векторен продукт е псевдовектор, перпендикулярен на равнината, конструиран от два фактора, който е резултат от двоичната операция "векторно умножение" върху вектори в тримерното евклидово пространство. Векторното произведение не притежава свойствата на комутативност и асоциативност (то е антикомутативно) и за разлика от скаларното произведение на векторите е вектор. Широко използван в много технически и физически приложения. Например ъгловият момент и силата на Лоренц са математически записани като кръстосано произведение. Кръстосаното произведение е полезно за "измерване" на перпендикулярността на векторите - модулът на кръстосаното произведение на два вектора е равен на произведението на техните модули, ако са перпендикулярни, и намалява до нула, ако векторите са успоредни или антипаралелни.

Можете да дефинирате векторно произведение по различни начини и теоретично, в пространство с произволно измерение n, можете да изчислите произведението на n-1 вектора, като същевременно получите един вектор, перпендикулярен на всички тях. Но ако продуктът е ограничен до нетривиални двоични продукти с векторни резултати, тогава традиционният векторен продукт е дефиниран само в триизмерни и седемизмерни пространства. Резултатът от векторното произведение, подобно на скаларното произведение, зависи от метриката на евклидовото пространство.

За разлика от формулата за изчисляване на скаларното произведение от координатите на векторите в тримерна правоъгълна координатна система, формулата за векторното произведение зависи от ориентацията на правоъгълната координатна система или, с други думи, нейната „хиралност“.

определение:
Векторното произведение на вектор a и вектор b в пространството R 3 се нарича вектор c, който отговаря на следните изисквания:
дължината на вектора c е равна на произведението от дължините на векторите a и b и синуса на ъгъла φ между тях:
|c|=|a||b|sin φ;
векторът c е ортогонален на всеки от векторите a и b;
векторът c е насочен така, че тройката от вектори abc е права;
в случая на пространството R7 се изисква асоциативността на тройката от вектори a,b,c.
Обозначаване:
c===a×b

Ориз. 1. Площта на успоредника е равна на модула на кръстосаното произведение

Геометрични свойства на напречното произведение:
Необходимо и достатъчно условие за колинеарност на два ненулеви вектора е равенството на тяхното векторно произведение на нула.

Модул за кръстосани продукти равна на площ Суспоредник, изграден върху вектори, сведени до общ произход аи b(виж фиг. 1).

Ако д- единичен вектор, ортогонален на векторите аи bи избрани така, че тройната a,b,e- правилно и С- площта на изградения върху тях успоредник (намалена до общ произход), тогава следната формула е вярна за векторния продукт:
=S e

Фиг.2. Обемът на паралелепипеда при използване на векторно и скаларно произведение на вектори; пунктираните линии показват проекциите на вектора c върху a × b и вектора a върху b × c, първата стъпка е да се намерят вътрешните продукти

Ако ° С- всеки вектор π - всяка равнина, съдържаща този вектор, д- единичен вектор, лежащ в равнината π и ортогонален на c,g- единичен вектор, ортогонален на равнината π и насочен така, че тройката от вектори екге прав, тогава за всяко лежане в самолета π вектор аправилната формула е:
=Pr e a |c|g
където Pr e a е проекцията на вектора e върху a
|c|-модул на вектор c

Когато използвате векторни и скаларни продукти, можете да изчислите обема на паралелепипед, изграден върху вектори, намалени до общ произход а, би ° С. Такова произведение на три вектора се нарича смесено.
V=|a (b×c)|
Фигурата показва, че този обем може да бъде намерен по два начина: геометричният резултат се запазва дори когато „скаларните“ и „векторните“ продукти се разменят:
V=a×b c=a b×c

Стойността на кръстосаното произведение зависи от синуса на ъгъла между оригиналните вектори, така че кръстосаното произведение може да се възприема като степента на „перпендикулярност“ на векторите по същия начин, както скаларно произведениеможе да се разглежда като степен на "паралелизъм". Кръстосаното произведение на два единични вектора е равно на 1 (единичен вектор), ако началните вектори са перпендикулярни, и равно на 0 (нулев вектор), ако векторите са успоредни или антипаралелни.

Изразяване на кръстосано произведение в декартови координати
Ако два вектора аи bсе определят от техните правоъгълни декартови координати, или по-точно, те са представени в ортонормална основа
a=(a x,a y,a z)
b=(b x,b y,b z)
и координатната система е правилна, тогава тяхното векторно произведение има формата
=(a y b z -a z b y,a z b x -a x b z,a x b y -a y b x)
За да запомните тази формула:
i =∑ε ijk a j b k
където ε ijk- символът на Леви-Чивита.

