vektorski proizvod je pseudovektor okomit na ravan konstruisan sa dva faktora, koji je rezultat binarne operacije "množenje vektora" na vektorima u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Vektorski proizvod nema svojstva komutativnosti i asocijativnosti (antikomutativan je) i za razliku od skalarnog proizvoda vektora je vektor. Široko se koristi u mnogim tehničkim i fizičkim aplikacijama. Na primjer, ugaoni moment i Lorentzova sila su matematički zapisani kao unakrsni proizvod. Unakrsni proizvod je koristan za "mjerenje" okomitosti vektora - modul unakrsnog proizvoda dva vektora jednak je proizvodu njihovih modula ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Možete definirati vektorski proizvod na različite načine, a teoretski, u prostoru bilo koje dimenzije n, možete izračunati proizvod n-1 vektora, dok dobijete jedan vektor okomit na sve njih. Ali ako je proizvod ograničen na netrivijalne binarne proizvode sa vektorskim rezultatima, tada je tradicionalni vektorski proizvod definiran samo u trodimenzionalnim i sedmodimenzionalnim prostorima. Rezultat vektorskog proizvoda, kao i skalarni proizvod, zavisi od metrike euklidskog prostora.

Za razliku od formule za izračunavanje skalarnog proizvoda iz koordinata vektora u trodimenzionalnom pravougaonom koordinatnom sistemu, formula za vektorski proizvod zavisi od orijentacije pravougaonog koordinatnog sistema, odnosno, drugim rečima, njegove „kiralnosti“.

definicija:
Vektorski proizvod vektora a i vektora b u prostoru R3 naziva se vektor c koji zadovoljava sljedeće zahtjeve:
dužina vektora c jednaka je proizvodu dužina vektora a i b i sinusa ugla φ između njih:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c je ortogonan na svaki od vektora a i b;
vektor c je usmjeren tako da je trojka vektora abc desna;
u slučaju prostora R7 potrebna je asocijativnost trojke vektora a,b,c.
Oznaka:
c===a×b

Rice. 1. Površina paralelograma jednaka je modulu poprečnog proizvoda

Geometrijska svojstva unakrsnog proizvoda:
Neophodan i dovoljan uslov kolinearnosti dva vektora različita od nule je jednakost njihovog vektorskog proizvoda nuli.

Modul za više proizvoda jednaka površina S paralelogram izgrađen na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a i b(vidi sliku 1).

Ako a e- jedinični vektor ortogonan na vektore a i b i izabran tako da trostruko a,b,e- u pravu, i S- površina paralelograma izgrađenog na njima (svedena na zajedničko ishodište), tada je sljedeća formula istinita za vektorski proizvod:
=S e

Fig.2. Volumen paralelepipeda kada se koristi vektor i skalarni proizvod vektora; isprekidane linije pokazuju projekcije vektora c na a × b i vektora a na b × c, prvi korak je pronaći unutrašnje proizvode

Ako a c- bilo koji vektor π - bilo koja ravan koja sadrži ovaj vektor, e- jedinični vektor koji leži u ravni π i ortogonalno na c,g- jedinični vektor ortogonan na ravan π i usmjeren tako da trojka vektora ekg je u pravu, onda za bilo koje ležanje u avionu π vektor a tačna formula je:
=Pr e a |c|g
gdje je Pr e a projekcija vektora e na a
|c|-modul vektora c

Kada koristite vektorske i skalarne proizvode, možete izračunati volumen paralelepipeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a, b i c. Takav proizvod tri vektora naziva se mješoviti.
V=|a (b×c)|
Slika pokazuje da se ovaj volumen može pronaći na dva načina: geometrijski rezultat je sačuvan čak i kada se "skalarni" i "vektorski" proizvodi zamjenjuju:
V=a×b c=a b×c

