Es wird auch Aufgaben für eine eigenständige Lösung geben, zu denen Sie die Antworten sehen können.

Wenn in der Aufgabe sowohl die Längen der Vektoren als auch die Winkel zwischen ihnen "auf dem Silbertablett" präsentiert werden, dann sehen die Bedingung der Aufgabe und ihre Lösung so aus:

Beispiel 1 Vektoren sind gegeben. Ermitteln Sie das Skalarprodukt von Vektoren, wenn ihre Längen und der Winkel zwischen ihnen durch die folgenden Werte dargestellt werden:

Es gilt auch eine andere Definition, die völlig äquivalent zu Definition 1 ist.

Bestimmung 2. Das Skalarprodukt von Vektoren ist eine Zahl (Skalar) gleich dem Produkt aus der Länge eines dieser Vektoren und der Projektion eines anderen Vektors auf die durch den ersten dieser Vektoren bestimmte Achse. Formel nach Definition 2:

Wir werden das Problem mit dieser Formel nach dem nächsten wichtigen theoretischen Punkt lösen.

Definition des Skalarprodukts von Vektoren in Form von Koordinaten

Die gleiche Zahl kann erhalten werden, wenn die multiplizierten Vektoren durch ihre Koordinaten gegeben sind.

Bestimmung 3. Skalarprodukt Vektoren ist eine Zahl gleich der Summe der paarweisen Produkte ihrer jeweiligen Koordinaten.

Auf der Oberfläche

Wenn zwei Vektoren und in der Ebene durch ihre beiden definiert sind Kartesischen Koordinaten

dann ist das Punktprodukt dieser Vektoren gleich der Summe der paarweisen Produkte ihrer jeweiligen Koordinaten:

.

Beispiel 2 Finden Sie den numerischen Wert der Projektion des Vektors auf die Achse parallel zum Vektor.

Lösung. Wir finden das Skalarprodukt von Vektoren, indem wir die paarweisen Produkte ihrer Koordinaten addieren:

Jetzt müssen wir das resultierende Skalarprodukt mit dem Produkt aus der Länge des Vektors und der Projektion des Vektors auf eine Achse parallel zum Vektor (gemäß der Formel) gleichsetzen.

Wir finden die Länge des Vektors als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Koordinaten:

.

Schreibe eine Gleichung und löse sie:

Antworten. Der gewünschte Zahlenwert ist minus 8.

Im Weltraum

Wenn zwei Vektoren und im Raum durch ihre drei kartesischen rechtwinkligen Koordinaten definiert sind

,

dann ist auch das Skalarprodukt dieser Vektoren gleich der Summe der paarweisen Produkte ihrer jeweiligen Koordinaten, nur gibt es bereits drei Koordinaten:

.

Die Aufgabe, das Skalarprodukt auf die betrachtete Weise zu finden, besteht nach der Analyse der Eigenschaften des Skalarprodukts. Denn in der Aufgabe muss bestimmt werden, welchen Winkel die multiplizierten Vektoren bilden.

Eigenschaften des Skalarprodukts von Vektoren

Algebraische Eigenschaften

1. (Kommutativgesetz: der Wert ihres Skalarprodukts ändert sich nicht, wenn die Stellen multiplizierter Vektoren geändert werden).

2. (Assoziationseigenschaft in Bezug auf einen numerischen Faktor: das Skalarprodukt eines Vektors multipliziert mit einem Faktor und einem anderen Vektor ist gleich dem Skalarprodukt dieser Vektoren multipliziert mit demselben Faktor).

3. (Distributivgesetz bezüglich der Summe von Vektoren: das Skalarprodukt der Summe zweier Vektoren durch den dritten Vektor ist gleich der Summe der Skalarprodukte des ersten Vektors durch den dritten Vektor und des zweiten Vektors durch den dritten Vektor).

4. (Skalarquadrat eines Vektors größer als Null) if ist ein Nicht-Null-Vektor und , if ist ein Null-Vektor.

Geometrische Eigenschaften

In den Definitionen der zu untersuchenden Operation haben wir bereits das Konzept eines Winkels zwischen zwei Vektoren berührt. Es ist Zeit, dieses Konzept zu klären.

In der obigen Abbildung sind zwei Vektoren sichtbar, die an einen gemeinsamen Anfang gebracht werden. Und das erste, worauf Sie achten müssen: Es gibt zwei Winkel zwischen diesen Vektoren - φ 1 und φ 2 . Welcher dieser Winkel taucht in den Definitionen und Eigenschaften des Skalarprodukts von Vektoren auf? Die Summe der betrachteten Winkel ist 2 π und daher sind die Kosinuswerte dieser Winkel gleich. Die Definition des Skalarprodukts umfasst nur den Kosinus des Winkels, nicht den Wert seines Ausdrucks. In den Eigenschaften wird aber nur eine Ecke berücksichtigt. Und dies ist der eine der beiden Winkel, der nicht überschritten wird π dh 180 Grad. Dieser Winkel ist in der Figur als dargestellt φ 1 .

1. Zwei Vektoren werden aufgerufen senkrecht und der Winkel zwischen diesen Vektoren ist ein Recht (90 Grad bzw π /2 ) wenn das Skalarprodukt dieser Vektoren ist Null :

.

Orthogonalität in der Vektoralgebra ist die Rechtwinkligkeit zweier Vektoren.

2. Zwei Nicht-Null-Vektoren bilden sich scharfe Ecke (von 0 bis 90 Grad oder, was dasselbe ist, weniger π Punktprodukt ist positiv .

3. Zwei Nicht-Null-Vektoren bilden sich stumpfer Winkel (von 90 bis 180 Grad oder, was dasselbe ist - mehr π /2 ) genau dann wenn Punktprodukt ist negativ .

Beispiel 3 Vektoren werden in Koordinaten angegeben:

.

Berechnen Sie die Skalarprodukte aller Paare gegebener Vektoren. Welchen Winkel (spitz, rechts, stumpf) bilden diese Vektorpaare?

Lösung. Wir berechnen, indem wir die Produkte der entsprechenden Koordinaten addieren.

Wir haben eine negative Zahl, also bilden die Vektoren einen stumpfen Winkel.

Wir haben eine positive Zahl, also bilden die Vektoren einen spitzen Winkel.

Wir haben Null, also bilden die Vektoren einen rechten Winkel.

Wir haben eine positive Zahl, also bilden die Vektoren einen spitzen Winkel.

.

