Die Höhe der Box-Vektoren. Kreuzprodukt von Vektoren

Betrachten Sie das Produkt von Vektoren , und , wie folgt zusammengesetzt:
. Hier werden die ersten beiden Vektoren vektoriell multipliziert und ihr Ergebnis skalar mit dem dritten Vektor multipliziert. Ein solches Produkt wird Vektor-Skalar- oder gemischtes Produkt aus drei Vektoren genannt. Mischprodukt ist eine Zahl.

Lassen Sie uns die geometrische Bedeutung des Ausdrucks herausfinden
.

Satz . Das gemischte Produkt von drei Vektoren ist gleich dem Volumen des auf diesen Vektoren aufgebauten Parallelepipeds, mit einem Pluszeichen genommen, wenn diese Vektoren ein rechtes Tripel bilden, und mit einem Minuszeichen, wenn sie ein linkes Tripel bilden.

Nachweisen.. Wir konstruieren ein Parallelepiped, dessen Kanten die Vektoren sind , , und Vektor
.

Wir haben:
,
, wo - Bereich des auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms und ,
für das rechte Tripel von Vektoren und
für links, wo
ist die Höhe des Parallelepipeds. Wir bekommen:
, d.h.
, wo - das Volumen des von den Vektoren gebildeten Parallelepipeds , und .

Gemischte Produkteigenschaften

1. Das gemischte Produkt ändert sich nicht wann zyklisch Permutation seiner Faktoren, d.h. .

Tatsächlich ändern sich in diesem Fall weder das Volumen des Parallelepipeds noch die Ausrichtung seiner Kanten.

2. Das Mischprodukt ändert sich nicht, wenn die Vorzeichen von Vektor- und Skalarmultiplikation vertauscht werden, d.h.
.

Wirklich,
und
. Wir nehmen das gleiche Zeichen auf der rechten Seite dieser Gleichheiten, da die Tripel von Vektoren , , und , , - eine Ausrichtung.

Folglich,
. Damit können wir das gemischte Produkt von Vektoren schreiben
als
ohne Vorzeichen des Vektors, Skalarmultiplikation.

3. Das gemischte Produkt ändert das Vorzeichen, wenn zwei beliebige Faktorvektoren die Plätze wechseln, d.h.
,
,
.

Tatsächlich ist eine solche Permutation äquivalent zu einer Permutation der Faktoren im Vektorprodukt, die das Vorzeichen des Produkts ändert.

4. Mischprodukt von Vektoren ungleich Null , und ist genau dann Null, wenn sie koplanar sind.

2.12. Berechnung des Mischprodukts in Koordinatenform auf orthonormaler Basis

Lassen Sie die Vektoren
,
,
. Lassen Sie uns ihr gemischtes Produkt finden, indem wir Ausdrücke in Koordinaten für Vektor- und Skalarprodukte verwenden:

. (10)

Die resultierende Formel kann kürzer geschrieben werden:

da die rechte Seite der Gleichheit (10) die Erweiterung der Determinante dritter Ordnung in Bezug auf die Elemente der dritten Reihe ist.

Das gemischte Produkt von Vektoren ist also gleich der Determinante dritter Ordnung, die sich aus den Koordinaten der multiplizierten Vektoren zusammensetzt.

2.13 Einige Anwendungen des Mischprodukts

Bestimmung der relativen Orientierung von Vektoren im Raum

Bestimmung der relativen Orientierung von Vektoren , und basierend auf den folgenden Überlegungen. Wenn ein
, dann , , - rechts drei wenn
, dann , , - Links drei.

Komplanaritätsbedingung für Vektoren

Vektoren , und sind genau dann koplanar, wenn ihr Mischprodukt Null ist (
,
,
):

Vektoren , , koplanar.

Bestimmung der Volumina eines Quaders und einer dreieckigen Pyramide

Es ist leicht zu zeigen, dass das Volumen eines Parallelepipeds auf Vektoren aufgebaut ist , und wird berechnet als
, und das Volumen der dreieckigen Pyramide, die auf denselben Vektoren aufgebaut ist, ist gleich
.

Beispiel 1 Beweisen Sie, dass die Vektoren
,
,
koplanar.

Lösung. Finden wir das gemischte Produkt dieser Vektoren mit der Formel:

Das bedeutet, dass die Vektoren
koplanar.

Beispiel 2 Gegeben die Eckpunkte eines Tetraeders: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Finden Sie die Länge seiner Höhe, die vom Scheitelpunkt abfällt .

Lösung. Lassen Sie uns zuerst das Volumen des Tetraeders finden
. Nach der Formel erhalten wir:

Da die Determinante eine negative Zahl ist, müssen Sie in diesem Fall ein Minuszeichen vor die Formel setzen. Folglich,
.

Der gewünschte Wert h aus der Formel bestimmen
, wo S - Grundfläche. Lassen Sie uns den Bereich bestimmen S:

Weil die

Einsetzen in die Formel
Werte
und
, wir bekommen h= 3.

Beispiel 3 Bilden sich Vektoren
Basis im Weltraum? Vektor zerlegen
auf der Basis von Vektoren .

Lösung. Bilden die Vektoren eine Basis im Raum, dann liegen sie nicht in der gleichen Ebene, d.h. sind nicht koplanar. Finden Sie das gemischte Produkt von Vektoren
:
,

Daher sind die Vektoren nicht koplanar und bilden eine Basis im Raum. Wenn Vektoren eine Basis im Raum bilden, dann jeder Vektor kann als Linearkombination von Basisvektoren dargestellt werden, nämlich
,wo
Vektorkoordinaten auf Vektorbasis
. Lassen Sie uns diese Koordinaten finden, indem wir das Gleichungssystem zusammenstellen und lösen

Wir haben es mit der Gauß-Methode gelöst

Von hier
. Dann .

