Vektorprodukt ist ein durch zwei Faktoren konstruierter Pseudovektor senkrecht zur Ebene, der das Ergebnis der binären Operation "Vektormultiplikation" auf Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum ist. Das Vektorprodukt hat nicht die Eigenschaften der Kommutativität und Assoziativität (es ist antikommutativ) und ist im Gegensatz zum Skalarprodukt von Vektoren ein Vektor. Weit verbreitet in vielen technischen und physikalischen Anwendungen. Beispielsweise werden der Drehimpuls und die Lorentzkraft mathematisch als Kreuzprodukt geschrieben. Das Kreuzprodukt ist nützlich, um die Rechtwinkligkeit von Vektoren zu "messen" - der Modul des Kreuzprodukts zweier Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Module, wenn sie senkrecht sind, und nimmt auf Null ab, wenn die Vektoren parallel oder antiparallel sind.

Sie können ein Vektorprodukt auf verschiedene Arten definieren, und theoretisch können Sie in einem Raum mit einer beliebigen Dimension n das Produkt von n-1 Vektoren berechnen, während Sie einen einzigen Vektor erhalten, der senkrecht zu ihnen steht. Aber wenn das Produkt auf nicht triviale binäre Produkte mit Vektorergebnissen beschränkt ist, dann ist das traditionelle Vektorprodukt nur in dreidimensionalen und siebendimensionalen Räumen definiert. Das Ergebnis des Vektorprodukts hängt wie das Skalarprodukt von der Metrik des euklidischen Raums ab.

Anders als die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts aus den Koordinaten der Vektoren in einem dreidimensionalen rechtwinkligen Koordinatensystem hängt die Formel für das Vektorprodukt von der Orientierung des rechtwinkligen Koordinatensystems, also seiner „Chiralität“, ab.

Definition:
Das Vektorprodukt eines Vektors a und eines Vektors b im Raum R 3 heißt ein Vektor c, der die folgenden Anforderungen erfüllt:
die Länge des Vektors c ist gleich dem Produkt der Längen der Vektoren a und b und dem Sinus des Winkels φ zwischen ihnen:
|c|=|a||b|sin φ;
der Vektor c ist orthogonal zu jedem der Vektoren a und b;
der Vektor c ist so gerichtet, dass das Tripel der Vektoren abc richtig ist;
im Fall des Raums R7 wird die Assoziativität des Tripels der Vektoren a,b,c benötigt.
Bezeichnung:
c===a×b

Reis. 1. Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Modul des Kreuzprodukts

Geometrische Eigenschaften des Kreuzprodukts:
Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Kollinearität zweier Vektoren ungleich Null ist die Gleichheit ihres Vektorprodukts mit Null.

Produktübergreifendes Modul gleich Fläche S Parallelogramm, das auf Vektoren aufgebaut ist, die auf einen gemeinsamen Ursprung reduziert sind a und b(siehe Abb. 1).

Wenn ein e- Einheitsvektor orthogonal zu den Vektoren a und b und so gewählt, dass das Triple a,b,e- richtig und S- die Fläche des darauf aufgebauten Parallelogramms (auf einen gemeinsamen Ursprung reduziert), dann gilt für das Vektorprodukt folgende Formel:
=S e

Abb.2. Das Volumen des Parallelepipeds bei Verwendung des Vektors und des Skalarprodukts von Vektoren; die gestrichelten Linien zeigen die Projektionen des Vektors c auf a × b und des Vektors a auf b × c, der erste Schritt besteht darin, die Skalarprodukte zu finden

Wenn ein c- irgendein Vektor π - jede Ebene, die diesen Vektor enthält, e- in der Ebene liegender Einheitsvektor π und orthogonal zu c,g- Einheitsvektor orthogonal zur Ebene π und so gerichtet, dass das Tripel von Vektoren EKG Recht hat, dann für jeden der im Flugzeug liegt π Vektor a die richtige formel lautet:
=P e a |c|g
wobei Pr e a die Projektion des Vektors e auf a ist
|c|-Modul des Vektors c

Wenn Sie Vektor- und Skalarprodukte verwenden, können Sie das Volumen eines Parallelepipeds berechnen, das auf Vektoren basiert, die auf einen gemeinsamen Ursprung reduziert sind ein, b und c. Ein solches Produkt aus drei Vektoren heißt gemischt.
V=|a (b×c)|
Die Abbildung zeigt, dass dieses Volumen auf zwei Arten gefunden werden kann: Das geometrische Ergebnis bleibt erhalten, selbst wenn die „Skalar“- und „Vektor“-Produkte vertauscht werden:
V=a×b c=a b×c

Der Wert des Kreuzprodukts hängt vom Sinus des Winkels zwischen den ursprünglichen Vektoren ab, sodass das Kreuzprodukt auf die gleiche Weise als Grad der „Rechtwinkligkeit“ der Vektoren wahrgenommen werden kann wie Skalarprodukt kann als ein Grad an "Parallelität" betrachtet werden. Das Kreuzprodukt zweier Einheitsvektoren ist gleich 1 (ein Einheitsvektor), wenn die Anfangsvektoren senkrecht sind, und gleich 0 (Nullvektor), wenn die Vektoren parallel oder antiparallel sind.