В този урок ще разгледаме още две операции с вектори: кръстосано произведение на вектории смесено произведение на вектори (незабавна връзка за тези, които имат нужда). Нищо, понякога се случва, че за пълно щастие, освен точково произведение на вектори, необходимо е още и още. Такава е векторната зависимост. Може да изглежда, че се изкачваме в дивата природа аналитична геометрия. Това не е вярно. В този раздел на висшата математика обикновено има малко дърва за огрев, освен може би достатъчно за Пинокио. Всъщност материалът е много общ и прост - едва ли е по-труден от същия скаларно произведение, дори ще има по-малко типични задачи. Основното нещо в аналитичната геометрия, както мнозина ще видят или вече са видели, е ДА НЕ СЕ ГРЕШАТ ИЗЧИСЛЕНИЯТА. Повторете като заклинание и ще бъдете щастливи =)

Ако векторите искрят някъде далеч, като светкавица на хоризонта, няма значение, започнете с урока Вектори за манекениза възстановяване или повторно придобиване на основни знания за векторите. По-подготвените читатели могат да се запознаят с информацията избирателно, опитах се да събера най-пълната колекция от примери, които често се срещат в практическа работа

Какво ще ви направи щастливи? Когато бях малък, можех да жонглирам с две и дори с три топки. Получи се добре. Сега изобщо няма нужда да жонглираме, тъй като ще обмислим само космически вектори, а плоските вектори с две координати ще бъдат пропуснати. Защо? Така се раждат тези действия – векторът и смесеният продукт от вектори са дефинирани и работят в триизмерно пространство. Вече по-лесно!

В тази операция, по същия начин, както при скаларното произведение, два вектора. Нека бъдат нетленни букви.

Самото действие означенопо следния начин: . Има и други опции, но аз съм свикнал да обозначавам кръстосаното произведение на векторите по този начин, в квадратни скоби с кръст.

И то веднага въпрос: ако в точково произведение на векториучастват два вектора и тук два вектора също се умножават, тогава каква е разликата? Ясна разлика, на първо място, в РЕЗУЛТАТА:

Резултатът от скаларното произведение на векторите е ЧИСЛО:

Резултатът от кръстосаното произведение на векторите е ВЕКТОР: , тоест умножаваме векторите и отново получаваме вектор. Затворен клуб. Всъщност оттам идва и името на операцията. В различни учебна литературанотацията също може да варира, ще използвам буквата .

Дефиниция на кръстосано произведение

Първо ще има определение със снимка, след това коментари.

Определение: кръстосано произведение неколинеарнивектори, взети в този ред, се нарича ВЕКТОР, дължинакоето е числено равна на площта на успоредника, изграден върху тези вектори; вектор ортогонални на вектори, и е насочен така, че основата да има правилна ориентация:

Анализираме определението по кости, има много интересни неща!

Така че можем да подчертаем следните важни точки:

1) Изходни вектори, обозначени с червени стрелки, по дефиниция не е колинеарен. Случва се колинеарни векторище бъде уместно да разгледаме малко по-късно.

2) Взети вектори в строг ред: – "a" се умножава по "be", а не "бъде" към "а". Резултат от векторно умножениее ВЕКТОР , който е означен в синьо. Ако векторите се умножат по обратен ред, тогава получаваме вектор с еднаква дължина и противоположна посока (червен цвят). Тоест равенството .

3) Сега нека се запознаем с геометричния смисъл на векторното произведение. Това е много важен момент! ДЪЛЖИНАТА на синия вектор (и, следователно, пурпурния вектор) е числено равна на ПЛОЩТА на успоредника, изграден върху векторите. На фигурата този успоредник е оцветен в черно.

Забележка : чертежът е схематичен и, разбира се, номиналната дължина на напречния продукт не е равна на площта на паралелограма.

Спомняме си една от геометричните формули: площта на паралелограма е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях. Следователно, въз основа на гореизложеното, формулата за изчисляване на ДЪЛЖИНАТА на векторно произведение е валидна:

Подчертавам, че във формулата говорим за ДЪЛЖИНАТА на вектора, а не за самия вектор. Какъв е практическият смисъл? И смисълът е такъв, че в проблемите на аналитичната геометрия площта на успоредник често се намира чрез концепцията за векторен продукт:

Получаваме втората важна формула. Диагоналът на успоредника (червена пунктирана линия) го разделя на два равни триъгълника. Следователно площта на триъгълник, изграден върху вектори (червено засенчване), може да се намери по формулата:

4) Също толкова важен факт е, че векторът е ортогонален на векторите , т.е . Разбира се, противоположно насоченият вектор (червена стрелка) също е ортогонален на оригиналните вектори.

