Векторно произведение на вектори. Смесено произведение на вектори

Определение. Векторното произведение на вектор a (множител) от вектор (множител), който не е колинеарен на него, е третият вектор c (продукт), който се конструира, както следва:

1) неговият модул е ​​числено равен на площта на успоредника на фиг. 155), изградена върху вектори, т.е. тя е равна на посоката, перпендикулярна на равнината на споменатия паралелограм;

3) в този случай посоката на вектора c е избрана (от две възможни), така че векторите c да образуват дясна система (§ 110).

Обозначение: или

Допълнение към определението. Ако векторите са колинеарни, тогава като се има предвид фигурата като (условно) успоредник, естествено е да се зададе нулева площ. Следователно векторното произведение на колинеарни вектори се счита за равно на нулевия вектор.

Тъй като на нулевия вектор може да бъде присвоена произволна посока, тази конвенция не противоречи на точки 2 и 3 от дефиницията.

Забележка 1. В термина "векторно произведение" първата дума показва, че резултатът от дадено действие е вектор (за разлика от скаларно произведение; срв. § 104, забележка 1).

Пример 1. Намерете векторния продукт, където главните вектори на дясната координатна система (фиг. 156).

1. Тъй като дължините на главните вектори са равни на единицата на мащаба, площта на успоредника (квадрат) е числено равна на единица. Следователно модулът на векторното произведение е равен на единица.

2. Тъй като перпендикулярът към равнината е оста, желаното векторно произведение е вектор, колинеарен на вектора k; и тъй като и двете имат модул 1, изискваното кръстосано произведение е или k, или -k.

3. От тези два възможни вектора трябва да се избере първият, тъй като векторите k образуват дясна система (а векторите образуват лява).

Пример 2. Намерете кръстосаното произведение

Решение. Както в пример 1, заключаваме, че векторът е или k, или -k. Но сега трябва да изберем -k, тъй като векторите образуват дясната система (а векторите образуват лявата). Така,

Пример 3. Векторите имат дължини съответно 80 и 50 cm и сключват ъгъл 30°. Вземайки метър като единица за дължина, намерете дължината на векторното произведение a

Решение. Площта на успоредник, изграден върху вектори, е равна на Дължината на желания векторен продукт е равна на

Пример 4. Намерете дължината на кръстосаното произведение на същите вектори, като вземете сантиметър за единица дължина.

Решение. Тъй като площта на успоредника, изграден върху вектори, е равна на дължината на векторния продукт е 2000 cm, т.е.

Сравнението на примери 3 и 4 показва, че дължината на вектора зависи не само от дължините на факторите, но и от избора на единица за дължина.

Физическото значение на векторното произведение.От многото физически величини, представени от векторния продукт, ще разгледаме само момента на силата.

Нека A е точката на прилагане на силата.Моментът на силата спрямо точката O се нарича векторен продукт.Тъй като модулът на този векторен продукт е числено равен на площта на паралелограма (фиг.157), модулът на момента е равен на произведението на основата по височината, т.е. силата, умножена по разстоянието от точката О до правата линия, по която действа силата.

В механиката е доказано, че за равновесието на твърдо тяло е необходимо не само сумата от векторите, представляващи силите, приложени към тялото, но и сумата от моментите на силите да бъде равна на нула. В случай, че всички сили са успоредни на една и съща равнина, добавянето на векторите, представляващи моментите, може да бъде заменено със събиране и изваждане на техните модули. Но за произволни посоки на силите такава замяна е невъзможна. В съответствие с това кръстосаното произведение се определя именно като вектор, а не като число.

СМЕСЕН ПРОДУКТ ОТ ТРИ ВЕКТОРА И НЕГОВИТЕ СВОЙСТВА

смесен продукттри вектора се нарича число, равно на . Означено . Тук първите два вектора се умножават векторно и след това полученият вектор се умножава скаларно по третия вектор. Очевидно такъв продукт е някакво число.

Обмислете свойствата на смесения продукт.

1. геометричен смисълсмесен продукт. смесен продукт 3 вектора, с точност до знак, е равен на обема на паралелепипеда, изграден върху тези вектори, като на ръбове, т.е. .

   По този начин и .

   

   Доказателство. Нека отложим векторите от общото начало и построим паралелепипед върху тях. Нека обозначим и отбележим, че . По дефиниция точков продукт

   Приемайки това и обозначавайки чрез чвисочината на паралелепипеда, намираме .

   По този начин, при

   Ако , тогава и . Следователно,.

   Комбинирайки тези два случая, получаваме или .