Kreuzproduktausdruck in kartesischen Koordinaten
Wenn zwei Vektoren a und b werden durch ihre rechtwinkligen kartesischen Koordinaten definiert, oder genauer gesagt, sie werden dargestellt in orthonormale Basis
a=(a x , a y , a z)
b=(b x ,b y ,b z)
und das Koordinatensystem stimmt, dann hat ihr Vektorprodukt die Form
= (a y b z - a z b y , a z b x - a x b z , a x b y - a y b x)
Zur Erinnerung an diese Formel:
ich =∑ε ijk a j b k
wo ε ijk- das Symbol von Levi-Civita.

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Kreuzprodukt von Vektoren und Mischprodukt von Vektoren (direkter Link für diejenigen, die es brauchen). Es ist okay, es passiert manchmal, dass für das vollkommene Glück zusätzlich dazu Skalarprodukt von Vektoren, es wird immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Es mag scheinen, als würden wir in die Wildnis klettern Analytische Geometrie. Das ist nicht so. In diesem Bereich der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Brennholz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr verbreitet und einfach – kaum schwieriger als das Gleiche Skalarprodukt, auch wird es weniger typische Aufgaben geben. Die Hauptsache in der analytischen Geometrie ist, wie viele sehen werden oder bereits gesehen haben, BERECHNUNGEN NICHT ZU FEHLEN. Wiederholen Sie wie ein Zauber, und Sie werden glücklich sein =)

Wenn die Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, spielt es keine Rolle, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Bereitere Leser können sich selektiv mit den Informationen vertraut machen, ich habe versucht, die vollständigste Sammlung von Beispielen zu sammeln, die häufig in gefunden werden praktische Arbeit

Was wird dich glücklich machen? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt brauchen wir überhaupt nicht mehr zu jonglieren, da wir überlegen werden nur Raumvektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Wieso den? So wurden diese Aktionen geboren - der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Schon einfacher!

Bei dieser Operation gilt wie beim Skalarprodukt zwei Vektoren. Lass es unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet auf die folgende Weise: . Es gibt andere Möglichkeiten, aber ich bin es gewohnt, das Kreuzprodukt von Vektoren auf diese Weise in eckigen Klammern mit einem Kreuz zu bezeichnen.

Und sofort Frage: wenn drin Skalarprodukt von Vektoren es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Ein deutlicher Unterschied zunächst im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist eine ZAHL:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist ein VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Verein. Eigentlich daher der Name der Operation. In verschiedenen pädagogische Literatur die Schreibweise kann auch variieren, ich werde den Buchstaben verwenden.

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst wird es eine Definition mit einem Bild geben, dann Kommentare.

Definition: Kreuzprodukt nicht kollinear Vektoren , in dieser Reihenfolge aufgenommen, heißt VEKTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, aufgebaut auf diesen Vektoren; Vektor orthogonal zu Vektoren, und ist so ausgerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Wir analysieren die Definition nach Knochen, es gibt viele interessante Dinge!

Daher können wir die folgenden wichtigen Punkte hervorheben:

1) Quellvektoren, gekennzeichnet durch rote Pfeile, per Definition nicht kollinear. Ereignis Kollineare Vektoren Es wird angebracht sein, etwas später darüber nachzudenken.

2) Vektoren genommen in strenger Reihenfolge: – "a" wird mit "be" multipliziert, nicht "sein" zu "ein". Das Ergebnis der Vektormultiplikation VECTOR ist, was blau dargestellt ist. Wenn die Vektoren multipliziert werden mit umgekehrte Reihenfolge, dann erhalten wir einen Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (rote Farbe). Das heißt, die Gleichberechtigung .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Dies ist ein sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und daher des purpurroten Vektors ) ist numerisch gleich der FLÄCHE des Parallelogramms, das auf den Vektoren aufgebaut ist. In der Figur ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Kreuzprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Wir erinnern uns an eine der geometrischen Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Daher gilt auf der Grundlage des Vorstehenden die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts:

Ich betone, dass wir in der Formel über die LÄNGE des Vektors sprechen und nicht über den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist so, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms häufig durch das Konzept eines Vektorprodukts gefunden wird:

Wir erhalten die zweite wichtige Formel. Die Diagonale des Parallelogramms (rot gepunktete Linie) teilt es in zwei gleiche Dreiecke. Daher kann die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) durch die Formel gefunden werden:

4) Eine ebenso wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist, das heißt . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (roter Pfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren .

