoj liniji nazivaju se kosmjernim ako su kosmjerni s nekim od istog vektora koji ne leži na ovoj pravoj.

Vektori koji leže na istoj liniji ili na paralelnim linijama nazivaju se kolinearni, a kolinearni, ali nisu kosmjerni nazivaju se suprotno usmjereni.

Vektori koji leže na okomitim linijama nazivaju se ortogonalni.

Definicija 5.4. suma a+b vektori a i b naziva se vektor koji dolazi od početka vektora a do kraja vektora b , ako je početak vektora b poklapa se sa krajem vektora a .

Definicija 5.5. razlika a - b vektori a i b takav vektor se zove With , koji zajedno sa vektorom b daje vektor a .

Definicija 5.6. radk a vektor a po broju k zove vektor b , kolinearni vektor a , koji ima modul jednak | k||a |, i smjer koji je isti kao i smjer a at k>0 i suprotno a at k<0.

Svojstva množenja vektora brojem:

Nekretnina 1. k(a+b ) = k a+ k b.

Nekretnina 2. (k+m)a = k a+ m a.

Nekretnina 3. k(m a) = (km)a .

Posljedica. Ako su vektori različiti od nule a i b su kolinearni, onda postoji broj k, šta b= k a.

Skalarni proizvod dva vektora različita od nule a i b naziva se broj (skalar) jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla φ između njih. Skalarni proizvod se može izraziti na različite načine, na primjer, kao ab, a · b, (a , b), (a · b). Dakle, tačkasti proizvod je:

a · b = |a| · | b| cos φ

Ako je barem jedan od vektora jednak nuli, tada je skalarni proizvod jednak nuli.

Permutacijsko svojstvo: a · b = b · a(skalarni proizvod se ne mijenja permutacijom faktora);

distributivna imovina: a · ( b · c) = (a · b) · c(rezultat ne zavisi od redosleda množenja);

Svojstvo kombinacije (u odnosu na skalarni faktor): (λ a) · b = λ ( a · b).

Svojstvo ortogonalnosti (perpendikularnosti): ako je vektor a i b različiti od nule, tada je njihov dot proizvod nula samo kada su ovi vektori ortogonalni (okomiti jedan na drugi) a ┴ b;

Kvadratno svojstvo: a · a = a 2 = |a| 2 (skalarni proizvod vektora sa samim sobom jednak je kvadratu njegovog modula);

Ako su koordinate vektora a=(x 1 , y 1 , z 1 ) i b=(x 2 , y 2 , z 2 ), tada je skalarni proizvod a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Vektor drži vektore. Definicija: Vektorski proizvod dva vektora i podrazumijeva se kao vektor za koji:

Modul je jednak površini paralelograma izgrađenog na ovim vektorima, tj. , gdje je ugao između vektora i

Ovaj vektor je okomit na pomnožene vektore, tj.

Ako vektori nisu kolinearni, onda formiraju desnu trojku vektora.

Unakrsna svojstva proizvoda:

1. Kada se promijeni redoslijed faktora, vektorski proizvod mijenja svoj predznak u suprotan, zadržavajući modul, tj.

2 .Vektorski kvadrat je jednak nultom vektoru, tj.

3 .Skalarni faktor se može izvaditi iz predznaka vektorskog proizvoda, tj.

4 .Za bilo koja tri vektora, jednakost

5 .Neophodan i dovoljan uslov za kolinearnost dva vektora i :

Prije nego damo pojam vektorskog proizvoda, osvrnimo se na pitanje orijentacije uređene trojke vektora a → , b → , c → u trodimenzionalnom prostoru.

Za početak, odvojimo vektore a → , b → , c → iz jedne tačke. Orijentacija trojke a → , b → , c → je desna ili lijeva, ovisno o smjeru vektora c → . Iz smjera u kojem se pravi najkraći okret od vektora a → do b → od kraja vektora c → , odredit će se oblik trojke a → , b → , c →.

Ako je najkraća rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se trojka vektora a → , b → , c → naziva u pravu ako u smjeru kazaljke na satu - lijevo.