   От доказателството на това свойство, по-специално, следва, че ако тройката от вектори е дясно, тогава смесеното произведение , а ако е ляво, тогава .

2. За всякакви вектори , , равенството

   Доказателството за това свойство следва от свойство 1. Наистина е лесно да се покаже, че и . Освен това знаците "+" и "-" се вземат едновременно, т.к ъглите между векторите и и и са както остри, така и тъпи.

3. Когато всеки два фактора се разменят, смесеният продукт променя знака.

   Всъщност, ако разгледаме смесения продукт, тогава например или

4. Смесен продукт тогава и само ако един от множителите е равен на нула или векторите са копланарни.

   Доказателство.

   Следователно необходимо и достатъчно условие за компланарността на 3 вектора е равенството на нула на тяхното смесено произведение. Освен това от това следва, че три вектора образуват основа в пространството, ако .

   Ако векторите са дадени в координатна форма, тогава може да се покаже, че техният смесен продукт се намира по формулата:

   .

   По този начин смесеният продукт е равен на детерминанта от трети ред, чийто първи ред съдържа координатите на първия вектор, вторият ред съдържа координатите на втория вектор, а третият ред съдържа координатите на третия вектор.

   Примери.

АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВОТО

Уравнението F(x, y, z)= 0 дефинира в пространството Oxyzнякаква повърхност, т.е. геометрично място на точки, чиито координати x, y, zудовлетворяват това уравнение. Това уравнение се нарича уравнение на повърхността и x, y, z– текущи координати.

Често обаче повърхността не се определя от уравнение, а като набор от точки в пространството, които имат едно или друго свойство. В този случай е необходимо да се намери уравнението на повърхността въз основа на нейните геометрични свойства.

САМОЛЕТ.

НОРМАЛЕН РАВНИНСКИ ВЕКТОР.

УРАВНЕНИЕ НА РАВНИНА, ПРЕМИНАВАЩА ПРЕЗ ДАДЕНА ТОЧКА

Да разгледаме произволна равнина σ в пространството. Неговата позиция се определя чрез задаване на вектор, перпендикулярен на тази равнина, и някаква фиксирана точка M0(x0, y 0, z0), лежаща в равнината σ.

Векторът, перпендикулярен на равнината σ, се нарича нормалновектор на тази равнина. Нека векторът има координати.

Извеждаме уравнението за равнината σ, минаваща през дадената точка M0и има нормален вектор. За да направите това, вземете произволна точка от равнината σ M(x, y, z)и разгледайте вектора.

За всяка точка МÎ σ вектор Следователно скаларното им произведение е равно на нула. Това равенство е условието, че точката МО σ. Тя е валидна за всички точки на тази равнина и се нарушава веднага щом точката Мще бъде извън равнината σ.

Ако означим с радиус вектор точките М, е радиус векторът на точката M0, тогава уравнението може да бъде написано като

Това уравнение се нарича векторуравнение на равнината. Нека го запишем в координатна форма. От тогава

И така, получихме уравнението на равнината, минаваща през дадената точка. По този начин, за да съставите уравнението на равнината, трябва да знаете координатите на нормалния вектор и координатите на някаква точка, разположена в равнината.

Забележете, че уравнението на равнината е уравнение от 1-ва степен по отношение на текущите координати x, yи z.

Примери.

ОБЩО УРАВНЕНИЕ НА РАВНИНАТА

Може да се покаже, че всяко уравнение от първа степен по отношение на декартови координати x, y, zе уравнение на някаква равнина. Това уравнение се записва като:

Axe+By+Cz+D=0

и се обади общо уравнениеравнина и координатите А, Б, Втук са координатите на нормалния вектор на равнината.

Нека разгледаме частни случаи на общото уравнение. Нека да разберем как се намира равнината спрямо координатната система, ако един или повече коефициенти на уравнението са нулеви.

А е дължината на сегмента, отсечен от равнината на оста вол. По подобен начин може да се покаже това bи ° Сса дължините на отсечките, отсечени от разглежданата равнина върху осите Ойи Оз.

Удобно е да се използва уравнението на равнина в сегменти за конструиране на равнини.

Този онлайн калкулатор изчислява кръстосаното произведение на вектори. Дадено е подробно решение. За да изчислите кръстосаното произведение на векторите, въведете координатите на векторите в клетките и щракнете върху „Изчисли“.

×

Внимание

Изчистване на всички клетки?

Затвори Изчисти

Инструкция за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични числа (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b (b>0) са цели или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.

Кръстосано произведение на вектори

Преди да преминете към дефиницията на векторния продукт на векторите, разгледайте понятията подредена тройка вектори, лява тройка вектори, дясна тройка вектори.