Vrijednost unakrsnog proizvoda zavisi od sinusa ugla između originalnih vektora, tako da se unakrsni proizvod može percipirati kao stepen „okomitosti“ vektora na isti način kao skalarni proizvod može se smatrati stepenom "paralelizma". Unakrsni proizvod dva jedinična vektora jednak je 1 (jedinični vektor) ako su početni vektori okomiti, i jednak 0 (nulti vektor) ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Izraz unakrsnog proizvoda u kartezijanskim koordinatama
Ako dva vektora a i b definirani su svojim pravokutnim kartezijanskim koordinatama, tačnije, predstavljeni su u ortonormalna osnova
a=(a x,a y,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
a koordinatni sistem je ispravan, tada njihov vektorski proizvod ima oblik
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Da zapamtite ovu formulu:
i =∑ε ijk a j b k
gdje ε ijk- simbol Levi-Civite.

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: unakrsni proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da za potpunu sreću, pored tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska ovisnost. Može se činiti da se penjemo u divljinu analitička geometrija. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva za ogrjev, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva teži od istog skalarni proizvod, čak će biti i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, kao što će mnogi vidjeti ili su već vidjeli, je NE POGREŠITI PRORAČUN. Ponovite kao čaroliju i bićete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovo steći osnovno znanje o vektorima. Spremniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičan rad

Šta će vas usrećiti? Kada sam bio mali, znao sam da žongliram sa dve, pa čak i sa tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nema potrebe za žongliranjem, jer ćemo razmotriti samo svemirski vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već lakše!

U ovoj operaciji, na isti način kao u skalarnom proizvodu, dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sledeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da označavam unakrsni proizvod vektora na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je u tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe koja je razlika? Jasna razlika, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U raznim edukativna literatura notacija također može varirati, ja ću koristiti slovo .

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: unakrsni proizvod nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Definiciju analiziramo po kostima, ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, možemo istaći sljedeće važne tačke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Dešava se kolinearni vektori biće prikladno razmotriti malo kasnije.

2) Vektori uzeti po strogom redu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" do "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože sa obrnutim redosledom, tada dobijamo vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski, i, naravno, nazivna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Podsjećamo na jednu od geometrijskih formula: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa ugla između njih. Stoga, na osnovu prethodno navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se u formuli govori o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta je praktično značenje? A značenje je takvo da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Dobijamo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore , tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) je također ortogonan na originalne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu O tome sam detaljno govorio orijentacija u ravni, a sada ćemo shvatiti kakva je orijentacija prostora. Na prste ću ti objasniti desna ruka. Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domaći prst i mali prst pritisnite u svoj dlan. Kao rezultat thumb - vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici). Sada zamijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: na kojoj osnovi je lijeva orijentacija? "Dodijelite" iste prste lijeva ruka vektori i dobiju lijevu bazu i orijentaciju lijevog prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze „uvijaju“ ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, najobičnije ogledalo mijenja orijentaciju prostora, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda općenito neće biti moguće kombinujte ga sa "originalom". Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promeni orijentacije strašne =)

Vektorski proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razrađena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je nula. Isto proizlazi iz formule - sinus nula ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda i . Napominjemo da je sam unakrsni proizvod jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i on jednak nuli.

Poseban slučaj je vektorski proizvod vektora i samog sebe:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera može biti potrebno trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namjerno sam napravio iste početne podatke u stavkama uslova. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, potrebno je pronaći dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Pošto je postavljeno pitanje o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovu, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma brojčano je jednaka dužini poprečnog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da u odgovoru o vektorskom proizvodu uopće nema govora, o čemu su nas pitali područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA je potrebno da se nađe uslovom i, na osnovu toga, formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista, a zadatak sa dobrim izgledima biće vraćen na doradu. Iako ovo nije posebno nategnuta zajebancija - ako je odgovor netačan, onda se stiče utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije razumjela suštinu zadatka. Taj trenutak treba uvijek držati pod kontrolom, rješavajući bilo koji problem iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu, moglo bi se dodatno zaglaviti u rješenju, ali da bih skratio zapis, nisam. Nadam se da svi to razumiju i da je oznaka iste stvari.