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In einer Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich darüber gesprochen Ebenenorientierung, und jetzt werden wir herausfinden, wie die Ausrichtung des Raums ist. Ich werde es an deinen Fingern erklären rechte Hand. Kombiniere gedanklich Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger in deine Handfläche drücken. Ergebend Daumen - Das Vektorprodukt wird nach oben schauen. Dies ist die rechtsorientierte Basis (sie ist in der Abbildung). Vertausche nun die Vektoren ( Zeige- und Mittelfinger) an einigen Stellen dreht sich der Daumen daher um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Vielleicht haben Sie eine Frage: Welche Basis hat eine linke Orientierung? „Ordnen“ Sie dieselben Finger zu linke Hand vectors und erhalten die linke Basis und die linke Raumorientierung (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Bildlich gesprochen „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum in verschiedene Richtungen. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt angesehen werden - zum Beispiel ändert der gewöhnlichste Spiegel die Ausrichtung des Raums, und wenn Sie „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel ziehen“, ist dies im Allgemeinen nicht möglich Kombiniere es mit dem „Original“. Übrigens, drei Finger zum Spiegel bringen und die Spiegelung analysieren ;-)

... wie gut es ist, dass Sie jetzt Bescheid wissen rechts und links orientiert Grundlagen, denn die Aussagen einiger Dozenten zum Orientierungswechsel sind furchtbar =)

Vektorprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde im Detail ausgearbeitet, es bleibt herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, dann können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich solcher, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist Null. Das Gleiche folgt aus der Formel - der Sinus von Null oder 180 Grad ist gleich Null, was bedeutet, dass die Fläche Null ist

Also, wenn, dann und . Bitte beachten Sie, dass das Kreuzprodukt selbst gleich dem Nullvektor ist, aber in der Praxis wird dies oft vernachlässigt und geschrieben, dass es auch gleich Null ist.

Ein Sonderfall ist das Vektorprodukt eines Vektors und sich selbst:

Mit dem Kreuzprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen, wir werden unter anderem auch dieses Problem analysieren.

Um praktische Beispiele zu lösen, kann es notwendig sein trigonometrische Tabelle daraus die Werte der Sinus zu finden.

Nun, lass uns ein Feuer machen:

Beispiel 1

a) Finden Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines Parallelogramms, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Lösung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Anfangsdaten in den Konditionspositionen absichtlich gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, zu finden Länge Vektor (Vektorprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Da nach der Länge gefragt wurde, geben wir in der Antwort die Dimension - Einheiten an.

b) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, zu finden Quadrat Parallelogramm, das auf Vektoren aufgebaut ist. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Kreuzprodukts:

Antworten:

Bitte beachten Sie, dass in der Antwort über das Vektorprodukt überhaupt nicht die Rede ist, nach der wir gefragt wurden Figurenbereich, die Dimension ist jeweils Quadrateinheiten.

Wir schauen immer, WAS von der Bedingung gefunden werden soll und formulieren darauf aufbauend klar Antworten. Es mag wie Wörtlichkeit erscheinen, aber unter den Lehrern gibt es genügend Literalisten, und die Aufgabe mit guten Chancen wird zur Überarbeitung zurückgegeben. Das ist zwar kein besonders angestrengter Spitzbub – ist die Antwort falsch, dann entsteht der Eindruck, dass die Person einfache Dinge nicht versteht und/oder das Wesentliche der Aufgabe nicht verstanden hat. Dieser Moment sollte immer unter Kontrolle gehalten werden, um jedes Problem in der höheren Mathematik und auch in anderen Fächern zu lösen.

Wo ist der große Buchstabe "en" geblieben? Im Prinzip könnte man die Lösung zusätzlich ankleben, aber um die Aufzeichnung zu verkürzen, habe ich das nicht gemacht. Ich hoffe jeder versteht das und ist die Bezeichnung gleich.

Ein beliebtes Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt ist in den Kommentaren zur Definition angegeben. Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr verbreitet, Dreiecke können generell gequält werden.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Kreuzprodukts von Vektoren

Wir haben bereits einige Eigenschaften des Vektorprodukts betrachtet, aber ich werde sie in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften meist nicht ausgezeichnet, ist aber praktisch sehr wichtig. So lass es sein.

2) - Die Eigenschaft wird auch oben besprochen, manchmal wird sie genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten, die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) - Kombination oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Die Konstanten lassen sich leicht aus den Grenzen des Vektorprodukts herausnehmen. Wirklich, was machen die da?

4) - Verteilung oder Verteilung Vektorproduktgesetze. Auch beim Öffnen von Klammern gibt es keine Probleme.

Betrachten Sie zur Demonstration ein kurzes Beispiel:

Beispiel 3

Finde wenn

Lösung: Als Bedingung ist es wieder erforderlich, die Länge des Vektorprodukts zu finden. Malen wir unsere Miniatur:

(1) Gemäß den Assoziativgesetzen entfernen wir die Konstanten jenseits der Grenzen des Vektorprodukts.

(2) Wir nehmen die Konstante aus dem Modul heraus, während das Modul das Minuszeichen „frisst“. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Das Folgende ist klar.

Antworten:

Es ist Zeit, Holz ins Feuer zu werfen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Lösung: Finden Sie die Fläche eines Dreiecks mit der Formel . Der Haken ist, dass die Vektoren "ce" und "te" selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert etwas an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion. Skalarprodukt von Vektoren. Lassen Sie es uns zur Verdeutlichung in drei Schritte unterteilen:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt durch das Vektorprodukt aus, tatsächlich Drücken Sie den Vektor durch den Vektor aus. Noch kein Wort zur Länge!