5) Векторът е насочен така, че базаТо има точноориентация. В урок за преход към нова основаГоворил съм подробно за равнинна ориентация, а сега ще разберем каква е ориентацията на пространството. Ще ти обясня на пръсти дясна ръка. Мислено комбинирайте показалецс вектор и среден пръстс вектор. Безименен пръст и малък пръстнатиснете в дланта си. Като резултат палец - векторният продукт ще изглежда нагоре. Това е дясно ориентираната основа (тя е на фигурата). Сега разменете векторите ( показалец и среден пръст) на някои места в резултат на това палецът ще се обърне и векторният продукт вече ще гледа надолу. Това също е дясно ориентирана основа. Може би имате въпрос: каква основа има лява ориентация? "Присвояване" на същите пръсти лява ръкавектори и вземете лявата основа и лявата пространствена ориентация (в този случай палецът ще бъде разположен в посока на долния вектор). Образно казано, тези основи „извиват” или ориентират пространството в различни посоки. И тази концепция не трябва да се счита за нещо пресилено или абстрактно - например най-обикновеното огледало променя ориентацията на пространството и ако „издърпате отразения обект от огледалото“, тогава като цяло няма да е възможно комбинирайте го с „оригинала“. Между другото, донесете три пръста до огледалото и анализирайте отражението ;-)

... колко е хубаво, че вече знаете за това дясно и ляво ориентиранибази, защото твърденията на някои преподаватели за промяната на ориентацията са ужасни =)

Векторно произведение на колинеарни вектори

Дефиницията е разработена в детайли, остава да разберем какво се случва, когато векторите са колинеарни. Ако векторите са колинеарни, тогава те могат да бъдат поставени на една права линия и нашият успоредник също се „сгъва“ в една права линия. Областта на такива, както казват математиците, изродениуспоредник е нула. Същото следва и от формулата - синус от нула или 180 градуса е равен на нула, което означава, че площта е нула

По този начин, ако , тогава и . Моля, обърнете внимание, че самото кръстосано произведение е равно на нулевия вектор, но на практика това често се пренебрегва и се пише, че също е равно на нула.

Специален случай е векторното произведение на вектор и себе си:

Използвайки кръстосаното произведение, можете да проверите колинеарността на триизмерните вектори и ние също ще анализираме този проблем, наред с други.

За решаване на практически примери може да е необходимо тригонометрична таблицаза да намерите стойностите на синусите от него.

Е, нека запалим огън:

Пример 1

а) Намерете дължината на векторното произведение на векторите, ако

б) Намерете площта на успоредник, изграден върху вектори, ако

Решение: Не, това не е правописна грешка, умишлено направих първоначалните данни в елементите на условието същите. Защото дизайнът на решенията ще бъде различен!

а) Според условието се изисква да се намери дължинавектор (векторен продукт). Съгласно съответната формула:

Отговор:

Тъй като беше зададен въпрос за дължината, тогава в отговора посочваме измерението - единици.

б) Според условието се изисква да се намери квадратуспоредник, построен върху вектори. Площта на този успоредник е числено равна на дължината на напречния продукт:

Отговор:

Моля, имайте предвид, че в отговора за векторното произведение изобщо не се говори, за което бяхме попитани площ на фигурата, съответно размерът е квадратни единици.

Винаги гледаме КАКВО се изисква да се намери от условието и въз основа на това формулираме ясноотговор. Може да изглежда като буквализъм, но сред преподавателите има достатъчно буквалисти и задачата с добри шансове ще бъде върната за преработка. Въпреки че това не е особено напрегната заядка - ако отговорът е грешен, тогава се създава впечатлението, че човекът не разбира прости неща и / или не е разбрал същността на задачата. Този момент винаги трябва да се държи под контрол, решавайки всяка задача по висша математика, а и по други предмети.

Къде отиде голямата буква "ен"? По принцип можеше да се залепи допълнително към разтвора, но за да съкратя записа, не го направих. Надявам се, че всички разбират това и е обозначението на едно и също нещо.

Популярен пример за решение „направи си сам“:

Пример 2

Намерете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако

Формулата за намиране на площта на триъгълник чрез векторния продукт е дадена в коментарите към дефиницията. Решение и отговор в края на урока.

На практика задачата наистина е много често срещана, триъгълниците като цяло могат да бъдат измъчвани.