Popularan primjer rješenja uradi sam:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi je zadatak zaista vrlo čest, trokuti se generalno mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Svojstva unakrsnog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne razlikuje u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) - o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se lako izvlače iz granica vektorskog proizvoda. Stvarno, šta oni tamo rade?

4) - distribucija ili distribucija zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Po uslovu, opet je potrebno pronaći dužinu vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima izvlačimo konstante izvan granica vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu vadimo iz modula, dok modul „jede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da se baci drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Problem je u tome što su vektori "ce" i "te" sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam je ovdje standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije. Tačkasti proizvod vektora. Podijelimo to u tri koraka radi jasnoće:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izraziti vektor u terminima vektora. Još nema reči o dužini!

(1) Zamjenjujemo izraze vektora .

(2) Koristeći distributivne zakone, otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, izvlačimo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva . U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu željenog trokuta:

Koraci 2-3 rješenja mogu se rasporediti u jedan red.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u kontrolni rad, evo primjera za "uradi sam" rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

, dato u ortonormalnoj bazi , izražava se formulom:

Formula je zaista jednostavna: koordinatne vektore upisujemo u gornji red determinante, koordinate vektora „pakujemo“ u drugi i treći red i stavljamo u strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti i linije:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Rješenje: Test se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov unakrsni proizvod nula (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearno, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj dio neće biti jako velik, jer postoji nekoliko problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Ovako su se poređali kao voz i čekaju, jedva čekaju dok se ne obračunaju.

Prvo opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti proizvod nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se zapremine paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom "+" ako je osnova desna i znakom "-" ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, ja sam označavao mješoviti proizvod kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

Po definiciji mješoviti proizvod je volumen paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Bilješka : Crtež je šematski.

4) Nemojmo se opet zamarati konceptom orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavno rečeno, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.