Auf diese Weise,
.

Beispiel 4 Die Spitzen der Pyramide sind an den Punkten:
,
,
,
. Berechnung:

a) Gesichtsbereich
;

b) das Volumen der Pyramide
;

c) Vektorprojektion
in Richtung des Vektors
;

d) Winkel
;

e) Überprüfen Sie, ob die Vektoren
,
,
koplanar.

Lösung

a) Aus der Definition eines Kreuzprodukts ist bekannt:

Vektoren finden
und
, mit der Formel

,
.

Für Vektoren, die durch ihre Projektionen definiert sind, wird das Vektorprodukt durch die Formel gefunden

, wo
.

Für unseren Fall

Wir finden die Länge des resultierenden Vektors mit der Formel

,
.

und dann
(Quadrateinheiten).

b) Das Mischprodukt dreier Vektoren ist betragsmäßig gleich dem Volumen des auf den Vektoren aufgebauten Parallelepipeds , , wie auf den Rippen.

Das Mischprodukt wird nach folgender Formel berechnet:

Lassen Sie uns die Vektoren finden
,
,
, die mit den Rändern der Pyramide zusammenfallen und nach oben zusammenlaufen :

Das Mischprodukt dieser Vektoren

Da das Volumen der Pyramide gleich dem Teil des Volumens des auf den Vektoren aufgebauten Parallelepipeds ist
,
,
, dann
(Kubikeinheiten).

c) Verwendung der Formel
, die das Skalarprodukt von Vektoren definiert , , kann so geschrieben werden:

wo
oder
;

oder
.

Um die Projektion des Vektors zu finden
in Richtung des Vektors
Finden Sie die Koordinaten der Vektoren
,
, und wenden Sie dann die Formel an

wir bekommen

d) Um den Winkel zu finden
Vektoren definieren
,
, die an diesem Punkt einen gemeinsamen Ursprung haben :

Dann nach der Skalarproduktformel

e) Reihenfolge für die drei Vektoren

,
,

koplanar sind, ist es notwendig und ausreichend, dass ihr Mischprodukt gleich Null ist.

In unserem Fall haben wir
.

Daher sind die Vektoren koplanar.

Für die Vektoren , und , angegebenen Koordinaten, , wird das Mischprodukt nach folgender Formel berechnet: .

Mischprodukt wird verwendet: 1) um die Volumina eines Tetraeders und eines Parallelepipeds zu berechnen, die auf den Vektoren , und , wie auf Kanten, nach der Formel aufgebaut sind: ; 2) als Bedingung für die Komplanarität der Vektoren , und : und sind koplanar.

Thema 5. Linien im Flugzeug.

Normaler Linienvektor , wird jeder Vektor ungleich Null aufgerufen, der senkrecht zur gegebenen Linie steht. Richtungsvektor gerade , wird jeder Nicht-Null-Vektor parallel zur gegebenen Linie aufgerufen.

Gerade auf der Oberfläche im Koordinatensystem kann durch eine Gleichung eines der folgenden Typen gegeben sein:

1) - allgemeine Gleichung gerade Linie, wobei der Normalenvektor der geraden Linie ist;

2) - die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft, der senkrecht zu einem gegebenen Vektor steht;

3) - Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft ( kanonische gleichung );

4) - Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei gegebene Punkte geht , ;

5) - Liniengleichungen mit Gefälle , wo ist der Punkt, durch den die Gerade verläuft; () - der Winkel, den die Linie mit der Achse bildet; - die Länge des Segments (mit dem Zeichen ), das durch eine gerade Linie auf der Achse abgeschnitten wird (Zeichen „ “, wenn das Segment auf dem positiven Teil der Achse abgeschnitten ist, und „ “, wenn es auf dem negativen Teil ist).

6) - Gerade Gleichung in Schnitten, wobei und die Längen der Segmente (mit dem Vorzeichen ) sind, die durch eine gerade Linie auf den Koordinatenachsen abgeschnitten werden, und (das Vorzeichen „ “, wenn das Segment auf dem positiven Teil der Achse abgeschnitten ist, und „ “, wenn es auf dem negativen Teil ist ).

Abstand von Punkt zu Linie , gegeben durch die allgemeine Gleichung in der Ebene, wird durch die Formel gefunden:

Ecke , ( )zwischen geraden Linien und , gegeben durch allgemeine Gleichungen oder Gleichungen mit Steigung, wird durch eine der folgenden Formeln gefunden:

Ich für .

Ich für

Koordinaten des Schnittpunkts von Linien und werden als Lösung eines linearen Gleichungssystems gefunden: oder .

Thema 10. Sets. Numerische Mengen. Funktionen.

Unter viele eine bestimmte Menge von Objekten jeglicher Art verstehen, die voneinander unterscheidbar und als ein Ganzes denkbar sind. Die Objekte, aus denen eine Menge besteht, nennen sie Elemente . Eine Menge kann unendlich sein (besteht aus unendlich vielen Elementen), endlich (besteht aus endlich vielen Elementen), leer (enthält kein einziges Element). Mengen werden mit bezeichnet und ihre Elemente mit . Die leere Menge wird mit bezeichnet.

Anruf einstellen Teilmenge set wenn alle Elemente der Menge zur Menge gehören und schreibe .

Setzt und callt gleich , wenn sie aus denselben Elementen bestehen und schreiben . Zwei Sätze und sind genau dann gleich, wenn und .