За да решим други проблеми, имаме нужда от:

Свойства на кръстосаното произведение на вектори

Вече разгледахме някои свойства на векторния продукт, но ще ги включа в този списък.

За произволни вектори и произволно число са верни следните свойства:

1) В други източници на информация този елемент обикновено не се отличава в свойствата, но е много важен от практическа гледна точка. Така че нека бъде.

2) - имотът също е обсъден по-горе, понякога се нарича антикомутативност. С други думи, редът на векторите има значение.

3) - комбинация или асоциативензакони за векторни продукти. Константите лесно се изваждат извън границите на векторното произведение. Наистина, какво правят те там?

4) - разпределение или разпространениезакони за векторни продукти. Няма проблеми и с отварянето на скоби.

Като демонстрация разгледайте кратък пример:

Пример 3

Намерете дали

Решение:По условие отново се изисква да се намери дължината на векторното произведение. Нека нарисуваме нашата миниатюра:

(1) Съгласно асоциативните закони изваждаме константите извън границите на векторното произведение.

(2) Изваждаме константата от модула, докато модулът „изяжда“ знака минус. Дължината не може да бъде отрицателна.

(3) Това, което следва, е ясно.

Отговор:

Време е да хвърлим дърва в огъня:

Пример 4

Изчислете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако

Решение: Намерете площта на триъгълник, като използвате формулата . Проблемът е, че самите вектори "ce" и "te" са представени като суми от вектори. Алгоритъмът тук е стандартен и донякъде напомня на примери № 3 и 4 от урока. Точково произведение на вектори. Нека го разделим на три стъпки за по-голяма яснота:

1) На първата стъпка изразяваме векторното произведение чрез векторното произведение, всъщност, изразете вектора чрез вектора. Все още няма дума за дължина!

(1) Заменяме изрази на вектори .

(2) Използвайки законите на разпределението, отваряме скобите според правилото за умножение на полиноми.

(3) Използвайки асоциативните закони, изваждаме всички константи извън векторните продукти. С малко опит действия 2 и 3 могат да се извършват едновременно.

(4) Първият и последният член са равни на нула (нулев вектор) поради приятното свойство . Във втория член използваме свойството антикомутативност на векторното произведение:

(5) Представяме подобни условия.

В резултат на това векторът се оказа изразен чрез вектор, което беше необходимо да се постигне:

2) На втората стъпка намираме дължината на векторния продукт, от който се нуждаем. Това действие е подобно на Пример 3:

3) Намерете площта на желания триъгълник:

Стъпки 2-3 от решението могат да бъдат подредени в един ред.

Отговор:

Разглежданият проблем е доста често срещан при контролна работа, ето пример за решение „направи си сам“:

Пример 5

Намерете дали

Кратко решение и отговор в края на урока. Нека да видим колко внимателни бяхте, когато изучавахте предишните примери ;-)

Напречно произведение на вектори в координати

, дадено в ортонормалната основа, се изразява с формулата:

Формулата е много проста: записваме координатните вектори в горния ред на детерминантата, „опаковаме“ координатите на векторите във втория и третия ред и поставяме в строг ред- първо координатите на вектора "ve", след това координатите на вектора "double-ve". Ако векторите трябва да бъдат умножени в различен ред, тогава линиите също трябва да бъдат разменени:

Пример 10

Проверете дали следните пространствени вектори са колинеарни:
а)
б)

Решение: Тестът се основава на едно от твърденията в този урок: ако векторите са колинеарни, тогава тяхното кръстосано произведение е нула (нулев вектор): .

а) Намерете векторното произведение:

Така че векторите не са колинеарни.

б) Намерете векторното произведение:

Отговор: а) не е колинеарен, б)

Тук може би е цялата основна информация за векторното произведение на векторите.

Този раздел няма да е много голям, тъй като има малко проблеми, при които се използва смесеното произведение на вектори. Всъщност всичко ще се основава на дефиницията, геометричното значение и няколко работещи формули.

Смесеното произведение на вектори е произведение на три вектора:

Така се наредиха като влак и чакат, няма търпение да ги изчислят.

Първо отново дефиницията и снимката:

Определение: Смесен продукт некомпланарнивектори, взети в този ред, е наречен обем на паралелепипеда, изграден върху тези вектори, оборудвани със знак "+", ако основата е дясна, и знак "-", ако основата е лява.

Да направим чертежа. Невидимите за нас линии са начертани с пунктирана линия:

Нека се потопим в определението:

2) Взети вектори в определен ред, тоест пермутацията на векторите в продукта, както можете да се досетите, не остава без последствия.