Wir haben eine positive Zahl, also bilden die Vektoren einen spitzen Winkel.

Für den Selbsttest können Sie verwenden Online-Rechner Skalarprodukt von Vektoren und Kosinus des Winkels zwischen ihnen .

Beispiel 4 Gegeben sind die Längen zweier Vektoren und der Winkel zwischen ihnen:

.

Bestimmen Sie, bei welchem ​​Wert der Zahl die Vektoren und orthogonal (senkrecht) sind.

Lösung. Wir multiplizieren die Vektoren nach der Polynommultiplikationsregel:

Lassen Sie uns nun jeden Term berechnen:

.

Lassen Sie uns eine Gleichung aufstellen (Gleichheit des Produkts mit Null), ähnliche Terme angeben und die Gleichung lösen:

Antwort: Wir haben den Wert λ = 1,8 , bei der die Vektoren orthogonal sind.

Beispiel 5 Beweisen Sie, dass der Vektor orthogonal (senkrecht) zum Vektor

Lösung. Um die Orthogonalität zu überprüfen, multiplizieren wir die Vektoren und als Polynome und ersetzen sie durch den in der Problembedingung angegebenen Ausdruck:

.

Dazu müssen Sie jeden Term (Term) des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren:

.

Dadurch verringert sich der fällige Bruchteil. Man erhält folgendes Ergebnis:

Fazit: Als Ergebnis der Multiplikation haben wir Null erhalten, daher ist die Orthogonalität (Rechtwinkligkeit) der Vektoren bewiesen.

Lösen Sie das Problem selbst und sehen Sie sich dann die Lösung an

Beispiel 6 Gegeben die Längen der Vektoren und , und der Winkel zwischen diesen Vektoren ist π /vier . Bestimmen Sie, zu welchem ​​Wert μ Vektoren und stehen senkrecht aufeinander.

Für den Selbsttest können Sie verwenden Online-Rechner Skalarprodukt von Vektoren und Kosinus des Winkels zwischen ihnen .

Matrixdarstellung des Skalarprodukts von Vektoren und des Produkts von n-dimensionalen Vektoren

Manchmal ist es aus Gründen der Übersichtlichkeit vorteilhaft, zwei multiplizierte Vektoren in Form von Matrizen darzustellen. Dann wird der erste Vektor als Zeilenmatrix und der zweite als Spaltenmatrix dargestellt:

Dann wird das Skalarprodukt von Vektoren sein das Produkt dieser Matrizen :

Das Ergebnis ist das gleiche wie bei der bereits betrachteten Methode. Wir haben eine einzige Zahl, und das Produkt der Matrix-Zeile mal der Matrix-Spalte ist auch eine einzige Zahl.

In Matrixform ist es zweckmäßig, das Produkt abstrakter n-dimensionaler Vektoren darzustellen. So ist das Produkt zweier vierdimensionaler Vektoren das Produkt einer Zeilenmatrix mit vier Elementen mal einer Spaltenmatrix mit ebenfalls vier Elementen, das Produkt zweier fünfdimensionaler Vektoren das Produkt einer Zeilenmatrix mit fünf Elementen mal eine Spaltenmatrix mit ebenfalls fünf Elementen usw.

Beispiel 7 Finden Sie Skalarprodukte von Vektorpaaren

,

mit Matrixdarstellung.

Lösung. Das erste Paar von Vektoren. Wir stellen den ersten Vektor als Zeilenmatrix und den zweiten als Spaltenmatrix dar. Wir finden das Skalarprodukt dieser Vektoren als Produkt der Zeilenmatrix mal der Spaltenmatrix:

In ähnlicher Weise stellen wir das zweite Paar dar und finden:

Wie Sie sehen können, sind die Ergebnisse die gleichen wie für die gleichen Paare aus Beispiel 2.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Die Herleitung der Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren ist sehr schön und prägnant.

Um das Skalarprodukt von Vektoren auszudrücken

(1)

in koordinatenform finden wir zunächst das skalarprodukt der orts. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist per Definition:

Was in der obigen Formel geschrieben steht, bedeutet: Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist gleich dem Quadrat seiner Länge. Der Kosinus von Null ist gleich Eins, also ist das Quadrat jedes orth gleich Eins:

Da die Vektoren

paarweise senkrecht stehen, dann sind die paarweisen Produkte der Orte gleich Null:

Führen wir nun die Multiplikation von Vektorpolynomen durch:

Wir ersetzen auf der rechten Seite der Gleichheit die Werte der entsprechenden Skalarprodukte der Orte:

Wir erhalten die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren:

Beispiel 8 Drei Punkte gegeben EIN(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Finde einen Winkel.

Lösung. Wir finden die Koordinaten der Vektoren:

,

.

Mit der Formel für den Kosinus eines Winkels erhalten wir:

Folglich, .

Für den Selbsttest können Sie verwenden Online-Rechner Skalarprodukt von Vektoren und Kosinus des Winkels zwischen ihnen .

Beispiel 9 Gegeben zwei Vektoren

Finden Sie Summe, Differenz, Länge, Skalarprodukt und den Winkel zwischen ihnen.

2.Unterschied

Vorlesung: Vektorkoordinaten; Skalarprodukt von Vektoren; Winkel zwischen Vektoren

Vektorkoordinaten

Wie bereits erwähnt, ist ein Vektor ein gerichtetes Segment, das seinen eigenen Anfang und sein eigenes Ende hat. Wenn Anfang und Ende durch Punkte dargestellt werden, dann haben sie ihre eigenen Koordinaten in der Ebene oder im Raum.

Wenn jeder Punkt seine eigenen Koordinaten hat, können wir die Koordinaten des gesamten Vektors erhalten.

Angenommen, wir haben einen Vektor, dessen Anfang und Ende die folgenden Bezeichnungen und Koordinaten haben: A(A x ; Ay) und B(B x ; By)

Um die Koordinaten dieses Vektors zu erhalten, müssen die entsprechenden Startkoordinaten von den Koordinaten des Vektorendes subtrahiert werden:

Um die Koordinate eines Vektors im Raum zu bestimmen, verwenden Sie die folgende Formel:

Skalarprodukt von Vektoren

Es gibt zwei Möglichkeiten, das Konzept eines Skalarprodukts zu definieren:

• Geometrischer Weg. Ihm zufolge ist das Skalarprodukt gleich dem Produkt der Werte dieser Module und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

• algebraische bedeutung. Aus algebraischer Sicht ist das Skalarprodukt zweier Vektoren ein bestimmter Wert, der sich aus der Summe der Produkte der entsprechenden Vektoren ergibt.