Zatim uzmite dva nekolinearna vektora a → i b → . Odložimo tada vektore A B → = a → i A C → = b → iz tačke A. Konstruirajmo vektor A D → = c → , koji je istovremeno okomit i na A B → i na A C → . Dakle, kada konstruišemo vektor A D → = c →, možemo uraditi dve stvari, dajući mu ili jedan ili suprotan smer (vidi ilustraciju).

Uređeni trio vektora a → , b → , c → može biti, kako smo saznali, desni ili levi u zavisnosti od smera vektora.

Iz navedenog možemo uvesti definiciju vektorskog proizvoda. Ova definicija je data za dva vektora definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora.

Definicija 1

Vektorski proizvod dva vektora a → i b → nazvaćemo takav vektor dat u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora tako da:

• ako su vektori a → i b → kolinearni, biće nula;
• bit će okomit na vektor a →​​ i vektor b → tj. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• njegova dužina je određena formulom: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• triplet vektora a → , b → , c → ima istu orijentaciju kao dati koordinatni sistem.

Unakrsni proizvod vektora a → i b → ima sljedeću notaciju: a → × b → .

Unakrsne koordinate proizvoda

Pošto svaki vektor ima određene koordinate u koordinatnom sistemu, moguće je uvesti drugu definiciju vektorskog proizvoda, koja će vam omogućiti da pronađete njegove koordinate iz datih koordinata vektora.

Definicija 2

U pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora vektorski proizvod dva vektora a → = (a x ; a y ; a z) i b → = (b x ; b y ; b z) nazovimo vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , gdje su i → , j → , k → koordinatni vektori.

Vektorski proizvod se može predstaviti kao determinanta kvadratne matrice trećeg reda, gdje su prvi red orta vektori i → , j → , k → , drugi red sadrži koordinate vektora a → , a treći je koordinate vektora b → u datom pravokutnom koordinatnom sistemu, ova determinanta matrice izgleda ovako: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Proširujući ovu determinantu preko elemenata prvog reda, dobijamo jednakost: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = ( a → × b → = a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Unakrsna svojstva proizvoda

Poznato je da je vektorski proizvod u koordinatama predstavljen kao determinanta matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , a zatim na bazi svojstva determinante matrice sljedeće svojstva vektorskog proizvoda:

1. antikomutativnost a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivnost a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ili a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asocijativnost λ a → × b → = λ a → × b → ili a → × (λ b →) = λ a → × b → , gdje je λ proizvoljan realan broj.

Ova svojstva nemaju komplikovane dokaze.

Na primjer, možemo dokazati svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda.

Dokaz antikomutativnosti

Po definiciji, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z i b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A ako se dva reda matrice zamijene, tada bi se vrijednost determinante matrice trebala promijeniti u suprotno, dakle, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , što i dokazuje antikomutativnost vektorskog proizvoda.

Vektorski proizvod - Primjeri i rješenja

U većini slučajeva postoje tri vrste zadataka.

U problemima prvog tipa obično su date dužine dva vektora i ugao između njih, ali morate pronaći dužinu unakrsnog proizvoda. U ovom slučaju koristite sljedeću formulu c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Primjer 1

Pronađite dužinu unakrsnog proizvoda vektora a → i b → ako je poznato a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Rješenje

Koristeći definiciju dužine vektorskog proizvoda vektora a → i b →, rješavamo ovaj problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

odgovor: 15 2 2 .

Zadaci drugog tipa imaju vezu sa koordinatama vektora, sadrže vektorski proizvod, njegovu dužinu itd. se pretražuju kroz poznate koordinate datih vektora a → = (a x ; a y ; a z) i b → = (b x ; b y ; b z) .

Za ovu vrstu zadatka možete riješiti mnogo opcija za zadatke. Na primjer, ne koordinate vektora a → i b → , već njihove ekspanzije u koordinatnim vektorima oblika b → = b x i → + b y j → + b z k → i c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ili vektori a → i b → mogu biti dati koordinatama njihovih početne i krajnje tačke.

Razmotrite sljedeće primjere.

Primjer 2

Dva vektora postavljena su u pravougaoni koordinatni sistem a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Pronađite njihov vektorski proizvod.