Определение 1. Наричат ​​се три вектора поръчан троен(или троен), ако е посочено кой от тези вектори е първи, кой е втори и кой е трети.

Записване cba- означава - първият е вектор ° С, вторият е векторът bа третият е векторът а.

Определение 2. Тройка от некомпланарни вектори абвнаречено дясно (ляво), ако, когато се редуцират до общо начало, тези вектори са подредени така, както са разположени съответно големият, несвит показалец и средният пръст на дясната (лявата) ръка.

Определение 2 може да се формулира и по друг начин.

Определение 2. Тройка от некомпланарни вектори абвсе нарича дясно (ляво), ако, когато се редуцира до общ произход, векторът ° Сразположен от другата страна на равнината, определена от векторите аи b, откъдето е най-късият завой ада се bизвършва се обратно на часовниковата стрелка (по часовниковата стрелка).

Векторно трио абвпоказано на фиг. 1 е право и тройно абвпоказано на фиг. 2 остава.

Ако две тройки вектори са десни или леви, тогава се казва, че имат еднаква ориентация. В противен случай се казва, че са с противоположна ориентация.

Определение 3. Декартова или афинна координатна система се нарича дясна (лява), ако трите базисни вектора образуват дясна (лява) тройка.

За категоричност по-нататък ще разглеждаме само десни координатни системи.

Определение 4. векторно изкуствовектор ана вектор bнаречен вектор с, обозначен със символа c=[аб] (или c=[а,б], или c=a×b) и отговарящи на следните три изисквания:

• дължина на вектора се равно на произведението от дължините на векторите аи bкъм синуса на ъгъла φ между тях:

|° С|=|[аб]|=|а||b|sinφ;

(1)

• вектор сортогонален на всеки от векторите аи b;
• вектор ° Снасочен така, че трите абввярно е.

Кръстосаното произведение на векторите има следните свойства:

• [аб]=−[ба] (антипроменливостфактори);
• [(λa)b]=λ [аб] (съвместимостспрямо числения фактор);
• [(a+b)° С]=[а° С]+[b° С] (разпространениеспрямо сумата от вектори);
• [аа]=0 за всеки вектор а.

Геометрични свойства на кръстосаното произведение на вектори

Теорема 1. За да бъдат колинеарни два вектора е необходимо и достатъчно векторното им произведение да е равно на нула.

Доказателство. Трябва. Нека векторите аи bколинеарен. Тогава ъгълът между тях е 0 или 180° и sinφ=sin180=грях 0=0. Следователно, като се вземе предвид израз (1), дължината на вектора ° Се равно на нула. Тогава ° Снулев вектор.

Адекватност. Нека кръстосаното произведение на вектори аи bнавигация до нула: [ аб]=0. Нека докажем, че векторите аи bколинеарен. Ако поне един от векторите аи bнула, тогава тези вектори са колинеарни (тъй като нулевият вектор има неопределена посока и може да се счита за колинеарен на всеки вектор).

Ако и двата вектора аи bразлично от нула, тогава | а|>0, |b|>0. След това от [ аб]=0 и от (1) следва, че sinφ=0. Оттук и векторите аи bколинеарен.

Теоремата е доказана.

Теорема 2. Дължината (модул) на векторното произведение [ аб] е равно на площта Суспоредник, изграден върху вектори, сведени до общ произход аи b.

Доказателство. Както знаете, площта на успоредника е равна на произведението на съседните страни на този успоредник и синуса на ъгъла между тях. Следователно:

Тогава кръстосаното произведение на тези вектори има формата:

Разширявайки детерминантата върху елементите на първия ред, получаваме разлагането на вектора a×bбаза i, j, k, което е еквивалентно на формула (3).

Доказателство на теорема 3. Съставете всички възможни двойки базисни вектори i, j, kи изчислете тяхното векторно произведение. Трябва да се има предвид, че базисните вектори са взаимно ортогонални, образуват дясна тройка и имат единична дължина (с други думи, можем да приемем, че аз={1, 0, 0}, й={0, 1, 0}, к=(0, 0, 1)). Тогава имаме:

От последното равенство и отношенията (4) получаваме:

Съставете матрица 3×3, чийто първи ред са базисните вектори аз, дж, к,а останалите редове се запълват с елементи на вектори аи b.

Преди да дадем концепцията за векторно произведение, нека се обърнем към въпроса за ориентацията на подредената тройка от вектори a → , b → , c → в триизмерното пространство.