Wenn die Vektoren im Raum angegeben sind, sollten Sie eine ähnliche Formel verwenden:

Eigenschaften:

• Wenn Sie zwei identische Vektoren skalar multiplizieren, ist ihr Skalarprodukt nicht negativ:

• Wenn sich herausstellt, dass das Skalarprodukt zweier identischer Vektoren gleich Null ist, werden diese Vektoren als Null betrachtet:

• Wenn ein bestimmter Vektor mit sich selbst multipliziert wird, ist das Skalarprodukt gleich dem Quadrat seines Moduls:

• Das Skalarprodukt hat eine kommunikative Eigenschaft, das heißt, das Skalarprodukt ändert sich nicht durch eine Permutation von Vektoren:

• Das Skalarprodukt von Vektoren ungleich Null kann nur dann Null sein, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen:

• Für das Skalarprodukt von Vektoren gilt bei Multiplikation eines der Vektoren mit einer Zahl das Kommutativgesetz:

• Bei einem Skalarprodukt können Sie auch das Distributivgesetz der Multiplikation nutzen:

Winkel zwischen Vektoren

Bestimmung 1

Das Skalarprodukt von Vektoren wird eine Zahl genannt, die gleich dem Produkt der Dyne dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen ist.

Die Notation für das Produkt der Vektoren a → und b → hat die Form a → , b → . Rechnen wir in die Formel um:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → und b → bezeichnen die Längen der Vektoren, a → , b → ^ bezeichnen den Winkel zwischen den gegebenen Vektoren. Wenn mindestens ein Vektor Null ist, also den Wert 0 hat, dann ist das Ergebnis Null, a → , b → = 0

Wenn wir einen Vektor mit sich selbst multiplizieren, erhalten wir das Quadrat seines Dyne:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Bestimmung 2

Die Skalarmultiplikation eines Vektors mit sich selbst wird Skalarquadrat genannt.

Berechnet nach der Formel:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Das Schreiben von a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → zeigt, dass n p b → a → eine numerische Projektion von a → auf b → , n p a ist → a → - Projektion von b → auf a → bzw.

Wir formulieren die Definition des Produkts für zwei Vektoren:

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a → durch b → heißt das Produkt der Länge des Vektors a → durch die Projektion von b → durch die Richtung a → oder das Produkt der Länge von b → durch die Projektion von a →, beziehungsweise.

Skalarprodukt in Koordinaten

Die Berechnung des Skalarprodukts kann durch die Koordinaten der Vektoren in einer gegebenen Ebene oder im Raum erfolgen.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren auf einer Ebene im dreidimensionalen Raum wird als Koordinatensumme bezeichnet gegebene Vektoren a → und b → .

Bei der Berechnung des Skalarprodukts gegebener Vektoren a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) im kartesischen System auf der Ebene:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

für den dreidimensionalen Raum gilt der Ausdruck:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

Tatsächlich ist dies die dritte Definition des Skalarprodukts.

Beweisen wir es.

Beweis 1

Um dies zu beweisen, verwenden wir a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y für Vektoren a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) im kartesischen System.

Vektoren sollten verschoben werden

O A → = a → = a x , a y und O B → = b → = b x , b y .

Dann ist die Länge des Vektors A B → gleich A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Betrachten Sie ein Dreieck O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) ist wahr, basierend auf dem Kosinussatz.

Durch die Bedingung kann man sehen, dass O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , also schreiben wir die Formel zum Ermitteln des Winkels zwischen Vektoren unterschiedlich

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Dann folgt aus der ersten Definition, dass b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , also (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Wenden wir die Formel zur Berechnung der Länge von Vektoren an, erhalten wir:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Beweisen wir die Gleichheiten:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– jeweils für Vektoren des dreidimensionalen Raums.

Das Skalarprodukt von Vektoren mit Koordinaten besagt, dass das Skalarquadrat eines Vektors gleich der Summe der Quadrate seiner Koordinaten im Raum bzw. in der Ebene ist. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) und (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Punktprodukt und seine Eigenschaften

Es gibt Skalarprodukteigenschaften, die für a → , b → und c → gelten:

1. Kommutativität (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. Distributivität (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. assoziative Eigenschaft (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - eine beliebige Zahl;
4. das skalare Quadrat ist immer größer als Null (a → , a →) ≥ 0 , wobei (a → , a →) = 0 wenn a → Null.

Beispiel 1

Die Eigenschaften werden durch die Definition des Skalarprodukts in der Ebene und durch die Eigenschaften der Addition und Multiplikation reeller Zahlen erklärt.

Beweisen Sie das Kommutativgesetz (a → , b →) = (b → , a →) . Aus der Definition haben wir, dass (a → , b →) = a y b y + a y b y und (b → , a →) = b x a x + b y a y .

Aufgrund der Kommutativitätseigenschaft sind die Gleichungen a x · b x = b x · a x und a y · b y = b y · a y wahr, also a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Daraus folgt, dass (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Distributivität gilt für beliebige Zahlen:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

und (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

daher haben wir

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Skalarprodukt mit Beispielen und Lösungen

Jedes Problem eines solchen Plans wird mit den Eigenschaften und Formeln des Skalarprodukts gelöst:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y oder (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (ein → , ein →) = ein → 2 .

Sehen wir uns einige Lösungsbeispiele an.

Beispiel 2

Die Länge von a → ist 3, die Länge von b → ist 7. Berechne das Skalarprodukt, wenn der Winkel 60 Grad beträgt.

Lösung

Per Bedingung haben wir alle Daten, also berechnen wir nach der Formel:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Antwort: (a → , b →) = 21 2 .

Beispiel 3

Gegebene Vektoren a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Was ist das skalarprodukt.

Lösung

In diesem Beispiel wird die Formel zur Berechnung der Koordinaten betrachtet, da diese in der Aufgabenstellung angegeben sind:

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Antwort: (a → , b →) = - 9

Beispiel 4

Finde das Skalarprodukt von A B → und A C → . Die Punkte A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) sind auf der Koordinatenebene gegeben.

Lösung

Zunächst werden die Koordinaten der Vektoren berechnet, da die Koordinaten der Punkte durch Bedingung gegeben sind:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Durch Einsetzen in die Formel mit Koordinaten erhalten wir:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Antwort: (A B → , A C →) = 28 .