Definicija. Vektorski proizvod vektora a i vektora b je vektor označen simbolom [«, b] (ili l x b), takav da je 1) dužina vektora [a, b] jednaka (p, gdje je y ugao između vektora a i b ( 31); 2) vektor [a, b) je okomit na vektore a i b, tj. okomito na ravan ovih vektora; 3) vektor [a, b] je usmjeren tako da se od kraja ovog vektora vidi da se najkraći zaokret od a do b odvija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 32). Rice. 32 Sl.31 Drugim riječima, vektori a, b i [a, b) čine desnu trojku vektora, tj. koji se nalaze kao palac, kažiprst i srednji prst desne ruke. Ako su vektori a i b kolinearni, pretpostavićemo da je [a, b] = 0. Po definiciji, dužina vektorskog proizvoda je brojčano jednaka površini Sa paralelograma (slika 33) izgrađenog na pomnoženim vektorima a i b kao na stranama: 6.1. Svojstva vektorskog proizvoda 1. Vektorski proizvod je jednak nultom vektoru ako i samo ako je barem jedan od pomnoženih vektora nula ili kada su ovi vektori kolinearni (ako su vektori a i b kolinearni, tada je ugao između njih je ili 0 ili 7r). Ovo je lako dobiti iz činjenice da ako uzmemo u obzir nulti vektor kolinsar bilo kojem vektoru, onda se uslov kolinarnosti vektora a i b može izraziti na sljedeći način 2. Vektorski proizvod je antikomutativan, tj. uvijek. Zaista, vektori (a, b) i imaju istu dužinu i kolinearni su. Smjerovi ovih vektora su suprotni, jer će se od kraja vektora [a, b] vidjeti najkraći zaokret od a do b u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a od kraja vektora [b, a] - u smjeru kazaljke na satu (Sl. 34). 3. Vektorski proizvod ima distributivno svojstvo u odnosu na sabiranje 4. Numerički faktor A može se izvaditi iz predznaka vektorskog proizvoda 6.2. vektorski proizvod vektora, date koordinate Neka su vektori a i b dati svojim koordinatama u bazi. Koristeći svojstvo distribucije vektorskog proizvoda, nalazimo vektorski proizvod vektora datih koordinatama. Mješoviti posao. Zapišimo vektorske produkte koordinatnih orta (slika 35): Dakle, za vektorski proizvod vektora a i b, iz formule (3) dobijamo sljedeću determinantu izraza nad elementima 1. reda, dobijamo ( 4). Primjeri. 1. Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima Tražena površina Dakle, nalazimo = odakle je 2. Nađite površinu trougla (slika 36). Jasno je da je površina b "d trokuta JSC jednaka polovini površine S paralelograma O AC B. Izračunavanje vektorskog proizvoda (a, b | vektora a = OA i b = b = ob ), dobijamo (a, b), c) = [a, |b, c)) nije tačno u opštem slučaju. Na primer, za a = ss j imamo § 7. Mješoviti proizvod vektora Neka imamo tri vektora a, b i c. Vektore a i 1> pomnožimo vektorski. Kao rezultat dobijamo vektor [a, 1>]. Pomnožimo ga skalarno vektorom c: (k b), c. Broj ( [a, b], e) naziva se mješoviti proizvod vektora a, b. c i označava se simbolom (a, 1), e. 7.1 Geometrijsko značenje mješovitog proizvoda Ostavimo vektore a, b i iz opšte tačke O (slika 37). Ako sve četiri tačke O, A, B, C leže u istoj ravni (vektori a, b i c se u ovom slučaju nazivaju komplanarni), tada se mješoviti proizvod ([a, b], c) = 0. Ovo proizilazi iz činjenice da je vektor [a, b| okomit na ravan u kojoj leže vektori a i 1", a time i vektor c. / Ako je t tačke O, A, B, C ne leže u istoj ravni (vektori a, b i c su nekoplanarni), izgradićemo paralelepiped na ivicama OA, OB i OS (sl. 38 a). Prema definiciji unakrsnog proizvoda, imamo (a,b) = So c, gdje je So površina paralelograma OADB, a c je jedinični vektor okomit na vektore a i b i takav da je trojka a , b, c je u pravu, tj. vektori a, b i c nalaze se redom kao palac, kažiprst i srednji prst desne ruke (slika 38 b). Množenjem oba dijela posljednje jednakosti na desnom skalaru vektorom c dobijamo da je vektorski proizvod vektora datih koordinatama. Mješoviti posao. Broj rc c jednak je visini h konstruisanog paralelepipeda, uzet sa znakom “+” ako je ugao između vektora c i c oštar (trojka a, b, c je prava), i sa predznakom “ -” ako je ugao tup (trojka a, b, c - lijevo), tako da je mješoviti proizvod vektora a, b i c jednak volumenu V paralelepipeda izgrađenog na ovim vektorima kao na rubovima ako je trojka a, b, c desna, i -V ako je trojka a, b, c - lijevo. Na osnovu geometrijskog značenja mješovitog proizvoda, možemo zaključiti da ćemo množenjem istih vektora a, b i c bilo kojim drugim redom uvijek dobiti ili +7 ili -K. Znak pro- Sl. 38 referenca će zavisiti samo od toga koji triplet formiraju pomnoženi vektori - desni ili levi. Ako vektori a, b, c formiraju desnu trojku, tada će i trojke b, c, a i c, a, b također biti ispravne. Istovremeno, sve tri trojke b, a, c; a, c, b i c, b, a - lijevo. Dakle, (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b, a). Još jednom naglašavamo da je mješoviti proizvod vektora jednak nuli ako i samo ako su pomnoženi vektori a, b, c koplanarni: (a, b, c su koplanarni) 7.2. Mješoviti proizvod u koordinatama Neka su vektori a, b, c dati svojim koordinatama u bazi i, j, k: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Nađimo izraz za njihov mješoviti proizvod (a, b, c). Imamo mješoviti proizvod vektora datih njihovim koordinatama u bazi i, J, k, jednak determinanti trećeg reda, čije su linije sastavljene od koordinata prvog, drugog i trećeg pomnoženog vektori. Neophodan i dovoljan uslov za komplanarnost vektora a y\, Z|), b = (xx, y2.22), c = (x3, uz, 23) može se zapisati u sledećem obliku z, ar2 y2 -2 =0. Uz Primjer. Provjerite jesu li vektori v = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) koplanarni. Vektori koji se razmatraju biće komplanarni ili nekoplanarni, u zavisnosti od toga da li je determinanta jednaka nuli ili ne. Proširujući je u smislu elemenata prvog reda, dobijamo 7.3. Dvostruki unakrsni proizvod Dvostruki unakrsni proizvod [a, [b, c]] je vektor okomit na vektore a i [b, c]. Stoga leži u ravni vektora b i c i može se proširiti u ove vektore. Može se pokazati da je formula [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) važeća. Vježbe 1. Tri vektora AB = c, W? = o i CA = b služe kao stranice trougla. Izrazite u terminima a, b i c vektore koji se poklapaju sa medijanima AM, DN, CP trougla. 2. Koji uslov mora biti povezan između vektora p i q tako da vektor p + q podijeli ugao između njih na pola? Pretpostavlja se da su sva tri vektora povezana sa zajedničkim poreklom. 3. Izračunajte dužinu dijagonala paralelograma izgrađenog na vektorima a = 5p + 2q i b = p - 3q, ako je poznato da je |p| = 2v/2, |q| = 3 H-(p7ci) = f. 4. Označavajući sa a i b stranice romba koje izlaze iz zajedničkog vrha, dokazati da su dijagonale romba međusobno okomite. 5. Izračunajte dot proizvod vektora a = 4i + 7j + 3k i b = 31 - 5j + k. 6. Pronađite jedinični vektor a0 paralelan vektoru a = (6, 7, -6). 7. Naći projekciju vektora a = l+ j- kHa vektora b = 21 - j - 3k. 8. Naći kosinus ugla između vektora IS "w, ako je A (-4.0.4), B (-1.6.7), C (1.10.9). 9. Pronađite jedinični vektor p° koji je istovremeno okomit na vektor a = (3, 6, 8) i x-osu. 10. Izračunajte sinus ugla između dijagonala paralelofama izgrađenog na vektorima a = 2i+J-k, b=i-3j + k kao na stranicama. Izračunajte visinu h paralelepipeda izgrađenog na vektorima a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, ako se za osnovu uzme paralelogram izgrađen na vektorima a i I). Odgovori