Anruf einstellen Universal- (im Rahmen dieser mathematischen Theorie) , wenn seine Elemente alle in dieser Theorie betrachteten Objekte sind.

Viele können eingestellt werden: 1) Aufzählung aller seiner Elemente, zum Beispiel: (nur für endliche Mengen); 2) durch Festlegen einer Regel zur Bestimmung, ob ein Element einer universellen Menge zu einer gegebenen Menge gehört: .

Verband

Kreuzung Mengen und heißt Menge

Unterschied Mengen und heißt Menge

Ergänzung Mengen (bis auf eine universelle Menge) werden als Menge bezeichnet.

Die beiden Sätze und werden aufgerufen gleichwertig und schreiben Sie ~, wenn eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen den Elementen dieser Mengen hergestellt werden kann. Der Satz wird aufgerufen zählbar , wenn es der Menge der natürlichen Zahlen entspricht : ~ . Die leere Menge ist per Definition abzählbar.

Gültig (real) Nummer wird als unendlicher Dezimalbruch bezeichnet, der mit dem Zeichen "+" oder "" genommen wird. Reelle Zahlen werden durch Punkte auf dem Zahlenstrahl identifiziert.

Modul (Absolutwert) einer reellen Zahl ist eine nicht negative Zahl:

Der Satz wird aufgerufen numerisch wenn seine Elemente reelle Zahlen sind. Numerisch in Intervallen heißen Mengen

Zahlen: , , , , , , , , .

Die Menge aller Punkte auf dem Zahlenstrahl, die die Bedingung erfüllen, wobei eine beliebig kleine Zahl ist, heißt -Nachbarschaft (oder nur eine Umgebung) eines Punktes und wird mit bezeichnet. Die Menge aller Punkte durch die Bedingung , wobei eine beliebig große Zahl ist, heißt - Nachbarschaft (oder nur eine Nachbarschaft) von unendlich und wird mit bezeichnet.

Eine Größe, die den gleichen Zahlenwert behält, wird aufgerufen Konstante. Es wird eine Größe genannt, die unterschiedliche Zahlenwerte annimmt Variable. Funktion heißt die regel, nach der jeder nummer eine genau definierte nummer zugeordnet wird, und sie schreiben. Der Satz wird aufgerufen Definitionsbereich Funktionen, - viele ( oder Region ) Werte Funktionen, - Streit , - Funktionswert . Die gebräuchlichste Art, eine Funktion anzugeben, ist die analytische Methode, bei der die Funktion durch eine Formel angegeben wird. natürliche Domäne Funktion ist die Wertemenge des Arguments, für die diese Formel sinnvoll ist. Funktionsgraph , in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, ist die Menge aller Punkte der Ebene mit den Koordinaten , .

Die Funktion wird aufgerufen eben auf der Menge , symmetrisch in Bezug auf den Punkt , wenn die folgende Bedingung für alle erfüllt ist: und seltsam wenn die Bedingung erfüllt ist. Ansonsten eine generische Funktion bzw weder gerade noch ungerade .

Die Funktion wird aufgerufen Zeitschrift auf dem Set, wenn es eine Nummer gibt ( Funktionszeitraum ), sodass die folgende Bedingung für alle erfüllt ist: . Die kleinste Zahl wird Hauptperiode genannt.

Die Funktion wird aufgerufen monoton steigend (abnehmend ) auf der Menge, wenn der größere Wert des Arguments dem größeren (kleineren) Wert der Funktion entspricht.

Die Funktion wird aufgerufen begrenzt auf der Menge , wenn es eine solche Zahl gibt , dass die folgende Bedingung für alle erfüllt ist : . Ansonsten ist die Funktion unbegrenzt .

Umkehren Funktionieren , , ist eine Funktion, die auf einem Satz definiert ist und jedem so zuweist, dass . Um die Funktion zu finden, die invers zur Funktion ist , du musst die gleichung lösen verhältnismäßig . Wenn die Funktion , streng monoton ist, dann hat sie immer eine Umkehrfunktion, und wenn die Funktion zunimmt (abnimmt), dann nimmt auch die Umkehrfunktion zu (ab).

Eine Funktion, die als dargestellt wird, wobei einige Funktionen so sind, dass der Definitionsbereich der Funktion den gesamten Wertesatz der Funktion enthält, wird aufgerufen komplexe Funktion unabhängige Argumentation. Die Variable wird als Zwischenargument bezeichnet. Eine komplexe Funktion wird auch als Komposition aus Funktionen und bezeichnet und geschrieben: .

Grundlegend Funktionen sind: Energie Funktion, Demonstration Funktion ( , ), logarithmisch Funktion ( , ), trigonometrisch Funktionen , , , , inverse trigonometrisch Funktionen , , , . Elementar heißt eine Funktion, die aus elementaren Grundfunktionen durch eine endliche Anzahl ihrer arithmetischen Operationen und Zusammensetzungen erhalten wird.

Der Graph der Funktion ist eine Parabel mit Scheitelpunkt bei , deren Zweige bei nach oben oder bei nach unten gerichtet sind.

In einigen Fällen ist es beim Erstellen eines Funktionsgraphen ratsam, seinen Definitionsbereich in mehrere sich nicht schneidende Intervalle zu unterteilen und nacheinander einen Graphen auf jedem von ihnen zu erstellen.

Jede geordnete Menge reeller Zahlen wird aufgerufen Punktdimensionale Arithmetik (Koordinate) Platz und bezeichnet oder , während die Zahlen seine genannt werden Koordinaten .