3) Преди да коментирам геометричното значение, ще отбележа очевидния факт: смесеното произведение на векторите е ЧИСЛО: . В образователната литература дизайнът може да е малко по-различен, използвах за обозначаване на смесен продукт чрез и резултата от изчисленията с буквата "pe".

По дефиниция смесеният продукт е обемът на паралелепипеда, построен върху вектори (фигурата е начертана с червени вектори и черни линии). Тоест числото е равно на обема на дадения паралелепипед.

Забележка : Чертежът е схематичен.

4) Нека не се занимаваме отново с концепцията за ориентацията на основата и пространството. Смисълът на финалната част е, че към обема може да се добави знак минус. С прости думи, смесеният продукт може да бъде отрицателен: .

Формулата за изчисляване на обема на паралелепипед, изграден върху вектори, следва директно от определението.

Определение. Векторното произведение на вектор a и вектор b е вектор, обозначен със символа [«, b] (или l x b), така че 1) дължината на вектора [a, b] е равна на (p, където y е ъгълът между векторите a и b ( 31); 2) векторът [a, b) е перпендикулярен на векторите a и b, т.е. перпендикулярно на равнината на тези вектори; 3) векторът [a, b] е насочен по такъв начин, че от края на този вектор се вижда, че най-късият завой от a към b се случва обратно на часовниковата стрелка (фиг. 32). Ориз. 32 Фиг.31 С други думи, векторите a, b и [а, b) образуват дясната тройка от вектори, т.е. разположени като палеца, показалеца и средния пръст на дясната ръка. Ако векторите a и b са колинеарни, ще приемем, че [a, b] = 0. По дефиниция дължината на векторния продукт е числено равна на площта Sa на успоредника (фиг. 33), изграден върху умножените вектори a и b като на страните: 6.1. Свойства на векторно произведение 1. Векторното произведение е равно на нулев вектор тогава и само ако поне един от умножените вектори е нула или когато тези вектори са колинеарни (ако векторите a и b са колинеарни, тогава ъгълът между тях е 0 или 7r). Това е лесно да се получи от факта, че Ако разгледаме нулевия вектор collinsar към всеки вектор, тогава условието за колинарност на векторите a и b може да бъде изразено както следва 2. Векторното произведение е антикомутативно, т.е. винаги. Наистина, векторите (a, b) и имат еднаква дължина и са колинеарни. Посоките на тези вектори са противоположни, тъй като от края на вектора [a, b] ще се види най-късият завой от a към b, протичащ обратно на часовниковата стрелка, а от края на вектора [b, a] - по посока на часовниковата стрелка (фиг. 34). 3. Векторното произведение има разпределително свойство по отношение на събирането 4. Числовият фактор А може да бъде изваден от знака на векторното произведение 6.2. Векторно произведение на вектори, дадени координати Нека векторите a и b са дадени с техните координати в базиса. Използвайки свойството за разпределение на векторното произведение, намираме векторното произведение на векторите, дадени от координатите. Смесена работа. Нека напишем векторните произведения на координатните ортове (фиг. 35): Следователно, за векторното произведение на векторите a и b, получаваме от формула (3) следната детерминанта на израза върху елементите на 1-ви ред, получаваме ( 4). Примери. 1. Намерете площта на успоредника, изграден върху векторите.Необходимата площ Следователно намираме = от където 2. Намерете площта на триъгълника (фиг. 36). Ясно е, че площта b "d на триъгълника JSC е равна на половината от площта S на успоредника O AC B. Изчисляване на векторния продукт (a, b | на вектори a \u003d OA и b \u003d b \u003d ob ), получаваме (a, b), c) = [a, |b, c)) не е вярно в общия случай. Например за a = ss j имаме § 7. Смесено произведение на вектори Нека имаме три вектора a, b и c. Умножете векторите a и 1> векторно. В резултат на това получаваме вектора [a, 1>]. Умножаваме го скаларно по вектора c: (k b), c. Числото ( [a, b], e) се нарича смесеното произведение на векторите a, b.c и се обозначава със символа (a, 1), e) 7.1 Геометричният смисъл на смесеното произведение Нека оставим настрана вектори a, b и от общата точка O (фиг. 37).Ако всичките четири точки O, A, B, C лежат в една и съща равнина (векторите a, b и c се наричат ​​в този случай компланарни), тогава смесената произведение ([a, b], c) = 0. Това следва от факта, че векторът [a, b| е перпендикулярен на равнината, в която лежат векторите a и 1 ", а оттам и векторът c. / Ако t точки O, A, B, C не лежат в една и съща равнина (векторите a, b и c са некомпланарни), ще изградим паралелепипед върху ръбовете OA, OB и OS (фиг. 38 а). По дефиницията на кръстосаното произведение имаме (a,b) = So c, където So е площта на успоредника OADB, а c е единичен вектор, перпендикулярен на векторите a и b и такъв, че тройката a , b, c е прав, т.