7.1. Definicija unakrsnog proizvoda

Tri nekoplanarna vektora a, b i c, uzeta navedenim redoslijedom, formiraju desnu trojku ako se od kraja trećeg vektora c vidi da je najkraći zaokret od prvog vektora a do drugog vektora b u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, i levi ako je u smeru kazaljke na satu (pogledajte sl. 16).

Vektorski proizvod vektora a i vektora b naziva se vektor c, koji:

1. Okomito na vektore a i b, tj. c ^ a i c ^ b;

2. Ima dužinu brojčano jednaku površini paralelograma izgrađenog na vektorima a ib kao na bočnim stranama (vidi sl. 17), tj.

3. Vektori a, b i c formiraju desnu trojku.

Vektorski proizvod se označava a x b ili [a,b]. Iz definicije vektorskog proizvoda, sljedeće relacije između ortova koje slijedim direktno, j i k(vidi sliku 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažimo, na primjer, to i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, ali | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vektori i , j i k formiraju desnu trojku (vidi sliku 16).

7.2. Unakrsna svojstva proizvoda

1. Kada se faktori preurede, vektorski proizvod mijenja predznak, tj. i xb \u003d (b xa) (vidi sliku 19).

Vektori a xb i b xa su kolinearni, imaju iste module (površina paralelograma ostaje nepromijenjena), ali su suprotno usmjereni (trojke a, b, a xb i a, b, b x a suprotne orijentacije). To je axb = -(bxa).