Beispiel 5

Gegebene Vektoren a → = 7 m → + 3 n → und b → = 5 m → + 8 n → , finde ihr Produkt. m → ist gleich 3 und n → ist gleich 2 Einheiten, sie stehen senkrecht zueinander.

Lösung

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Durch Anwendung des Distributivgesetzes erhalten wir:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Wir nehmen den Koeffizienten außerhalb des Vorzeichens des Produkts und erhalten:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Durch die Kommutativitätseigenschaft transformieren wir:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Als Ergebnis erhalten wir:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

Nun wenden wir die Formel für das Skalarprodukt mit dem durch die Bedingung vorgegebenen Winkel an:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Antwort: (a → , b →) = 411

Wenn es eine numerische Projektion gibt.

Beispiel 6

Finden Sie das Skalarprodukt von a → und b → . Der Vektor a → hat die Koordinaten a → = (9 , 3 , - 3) , die Projektion b → hat die Koordinaten (- 3 , - 1 , 1) .

Lösung

Bedingungsgemäß sind die Vektoren a → und die Projektion b → entgegengesetzt gerichtet, denn a → = - 1 3 n p a → b → → , also entspricht die Projektion b → der Länge n p a → b → → , und mit dem „-“ Schild:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Durch Einsetzen in die Formel erhalten wir den Ausdruck:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Antwort: (a → , b →) = - 33 .

Probleme mit einem bekannten Skalarprodukt, bei denen es notwendig ist, die Länge eines Vektors oder einer numerischen Projektion zu finden.

Beispiel 7

Welchen Wert sollte λ für ein gegebenes Skalarprodukt annehmen? a → \u003d (1, 0, λ + 1) und b → \u003d (λ, 1, λ) sind gleich -1.

Lösung

Aus der Formel ist ersichtlich, dass es notwendig ist, die Summe der Koordinatenprodukte zu finden:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

In gegeben haben wir (a → , b →) = - 1 .

Um λ zu finden, berechnen wir die Gleichung:

λ 2 + 2 · λ = – 1 , also λ = – 1 .

Antwort: λ = - 1 .

Die physikalische Bedeutung des Skalarprodukts

Die Mechanik betrachtet die Anwendung des Skalarprodukts.

Wenn Sie A mit einer konstanten Kraft F → einem sich bewegenden Körper von Punkt M nach N bearbeiten, können Sie das Produkt der Längen der Vektoren F → und M N → mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen finden, was bedeutet, dass die Arbeit gleich ist zum Produkt aus Kraft- und Wegvektor:

A = (F → , MN →) .

Beispiel 8

Die Verschiebung eines materiellen Punktes um 3 Meter unter Einwirkung einer Kraft von 5 Nton ist in einem Winkel von 45 Grad zur Achse gerichtet. Finde einen .

Lösung

Da die Arbeit das Produkt aus Kraftvektor und Verschiebung ist, erhalten wir aufgrund der Bedingung F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Antwort: A = 15 2 2 .

Beispiel 9

Der materielle Punkt, der sich von M (2, - 1, - 3) nach N (5, 3 λ - 2, 4) unter der Kraft F → = (3, 1, 2) bewegte, arbeitete gleich 13 J. Berechnen Sie die Länge der Bewegung.

Lösung

Für gegebene Koordinaten des Vektors M N → gilt M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Durch die Formel zum Finden von Arbeit mit Vektoren F → = (3 , 1 , 2) und M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) erhalten wir A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

Als Bedingung gilt A \u003d 13 J, was 22 + 3 λ \u003d 13 bedeutet. Dies impliziert λ = - 3 , also M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

Um die Verfahrlänge M N → zu finden, wenden wir die Formel an und ersetzen die Werte:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Antwort: 158 .

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter

Vektor und Skalarprodukt erleichtern die Berechnung des Winkels zwischen Vektoren. Gegeben seien zwei Vektoren $\overline(a)$ und $\overline(b)$, der Orientierungswinkel zwischen ihnen ist gleich $\varphi$. Berechnen wir die Werte $x = (\overline(a),\overline(b))$ und $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Dann $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, wobei $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ und $\varphi$ das Gewünschte ist Winkel, das heißt, der Punkt $(x, y)$ hat einen Polarwinkel gleich $\varphi$, und daher kann $\varphi$ als atan2(y, x) gefunden werden.

Fläche eines Dreiecks

Da das Vektorprodukt das Produkt aus zwei Vektorlängen und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen enthält, kann mit dem Vektorprodukt die Fläche des Dreiecks ABC berechnet werden:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Zu einer Linie gehörender Punkt

Gegeben sei ein Punkt $P$ und eine Gerade $AB$ (gegeben durch zwei Punkte $A$ und $B$). Es muss geprüft werden, ob ein Punkt zur Linie $AB$ gehört.

Ein Punkt gehört zur Geraden $AB$ genau dann, wenn die Vektoren $AP$ und $AB$ kollinear sind, also wenn $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Zugehörigkeit eines Punktes zu einem Strahl

Gegeben sei ein Punkt $P$ und ein Strahl $AB$ (gegeben durch zwei Punkte - der Anfang des Strahls $A$ und ein Punkt auf dem Strahl $B$). Es ist zu prüfen, ob der Punkt zum Strahl $AB$ gehört.

Zu der Bedingung, dass der Punkt $P$ zur Linie $AB$ gehört, muss eine zusätzliche Bedingung hinzugefügt werden - die Vektoren $AP$ und $AB$ sind kodirektional, d.h. sie sind kollinear und ihr Skalarprodukt ist nicht negativ, das heißt, $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

Punkt, der zu einem Segment gehört

Gegeben seien ein Punkt $P$ und eine Strecke $AB$. Es muss geprüft werden, ob der Punkt zum Segment $AB$ gehört.

In diesem Fall muss der Punkt sowohl zu Strahl $AB$ als auch zu Strahl $BA$ gehören, daher müssen die folgenden Bedingungen überprüft werden:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Abstand von Punkt zu Linie

Gegeben sei ein Punkt $P$ und eine Gerade $AB$ (gegeben durch zwei Punkte $A$ und $B$). Es ist notwendig, die Entfernung vom Punkt der geraden Linie $AB$ zu finden.