(1) Wir ersetzen Ausdrücke von Vektoren .

(2) Unter Verwendung der Verteilungsgesetze öffnen wir die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Unter Verwendung der Assoziativgesetze entfernen wir alle Konstanten jenseits der Vektorprodukte. Mit wenig Erfahrung können die Aktionen 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Der erste und der letzte Term sind aufgrund der angenehmen Eigenschaft gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Antikommutativitätseigenschaft des Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Bedingungen.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt finden wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion ähnelt Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Schritte 2-3 der Lösung könnten in einer Zeile angeordnet werden.

Antworten:

Das betrachtete Problem ist ziemlich häufig in Kontrollarbeit, hier ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 5

Finde wenn

Kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, gegeben in der orthonormalen Basis , wird durch die Formel ausgedrückt:

Die Formel ist ganz einfach: Wir schreiben die Koordinatenvektoren in die oberste Zeile der Determinante, wir „packen“ die Koordinaten der Vektoren in die zweite und dritte Zeile und wir setzen in strenger Reihenfolge- zuerst die Koordinaten des Vektors "ve", dann die Koordinaten des Vektors "double-ve". Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten auch die Linien vertauscht werden:

Beispiel 10

Prüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
a)
b)

Lösung: Der Test basiert auf einer der Aussagen in dieser Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Kreuzprodukt Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Die Vektoren sind also nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antworten: a) nicht kollinear, b)

Hier sind vielleicht alle grundlegenden Informationen über das Vektorprodukt von Vektoren.

Dieser Abschnitt wird nicht sehr groß sein, da es wenige Probleme gibt, wo das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich wird alles auf der Definition, der geometrischen Bedeutung und einigen Arbeitsformeln beruhen.

Das Mischprodukt von Vektoren ist das Produkt von drei Vektoren:

So stellen sie sich wie ein Zug an und warten, sie können es kaum erwarten, bis sie berechnet werden.

Erstmal nochmal Definition und Bild:

Definition: Mischprodukt nicht koplanar Vektoren , in dieser Reihenfolge aufgenommen, wird genannt Volumen des Parallelepipeds, die auf diesen Vektoren aufgebaut sind, versehen mit einem "+"-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem "-"-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind durch eine gepunktete Linie gezeichnet:

Tauchen wir ein in die Definition:

2) Vektoren genommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Permutation von Vektoren im Produkt bleibt, wie Sie sich vielleicht denken können, nicht ohne Folgen.

3) Bevor ich die geometrische Bedeutung kommentiere, werde ich die offensichtliche Tatsache anmerken: das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der pädagogischen Literatur mag das Design etwas anders sein, ich habe früher ein Mischprodukt durch und das Ergebnis von Berechnungen mit dem Buchstaben "pe" bezeichnet.

Per Definition das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Figur ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl ist gleich dem Volumen des gegebenen Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Lassen Sie uns nicht noch einmal mit dem Konzept der Ausrichtung der Basis und des Raums weitermachen. Der letzte Teil hat die Bedeutung, dass der Lautstärke ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. Vereinfacht ausgedrückt kann das Mischprodukt negativ sein: .

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds folgt direkt aus der Definition.