е. векторите a, b и c са разположени съответно като палеца, показалеца и средния пръст на дясната ръка (фиг. 38 b). Умножавайки двете части на последното равенство на десния скалар по вектора c, получаваме, че векторното произведение на векторите, дадено от координатите. Смесена работа. Числото rc c е равно на височината h на построения паралелепипед, взета със знака „+“, ако ъгълът между векторите c и c е остър (тройката a, b, c е права), и със знака „ -” ако ъгълът е тъп (тройката a, b, c - ляво), така че По този начин смесеното произведение на векторите a, b и c е равно на обема V на паралелепипеда, изграден върху тези вектори като върху ръбове ако тройката a, b, c е дясна, и -V, ако тройката a , b, c - лява. Въз основа на геометричния смисъл на смесеното произведение можем да заключим, че чрез умножаване на същите вектори a, b и c във всеки друг ред винаги ще получаваме или +7, или -K. Знакът на про- Фиг. 38 справката ще зависи само от това кой триплет образуват умножените вектори - десен или ляв. Ако векторите a, b, c образуват дясна тройка, тогава тройките b, c, a и c, a, b също ще бъдат прави. В същото време и трите тройки b, a, c; a, c, b и c, b, a - ляво. Така (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b , а). Още веднъж подчертаваме, че смесеното произведение на векторите е равно на нула тогава и само тогава, когато умножените вектори a, b, c са копланарни: (a, b, c са копланарни) 7.2. Смесен продукт в координати Нека векторите a, b, c са дадени от техните координати в основата i, j, k: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Нека намерим израз за тяхното смесено произведение (a, b, c). Имаме смесено произведение на вектори, дадени от техните координати в основата i, J, k, равно на детерминанта от трети ред, чиито линии са съставени съответно от координатите на първия, втория и третия от умножения вектори. Необходимото и достатъчно условие за компланарност на векторите a y\, Z|), b = (xx, y2.22), c = (x3, uz, 23) може да се запише в следния вид z, ar2 y2 -2 =0. Uz пример. Проверете дали векторите v = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) са компланарни. Разглежданите вектори ще бъдат копланарни или некомпланарни, в зависимост от това дали детерминантата е равна на нула или не.Развивайки го по отношение на елементите на първия ред, получаваме 7.3. Двойно кръстосано произведение Двойното кръстосано произведение [a, [b, c]] е вектор, перпендикулярен на векторите a и [b, c]. Следователно тя лежи в равнината на векторите b и c и може да се разложи в тези вектори. Може да се покаже, че формулата [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) е валидна. Упражнения 1. Три вектора AB = c, W? = o и CA = b служат като страни на триъгълника. Изразете чрез a, b и c векторите, съвпадащи с медианите AM, DN, CP на триъгълника. 2. Какво условие трябва да бъде свързано между векторите p и q, така че векторът p + q да разделя ъгъла между тях наполовина? Предполага се, че и трите вектора са свързани с общ произход. 3. Изчислете дължината на диагоналите на успоредника, построен върху векторите a = 5p + 2q и b = p - 3q, ако е известно, че |p| = 2v/2, |q| = 3 H-(p7ci) = f. 4. Означавайки с a и b страните на ромба, излизащи от общ връх, докажете, че диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни. 5. Изчислете скалярното произведение на векторите a = 4i + 7j + 3k и b = 31 - 5j + k. 6. Намерете единичния вектор a0, успореден на вектора a = (6, 7, -6). 7. Намерете проекцията на вектора a = l+ j- kHa вектор b = 21 - j - 3k. 8. Намерете косинуса на ъгъла между векторите IS "w, ако A (-4.0.4), B (-1.6.7), C (1.10.9). 9. Намерете единичен вектор p°, който е едновременно перпендикулярен на вектора a = (3, 6, 8) и на оста x. 10. Изчислете синуса на ъгъла между диагоналите на паралелофама, построен върху векторите a = 2i+J-k, b=i-3j + k както на страните. Изчислете височината h на паралелепипеда, построен върху векторите a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, ако успоредникът, построен върху векторите a и I, се вземе за основа). Отговори

7.1. Дефиниция на кръстосано произведение

Три некомпланарни вектора a, b и c, взети в посочения ред, образуват дясна тройка, ако от края на третия вектор c най-късият завой от първия вектор a към втория вектор b се вижда обратно на часовниковата стрелка, и наляво, ако е по посока на часовниковата стрелка (виж Фиг. 16).