Betrachten Sie das Dreieck ABP. Zum einen ist seine Fläche $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

Andererseits ist seine Fläche $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, wobei $h$ die Höhe von $P$ ist, also der Abstand von $P$ zu $AB $. Daraus ergibt sich $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Abstand von Punkt zu Strahl

Gegeben sei ein Punkt $P$ und ein Strahl $AB$ (gegeben durch zwei Punkte - der Anfang des Strahls $A$ und ein Punkt auf dem Strahl $B$). Es ist notwendig, die Entfernung vom Punkt zum Strahl zu finden, dh die Länge des kürzesten Segments vom Punkt $P$ zu einem beliebigen Punkt des Strahls.

Dieser Abstand entspricht entweder der Länge $AP$ oder dem Abstand vom Punkt $P$ zur Geraden $AB$. Welcher der Fälle eintritt, kann leicht durch die relative Position des Strahls und des Punktes bestimmt werden. Wenn der Winkel PAB spitz ist, d. h. $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, dann ist die Antwort die Entfernung vom Punkt $P$ zur Linie $AB$, andernfalls ist die Antwort die Länge des Segments $AB$.

Abstand von Punkt zu Linie

Gegeben seien ein Punkt $P$ und eine Strecke $AB$. Es ist notwendig, den Abstand von $P$ zum Segment $AB$ zu finden.

Wenn die Basis der von $P$ auf die Linie $AB$ fallenden Senkrechten auf die Strecke $AB$ fällt, kann dies durch die Bedingungen überprüft werden

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

dann ist die Antwort die Entfernung vom Punkt $P$ zur Linie $AB$. Andernfalls ist der Abstand gleich $\min(AP, BP)$.

Skalarprodukt von Vektoren

Wir beschäftigen uns weiterhin mit Vektoren. Bei der ersten Unterrichtsstunde Vektoren für Dummies Wir haben das Konzept eines Vektors, Aktionen mit Vektoren, Vektorkoordinaten und die einfachsten Probleme mit Vektoren betrachtet. Wenn Sie zum ersten Mal über eine Suchmaschine auf diese Seite gekommen sind, empfehle ich dringend, den obigen Einführungsartikel zu lesen, denn um das Material zu verarbeiten, müssen Sie sich in den von mir verwendeten Begriffen und Notationen anleiten lassen und über Grundkenntnisse von Vektoren verfügen und elementare Probleme lösen können. Diese Lektion ist eine logische Fortsetzung des Themas, und darin werde ich typische Aufgaben, die das Skalarprodukt von Vektoren verwenden, im Detail analysieren. Dies ist eine SEHR WICHTIGE Aufgabe.. Versuchen Sie, die Beispiele nicht zu überspringen, sie werden von einem nützlichen Bonus begleitet - Übung wird Ihnen helfen, das behandelte Material zu konsolidieren und häufige Probleme zu lösen Analytische Geometrie.

Vektoren addieren, einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren…. Es wäre naiv zu glauben, dass Mathematikern nichts anderes eingefallen wäre. Neben den bereits betrachteten Aktionen gibt es noch eine Reihe weiterer Operationen mit Vektoren, nämlich: Skalarprodukt von Vektoren, Kreuzprodukt von Vektoren und Mischprodukt von Vektoren. Das Skalarprodukt von Vektoren ist uns aus der Schule geläufig, die beiden anderen Produkte sind traditionell dem Studium der höheren Mathematik zuzuordnen. Die Themen sind einfach, der Algorithmus zur Lösung vieler Probleme stereotyp und verständlich. Das einzige. Es gibt eine anständige Menge an Informationen, daher ist es nicht wünschenswert, ALLES UND AUF EINMAL zu beherrschen und zu lösen. Das gilt besonders für Dummies, glauben Sie mir, der Autor will sich auf keinen Fall wie Chikatilo aus der Mathematik fühlen. Naja, natürlich auch nicht aus Mathematik =) Besser vorbereitete Schüler können die Materialien gewissermaßen punktuell einsetzen, um sich das fehlende Wissen „anzueignen“, für dich werde ich ein harmloser Graf Dracula sein =)

Lassen Sie uns zum Schluss die Tür ein wenig öffnen und einen Blick darauf werfen, was passiert, wenn zwei Vektoren aufeinander treffen….

Definition des Skalarprodukts von Vektoren.
Eigenschaften des Skalarprodukts. Typische Aufgaben

Das Konzept des Punktprodukts

Zuerst über Winkel zwischen Vektoren. Ich denke, jeder versteht intuitiv, was der Winkel zwischen Vektoren ist, aber nur für den Fall, ein bisschen mehr. Betrachten Sie freie Nicht-Null-Vektoren und . Verschieben wir diese Vektoren von einem beliebigen Punkt aus, dann erhalten wir ein Bild, das sich viele schon im Kopf vorgestellt haben:

Ich gestehe, hier habe ich die Situation nur auf der Ebene des Verständnisses beschrieben. Wenn Sie eine strenge Definition des Winkels zwischen Vektoren benötigen, lesen Sie bitte das Lehrbuch, aber für praktische Aufgaben benötigen wir es im Prinzip nicht. Auch HIER UND WEITER werde ich Nullvektoren aufgrund ihrer geringen praktischen Bedeutung manchmal ignorieren. Ich habe speziell für fortgeschrittene Besucher der Site reserviert, die mir die theoretische Unvollständigkeit einiger der folgenden Aussagen vorwerfen können.

kann Werte von 0 bis einschließlich 180 Grad (von 0 bis Radiant) annehmen. Analytisch wird diese Tatsache als doppelte Ungleichung geschrieben: oder (im Bogenmaß).

In der Literatur wird das Winkelsymbol oft weggelassen und einfach geschrieben.

Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine ZAHL gleich dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen:

Das ist jetzt eine ziemlich strenge Definition.

Wir konzentrieren uns auf wesentliche Informationen:

Bezeichnung: das Skalarprodukt wird einfach mit oder bezeichnet.

Das Ergebnis der Operation ist eine ZAHL: Multiplizieren Sie einen Vektor mit einem Vektor, um eine Zahl zu erhalten. In der Tat, wenn die Längen der Vektoren Zahlen sind, ist der Kosinus des Winkels eine Zahl, dann ihr Produkt wird auch eine Zahl sein.

Nur ein paar Aufwärmbeispiele:

Beispiel 1

Lösung: Wir verwenden die Formel . In diesem Fall:

Antworten:

Kosinuswerte finden Sie in trigonometrische Tabelle. Ich empfehle, es auszudrucken - es wird in fast allen Abschnitten des Turms benötigt und viele Male benötigt.