Seien und einige Mengen von Punkten und . Wenn jedem Punkt nach irgendeiner Regel eine wohldefinierte reelle Zahl zugeordnet wird, dann sagen sie, dass eine numerische Funktion von Variablen auf der Menge gegeben ist, und schreiben oder kurz und , während sie aufgerufen werden Definitionsbereich , - Satz von Werten , - Argumente (unabhängige Variablen) Funktionen.

Eine Funktion von zwei Variablen wird oft bezeichnet, eine Funktion von drei Variablen -. Der Definitionsbereich einer Funktion ist eine bestimmte Menge von Punkten in der Ebene, Funktionen sind eine bestimmte Menge von Punkten im Raum.

Thema 7. Numerische Folgen und Reihen. Sequenzlimit. Grenze einer Funktion und Stetigkeit.

Wenn nach einer bestimmten Regel jeder natürlichen Zahl eine wohldefinierte reelle Zahl zugeordnet ist, dann sagt man das Zahlenfolge . Kurz bezeichnen. Die Nummer wird angerufen gemeinsames Glied der Folge . Eine Folge wird auch als Funktion eines natürlichen Arguments bezeichnet. Eine Folge enthält immer unendlich viele Elemente, von denen einige gleich sein können.

Die Nummer wird angerufen Sequenzlimit , und schreiben Sie , ob es für jede Zahl eine Zahl gibt , bei der die Ungleichung für alle erfüllt ist .

Eine Folge, die einen endlichen Grenzwert hat, wird aufgerufen konvergierend , sonst - abweichend .

: 1) abnehmend , wenn ; 2) zunehmend , wenn ; 3) nicht abnehmend , wenn ; 4) nicht steigend , wenn . Alle oben genannten Sequenzen werden aufgerufen eintönig .

Die Sequenz wird aufgerufen begrenzt , wenn es eine solche Zahl gibt, dass die folgende Bedingung für alle erfüllt ist: . Ansonsten ist die Reihenfolge unbegrenzt .

Jede monoton beschränkte Folge hat einen Grenzwert ( Satz von Weierstraß).

Die Sequenz wird aufgerufen unendlich klein , wenn . Die Sequenz wird aufgerufen unendlich groß (gegen unendlich konvergierend) wenn .

Nummer heißt der Grenzwert der Folge, wobei

Die Konstante wird als Non-Peer-Nummer bezeichnet. Der Basislogarithmus einer Zahl heißt natürlicher Logarithmus einer Zahl und wird mit bezeichnet.

Ein Ausdruck der Form , wobei eine Zahlenfolge ist, wird aufgerufen Zahlenreihe und gekennzeichnet sind. Die Summe der ersten Terme der Reihe wird aufgerufen te Teilsumme die Zeile.

Die Zeile wird aufgerufen konvergierend wenn es eine endliche Grenze gibt und abweichend wenn die Grenze nicht existiert. Die Nummer wird angerufen die Summe einer konvergenten Reihe , beim Schreiben.

Wenn die Reihe konvergiert, dann (ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz der Reihe ) . Die Umkehrung ist nicht wahr.

Wenn , dann divergiert die Reihe ( ein hinreichendes Kriterium für die Divergenz der Reihe ).

Verallgemeinerte harmonische Reihe heißt eine Reihe, die bei konvergiert und bei divergiert.

Geometrische Reihe Nennen Sie eine Reihe, die bei konvergiert, während ihre Summe gleich ist und bei divergiert. Finden Sie eine Zahl oder ein Symbol. (linke Halbnachbarschaft, rechte Halbnachbarschaft) und

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Kreuzprodukt von Vektoren und Mischprodukt von Vektoren (direkter Link für diejenigen, die es brauchen). Es ist okay, es passiert manchmal, dass für das vollkommene Glück zusätzlich dazu Skalarprodukt von Vektoren, es wird immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Es mag scheinen, als würden wir in die Wildnis klettern Analytische Geometrie. Das ist nicht so. In diesem Bereich der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Brennholz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr verbreitet und einfach – kaum schwieriger als das Gleiche Skalarprodukt, auch wird es weniger typische Aufgaben geben. Die Hauptsache in der analytischen Geometrie ist, wie viele sehen werden oder bereits gesehen haben, BERECHNUNGEN NICHT ZU FEHLEN. Wiederholen Sie wie ein Zauber, und Sie werden glücklich sein =)

Wenn die Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, spielt es keine Rolle, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Bereitere Leser können sich selektiv mit den Informationen vertraut machen, ich habe versucht, die vollständigste Sammlung von Beispielen zu sammeln, die häufig in gefunden werden praktische Arbeit

Was wird dich glücklich machen? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt brauchen wir überhaupt nicht mehr zu jonglieren, da wir überlegen werden nur Raumvektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Wieso den? So wurden diese Aktionen geboren - der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Schon einfacher!

Bei dieser Operation gilt wie beim Skalarprodukt zwei Vektoren. Lass es unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet auf die folgende Weise: . Es gibt andere Möglichkeiten, aber ich bin es gewohnt, das Kreuzprodukt von Vektoren auf diese Weise in eckigen Klammern mit einem Kreuz zu bezeichnen.

Und sofort Frage: wenn drin Skalarprodukt von Vektoren es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Ein deutlicher Unterschied zunächst im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist eine ZAHL:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist ein VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Verein. Eigentlich daher der Name der Operation. In verschiedenen pädagogische Literatur die Schreibweise kann auch variieren, ich werde den Buchstaben verwenden.

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst wird es eine Definition mit einem Bild geben, dann Kommentare.