Векторното произведение на вектор a и вектор b се нарича вектор c, който:

1. Перпендикулярно на векторите a и b, т.е. c ^ a и c ^ b;

2. Има дължина, числено равна на площта на успоредника, построен върху векторите a иbкакто отстрани (виж фиг. 17), т.е.

3. Векторите a , b и c образуват дясна тройка.

Векторното произведение се означава с a x b или [a,b]. От дефиницията на векторно произведение директно следват следните отношения между ортите i, йи к(вижте фиг. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Нека докажем, например, това i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, но | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) вектори i, j и кобразуват дясна тройка (виж фиг. 16).

7.2. Свойства на кръстосани продукти

1. При пренареждане на факторите векторното произведение променя знака, т.е. и xb \u003d (b xa) (виж Фиг. 19).

Векторите a xb и b xa са колинеарни, имат еднакви модули (площта на паралелограма остава непроменена), но са противоположно насочени (тройки a, b, a xb и a, b, b x a с противоположна ориентация). Това е axb = -(bxa).

2. Векторният продукт има комбинирано свойство по отношение на скаларния фактор, т.е. l ​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Нека l >0. Векторът l (a xb) е перпендикулярен на векторите a и b. вектор ( ла) х bсъщо е перпендикулярна на векторите a и b(вектори a, лно лежат в една равнина). Така че векторите л(a xb) и ( ла) х bколинеарен. Очевидно е, че посоките им съвпадат. Имат еднаква дължина:

Ето защо л(a xb)= л a xb. По подобен начин се доказва за л<0.

3. Два ненулеви вектора a и bса колинеарни тогава и само ако тяхното векторно произведение е равно на нулевия вектор, т.е. и ||b<=>и xb \u003d 0.

По-специално, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторният продукт има разпределително свойство:

(а+б) xs = a xs + b xs .

Приеми без доказателства.

7.3. Изразяване на кръстосано произведение по отношение на координати

Ще използваме векторната таблица с кръстосано произведение i, йи к:

ако посоката на най-късия път от първия вектор до втория съвпада с посоката на стрелката, тогава продуктът е равен на третия вектор, ако не съвпада, третият вектор се взема със знак минус.

Нека два вектора a =a x i +a y й+аз ки b=bx аз+от й+bz к. Нека намерим векторното произведение на тези вектори, като ги умножим като полиноми (според свойствата на векторното произведение):

Получената формула може да бъде написана дори по-кратко:

тъй като дясната страна на равенството (7.1) съответства на разширението на детерминанта от трети ред по отношение на елементите на първия ред.Равенството (7.2) е лесно за запомняне.

7.4. Някои приложения на кръстосаното произведение

Установяване на колинеарност на вектори

Намиране на лицето на успоредник и триъгълник

Според дефиницията на кръстосаното произведение на векторите аи б |a xb | =| а | * |b |sin g , т.е. S par = |a x b |. И следователно D S \u003d 1/2 | a x b |.

Определяне на момента на силата спрямо точка

Нека в точка А е приложена сила F = ABостави О- някаква точка в пространството (виж фиг. 20).

От физиката е известно, че въртящ момент Е спрямо точката Онаречен вектор М,който минава през точката Ои:

1) перпендикулярна на равнината, минаваща през точките О, А, Б;

2) числено равно на произведението на силата и рамото

3) образува дясна тройка с вектори OA и A B .

Следователно M \u003d OA x F.

Намиране на линейната скорост на въртене

Скорост vточка М на твърдо тяло, въртящо се с ъглова скорост wоколо фиксирана ос, се определя от формулата на Ойлер v \u003d w x r, където r \u003d OM, където O е някаква фиксирана точка на оста (виж фиг. 21).

СМЕСЕН ПРОДУКТ ОТ ТРИ ВЕКТОРА И НЕГОВИТЕ СВОЙСТВА

смесен продукттри вектора се нарича число, равно на . Означено . Тук първите два вектора се умножават векторно и след това полученият вектор се умножава скаларно по третия вектор. Очевидно такъв продукт е някакво число.

Обмислете свойствата на смесения продукт.

1. геометричен смисълсмесен продукт. Смесеното произведение на 3 вектора с точност до знак е равно на обема на паралелепипеда, изграден върху тези вектори, като по ръбове, т.е. .