Rein mathematisch gesehen ist das Skalarprodukt dimensionslos, das heißt, das Ergebnis ist in diesem Fall nur eine Zahl und das war's. Aus Sicht der Probleme der Physik hat das Skalarprodukt immer ein bestimmtes physikalische Bedeutung, das heißt, nach dem Ergebnis muss die eine oder andere physikalische Einheit angegeben werden. Das kanonische Beispiel zur Berechnung der Arbeit einer Kraft findet sich in jedem Lehrbuch (die Formel ist genau ein Skalarprodukt). Die Arbeit einer Kraft wird in Joule gemessen, daher wird die Antwort zum Beispiel ganz konkret geschrieben.

Beispiel 2

Finde wenn , und der Winkel zwischen den Vektoren ist .

Dies ist ein Beispiel für Selbstentscheidung, die Antwort steht am Ende der Lektion.

Winkel zwischen Vektoren und Skalarproduktwert

In Beispiel 1 war das Skalarprodukt positiv und in Beispiel 2 negativ. Lassen Sie uns herausfinden, wovon das Vorzeichen des Skalarprodukts abhängt. Schauen wir uns unsere Formel an: . Die Längen von Nicht-Null-Vektoren sind immer positiv: , also kann das Vorzeichen nur vom Wert des Kosinus abhängen.

Notiz: Zum besseren Verständnis der folgenden Informationen ist es besser, die Kosinus-Grafik im Handbuch zu studieren Graphen und Funktionseigenschaften. Sehen Sie, wie sich der Kosinus auf dem Segment verhält.

Wie bereits erwähnt, kann der Winkel zwischen den Vektoren innerhalb variieren , und die folgenden Fälle sind möglich:

1) Wenn Ecke zwischen Vektoren würzig: (von 0 bis 90 Grad), dann , und Punktprodukt wird positiv sein Co-Regie, dann wird der Winkel zwischen ihnen als Null betrachtet und das Skalarprodukt ist ebenfalls positiv. Da , dann vereinfacht sich die Formel: .

2) Wenn Ecke zwischen Vektoren dumm: (von 90 auf 180 Grad), dann , und entsprechend Punktprodukt ist negativ: . Sonderfall: Wenn die Vektoren entgegengesetzt gerichtet, dann wird der Winkel zwischen ihnen betrachtet eingesetzt: (180 Grad). Das Skalarprodukt ist ebenfalls negativ, da

Es gelten auch die umgekehrten Aussagen:

1) Wenn , dann ist der Winkel zwischen diesen Vektoren spitz. Alternativ sind die Vektoren gleichgerichtet.

2) Wenn , dann ist der Winkel zwischen diesen Vektoren stumpf. Alternativ sind die Vektoren entgegengesetzt gerichtet.

Aber der dritte Fall ist von besonderem Interesse:

3) Wenn Ecke zwischen Vektoren gerade: (90 Grad) dann und Punktprodukt ist Null: . Auch die Umkehrung gilt: wenn , dann . Die Kompaktaussage ist wie folgt formuliert: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann Null, wenn die gegebenen Vektoren orthogonal sind. Kurze mathematische Notation:

! Notiz : wiederholen Grundlagen der mathematischen Logik: Doppelseitiges Symbol für logische Konsequenz wird normalerweise gelesen "wenn und nur dann", "wenn und nur wenn". Wie Sie sehen können, sind die Pfeile in beide Richtungen gerichtet - "aus diesem folgt dies und umgekehrt - daraus folgt dies". Was ist übrigens der Unterschied zum One-Way-Follow-Icon ? Icon-Ansprüche nur das dass "daraus folgt dies", und nicht die Tatsache, dass das Gegenteil der Fall ist. Zum Beispiel: , aber nicht jedes Tier ist ein Panther, daher kann das Symbol in diesem Fall nicht verwendet werden. Gleichzeitig anstelle des Symbols kann Verwenden Sie einseitiges Symbol. Zum Beispiel haben wir bei der Lösung des Problems herausgefunden, dass wir zu dem Schluss gekommen sind, dass die Vektoren orthogonal sind: - Eine solche Aufzeichnung wird richtig und sogar angemessener sein .

Der dritte Fall ist von großer praktischer Bedeutung., da Sie damit überprüfen können, ob die Vektoren orthogonal sind oder nicht. Wir werden dieses Problem im zweiten Abschnitt der Lektion lösen.

Eigenschaften des Punktprodukts

Kehren wir zur Situation zurück, wenn zwei Vektoren Co-Regie. In diesem Fall ist der Winkel zwischen ihnen Null, und die Skalarproduktformel hat die Form: .

Was passiert, wenn ein Vektor mit sich selbst multipliziert wird? Es ist klar, dass der Vektor mit sich selbst gerichtet ist, also verwenden wir die obige vereinfachte Formel:

Die Nummer wird angerufen skalares Quadrat Vektor und werden als bezeichnet.

Auf diese Weise, das skalare Quadrat eines Vektors ist gleich dem Quadrat der Länge des gegebenen Vektors:

Aus dieser Gleichheit können Sie eine Formel zur Berechnung der Länge eines Vektors erhalten:

Es scheint zwar obskur, aber die Aufgaben des Unterrichts werden alles an seinen Platz bringen. Um Probleme zu lösen, brauchen wir auch Punktprodukteigenschaften.

Für beliebige Vektoren und beliebige Zahlen gelten die folgenden Eigenschaften:

1) - verschiebbar bzw kommutativ Skalarproduktgesetz.

2) - Verteilung bzw distributiv Skalarproduktgesetz. Einfach ausgedrückt, Sie können Klammern öffnen.

3) - Kombination bzw assoziativ Skalarproduktgesetz. Die Konstante kann aus dem Skalarprodukt herausgenommen werden.

Allerlei Eigenschaften (die auch nachgewiesen werden müssen!) werden von Studierenden oft als unnötiger Müll empfunden, den man sich nur sofort nach der Prüfung merken und sicher vergessen muss. Es scheint, dass hier wichtig ist, dass jeder bereits von der ersten Klasse an weiß, dass sich das Produkt nicht durch eine Permutation der Faktoren ändert:. Ich muss Sie warnen, in der höheren Mathematik ist es mit einem solchen Ansatz leicht, Dinge durcheinander zu bringen. So gilt beispielsweise das Kommutativgesetz nicht für algebraische Matrizen. Es gilt nicht für Kreuzprodukt von Vektoren. Daher ist es zumindest besser, sich mit allen Eigenschaften zu befassen, denen Sie im Laufe der höheren Mathematik begegnen werden, um zu verstehen, was getan werden kann und was nicht.