Rješenje

Prema drugoj definiciji, nalazimo vektorski proizvod dva vektora u datim koordinatama: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ako vektorski proizvod zapišemo kroz determinantu matrice, rješenje ovog primjera je sljedeće: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Primjer 3

Odrediti dužinu unakrsnog proizvoda vektora i → - j → i i → + j → + k → , gdje je i → , j → , k → - orti pravokutnog Dekartovog koordinatnog sistema.

Rješenje

Prvo, pronađimo koordinate datog vektorskog proizvoda i → - j → × i → + j → + k → u datom pravougaonom koordinatnom sistemu.

Poznato je da vektori i → - j → i i → + j → + k → imaju koordinate (1 ; - 1 ; 0) i (1 ; 1 ; 1) respektivno. Nađite dužinu vektorskog proizvoda koristeći determinantu matrice, tada imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Dakle, vektorski proizvod i → - j → × i → + j → + k → ima koordinate (- 1 ; - 1 ; 2) u datom koordinatnom sistemu.

Dužinu vektorskog proizvoda nalazimo po formuli (pogledajte dio o pronalaženju dužine vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Primjer 4

Koordinate tri tačke A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) date su u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Nađite vektor okomit na A B → i A C → u isto vrijeme.

Rješenje

Vektori A B → i A C → imaju sljedeće koordinate (- 1 ; 2 ; 2) i (0 ; 4 ; 1) redom. Nakon što smo pronašli vektorski proizvod vektora A B → i A C → , očigledno je da je to okomit vektor po definiciji i na A B → i na A C → , odnosno da je rješenje našeg problema. Pronađite ga A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

odgovor: - 6 i → + j → - 4 k → . je jedan od okomitih vektora.

Problemi trećeg tipa fokusirani su na korištenje svojstava vektorskog proizvoda vektora. Nakon primjene koje, dobićemo rješenje zadatog problema.

Primjer 5

Vektori a → i b → su okomiti i njihove dužine su 3 odnosno 4. Pronađite dužinu unakrsnog proizvoda 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Rješenje

Po svojstvu distributivnosti vektorskog proizvoda možemo napisati 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Svojstvom asocijativnosti uzimamo numeričke koeficijente izvan predznaka vektorskih proizvoda u posljednjem izrazu: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorski proizvodi a → × a → i b → × b → jednaki su 0, budući da su a → × a → = a → a → sin 0 = 0 i b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , onda 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Iz antikomutativnosti vektorskog proizvoda slijedi - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Koristeći svojstva vektorskog proizvoda, dobijamo jednakost 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Pod uslovom, vektori a → i b → su okomiti, odnosno ugao između njih jednak je π 2 . Sada ostaje samo zamijeniti pronađene vrijednosti u odgovarajuće formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Dužina unakrsnog proizvoda vektora po definiciji je a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Pošto je već poznato (iz školskog predmeta) da je površina trokuta jednaka polovini umnoška dužina njegovih dviju stranica pomnoženog sa sinusom ugla između ovih stranica. Dakle, dužina vektorskog proizvoda jednaka je površini paralelograma - udvojenog trokuta, odnosno proizvodu stranica u obliku vektora a → i b → , odloženih iz jedne tačke, sinusom ugla između njih sin ∠ a → , b → .

Ovo je geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.

Fizičko značenje vektorskog proizvoda

U mehanici, jednoj od grana fizike, zahvaljujući vektorskom proizvodu, možete odrediti moment sile u odnosu na tačku u prostoru.

Definicija 3

Pod momentom sile F → , primenjenom na tačku B, u odnosu na tačku A razumećemo sledeći vektorski proizvod A B → × F → .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: unakrsni proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da za potpunu sreću, pored tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska ovisnost. Može se steći utisak da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva za ogrjev, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva teži od istog skalarni proizvod, čak će biti i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, kao što će mnogi vidjeti ili su već vidjeli, je NE POGREŠITI PRORAČUN. Ponovite kao čaroliju i bićete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovo steći osnovno znanje o vektorima. Spremniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičnom radu

Šta će vas usrećiti? Kada sam bio mali, znao sam da žongliram sa dve, pa čak i sa tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nema potrebe za žongliranjem, jer ćemo razmotriti samo svemirski vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već lakše!