   По този начин и .

   

   Доказателство. Нека отложим векторите от общото начало и построим паралелепипед върху тях. Нека обозначим и отбележим, че . По дефиниция на скаларното произведение

   Приемайки това и обозначавайки чрез чвисочината на паралелепипеда, намираме .

   По този начин, при

   Ако , тогава и . Следователно,.

   Комбинирайки тези два случая, получаваме или .

   От доказателството на това свойство, по-специално, следва, че ако тройката от вектори е дясно, тогава смесеното произведение , а ако е ляво, тогава .

2. За всякакви вектори , , равенството

   Доказателството за това свойство следва от свойство 1. Наистина е лесно да се покаже, че и . Освен това знаците "+" и "-" се вземат едновременно, т.к ъглите между векторите и и и са както остри, така и тъпи.

3. Когато всеки два фактора се разменят, смесеният продукт променя знака.

   Всъщност, ако разгледаме смесения продукт, тогава например или

4. Смесен продукт тогава и само ако един от множителите е равен на нула или векторите са копланарни.

   Доказателство.

   Следователно необходимо и достатъчно условие за компланарността на 3 вектора е равенството на нула на тяхното смесено произведение. Освен това от това следва, че три вектора образуват основа в пространството, ако .

   Ако векторите са дадени в координатна форма, тогава може да се покаже, че техният смесен продукт се намира по формулата:

   .

   По този начин смесеният продукт е равен на детерминанта от трети ред, чийто първи ред съдържа координатите на първия вектор, вторият ред съдържа координатите на втория вектор, а третият ред съдържа координатите на третия вектор.

   Примери.

АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВОТО

Уравнението F(x, y, z)= 0 дефинира в пространството Oxyzнякаква повърхност, т.е. геометрично място на точки, чиито координати x, y, zудовлетворяват това уравнение. Това уравнение се нарича уравнение на повърхността и x, y, z– текущи координати.

Често обаче повърхността не се определя от уравнение, а като набор от точки в пространството, които имат едно или друго свойство. В този случай е необходимо да се намери уравнението на повърхността въз основа на нейните геометрични свойства.

САМОЛЕТ.

НОРМАЛЕН РАВНИНСКИ ВЕКТОР.

УРАВНЕНИЕ НА РАВНИНА, ПРЕМИНАВАЩА ПРЕЗ ДАДЕНА ТОЧКА

Да разгледаме произволна равнина σ в пространството. Неговата позиция се определя чрез задаване на вектор, перпендикулярен на тази равнина, и някаква фиксирана точка M0(x0, y 0, z0), лежаща в равнината σ.

Векторът, перпендикулярен на равнината σ, се нарича нормалновектор на тази равнина. Нека векторът има координати.

Извеждаме уравнението за равнината σ, минаваща през дадената точка M0и има нормален вектор. За да направите това, вземете произволна точка от равнината σ M(x, y, z)и разгледайте вектора.

За всяка точка МÎ σ вектор Следователно скаларното им произведение е равно на нула. Това равенство е условието, че точката МО σ. Тя е валидна за всички точки на тази равнина и се нарушава веднага щом точката Мще бъде извън равнината σ.

Ако означим с радиус вектор точките М, е радиус векторът на точката M0, тогава уравнението може да бъде написано като

Това уравнение се нарича векторуравнение на равнината. Нека го запишем в координатна форма. От тогава

И така, получихме уравнението на равнината, минаваща през дадената точка. По този начин, за да съставите уравнението на равнината, трябва да знаете координатите на нормалния вектор и координатите на някаква точка, разположена в равнината.

Забележете, че уравнението на равнината е уравнение от 1-ва степен по отношение на текущите координати x, yи z.

Примери.

ОБЩО УРАВНЕНИЕ НА РАВНИНАТА

Може да се покаже, че всяко уравнение от първа степен по отношение на декартови координати x, y, zе уравнение на някаква равнина. Това уравнение се записва като:

Axe+By+Cz+D=0

и се обади общо уравнениеравнина и координатите А, Б, Втук са координатите на нормалния вектор на равнината.

Нека разгледаме частни случаи на общото уравнение. Нека да разберем как се намира равнината спрямо координатната система, ако един или повече коефициенти на уравнението са нулеви.

А е дължината на сегмента, отсечен от равнината на оста вол. По подобен начин може да се покаже това bи ° Сса дължините на отсечките, отсечени от разглежданата равнина върху осите Ойи Оз.

Удобно е да се използва уравнението на равнина в сегменти за конструиране на равнини.