Beispiel 3

.

Lösung: Lassen Sie uns zunächst die Situation mit dem Vektor klären. Worum geht es? Die Summe der Vektoren und ist ein wohldefinierter Vektor, der mit bezeichnet wird. Die geometrische Interpretation von Aktionen mit Vektoren finden Sie im Artikel Vektoren für Dummies. Dieselbe Petersilie mit einem Vektor ist die Summe der Vektoren und .

Entsprechend der Bedingung ist es also erforderlich, das Skalarprodukt zu finden. Theoretisch müssen Sie die Arbeitsformel anwenden , aber das Problem ist, dass wir die Längen der Vektoren und den Winkel zwischen ihnen nicht kennen. Aber in der Bedingung werden ähnliche Parameter für Vektoren angegeben, also gehen wir den anderen Weg:

(1) Wir ersetzen Ausdrücke von Vektoren .

(2) Wir öffnen die Klammern nach der Regel der Multiplikation von Polynomen, ein vulgärer Zungenbrecher findet sich im Artikel Komplexe Zahlen oder Integration einer gebrochen-rationalen Funktion. Ich werde mich nicht wiederholen =) Übrigens erlaubt uns das Distributivgesetz des Skalarprodukts, die Klammern zu öffnen. Wir haben das Recht.

(3) Im ersten und letzten Term schreiben wir kompakt die skalaren Quadrate der Vektoren: . Im zweiten Term verwenden wir die Kommutabilität des Skalarprodukts: .

(4) Hier sind ähnliche Begriffe: .

(5) Im ersten Term verwenden wir die skalare Quadratformel, die vor nicht allzu langer Zeit erwähnt wurde. Im letzten Term funktioniert jeweils dasselbe: . Der zweite Term wird nach der Standardformel erweitert .

(6) Ersetzen Sie diese Bedingungen , und führen Sie die abschließenden Berechnungen SORGFÄLTIG durch.

Antworten:

Der negative Wert des Skalarprodukts gibt an, dass der Winkel zwischen den Vektoren stumpf ist.

Die Aufgabenstellung ist typisch, hier ein Beispiel für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 4

Ermitteln Sie das Skalarprodukt der Vektoren und , falls bekannt .

Jetzt eine weitere häufige Aufgabe, nur für die neue Vektorlängenformel. Die Bezeichnungen hier werden sich ein wenig überschneiden, daher werde ich sie zur Verdeutlichung mit einem anderen Buchstaben umschreiben:

Beispiel 5

Finden Sie die Länge des Vektors, wenn .

Lösung wird wie folgt sein:

(1) Wir liefern den Vektorausdruck .

(2) Wir verwenden die Längenformel: , während wir als Vektor "ve" einen ganzzahligen Ausdruck haben.

(3) Wir verwenden die Schulformel für das Quadrat der Summe. Achten Sie darauf, wie es hier seltsamerweise funktioniert: - Tatsächlich ist dies das Quadrat der Differenz, und tatsächlich ist es so. Wer will, kann die Vektoren stellenweise umstellen: - bis auf eine Umordnung der Terme ist es das Gleiche geworden.

(4) Das Folgende ist bereits von den beiden vorherigen Problemen bekannt.

Antworten:

Da wir über die Länge sprechen, vergessen Sie nicht, die Dimension anzugeben - "Einheiten".

Beispiel 6

Finden Sie die Länge des Vektors, wenn .

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Wir quetschen weiterhin nützliche Dinge aus dem Skalarprodukt heraus. Schauen wir uns noch einmal unsere Formel an . Nach der Proportionsregel setzen wir die Längen der Vektoren auf den Nenner der linken Seite zurück:

Tauschen wir die Teile aus:

Welche Bedeutung hat diese Formel? Wenn die Längen zweier Vektoren und ihr Skalarprodukt bekannt sind, kann der Kosinus des Winkels zwischen diesen Vektoren und folglich der Winkel selbst berechnet werden.

Ist das Skalarprodukt eine Zahl? Nummer. Sind Vektorlängen Zahlen? Zahlen. Ein Bruch ist also auch eine Zahl. Und wenn der Kosinus des Winkels bekannt ist: , dann ist es mit der Umkehrfunktion einfach, den Winkel selbst zu finden: .

Beispiel 7

Ermitteln Sie den Winkel zwischen den Vektoren und , falls dieser bekannt ist.

Lösung: Wir verwenden die Formel:

In der Endphase der Berechnungen wurde eine Technik verwendet - die Beseitigung der Irrationalität im Nenner. Um Irrationalitäten auszuschließen, habe ich Zähler und Nenner mit multipliziert.

Also wenn , dann:

Die Werte der inversen trigonometrischen Funktionen finden Sie unter trigonometrische Tabelle. Obwohl dies selten vorkommt. Bei Problemen der analytischen Geometrie taucht viel öfter irgendein ungeschickter Bär auf, und der Wert des Winkels muss ungefähr mit einem Taschenrechner gefunden werden. Tatsächlich werden wir dieses Bild immer wieder sehen.

Antworten:

Vergessen Sie auch hier nicht, die Dimension anzugeben - Bogenmaß und Grad. Um absichtlich „alle Fragen zu entfernen“, ziehe ich es persönlich vor, beide anzugeben (es sei denn, es ist natürlich aufgrund der Bedingung erforderlich, die Antwort nur im Bogenmaß oder nur in Grad darzustellen).

Jetzt werden Sie in der Lage sein, eine schwierigere Aufgabe alleine zu bewältigen:

Beispiel 7*

Gegeben sind die Längen der Vektoren und der Winkel zwischen ihnen. Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren , .

Die Aufgabe ist nicht so schwierig wie Mehrweg.
Analysieren wir den Lösungsalgorithmus:

1) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, den Winkel zwischen den Vektoren und zu finden, also müssen Sie die Formel verwenden .

2) Wir finden das Skalarprodukt (siehe Beispiele Nr. 3, 4).

3) Finden Sie die Länge des Vektors und die Länge des Vektors (siehe Beispiele Nr. 5, 6).

4) Das Ende der Lösung stimmt mit Beispiel Nr. 7 überein – wir kennen die Zahl , was bedeutet, dass es einfach ist, den Winkel selbst zu finden:

Kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Der zweite Abschnitt der Lektion ist demselben Skalarprodukt gewidmet. Koordinaten. Es wird noch einfacher als im ersten Teil.