Като начало нека отделим векторите a → , b → , c → от една точка. Ориентацията на тройката a → , b → , c → е дясна или лява в зависимост от посоката на вектора c → . От посоката, в която е направен най-късият завой от вектора a → към b → от края на вектора c → ще се определи формата на тройката a → , b → , c →.

Ако най-краткото въртене е обратно на часовниковата стрелка, тогава тройката от вектори a → , b → , c → се нарича точноако по часовниковата стрелка - наляво.

След това вземете два неколинеарни вектора a → и b → . Нека тогава отложим векторите A B → = a → и A C → = b → от точката A. Нека построим вектор A D → = c → , който е перпендикулярен едновременно на A B → и A C → . По този начин, когато конструираме вектора A D → = c →, можем да направим две неща, като му дадем една или обратна посока (вижте илюстрацията).

Подреденото трио от вектори a → , b → , c → може да бъде, както разбрахме, дясно или ляво в зависимост от посоката на вектора.

От горното можем да въведем определението за векторен продукт. Тази дефиниция е дадена за два вектора, дефинирани в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство.

Определение 1

Векторното произведение на два вектора a → и b → ще наречем такъв вектор, даден в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство, така че:

• ако векторите a → и b → са колинеарни, то ще бъде нула;
• той ще бъде перпендикулярен както на вектор a →​​, така и на вектор b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• дължината му се определя по формулата: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• тройката от вектори a → , b → , c → има същата ориентация като дадената координатна система.

Кръстосаното произведение на вектори a → и b → има следната нотация: a → × b → .

Координати на кръстосани продукти

Тъй като всеки вектор има определени координати в координатната система, е възможно да се въведе второ определение на векторния продукт, което ще ви позволи да намерите неговите координати от дадените координати на векторите.

Определение 2

В правоъгълна координатна система на тримерното пространство векторно произведение на два вектора a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) наричаме вектора c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , където i → , j → , k → са координатни вектори.

Векторното произведение може да бъде представено като детерминанта на квадратна матрица от трети ред, където първият ред е орта векторите i → , j → , k → , вторият ред съдържа координатите на вектора a → , а третият е координатите на вектора b → в дадена правоъгълна координатна система, тази детерминанта на матрицата изглежда така: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Разгръщайки този детерминант върху елементите на първия ред, получаваме равенството: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Свойства на кръстосани продукти

Известно е, че векторното произведение в координати се представя като детерминанта на матрицата c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , тогава на основата детерминантни свойства на матрицатаследното векторни свойства на продукта:

1. антикомутативност a → × b → = - b → × a → ;
2. дистрибутивност a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. асоциативност λ a → × b → = λ a → × b → или a → × (λ b →) = λ a → × b → , където λ е произволно реално число.

Тези свойства нямат сложни доказателства.

Например, можем да докажем свойството антикомутативност на векторен продукт.

Доказателство за антикомутативност

По дефиниция a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . И ако два реда на матрицата са разменени, тогава стойността на детерминантата на матрицата трябва да се промени на противоположната, следователно, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , което и доказва антикомутативността на векторното произведение.

Векторен продукт - примери и решения

В повечето случаи има три вида задачи.

В задачите от първия тип обикновено се дават дължините на два вектора и ъгълът между тях, но трябва да намерите дължината на напречното произведение. В този случай използвайте следната формула c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Пример 1

Намерете дължината на кръстосаното произведение на вектори a → и b →, ако е известно a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.

Решение

Използвайки дефиницията на дължината на векторното произведение на векторите a → и b →, решаваме тази задача: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Отговор: 15 2 2 .

Задачите от втория тип имат връзка с координатите на вектори, съдържат векторно произведение, неговата дължина и др. търсени по известни координати дадени вектори a → = (a x; a y; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) .

За този тип задачи можете да решите много опции за задачи. Например не координатите на векторите a → и b → , а техните разширения в координатни вектори от формата b → = b x i → + b y j → + b z k → и c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , или векторите a → и b → могат да бъдат дадени чрез координатите на техните начална и крайна точка.

Разгледайте следните примери.

Пример 2

Два вектора са зададени в правоъгълна координатна система a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Намерете тяхното векторно произведение.

Решение

Съгласно втората дефиниция намираме векторното произведение на два вектора в дадени координати: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ако напишем векторното произведение чрез детерминанта на матрицата, тогава решението на този пример е както следва: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Отговор: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Пример 3

Намерете дължината на кръстосаното произведение на вектори i → - j → и i → + j → + k → , където i → , j → , k → - ортове на правоъгълна декартова координатна система.

Решение

Първо, нека намерим координатите на даденото векторно произведение i → - j → × i → + j → + k → в дадената правоъгълна координатна система.