Definition. Das Vektorprodukt eines Vektors a und eines Vektors b ist ein Vektor, der durch das Symbol [«, b] (oder l x b) bezeichnet wird, so dass 1) die Länge des Vektors [a, b] gleich (p, wobei y ist der Winkel zwischen den Vektoren a und b ( 31); 2) der Vektor [a, b) steht senkrecht auf den Vektoren a und b, d.h. senkrecht zur Ebene dieser Vektoren; 3) Der Vektor [a, b] ist so gerichtet, dass vom Ende dieses Vektors aus gesehen die kürzeste Drehung von a nach b im Gegenuhrzeigersinn erfolgt (Abb. 32). Reis. 32 Abb.31 Mit anderen Worten, die Vektoren a, b und [а, b) bilden das rechte Vektortripel, d.h. befinden sich wie Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand. Wenn die Vektoren a und b kollinear sind, nehmen wir an, dass [a, b] = 0. Per Definition ist die Länge des Vektorprodukts numerisch gleich der Fläche Sa des Parallelogramms (Abb. 33), das auf den multiplizierten Vektoren aufgebaut ist a und b wie an den Seiten: 6.1 . Eigenschaften eines Vektorprodukts 1. Ein Vektorprodukt ist genau dann gleich einem Nullvektor, wenn mindestens einer der multiplizierten Vektoren Null ist oder wenn diese Vektoren kollinear sind (wenn die Vektoren a und b kollinear sind, dann der Winkel zwischen ihnen ist entweder 0 oder 7r). Dies ergibt sich leicht aus der Tatsache, dass Wenn wir den Nullvektor kollinar zu einem beliebigen Vektor betrachten, dann lässt sich die Bedingung für die Kollinarität der Vektoren a und b wie folgt ausdrücken 2. Das Vektorprodukt ist antikommutativ, also immer. Tatsächlich haben die Vektoren (a, b) und die gleiche Länge und sind kollinear. Die Richtungen dieser Vektoren sind entgegengesetzt, da vom Ende des Vektors [a, b] aus gesehen wird, dass die kürzeste Drehung von a nach b gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, und vom Ende des Vektors [b, a] aus im Uhrzeigersinn (Abb. 34). 3. Das Vektorprodukt hat eine Distributiv-Eigenschaft bezüglich der Addition 4. Der Zahlenfaktor A kann aus dem Vorzeichen des Vektorprodukts herausgenommen werden 6.2. Vektorprodukt von Vektoren, angegebenen Koordinaten Die Vektoren a und b seien durch ihre Koordinaten in der Basis gegeben. Unter Verwendung der Verteilungseigenschaft des Vektorprodukts finden wir das Vektorprodukt der durch die Koordinaten gegebenen Vektoren. Gemischte Arbeit. Schreiben wir die Vektorprodukte der Koordinatenorte aus (Abb. 35): Daher erhalten wir für das Vektorprodukt der Vektoren a und b aus Formel (3) den folgenden Ausdruck Determinante über den Elementen der 1. Reihe erhalten wir ( 4). Beispiele. 1. Finden Sie die Fläche des auf den Vektoren aufgebauten Parallelogramms Erforderliche Fläche Daher finden wir = von wo 2. Finden Sie die Fläche des Dreiecks (Abb. 36). Es ist klar, dass die Fläche b "d des Dreiecks JSC gleich der Hälfte der Fläche S des Parallelogramms O AC B ist. Berechnung des Vektorprodukts (a, b | der Vektoren a \u003d OA und b \u003d b \u003d ob ), erhalten wir (a, b), c) = [a, |b, c)) ist im allgemeinen Fall nicht wahr, zB gilt für a = ss j § 7. Mischprodukt von Vektoren Seien wir drei Vektoren a, b und c. Multiplizieren Sie die Vektoren a und 1> vektoriell. Als Ergebnis erhalten wir den Vektor [a, 1>]. Wir multiplizieren ihn skalar mit dem Vektor c: (k b), c. Die Zahl ( [a, b], e) heißt Mischprodukt der Vektoren a, b, c und wird mit den Symbolen (a, 1), e bezeichnet) 7.1 Die geometrische Bedeutung des Mischprodukts Lassen wir die Vektoren a, b und vom allgemeinen Punkt O (Abb. 37) Liegen alle vier Punkte O, A, B, C in der gleichen Ebene (die Vektoren a, b und c heißen in diesem Fall koplanar), dann gemischt Produkt ([a, b], c) = 0. Dies folgt daraus, dass der Vektor [a, b| senkrecht auf der Ebene steht, in der die Vektoren a und 1 liegen ", und daher der Vektor c. / Wenn t Da die Punkte O, A, B, C nicht in derselben Ebene liegen (die Vektoren a, b und c sind nicht koplanar), bauen wir ein Parallelepiped auf den Kanten OA, OB und OS (Abb. 38a). Durch die Definition des Kreuzprodukts haben wir (a,b) = So c, wobei So die Fläche des Parallelogramms OADB ist und c ein Einheitsvektor ist, der senkrecht zu den Vektoren a und b steht und so dass das Tripel a , b, c ist richtig, d.h. Die Vektoren a, b und c befinden sich jeweils als Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand (Abb. 38 b). Wenn wir beide Teile der letzten Gleichheit auf dem rechten Skalar mit dem Vektor c multiplizieren, erhalten wir das Vektorprodukt der durch die Koordinaten gegebenen Vektoren. Gemischte Arbeit. Die Zahl rc c ist gleich der Höhe h des konstruierten Parallelepipeds, genommen mit dem „+“-Zeichen, wenn der Winkel zwischen den Vektoren c und c spitz ist (das Tripel a, b, c ist rechts), und mit dem Zeichen „ -” wenn der Winkel stumpf ist (das Tripel a, b, c - links), so dass also das gemischte Produkt der Vektoren a, b und c gleich dem Volumen V des Parallelepipeds ist, das auf diesen Vektoren wie auf Kanten aufgebaut ist wenn das Tripel a, b, c rechts ist, und -V, wenn das Tripel a , b, c - links ist. Basierend auf der geometrischen Bedeutung des gemischten Produkts können wir schlussfolgern, dass wir durch Multiplizieren derselben Vektoren a, b und c in beliebiger anderer Reihenfolge immer entweder +7 oder -K erhalten. Das Zeichen der pro-Abb. 38 Referenz hängt nur davon ab, welches Triplett die multiplizierten Vektoren bilden - rechts oder links. Wenn die Vektoren a, b, c ein rechtes Tripel bilden, dann sind auch die Tripel b, c, a und c, a, b recht. Gleichzeitig werden alle drei Tripel b, a, c; a, c, b und c, b, a - links. Also (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b , a). Wir betonen noch einmal, dass das Mischprodukt von Vektoren genau dann gleich Null ist, wenn die multiplizierten Vektoren a, b, c koplanar sind: (a, b, c sind koplanar) 7.2. Gemischtes Produkt in Koordinaten Die Vektoren a, b, c seien durch ihre Koordinaten in der Basis i, j, k gegeben: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Finden wir einen Ausdruck für ihr Mischprodukt (a, b, c). Wir haben ein gemischtes Produkt von Vektoren, die durch ihre Koordinaten in der Basis i, J, k gleich der Determinante dritter Ordnung gegeben sind, deren Linien jeweils aus den Koordinaten der ersten, zweiten und dritten der multiplizierten zusammengesetzt sind Vektoren. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Komplanarität der Vektoren a y\, Z|), b = (xx, y2.22), c = (x3, uz, 23) kann in folgender Form geschrieben werden z, ar2 y2 -2 = 0. Uz-Beispiel. Prüfen Sie, ob die Vektoren v = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) koplanar sind. Die betrachteten Vektoren sind koplanar oder nicht koplanar, je nachdem, ob die Determinante gleich Null ist oder nicht. Wenn wir sie in Bezug auf die Elemente der ersten Zeile erweitern, erhalten wir 7.3. Doppelkreuzprodukt Das Doppelkreuzprodukt [a, [b, c]] ist ein Vektor senkrecht zu den Vektoren a und [b, c]. Sie liegt daher in der Ebene der Vektoren b und c und kann in diese Vektoren expandiert werden. Es kann gezeigt werden, dass die Formel [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) gilt. Aufgaben 1. Drei Vektoren AB = c, W? = o und CA = b dienen als Seiten des Dreiecks. Drücken Sie durch a, b und c die Vektoren aus, die mit den Medianen AM, DN, CP des Dreiecks zusammenfallen. 2. Welche Bedingung muss zwischen den Vektoren p und q bestehen, damit der Vektor p + q den Winkel zwischen ihnen halbiert? Es wird angenommen, dass alle drei Vektoren auf einen gemeinsamen Ursprung bezogen sind. 3. Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Parallelogramms, das auf den Vektoren a = 5p + 2q und b = p - 3q aufgebaut ist, wenn bekannt ist, dass |p| = 2v/2, |q| = 3 H-(p7ci) = f. 4. Bezeichnen Sie mit a und b die Seiten der Raute, die von einem gemeinsamen Scheitelpunkt ausgehen, und beweisen Sie, dass die Diagonalen der Raute senkrecht aufeinander stehen. 5. Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a = 4i + 7j + 3k und b = 31 - 5j + k. 6. Finde den Einheitsvektor a0 parallel zum Vektor a = (6, 7, -6). 7. Finden Sie die Projektion des Vektors a = l+ j- kHa Vektor b = 21 - j - 3k. 8. Finden Sie den Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren IS "w, wenn A (-4.0.4), B (-1.6.7), C (1.10.9). 9. Finden Sie einen Einheitsvektor p°, der gleichzeitig senkrecht auf dem Vektor a = (3, 6, 8) und der x-Achse steht. 10. Berechnen Sie den Sinus des Winkels zwischen den Diagonalen des Parallelophams, der auf den Vektoren a = 2i+J-k, b=i-3j + k wie auf den Seiten aufgebaut ist. Berechnen Sie die Höhe h des auf den Vektoren a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k aufgebauten Parallelepipeds, wenn das auf den Vektoren a und I aufgebaute Parallelogramm als Basis genommen wird). Antworten