U ovoj operaciji, na isti način kao u skalarnom proizvodu, dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sledeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da označavam unakrsni proizvod vektora na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je u tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe koja je razlika? Jasna razlika, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati, koristit ću slovo .

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: unakrsni proizvod nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Definiciju analiziramo po kostima, ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, možemo istaći sljedeće važne tačke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori uzeti po strogom redu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" do "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, onda ćemo dobiti vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski, i, naravno, nazivna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Podsjećamo na jednu od geometrijskih formula: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa ugla između njih. Stoga, na osnovu prethodno navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se u formuli govori o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta je praktično značenje? A značenje je takvo da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Dobijamo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore , tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) je također ortogonan na originalne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu O tome sam detaljno govorio orijentacija u ravni, a sada ćemo shvatiti kakva je orijentacija prostora. Na prste ću ti objasniti desna ruka. Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domaći prst i mali prst pritisnite u svoj dlan. Kao rezultat thumb- vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici). Sada zamijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: na kojoj osnovi je lijeva orijentacija? "Dodijelite" iste prste lijeva ruka vektori i dobiju lijevu bazu i orijentaciju lijevog prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze „uvijaju“ ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, najobičnije ogledalo mijenja orijentaciju prostora, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda općenito neće biti moguće kombinujte ga sa "originalom". Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promeni orijentacije strašne =)

Vektorski proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razrađena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je nula. Isto proizlazi iz formule - sinus nula ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda i . Imajte na umu da je sam unakrsni proizvod jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i on jednak nuli.

Poseban slučaj je vektorski proizvod vektora i samog sebe:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera može biti potrebno trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namjerno sam napravio iste početne podatke u stavkama uslova. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, potrebno je pronaći dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Pošto je postavljeno pitanje o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovu, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma brojčano je jednaka dužini poprečnog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da u odgovoru o vektorskom proizvodu uopće nema govora, o čemu su nas pitali područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA je potrebno da se nađe uslovom i, na osnovu toga, formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista, a zadatak sa dobrim izgledima biće vraćen na doradu. Iako ovo nije posebno nategnuto prigovaranje - ako je odgovor netačan, onda se stiče utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije razumjela suštinu zadatka. Taj trenutak treba uvijek držati pod kontrolom, rješavajući bilo koji problem iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu, moglo bi se dodatno zaglaviti u rješenju, ali da bih skratio zapis, nisam. Nadam se da svi to razumiju i da je oznaka iste stvari.

Popularan primjer rješenja uradi sam:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi je zadatak zaista vrlo čest, trokuti se generalno mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Svojstva unakrsnog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne razlikuje u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) - o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se lako izvlače iz granica vektorskog proizvoda. Stvarno, šta oni tamo rade?

4) - distribucija ili distribucija zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Po uslovu, opet je potrebno pronaći dužinu vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima izvlačimo konstante izvan granica vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu vadimo iz modula, dok modul „jede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da se baci drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Problem je u tome što su vektori "ce" i "te" sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam je ovdje standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije. Tačkasti proizvod vektora. Podijelimo to u tri koraka radi jasnoće:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izraziti vektor u terminima vektora. Još nema reči o dužini!

(1) Zamjenjujemo izraze vektora .

(2) Koristeći distributivne zakone, otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, izvlačimo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva . U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Koraci 2-3 rješenja mogu se rasporediti u jedan red.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u testovima, evo primjera za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

, dato u ortonormalnoj bazi , izražava se formulom:

Formula je zaista jednostavna: koordinatne vektore upisujemo u gornji red determinante, koordinate vektora „pakujemo“ u drugi i treći red i stavljamo u strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti i linije:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Rješenje: Test se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov unakrsni proizvod nula (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearno, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj dio neće biti jako velik, jer postoji nekoliko problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Ovako su se poređali kao voz i čekaju, jedva čekaju dok se ne obračunaju.