Definition: Kreuzprodukt nicht kollinear Vektoren , in dieser Reihenfolge aufgenommen, heißt VEKTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, aufgebaut auf diesen Vektoren; Vektor orthogonal zu Vektoren, und ist so ausgerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Wir analysieren die Definition nach Knochen, es gibt viele interessante Dinge!

Daher können wir die folgenden wichtigen Punkte hervorheben:

1) Quellvektoren, gekennzeichnet durch rote Pfeile, per Definition nicht kollinear. Es wird angebracht sein, den Fall kollinearer Vektoren etwas später zu betrachten.

2) Vektoren genommen in strenger Reihenfolge: – "a" wird mit "be" multipliziert, nicht "sein" zu "ein". Das Ergebnis der Vektormultiplikation VECTOR ist, was blau dargestellt ist. Wenn die Vektoren multipliziert werden mit umgekehrte Reihenfolge, dann erhalten wir einen Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (rote Farbe). Das heißt, die Gleichberechtigung .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Dies ist ein sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und daher des purpurroten Vektors ) ist numerisch gleich der FLÄCHE des Parallelogramms, das auf den Vektoren aufgebaut ist. In der Figur ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Kreuzprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Wir erinnern uns an eine der geometrischen Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Daher gilt auf der Grundlage des Vorstehenden die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts:

Ich betone, dass wir in der Formel über die LÄNGE des Vektors sprechen und nicht über den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist so, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms häufig durch das Konzept eines Vektorprodukts gefunden wird:

Wir erhalten die zweite wichtige Formel. Die Diagonale des Parallelogramms (rot gepunktete Linie) teilt es in zwei gleiche Dreiecke. Daher kann die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) durch die Formel gefunden werden:

4) Eine ebenso wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist, das heißt . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (roter Pfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren .

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In einer Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich darüber gesprochen Ebenenorientierung, und jetzt werden wir herausfinden, wie die Ausrichtung des Raums ist. Ich werde es an deinen Fingern erklären rechte Hand. Kombiniere gedanklich Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger in deine Handfläche drücken. Ergebend Daumen - Das Vektorprodukt wird nach oben schauen. Dies ist die rechtsorientierte Basis (sie ist in der Abbildung). Vertausche nun die Vektoren ( Zeige- und Mittelfinger) an einigen Stellen dreht sich der Daumen daher um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Vielleicht haben Sie eine Frage: Welche Basis hat eine linke Orientierung? „Ordnen“ Sie dieselben Finger zu linke Hand vectors und erhalten die linke Basis und die linke Raumorientierung (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Bildlich gesprochen „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum in verschiedene Richtungen. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt angesehen werden - zum Beispiel ändert der gewöhnlichste Spiegel die Ausrichtung des Raums, und wenn Sie „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel ziehen“, ist dies im Allgemeinen nicht möglich Kombiniere es mit dem „Original“. Übrigens, drei Finger zum Spiegel bringen und die Spiegelung analysieren ;-)

... wie gut es ist, dass Sie jetzt Bescheid wissen rechts und links orientiert Grundlagen, denn die Aussagen einiger Dozenten zum Orientierungswechsel sind furchtbar =)

Vektorprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde im Detail ausgearbeitet, es bleibt herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, dann können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich solcher, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist Null. Das Gleiche folgt aus der Formel - der Sinus von Null oder 180 Grad ist gleich Null, was bedeutet, dass die Fläche Null ist

Also, wenn, dann und . Bitte beachten Sie, dass das Kreuzprodukt selbst gleich dem Nullvektor ist, aber in der Praxis wird dies oft vernachlässigt und geschrieben, dass es auch gleich Null ist.

Ein Sonderfall ist das Vektorprodukt eines Vektors und sich selbst:

Mit dem Kreuzprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen, wir werden unter anderem auch dieses Problem analysieren.

Um praktische Beispiele zu lösen, kann es notwendig sein trigonometrische Tabelle daraus die Werte der Sinus zu finden.

Nun, lass uns ein Feuer machen:

Beispiel 1

a) Finden Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines Parallelogramms, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Lösung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Anfangsdaten in den Konditionspositionen absichtlich gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, zu finden Länge Vektor (Vektorprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Da nach der Länge gefragt wurde, geben wir in der Antwort die Dimension - Einheiten an.

b) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, zu finden Quadrat Parallelogramm, das auf Vektoren aufgebaut ist. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Kreuzprodukts:

Antworten:

Bitte beachten Sie, dass in der Antwort über das Vektorprodukt überhaupt nicht die Rede ist, nach der wir gefragt wurden Figurenbereich, die Dimension ist jeweils Quadrateinheiten.

Wir schauen immer, WAS von der Bedingung gefunden werden soll und formulieren darauf aufbauend klar Antworten. Es mag wie Wörtlichkeit erscheinen, aber unter den Lehrern gibt es genügend Literalisten, und die Aufgabe mit guten Chancen wird zur Überarbeitung zurückgegeben. Das ist zwar kein besonders angestrengter Spitzbub – ist die Antwort falsch, dann entsteht der Eindruck, dass die Person einfache Dinge nicht versteht und/oder das Wesentliche der Aufgabe nicht verstanden hat. Dieser Moment sollte immer unter Kontrolle gehalten werden, um jedes Problem in der höheren Mathematik und auch in anderen Fächern zu lösen.

Wo ist der große Buchstabe "en" geblieben? Im Prinzip könnte man die Lösung zusätzlich ankleben, aber um die Aufzeichnung zu verkürzen, habe ich das nicht gemacht. Ich hoffe jeder versteht das und ist die Bezeichnung gleich.