7.1. Definition von Kreuzprodukt

Drei nicht koplanare Vektoren a , b und c , in der angegebenen Reihenfolge genommen, bilden ein rechtes Tripel, wenn vom Ende des dritten Vektors c aus gesehen wird, dass die kürzeste Drehung vom ersten Vektor a zum zweiten Vektor b gegen den Uhrzeigersinn verläuft, und eine linke im Uhrzeigersinn (siehe Abb. 16).

Das Vektorprodukt eines Vektors a und eines Vektors b heißt Vektor c, der:

1. Senkrecht zu den Vektoren a und b, also c ^ a und c ^ b;

2. Es hat eine Länge, die numerisch gleich der Fläche des Parallelogramms ist, das auf den Vektoren a und aufgebaut istb wie an den Seiten (siehe Abb. 17), d.h.

3. Die Vektoren a , b und c bilden ein rechtes Tripel.

Das Vektorprodukt wird mit a x b oder [a,b] bezeichnet. Aus der Definition eines Vektorprodukts folgen die folgenden Beziehungen zwischen den Orten i direkt, j und k(siehe Abb. 18):

ich x j \u003d k, j x k \u003d ich, k x ich \u003d j.
Lassen Sie uns zum Beispiel das beweisen ich xj \u003d k.

1) k ^ ich , k ^ j;

2) |k |=1, aber | ich x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) Vektoren i , j und k ein rechtes Tripel bilden (siehe Abb. 16).

7.2. Produktübergreifende Eigenschaften

1. Wenn die Faktoren umgestellt werden, ändert das Vektorprodukt das Vorzeichen, d. h. und xb \u003d (b xa) (siehe Abb. 19).