Prvo opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti proizvod nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se zapremine paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom "+" ako je osnova desna i znakom "-" ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, ja sam označavao mješoviti proizvod kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

Po definiciji mješoviti proizvod je volumen paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Bilješka : Crtež je šematski.

4) Nemojmo se opet zamarati konceptom orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavno rečeno, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.

Definicija. Vektorski umnožak vektora a (množitelja) na vektor (množitelj) koji mu nije kolinearan je treći vektor c (proizvod), koji se konstruiše na sljedeći način:

1) njegov modul je numerički jednak površini paralelograma na sl. 155), izgrađen na vektorima, odnosno jednak je pravcu okomitom na ravan pomenutog paralelograma;

3) u ovom slučaju se bira pravac vektora c (od dva moguća) tako da vektori c formiraju desnoruki sistem (§ 110).

Oznaka: ili

Dodatak definiciji. Ako su vektori kolinearni, smatrajući figuru (uslovno) paralelogramom, prirodno je dodijeliti nultu površinu. Stoga se vektorski proizvod kolinearnih vektora smatra jednakim nultom vektoru.

Pošto se nultom vektoru može dodijeliti bilo koji smjer, ova konvencija nije u suprotnosti sa stavkama 2 i 3 definicije.

Napomena 1. U terminu "vektorski proizvod", prva riječ označava da je rezultat akcije vektor (za razliku od skalarnog proizvoda; up. § 104, napomena 1).

Primjer 1. Pronađite vektorski proizvod gdje su glavni vektori desnog koordinatnog sistema (Sl. 156).

1. Pošto su dužine glavnih vektora jednake jedinici skale, površina paralelograma (kvadrata) je brojčano jednaka jedan. Dakle, modul vektorskog proizvoda jednak je jedan.

2. Pošto je okomita na ravan osa, željeni vektorski proizvod je vektor kolinearan vektoru k; a pošto oba imaju modul 1, traženi unakrsni proizvod je ili k ili -k.

3. Od ova dva moguća vektora, mora se izabrati prvi, pošto vektori k formiraju desni sistem (a vektori levi).

Primjer 2. Pronađite unakrsni proizvod

Rješenje. Kao u primjeru 1, zaključujemo da je vektor ili k ili -k. Ali sada moramo izabrati -k, pošto vektori formiraju desni sistem (a vektori čine levi). dakle,

Primjer 3 Vektori imaju dužine od 80 i 50 cm, respektivno, i formiraju ugao od 30°. Uzimajući metar kao jedinicu dužine, pronađite dužinu vektorskog proizvoda a

Rješenje. Površina paralelograma izgrađenog na vektorima je jednaka Dužina željenog vektorskog proizvoda jednaka je

Primjer 4. Odrediti dužinu poprečnog proizvoda istih vektora, uzimajući centimetar kao jedinicu dužine.

Rješenje. Pošto je površina paralelograma izgrađenog na vektorima jednaka dužini vektorskog proizvoda 2000 cm, tj.

Poređenje primjera 3 i 4 pokazuje da dužina vektora ne zavisi samo od dužina faktora, već i od izbora jedinice dužine.

Fizičko značenje vektorskog proizvoda. Od mnogih fizičkih veličina predstavljenih vektorskim proizvodom, razmotrit ćemo samo moment sile.

Neka je A tačka primene sile. Moment sile u odnosu na tačku O naziva se vektorski proizvod. Pošto je modul ovog vektorskog proizvoda brojčano jednak površini paralelograma (Sl. 157), Modul momenta jednak je umnošku baze na visinu, tj. sili pomnoženoj sa rastojanjem od tačke O do prave linije duž koje sila deluje.

U mehanici je dokazano da je za ravnotežu krutog tijela potrebno da ne samo zbir vektora koji predstavljaju sile primijenjene na tijelo, već i zbir momenata sila bude jednak nuli. U slučaju kada su sve sile paralelne sa istom ravninom, sabiranje vektora koji predstavljaju momente može se zamijeniti sabiranjem i oduzimanjem njihovih modula. Ali za proizvoljne smjerove sila, takva zamjena je nemoguća. U skladu s tim, unakrsni proizvod je definiran upravo kao vektor, a ne kao broj.