Ein beliebtes Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt ist in den Kommentaren zur Definition angegeben. Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr verbreitet, Dreiecke können generell gequält werden.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Kreuzprodukts von Vektoren

Wir haben bereits einige Eigenschaften des Vektorprodukts betrachtet, aber ich werde sie in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften meist nicht ausgezeichnet, ist aber praktisch sehr wichtig. So lass es sein.

2) - Die Eigenschaft wird auch oben besprochen, manchmal wird sie genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten, die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) - Kombination oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Die Konstanten lassen sich leicht aus den Grenzen des Vektorprodukts herausnehmen. Wirklich, was machen die da?

4) - Verteilung oder Verteilung Vektorproduktgesetze. Auch beim Öffnen von Klammern gibt es keine Probleme.

Betrachten Sie zur Demonstration ein kurzes Beispiel:

Beispiel 3

Finde wenn

Lösung: Als Bedingung ist es wieder erforderlich, die Länge des Vektorprodukts zu finden. Malen wir unsere Miniatur:

(1) Gemäß den Assoziativgesetzen entfernen wir die Konstanten jenseits der Grenzen des Vektorprodukts.

(2) Wir nehmen die Konstante aus dem Modul heraus, während das Modul das Minuszeichen „frisst“. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Das Folgende ist klar.

Antworten:

Es ist Zeit, Holz ins Feuer zu werfen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Lösung: Finden Sie die Fläche eines Dreiecks mit der Formel . Der Haken ist, dass die Vektoren "ce" und "te" selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert etwas an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion. Skalarprodukt von Vektoren. Lassen Sie es uns zur Verdeutlichung in drei Schritte unterteilen:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt durch das Vektorprodukt aus, tatsächlich Drücken Sie den Vektor durch den Vektor aus. Noch kein Wort zur Länge!

(1) Wir ersetzen Ausdrücke von Vektoren .

(2) Unter Verwendung der Verteilungsgesetze öffnen wir die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Unter Verwendung der Assoziativgesetze entfernen wir alle Konstanten jenseits der Vektorprodukte. Mit wenig Erfahrung können die Aktionen 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Der erste und der letzte Term sind aufgrund der angenehmen Eigenschaft gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Antikommutativitätseigenschaft des Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Bedingungen.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt finden wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion ähnelt Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Schritte 2-3 der Lösung könnten in einer Zeile angeordnet werden.

Antworten:

Das betrachtete Problem ist ziemlich häufig in Kontrollarbeit, hier ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 5

Finde wenn

Kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, eingegeben orthonormale Basis , wird durch die Formel ausgedrückt:

Die Formel ist ganz einfach: Wir schreiben die Koordinatenvektoren in die oberste Zeile der Determinante, wir „packen“ die Koordinaten der Vektoren in die zweite und dritte Zeile und wir setzen in strenger Reihenfolge- zuerst die Koordinaten des Vektors "ve", dann die Koordinaten des Vektors "double-ve". Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten auch die Linien vertauscht werden:

Beispiel 10

Prüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
a)
b)

Lösung: Der Test basiert auf einer der Aussagen in dieser Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Kreuzprodukt Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Die Vektoren sind also nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antworten: a) nicht kollinear, b)

Hier sind vielleicht alle grundlegenden Informationen über das Vektorprodukt von Vektoren.

Dieser Abschnitt wird nicht sehr groß sein, da es wenige Probleme gibt, wo das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich wird alles auf der Definition, der geometrischen Bedeutung und einigen Arbeitsformeln beruhen.

Das Mischprodukt von Vektoren ist das Produkt von drei Vektoren:

So stellen sie sich wie ein Zug an und warten, sie können es kaum erwarten, bis sie berechnet werden.

Erstmal nochmal Definition und Bild:

Definition: Mischprodukt nicht koplanar Vektoren , in dieser Reihenfolge aufgenommen, wird genannt Volumen des Parallelepipeds, die auf diesen Vektoren aufgebaut sind, versehen mit einem "+"-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem "-"-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind durch eine gepunktete Linie gezeichnet:

Tauchen wir ein in die Definition:

2) Vektoren genommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Permutation von Vektoren im Produkt bleibt, wie Sie sich vielleicht denken können, nicht ohne Folgen.

3) Bevor ich die geometrische Bedeutung kommentiere, werde ich die offensichtliche Tatsache anmerken: das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der pädagogischen Literatur mag das Design etwas anders sein, ich habe früher ein Mischprodukt durch und das Ergebnis von Berechnungen mit dem Buchstaben "pe" bezeichnet.

Per Definition das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Figur ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl ist gleich dem Volumen des gegebenen Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Lassen Sie uns nicht noch einmal mit dem Konzept der Ausrichtung der Basis und des Raums weitermachen. Der letzte Teil hat die Bedeutung, dass der Lautstärke ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. Vereinfacht ausgedrückt kann das Mischprodukt negativ sein: .

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds folgt direkt aus der Definition.

Für die Vektoren , und , gegeben durch ihre Koordinaten , , wird das gemischte Produkt durch die Formel berechnet: .

Thema 5. Gerade Linien und Ebenen.

Gerade auf der Oberfläche

1) - allgemeine Gleichung gerade Linie, wobei der Normalenvektor der geraden Linie ist;

2) - die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft, der senkrecht zu einem gegebenen Vektor steht;

3) kanonische gleichung );

Abstand von Punkt zu Linie , gegeben durch die allgemeine Gleichung in der Ebene, wird durch die Formel gefunden:

Ecke , ( )zwischen geraden Linien und , gegeben durch allgemeine Gleichungen oder Gleichungen mit Steigung, wird durch eine der folgenden Formeln gefunden:

Ich für .