Die Vektoren a xb und b xa sind kollinear, haben die gleichen Module (die Fläche des Parallelogramms bleibt unverändert), sind aber entgegengesetzt gerichtet (Tripel a, b, a xb und a, b, b x a mit entgegengesetzter Orientierung). Das ist axb = -(bxa).

2. Das Vektorprodukt hat eine Kombinationseigenschaft in Bezug auf einen Skalarfaktor, d.h. l ​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Sei l > 0. Der Vektor l (a xb) steht senkrecht auf den Vektoren a und b. Vektor ( l a) x b steht auch senkrecht auf den Vektoren a und b(Vektoren a, l aber in der gleichen Ebene liegen). Also die Vektoren l(a xb) und ( l a) x b kollinear. Es ist offensichtlich, dass ihre Richtungen übereinstimmen. Sie haben die gleiche Länge:

Deshalb l(ein xb)= l ein xb. Es wird ähnlich bewiesen für l<0.

3. Zwei Nicht-Null-Vektoren a und b sind genau dann kollinear, wenn ihr Vektorprodukt gleich dem Nullvektor ist, d.h. und ||b<=>und xb \u003d 0.

Insbesondere gilt i *i =j *j =k *k =0 .

4. Das Vektorprodukt hat eine Verteilungseigenschaft:

(a+b) xs = ein xs + b xs .

Akzeptiere ohne Beweis.

7.3. Kreuzproduktausdruck in Bezug auf Koordinaten

Wir verwenden die Vektorkreuzprodukttabelle i , j und k:

Wenn die Richtung des kürzesten Weges vom ersten zum zweiten Vektor mit der Pfeilrichtung übereinstimmt, ist das Produkt gleich dem dritten Vektor, wenn es nicht übereinstimmt, wird der dritte Vektor mit einem Minuszeichen genommen.

Seien zwei Vektoren a = a x i + a y j+z k und b=bx ich+durch j+bz k. Lassen Sie uns das Vektorprodukt dieser Vektoren finden, indem wir sie als Polynome multiplizieren (gemäß den Eigenschaften des Vektorprodukts):

Die resultierende Formel kann noch kürzer geschrieben werden:

da die rechte Seite von Gleichheit (7.1) der Erweiterung der Determinante dritter Ordnung in Bezug auf die Elemente der ersten Reihe entspricht, ist Gleichheit (7.2) leicht zu merken.

7.4. Einige Anwendungen des Kreuzprodukts

Kollinearität von Vektoren feststellen

Finden der Fläche eines Parallelogramms und eines Dreiecks

Gemäß der Definition des Kreuzprodukts von Vektoren a und B |a xb | =| ein | * |b |sing , d. h. Spar = |a x b |. Und daher D S \u003d 1/2 | a x b |.

Bestimmung des Kraftmoments um einen Punkt

An Punkt A soll eine Kraft aufgebracht werden F = AB Loslassen Ö- Irgendein Punkt im Raum (siehe Abb. 20).

Das ist aus der Physik bekannt Drehmoment F relativ zum Punkt Ö Vektor genannt M , die durch den Punkt geht Ö und:

1) senkrecht zur Ebene, die durch die Punkte geht O, A, B;

2) numerisch gleich dem Produkt aus Kraft und Schulter

3) bildet mit den Vektoren OA und A B ein rechtes Tripel.

Daher M \u003d OA x F.

Bestimmung der linearen Rotationsgeschwindigkeit

Geschwindigkeit v Punkt M eines mit Winkelgeschwindigkeit rotierenden starren Körpers w um eine feste Achse wird durch die Euler-Formel v \u003d w x r bestimmt, wobei r \u003d OM, wobei O ein fester Punkt der Achse ist (siehe Abb. 21).

MISCHPRODUKT AUS DREI VEKTOREN UND IHREN EIGENSCHAFTEN

Mischprodukt drei Vektoren heißt eine Zahl gleich . Bezeichnet . Hier werden die ersten beiden Vektoren vektoriell multipliziert und dann wird der resultierende Vektor skalar mit dem dritten Vektor multipliziert. Offensichtlich ist ein solches Produkt eine Nummer.

Berücksichtigen Sie die Eigenschaften des gemischten Produkts.

1. geometrischen Sinn Mischprodukt. Das gemischte Produkt von 3 Vektoren ist bis auf ein Vorzeichen gleich dem Volumen des auf diesen Vektoren aufgebauten Parallelepipeds, wie auf Kanten, d.h. .

   So und .

   

   Nachweisen. Lassen Sie uns die Vektoren vom gemeinsamen Ursprung verschieben und ein Parallelepiped darauf bauen. Lassen Sie uns das bezeichnen und notieren. Per Definition des Skalarprodukts

   Dies vorausgesetzt und bezeichnet durch h die Höhe des Parallelepipeds finden wir .

   Also bei

   Wenn , dann und . Folglich, .

   Wenn wir diese beiden Fälle kombinieren, erhalten wir oder .

   Aus dem Beweis dieser Eigenschaft folgt insbesondere, dass wenn das Vektortripel rechts ist, dann das gemischte Produkt , und wenn es links ist, dann .