2. Vektorski proizvod ima svojstvo kombinacije u odnosu na skalarni faktor, tj. l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Neka je l >0. Vektor l (a xb) je okomit na vektore a i b. Vektor ( l sjekira b je također okomita na vektore a i b(vektori a, l ali leže u istoj ravni). Dakle, vektori l(a xb) i ( l sjekira b kolinearno. Očigledno je da im se pravci poklapaju. Imaju istu dužinu:

Zbog toga l(a xb)= l a xb. Slično se dokazuje za l<0.

3. Dva različita od nule vektora a i b su kolinearni ako i samo ako je njihov vektorski proizvod jednak nultom vektoru, tj. i ||b<=>i xb \u003d 0.

Konkretno, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorski proizvod ima svojstvo distribucije:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Prihvatite bez dokaza.

7.3. Unakrsni izraz proizvoda u smislu koordinata

Koristićemo tablicu vektorskih unakrsnih proizvoda i , j i k :

ako se smjer najkraće staze od prvog vektora do drugog poklapa sa smjerom strelice, tada je proizvod jednak trećem vektoru, ako se ne poklapa, treći vektor se uzima sa predznakom minus.

Neka dva vektora a =a x i +a y j+az k i b=bx i+by j+bz k. Nađimo vektorski proizvod ovih vektora množenjem ih kao polinome (prema svojstvima vektorskog proizvoda):

Rezultirajuća formula se može napisati još kraće:

budući da desna strana jednakosti (7.1) odgovara proširenju determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda Jednakost (7.2) je lako zapamtiti.

7.4. Neke primjene unakrsnog proizvoda

Uspostavljanje kolinearnosti vektora

Pronalaženje površine paralelograma i trougla

Prema definiciji unakrsnog proizvoda vektora a i b |a xb | = a | * |b |sin g , tj. S par = |a x b |. I, stoga, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Određivanje momenta sile oko tačke

Neka sila deluje u tački A F =AB pusti to O- neka tačka u prostoru (vidi sliku 20).

Iz fizike je poznato da obrtni moment F u odnosu na tačku O zove vektor M , koji prolazi kroz tačku O i:

1) okomito na ravan koja prolazi kroz tačke O, A, B;

2) brojčano jednak proizvodu sile i ramena

3) formira desnu trojku sa vektorima OA i A B .

Dakle, M = OA x F.

Pronalaženje linearne brzine rotacije

Brzina v tačka M krutog tijela koje rotira ugaonom brzinom w oko fiksne ose, određuje se Eulerovom formulom v = w x r, gdje je r = OM, gdje je O neka fiksna točka ose (vidi sliku 21).

MJEŠOVITI PROIZVOD TRI VEKTORA I NJEGOVA SVOJSTVA

mješoviti proizvod tri vektora naziva se broj jednak . Označeno . Ovdje se prva dva vektora množe vektorski, a zatim se rezultirajući vektor množi skalarno trećim vektorom. Očigledno, takav proizvod je neki broj.

Razmotrite svojstva miješanog proizvoda.

1. geometrijskog smisla mješoviti proizvod. Mješoviti proizvod 3 vektora, do znaka, jednak je zapremini paralelepipeda izgrađenog na ovim vektorima, kao na ivicama, tj. .

   Dakle, i .

   

   Dokaz. Odložimo vektore iz zajedničkog porijekla i na njima izgradimo paralelepiped. Označimo i primijetimo da . Po definiciji skalarnog proizvoda

   Pretpostavljajući to i označavajući kroz h visina paralelepipeda, nalazimo .

   Dakle, kod

   Ako , onda i . Shodno tome, .

   Kombinirajući oba ova slučaja, dobivamo ili .

   Iz dokaza ovog svojstva, posebno, slijedi da ako je trojka vektora desno, onda mješoviti proizvod , a ako je lijevo, onda .