Ich für

Koordinaten des Schnittpunkts von Linien und werden als Lösung eines linearen Gleichungssystems gefunden: oder .

Der Normalenvektor der Ebene , wird jeder Vektor ungleich Null aufgerufen, der senkrecht zur gegebenen Ebene steht.

Ebene im Koordinatensystem kann durch eine Gleichung eines der folgenden Typen gegeben sein:

1) - allgemeine Gleichung Ebene, wo ist der Normalenvektor der Ebene;

2) - die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt verläuft, der senkrecht zum gegebenen Vektor steht;

3) - Gleichung der Ebene, die durch drei Punkte geht, und ;

4) - Ebenengleichung in Schnitten, wobei , und die Längen der Segmente (mit dem Vorzeichen ) sind, die von der Ebene auf den Koordinatenachsen abgeschnitten werden, und (Vorzeichen „ “, wenn das Segment auf dem positiven Teil der Achse abgeschnitten ist, und „ “, wenn es auf dem negativen Teil ist ).

Abstand von Punkt zu Ebene , gegeben durch die allgemeine Gleichung , wird durch die Formel gefunden:

Ecke ,( )zwischen Flugzeugen und , gegeben durch allgemeine Gleichungen, wird durch die Formel gefunden:

Gerade im Weltraum im Koordinatensystem kann durch eine Gleichung eines der folgenden Typen gegeben sein:

1) - allgemeine Gleichung eine gerade Linie als Schnittlinien zweier Ebenen, wobei und die Normalenvektoren der Ebenen und sind;

2) - Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft ( kanonische gleichung );

3) - Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei gegebene Punkte geht , ;

4) - Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft, ( parametrische Gleichung );

Ecke , ( ) zwischen geraden Linien und im Weltraum , gegeben durch kanonische Gleichungen, wird durch die Formel gefunden:

Die Koordinaten des Schnittpunkts der Linie , gegeben durch die Parametergleichung und Flugzeug , gegeben durch die allgemeine Gleichung, werden als Lösung des linearen Gleichungssystems gefunden: .

Ecke , ( ) zwischen der Zeile , gegeben durch die kanonische Gleichung und Flugzeug , gegeben durch die allgemeine Gleichung, wird durch die Formel gefunden: .

Thema 6. Kurven zweiter Ordnung.

Algebraische Kurve zweiter Ordnung im Koordinatensystem heißt Kurve, allgemeine Gleichung das sieht aus wie:

wobei Zahlen - gleichzeitig nicht gleich Null sind. Es gibt die folgende Klassifizierung von Kurven zweiter Ordnung: 1) Wenn , dann definiert die allgemeine Gleichung die Kurve Elliptischer Typ (Kreis (für ), Ellipse (für ), leere Menge, Punkt); 2) wenn , dann - Kurve hyperbolischer Typ (Hyperbel, ein Paar sich schneidender Linien); 3) wenn , dann - Kurve parabolischer Typ(Parabel, leere Menge, Linie, Paar paralleler Linien). Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel werden genannt nicht entartete Kurven zweiter Ordnung.

Die allgemeine Gleichung , wobei , die eine nicht entartete Kurve (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel) definiert, kann immer (unter Verwendung der Auswahlmethode der vollständigen Quadrate) auf eine Gleichung eines der folgenden Typen reduziert werden:

1a) - Kreisgleichung um einen Punkt und Radius zentriert (Abb. 5).

1b)- die Gleichung einer Ellipse, die in einem Punkt zentriert ist, und Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen. Die Nummern und - werden aufgerufen Halbachsen einer Ellipse das Hauptrechteck der Ellipse; die Eckpunkte der Ellipse .

So erstellen Sie eine Ellipse im Koordinatensystem: 1) markieren Sie die Mitte der Ellipse; 2) wir ziehen durch die Mitte mit einer gepunkteten Linie die Symmetrieachse der Ellipse; 3) wir bauen das Hauptrechteck einer Ellipse mit einer gepunkteten Linie mit einer Mitte und Seiten parallel zu den Symmetrieachsen; 4) Wir zeichnen eine Ellipse mit einer durchgezogenen Linie und schreiben sie in das Hauptrechteck ein, sodass die Ellipse ihre Seiten nur an den Scheitelpunkten der Ellipse berührt (Abb. 6).

Auf ähnliche Weise wird ein Kreis konstruiert, dessen Hauptrechteck Seiten hat (Abb. 5).

Abb.5 Abb.6

2) - Gleichungen von Hyperbeln (genannt konjugieren) in einem Punkt zentriert und Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen. Die Nummern und - werden aufgerufen Halbachsen von Hyperbeln ; ein Rechteck mit Seiten parallel zu den Symmetrieachsen und in einem Punkt zentriert - das Hauptrechteck von Hyperbeln; Schnittpunkte des Hauptrechtecks mit den Symmetrieachsen - Scheitelpunkte von Hyperbeln; gerade Liniendurch gegenüberliegende Eckpunkte des Hauptrechtecks verlaufen - Asymptoten von Hyperbeln .