Skalarprodukt von Vektoren,
gegeben durch Koordinaten in einer orthonormalen Basis

Antworten:

Wesentlich angenehmer ist natürlich der Umgang mit Koordinaten.

Beispiel 14

Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren und wenn

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Hier kannst du die Assoziativität der Operation nutzen, also nicht zählen, sondern gleich das Tripel aus dem Skalarprodukt herausnehmen und zuletzt damit multiplizieren. Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Am Ende des Absatzes ein provokantes Beispiel zur Berechnung der Länge eines Vektors:

Beispiel 15

Finden Sie Längen von Vektoren , wenn

Lösung: wieder bietet sich die Methode des vorigen Abschnitts an: aber es geht auch anders:

Finden wir den Vektor:

Und seine Länge nach der trivialen Formel :

Das Skalarprodukt ist hier überhaupt nicht relevant!

Wie aus dem Geschäft ist es bei der Berechnung der Länge eines Vektors:
Halt. Warum nicht die offensichtliche Längeneigenschaft eines Vektors nutzen? Was kann man über die Länge eines Vektors sagen? Dieser Vektor ist 5-mal länger als der Vektor. Die Richtung ist entgegengesetzt, aber es spielt keine Rolle, weil wir über Länge sprechen. Offensichtlich ist die Länge des Vektors gleich dem Produkt Modul Zahlen pro Vektorlänge:
- Das Vorzeichen des Moduls "frisst" das mögliche Minus der Zahl.

Auf diese Weise:

Antworten:

Die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren, die durch Koordinaten gegeben sind

Jetzt haben wir alle Informationen, um die zuvor hergeleitete Formel für den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren in Bezug auf die Koordinaten der Vektoren auszudrücken:

Kosinus des Winkels zwischen Ebenenvektoren und , gegeben in der Orthonormalbasis , wird durch die Formel ausgedrückt:
.

Kosinus des Winkels zwischen Raumvektoren, gegeben in der orthonormalen Basis , wird durch die Formel ausgedrückt:

Beispiel 16

Gegeben sind drei Eckpunkte eines Dreiecks. Finde (Scheitelwinkel ).

Lösung: Aufgrund der Bedingung ist die Zeichnung nicht erforderlich, aber dennoch:

Der gewünschte Winkel ist mit einem grünen Bogen markiert. Wir erinnern uns sofort an die Schulbezeichnung des Winkels: - besondere Aufmerksamkeit Mitte Buchstabe - das ist der Scheitelpunkt des Winkels, den wir brauchen. Der Kürze halber könnte es auch einfach geschrieben werden.

Aus der Zeichnung ist ziemlich offensichtlich, dass der Winkel des Dreiecks mit dem Winkel zwischen den Vektoren und zusammenfällt, mit anderen Worten: .

Es ist wünschenswert zu lernen, wie man die Analyse mental durchführt.

Lassen Sie uns die Vektoren finden:

Lassen Sie uns das Skalarprodukt berechnen:

Und die Längen der Vektoren:

Kosinus eines Winkels:

Es ist diese Reihenfolge der Aufgabe, die ich Dummies empfehle. Fortgeschrittene Leser können die Berechnungen "in einer Zeile" schreiben:

Hier ist ein Beispiel für einen "schlechten" Kosinuswert. Der resultierende Wert ist nicht endgültig, daher macht es nicht viel Sinn, die Irrationalität im Nenner loszuwerden.

Finden wir den Winkel:

Schaut man sich die Zeichnung an, ist das Ergebnis durchaus plausibel. Zur Kontrolle kann der Winkel auch mit einem Winkelmesser gemessen werden. Monitorbeschichtung nicht beschädigen =)

Antworten:

Vergessen Sie das bei der Antwort nicht fragte nach dem Winkel des Dreiecks(und nicht über den Winkel zwischen den Vektoren), vergessen Sie nicht, die genaue Antwort anzugeben: und den ungefähren Wert des Winkels: mit einem Taschenrechner gefunden.

Diejenigen, die den Prozess genossen haben, können die Winkel berechnen und sicherstellen, dass die kanonische Gleichheit wahr ist

Beispiel 17

Ein Dreieck ist im Raum durch die Koordinaten seiner Ecken gegeben. Finden Sie den Winkel zwischen den Seiten und

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion

Ein kleiner Schlussabschnitt widmet sich den Projektionen, an denen auch das Skalarprodukt „beteiligt“ ist:

Projektion eines Vektors auf einen Vektor. Vektorprojektion auf Koordinatenachsen.
Vektorrichtungskosinus

Betrachten Sie Vektoren und :

Wir projizieren den Vektor auf den Vektor , lassen dazu Anfang und Ende des Vektors weg Senkrechte pro Vektor (grün gepunktete Linien). Stellen Sie sich vor, dass Lichtstrahlen senkrecht auf einen Vektor fallen. Dann ist das Segment (rote Linie) der "Schatten" des Vektors. In diesem Fall ist die Projektion eines Vektors auf einen Vektor die LÄNGE des Segments. Das heißt, PROJEKTION IST EINE ZAHL.

Diese ZAHL wird wie folgt bezeichnet: "großer Vektor" bezeichnet einen Vektor WELCHES DAS Projekt, "kleiner tiefgestellter Vektor" bezeichnet den Vektor AUF DER was projiziert wird.

Der Eintrag selbst lautet wie folgt: „die Projektion des Vektors „a“ auf den Vektor „be““.

Was passiert, wenn der Vektor „be“ „zu kurz“ ist? Wir zeichnen eine gerade Linie, die den Vektor "be" enthält. Und der Vektor "a" wird bereits projiziert in Richtung des Vektors "be", einfach - auf einer geraden Linie, die den Vektor "be" enthält. Dasselbe passiert, wenn der Vektor „a“ im dreißigsten Königreich beiseite gelegt wird – er wird immer noch leicht auf die Linie projiziert, die den Vektor „be“ enthält.

Wenn der Winkel zwischen Vektoren würzig(wie auf dem Bild), dann

Wenn die Vektoren senkrecht, dann (die Projektion ist ein Punkt, dessen Abmessungen als Null angenommen werden).

Wenn der Winkel zwischen Vektoren dumm(Ordnen Sie in der Abbildung den Pfeil des Vektors neu an), dann (die gleiche Länge, aber mit einem Minuszeichen).

Heben Sie diese Vektoren von einem Punkt auf:

Offensichtlich ändert sich beim Verschieben eines Vektors seine Projektion nicht