Известно е, че векторите i → - j → и i → + j → + k → имат съответно координати (1 ; - 1 ; 0) и (1 ; 1 ; 1). Намерете дължината на векторното произведение, като използвате детерминанта на матрицата, тогава имаме i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Следователно векторното произведение i → - j → × i → + j → + k → има координати (- 1 ; - 1 ; 2) в дадената координатна система.

Намираме дължината на векторното произведение по формулата (вижте раздела за намиране на дължината на вектора): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Отговор: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Пример 4

Координатите на три точки A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) са дадени в правоъгълна декартова координатна система. Намерете някакъв вектор, перпендикулярен на A B → и A C → едновременно.

Решение

Векторите A B → и A C → имат съответно следните координати (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1). След като намерихме векторното произведение на векторите A B → и A C → , очевидно е, че това е перпендикулярен вектор по дефиниция както на A B →, така и на A C → , тоест това е решението на нашата задача. Намерете го A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Отговор: - 6 i → + j → - 4 k → . е един от перпендикулярните вектори.

Задачите от трети тип са фокусирани върху използването на свойствата на векторното произведение на векторите. След прилагането на които ще получим решение на зададения проблем.

Пример 5

Векторите a → и b → са перпендикулярни и техните дължини са съответно 3 и 4. Намерете дължината на напречното произведение 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Решение

Чрез свойството на дистрибутивност на векторното произведение можем да запишем 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Чрез свойството на асоциативността изваждаме числовите коефициенти отвъд знака на векторните произведения в последния израз: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Векторните произведения a → × a → и b → × b → са равни на 0, тъй като a → × a → = a → a → sin 0 = 0 и b → × b → = b → b → sin 0 = 0, тогава 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

От антикомутативността на векторното произведение следва - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Използвайки свойствата на векторното произведение, получаваме равенството 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

По условие векторите a → и b → са перпендикулярни, т.е. ъгълът между тях е равен на π 2 . Сега остава само да замените намерените стойности в съответните формули: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Отговор: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Дължината на кръстосаното произведение на векторите по дефиниция е a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Тъй като вече е известно (от училищния курс), че площта на триъгълник е равна на половината от произведението на дължините на двете му страни, умножено по синуса на ъгъла между тези страни. Следователно дължината на векторния продукт е равна на площта на успоредник - удвоен триъгълник, а именно произведението на страните под формата на вектори a → и b → , отложени от една точка, от синуса на ъгъла между тях sin ∠ a → , b → .

Това е геометричното значение на векторното произведение.

Физическото значение на векторното произведение

В механиката, един от клоновете на физиката, благодарение на векторния продукт, можете да определите момента на сила спрямо точка в пространството.

Определение 3

Под момент на сила F → , приложен към точка B , спрямо точка A ще разбираме следното векторно произведение A B → × F → .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Очевидно, в случай на кръстосано произведение, редът, в който се вземат векторите, има значение, освен това,

Също така, директно от дефиницията следва, че за всеки скаларен фактор k (число) е вярно следното:

Напречното произведение на колинеарни вектори е равно на нулевия вектор. Освен това кръстосаното произведение на два вектора е нула тогава и само ако те са колинеарни. (В случай, че един от тях е нулев вектор, трябва да запомните, че нулевият вектор е колинеарен на всеки вектор по дефиниция).

Векторният продукт има разпределителна собственост, това е

Изразяването на кръстосаното произведение по отношение на координатите на векторите.

Нека са дадени два вектора

(как да намерите координатите на вектор по координатите на неговото начало и край - вижте статията Точков продукт на вектори, параграф Алтернативна дефиниция на точковия продукт или изчисляване на точковия продукт на два вектора, дадени от техните координати.)

Защо ви е необходим векторен продукт?

Има много начини да използвате кръстосаното произведение, например, както вече беше написано по-горе, като изчислите кръстосаното произведение на два вектора, можете да разберете дали те са колинеарни.

Или може да се използва като начин за изчисляване на площта на успоредник, изграден от тези вектори. Въз основа на определението дължината на получения вектор е площта на този успоредник.

Също голяма сумаприложения съществуват в електричеството и магнетизма.

Онлайн калкулатор на векторно произведение.

За да намерите скаларното произведение на два вектора с помощта на този калкулатор, трябва да въведете в първия ред по ред координатите на първия вектор, в втори - втори. Координатите на векторите могат да бъдат изчислени от техните начални и крайни координати (вижте статията Точково произведение на вектори , елемент Алтернативна дефиниция на точково произведение или изчисляване на точково произведение на два вектора, дадени техните координати.)