So erstellen Sie eine Hyperbel im Koordinatensystem: 1) markieren Sie die Mitte der Hyperbel; 2) wir ziehen durch die Mitte mit einer gepunkteten Linie die Symmetrieachse der Hyperbel; 3) wir bauen das Hauptrechteck einer Hyperbel mit einer gepunkteten Linie mit einer Mitte und Seiten und parallel zu den Symmetrieachsen; 4) wir ziehen gerade Linien durch die gegenüberliegenden Eckpunkte des Hauptrechtecks mit einer gepunkteten Linie, die Asymptoten der Hyperbel sind, denen sich die Zweige der Hyperbel in unendlicher Entfernung vom Koordinatenursprung unendlich nahe nähern, ohne sie zu kreuzen; 5) Wir stellen die Zweige einer Hyperbel (Abb. 7) oder Hyperbel (Abb. 8) mit einer durchgezogenen Linie dar.

Abb.7 Abb.8

3a)- die Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt in einem Punkt und einer Symmetrieachse parallel zur Koordinatenachse (Abb. 9).

3b)- die Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt in einem Punkt und einer Symmetrieachse parallel zur Koordinatenachse (Abb. 10).

So erstellen Sie eine Parabel im Koordinatensystem: 1) markieren Sie die Spitze der Parabel; 2) wir zeichnen durch den Scheitelpunkt mit einer gepunkteten Linie die Symmetrieachse der Parabel; 3) Wir stellen eine Parabel mit einer durchgezogenen Linie dar, die ihren Zweig unter Berücksichtigung des Vorzeichens des Parabelparameters richtet: at - in positiver Richtung der Koordinatenachse parallel zur Symmetrieachse der Parabel (Abb. 9a und 10a); at - auf der negativen Seite der Koordinatenachse (Fig. 9b und 10b).

Reis. 9a Abb. 9b

Reis. 10a Abb. 10b

Thema 7. Sets. Numerische Mengen. Funktion.

Anruf einstellen Teilmenge set wenn alle Elemente der Menge zur Menge gehören und schreibe . Setzt und callt gleich , wenn sie aus denselben Elementen bestehen und schreiben . Zwei Sätze und sind genau dann gleich, wenn und .

Anruf einstellen Universal- (im Rahmen dieser mathematischen Theorie) , wenn seine Elemente alle in dieser Theorie betrachteten Objekte sind.

Verband

Kreuzung Mengen und heißt Menge

Unterschied Mengen und heißt Menge

Ergänzung Mengen (bis auf eine universelle Menge) werden als Menge bezeichnet.

Das Konzept der Kardinalität einer Menge entsteht, wenn Mengen nach der Anzahl der enthaltenen Elemente verglichen werden. Die Kardinalität der Menge wird mit bezeichnet. Die Kardinalität einer endlichen Menge ist die Anzahl ihrer Elemente.

Äquivalente Mengen haben die gleiche Kardinalität. Der Satz wird aufgerufen unzählbar wenn seine Kardinalität größer ist als die Kardinalität der Menge .

Gültig (real) Nummer wird als unendlicher Dezimalbruch bezeichnet, der mit dem Zeichen "+" oder "" genommen wird. Reelle Zahlen werden durch Punkte auf dem Zahlenstrahl identifiziert. Modul (Absolutwert) einer reellen Zahl ist eine nicht negative Zahl:

Der Satz wird aufgerufen numerisch wenn seine Elemente reelle Zahlen sind in Intervallen Mengen von Zahlen heißen: , , , , , , , , .

Die Funktion wird aufgerufen monoton steigend (abnehmend ) auf der Menge, wenn der größere Wert des Arguments dem größeren (kleineren) Wert der Funktion entspricht.

Die Funktion wird aufgerufen begrenzt auf der Menge , wenn es eine solche Zahl gibt , dass die folgende Bedingung für alle erfüllt ist : . Ansonsten ist die Funktion unbegrenzt .

Umkehren Funktionieren , , eine solche Funktion heißt , die auf der Menge und auf jeder definiert ist

Übereinstimmungen so, dass . Um die Funktion zu finden, die invers zur Funktion ist , du musst die gleichung lösen verhältnismäßig . Wenn die Funktion , streng monoton ist, dann hat sie immer eine Umkehrfunktion, und wenn die Funktion zunimmt (abnimmt), dann nimmt auch die Umkehrfunktion zu (ab).

Wenn der Graph der Funktion gegeben ist, dann reduziert sich die Konstruktion des Graphen der Funktion auf eine Reihe von Transformationen (Verschieben, Komprimieren oder Dehnen, Anzeigen) des Graphen:

1) 2) die Transformation zeigt den Graphen symmetrisch um die Achse an; 3) die Transformation verschiebt den Graphen entlang der Achse um Einheiten ( - nach rechts, - nach links); 4) die Transformation verschiebt das Diagramm entlang der Achse um Einheiten ( - nach oben, - nach unten); 5) Transformationsgraph entlang der Achse dehnt sich in Zeiten aus, wenn oder komprimiert sich in Zeiten, wenn ; 6) das Transformieren des Graphen entlang der Achse komprimiert um einen Faktor if oder dehnt sich um einen Faktor if aus.

Die Abfolge der Transformationen beim Zeichnen eines Funktionsgraphen kann symbolisch dargestellt werden als:

Notiz. Denken Sie beim Durchführen einer Transformation daran, dass der Betrag der Verschiebung entlang der Achse durch die Konstante bestimmt wird, die direkt zum Argument und nicht zum Argument hinzugefügt wird.

Der Graph der Funktion ist eine Parabel mit Scheitelpunkt bei , deren Zweige bei nach oben oder bei nach unten gerichtet sind. Der Graph einer linear-gebrochenen Funktion ist eine Hyperbel, die im Punkt zentriert ist, deren Asymptoten parallel zu den Koordinatenachsen durch das Zentrum gehen. , erfüllt die Bedingung. genannt.