2. Für alle Vektoren , , die Gleichheit

   Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus Eigenschaft 1. Tatsächlich ist es leicht zu zeigen, dass und . Außerdem werden die Zeichen "+" und "-" gleichzeitig genommen, weil die Winkel zwischen den Vektoren und und und sind sowohl spitz als auch stumpf.

3. Wenn zwei beliebige Faktoren vertauscht werden, ändert das gemischte Produkt das Vorzeichen.

   In der Tat, wenn wir das gemischte Produkt betrachten, dann zum Beispiel oder

4. Ein gemischtes Produkt genau dann, wenn einer der Faktoren gleich Null ist oder die Vektoren koplanar sind.

   Nachweisen.

   Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Komplanarität von 3 Vektoren ist also die Nullgleichheit ihres Mischprodukts. Außerdem folgt daraus, dass drei Vektoren eine Basis im Raum bilden, wenn .

   Wenn die Vektoren in Koordinatenform angegeben sind, kann gezeigt werden, dass ihr gemischtes Produkt durch die Formel gefunden wird:

   .

   Somit ist das Mischprodukt gleich einer Determinante dritter Ordnung, deren erste Zeile die Koordinaten des ersten Vektors enthält, deren zweite Zeile die Koordinaten des zweiten Vektors enthält und deren dritte Zeile die Koordinaten des dritten Vektors enthält.

   Beispiele.

ANALYTISCHE GEOMETRIE IM RAUM

Die gleichung F(x,y,z)= 0 definiert im Raum Oxyz etwas Oberfläche, d.h. Ort der Punkte, deren Koordinaten x, y, z diese Gleichung erfüllen. Diese Gleichung wird Oberflächengleichung genannt, und x, y, z– aktuelle Koordinaten.

Oft wird die Oberfläche jedoch nicht durch eine Gleichung definiert, sondern als eine Menge von Punkten im Raum, die die eine oder andere Eigenschaft haben. In diesem Fall ist es erforderlich, die Gleichung der Oberfläche basierend auf ihren geometrischen Eigenschaften zu finden.

FLUGZEUG.

NORMALER EBENE-VEKTOR.

GLEICHUNG EINES FLUGZEUGS, DAS DURCH EINEN GEGEBENEN PUNKT PASSIERT

Betrachten Sie eine beliebige Ebene σ im Raum. Seine Position wird bestimmt, indem ein Vektor senkrecht zu dieser Ebene und ein fester Punkt gesetzt werden M0(x0, ja 0, z0) in der Ebene σ liegen.

Der Vektor senkrecht zur Ebene σ heißt normal Vektor dieser Ebene. Lassen Sie den Vektor Koordinaten haben.

Wir leiten die Gleichung für die Ebene σ her, die durch den gegebenen Punkt geht M0 und mit einem Normalenvektor . Nehmen Sie dazu einen beliebigen Punkt auf der Ebene σ M(x,y,z) und betrachte den Vektor .

Für jeden Punkt MÎ σ Vektor, daher ist ihr Skalarprodukt gleich Null. Diese Gleichheit ist die Bedingung, dass der Punkt MÎ σ. Sie gilt für alle Punkte dieser Ebene und wird verletzt, sobald der Punkt verletzt wird M außerhalb der Ebene σ liegen.

Wenn wir die Punkte mit dem Radiusvektor bezeichnen M, ist der Radiusvektor des Punktes M0, dann kann die Gleichung geschrieben werden als

Diese Gleichung heißt Vektor Ebenengleichung. Schreiben wir es in Koordinatenform. Seit damals

Wir haben also die Gleichung der Ebene erhalten, die durch den gegebenen Punkt geht. Um also die Gleichung der Ebene aufzustellen, müssen Sie die Koordinaten des Normalenvektors und die Koordinaten eines Punktes kennen, der auf der Ebene liegt.

Beachten Sie, dass die Gleichung der Ebene eine Gleichung 1. Grades in Bezug auf die aktuellen Koordinaten ist x, y und z.

Beispiele.

ALLGEMEINE GLEICHUNG DER EBENE

Es kann gezeigt werden, dass jede Gleichung ersten Grades in Bezug auf kartesische Koordinaten gilt x, y, z ist eine Gleichung einer Ebene. Diese Gleichung wird geschrieben als:

Ax+By+Cz+D=0

und angerufen allgemeine Gleichung Ebene und die Koordinaten A, B, C Hier sind die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene.

Betrachten wir Sonderfälle der allgemeinen Gleichung. Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die Ebene relativ zum Koordinatensystem befindet, wenn ein oder mehrere Koeffizienten der Gleichung verschwinden.

A ist die Länge des Segments, das von der Ebene auf der Achse abgeschnitten wird Ochse. Genauso kann man das zeigen b und c sind die Längen der Segmente, die von der betrachteten Ebene auf den Achsen abgeschnitten werden Ey und Unze.

Es ist praktisch, die Gleichung einer Ebene in Segmenten zum Konstruieren von Ebenen zu verwenden.