2. Za bilo koje vektore , , jednakost

   Dokaz ovog svojstva slijedi iz svojstva 1. Doista, lako je pokazati da i . Štaviše, znakovi "+" i "-" uzimaju se istovremeno, jer uglovi između vektora i i i su oštri ili tupi.

3. Kada se bilo koja dva faktora zamijene, mješoviti proizvod mijenja predznak.

   Doista, ako uzmemo u obzir mješoviti proizvod, onda, na primjer, ili

4. Mješoviti proizvod ako i samo ako je jedan od faktora jednak nuli ili su vektori komplanarni.

   Dokaz.

   Dakle, neophodan i dovoljan uslov za komplanarnost 3 vektora je jednakost nule njihovog mješovitog proizvoda. Osim toga, iz ovoga slijedi da tri vektora čine osnovu u prostoru ako .

   Ako su vektori dati u koordinatnom obliku, onda se može pokazati da se njihov mješoviti proizvod nalazi po formuli:

   .

   Dakle, mješoviti proizvod je jednak determinanti trećeg reda čiji prvi red sadrži koordinate prvog vektora, drugi red sadrži koordinate drugog vektora, a treći red sadrži koordinate trećeg vektora.

   Primjeri.

ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU

Jednačina F(x, y, z)= 0 definira u prostoru Oxyz neke površine, tj. lokus tačaka čije koordinate x, y, z zadovoljiti ovu jednačinu. Ova jednačina se naziva površinska jednačina i x, y, z– trenutne koordinate.

Međutim, često se površina ne definira jednadžbom, već kao skup točaka u prostoru koje imaju jedno ili drugo svojstvo. U ovom slučaju potrebno je pronaći jednadžbu površine, na osnovu njenih geometrijskih svojstava.

AVION.

NORMALNI RAVNI VEKTOR.

JEDNAČINA RAVNINE KOJA PROLAZI KROZ ZADANU TAČKU

Razmotrimo proizvoljnu ravan σ u prostoru. Njegov položaj se određuje postavljanjem vektora okomitog na ovu ravan i neke fiksne tačke M0(x0, y 0, z0) koji leži u ravni σ.

Vektor okomit na ravan σ naziva se normalno vektor ove ravni. Neka vektor ima koordinate .

Izvodimo jednačinu za ravan σ koja prolazi kroz datu tačku M0 i imaju normalan vektor . Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu tačku na ravni σ M(x, y, z) i razmotrimo vektor .

Za bilo koju tačku MÎ σ vektor, pa je njihov skalarni proizvod jednak nuli. Ova jednakost je uslov da tačka M O σ. Važi za sve tačke ove ravni i narušava se čim tačka M biće izvan ravni σ.

Ako označimo radijus vektorom tačke M, je radijus vektor tačke M0, tada se jednačina može napisati kao

Ova jednačina se zove vektor ravan jednadžba. Zapišimo to u koordinatnom obliku. Od tada

Dakle, dobili smo jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku. Dakle, da biste sastavili jednadžbu ravnine, morate znati koordinate vektora normale i koordinate neke tačke koja leži na ravni.

Imajte na umu da je jednadžba ravni jednačina 1. stepena u odnosu na trenutne koordinate x, y i z.

Primjeri.

OPŠTA JEDNAČINA RAVNI

Može se pokazati da bilo koja jednačina prvog stepena u odnosu na kartezijanske koordinate x, y, z je jednadžba neke ravni. Ova jednačina se piše kao:

Ax+By+Cz+D=0

i pozvao opšta jednačina ravni i koordinate A, B, C ovdje su koordinate vektora normale ravni.

Razmotrimo posebne slučajeve opšte jednačine. Hajde da saznamo kako se ravan nalazi u odnosu na koordinatni sistem ako jedan ili više koeficijenata jednačine nestane.

A je dužina segmenta odsečenog ravninom na osi Ox. Slično, to se može pokazati b i c su dužine segmenata odsječenih razmatranom ravninom na osi Oy i Oz.

Pogodno je koristiti jednadžbu ravnine u segmentima za konstruisanje ravni.