სამი ვექტორის შერეული პროდუქტი და მისი თვისებები

შერეული სამუშაოსამ ვექტორს ეწოდება რიცხვი ტოლი . დანიშნული . აქ პირველი ორი ვექტორი მრავლდება ვექტორულად და შემდეგ მიღებული ვექტორი მრავლდება სკალარულად მესამე ვექტორზე. ცხადია, ასეთი პროდუქტი არის გარკვეული რიცხვი.

განვიხილოთ შერეული პროდუქტის თვისებები.

1. გეომეტრიული მნიშვნელობაშერეული სამუშაო. 3 ვექტორის შერეული ნამრავლი, ნიშანმდე, უდრის ამ ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობას, როგორც კიდეებზე, ე.ი. .

   ამრიგად, და .

   

   მტკიცებულება. გამოვყოთ ვექტორები საერთო საწყისიდან და ავაშენოთ მათზე პარალელეპიპედი. მოდით აღვნიშნოთ და აღვნიშნოთ, რომ. სკალარული პროდუქტის განმარტებით

   ვივარაუდოთ რომ და აღვნიშნოთ თიპოვეთ პარალელეპიპედის სიმაღლე.

   ამრიგად, როდესაც

   თუ, მაშინ ასეა. აქედან გამომდინარე,.

   ამ ორივე შემთხვევის გაერთიანებით მივიღებთ ან .

   ამ თვისების, კერძოდ, მტკიცებულებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ ვექტორთა სამმაგი მემარჯვენეა, მაშინ შერეული ნამრავლი არის , ხოლო თუ ის მარცხენაა, მაშინ .

2. ნებისმიერი ვექტორისთვის , ტოლობა მართალია

   ამ თვისების დადასტურება გამომდინარეობს თვისებიდან 1. მართლაც, ადვილია იმის ჩვენება, რომ და . უფრო მეტიც, ნიშნები „+“ და „–“ ერთდროულად მიიღება, რადგან კუთხეები ვექტორებს შორის და და არის ორივე მწვავე და ბლაგვი.

3. ნებისმიერი ორი ფაქტორის გადაწყობისას შერეული სამუშაოცვლის ნიშანს.

   მართლაც, თუ განვიხილავთ შერეულ პროდუქტს, მაშინ, მაგალითად, ან

4. შერეული პროდუქტი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია ან ვექტორები თანაპლანსურია.

   მტკიცებულება.

   ამრიგად, 3 ვექტორის თანაპლენარობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა მათი შერეული ნამრავლი ნულის ტოლი. გარდა ამისა, აქედან გამომდინარეობს, რომ სამი ვექტორი ქმნის საფუძველს სივრცეში, თუ .

   თუ ვექტორები მოცემულია კოორდინატთა სახით, მაშინ შეიძლება აჩვენოს, რომ მათი შერეული პროდუქტი გვხვდება ფორმულით:

   .

   ამრიგად, შერეული ნამრავლი უდრის მესამე რიგის განმსაზღვრელს, რომელსაც აქვს პირველი ვექტორის კოორდინატები პირველ სტრიქონში, მეორე ვექტორის კოორდინატები მეორე სტრიქონში და მესამე ვექტორის კოორდინატები მესამე ხაზში.

   მაგალითები.

ანალიტიკური გეომეტრია სივრცეში

განტოლება F(x, y, z)= 0 განსაზღვრავს სივრცეში ოქსიზირაღაც ზედაპირი, ე.ი. წერტილების ლოკუსი, რომლის კოორდინატები x, y, zდააკმაყოფილეთ ეს განტოლება. ამ განტოლებას ეწოდება ზედაპირის განტოლება და x, y, z- მიმდინარე კოორდინატები.

თუმცა, ხშირად ზედაპირი არ არის განსაზღვრული განტოლებით, არამედ როგორც სივრცეში წერტილების ერთობლიობა, რომლებსაც აქვთ ამა თუ იმ თვისება. ამ შემთხვევაში აუცილებელია ზედაპირის განტოლების პოვნა მისი გეომეტრიული თვისებების მიხედვით.

თვითმფრინავი.

ნორმალური სიბრტყის ვექტორი.

მოცემულ წერტილში გამავალი თვითმფრინავის განტოლება

განვიხილოთ თვითნებური სიბრტყე σ სივრცეში. მისი პოზიცია განისაზღვრება ამ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ვექტორის და გარკვეული ფიქსირებული წერტილის მითითებით M0(x 0, y 0, z 0), წევს σ სიბრტყეში.

σ სიბრტყის პერპენდიკულარულ ვექტორს ეწოდება ნორმალურიამ სიბრტყის ვექტორი. დაე, ვექტორს ჰქონდეს კოორდინატები.

გამოვიყვანოთ ამ წერტილში გამავალი σ სიბრტყის განტოლება M0და აქვს ნორმალური ვექტორი. ამისათვის აიღეთ თვითნებური წერტილი σ სიბრტყეზე M(x, y, z)და განიხილეთ ვექტორი.

ნებისმიერი წერტილისთვის მО σ არის ვექტორი, შესაბამისად, მათი სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია. ეს თანასწორობა არის ის პირობა, რომ წერტილი მО ს. იგი მოქმედებს ამ სიბრტყის ყველა პუნქტზე და ირღვევა წერტილისთანავე მიქნება σ სიბრტყის გარეთ.

თუ წერტილებს რადიუსის ვექტორით აღვნიშნავთ მ, – წერტილის რადიუსის ვექტორი M0, მაშინ განტოლება შეიძლება დაიწეროს ფორმით

ეს განტოლება ე.წ ვექტორისიბრტყის განტოლება. ჩავწეროთ კოორდინატულად. მას შემდეგ

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება. ამრიგად, სიბრტყის განტოლების შესაქმნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ნორმალური ვექტორის კოორდინატები და სიბრტყეზე მდებარე რომელიმე წერტილის კოორდინატები.

გაითვალისწინეთ, რომ სიბრტყის განტოლება არის 1-ლი ხარისხის განტოლება მიმდინარე კოორდინატებთან მიმართებაში. x, yდა ზ.

მაგალითები.

სიბრტყის ზოგადი განტოლება

შეიძლება აჩვენოს, რომ ნებისმიერი პირველი ხარისხის განტოლება დეკარტის კოორდინატებთან მიმართებაში x, y, zწარმოადგენს ზოგიერთი სიბრტყის განტოლებას. ეს განტოლება იწერება როგორც:

Axe+By+Cz+D=0

და ეწოდება ზოგადი განტოლებათვითმფრინავი და კოორდინატები A, B, Cაქ არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.

განვიხილოთ ზოგადი განტოლების განსაკუთრებული შემთხვევები. მოდით გავარკვიოთ, როგორ მდებარეობს სიბრტყე კოორდინატთა სისტემის მიმართ, თუ განტოლების ერთი ან მეტი კოეფიციენტი ნული გახდება.

A არის ღერძზე სიბრტყით მოწყვეტილი სეგმენტის სიგრძე ოქსი. ანალოგიურად, შეიძლება იმის ჩვენება, რომ ბდა გ– ღერძებზე განსახილველი სიბრტყით მოწყვეტილი სეგმენტების სიგრძე ოიდა ოზი.

სიბრტყეების ასაგებად მოსახერხებელია სიბრტყის განტოლების გამოყენება სეგმენტებში.

წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები

წერტილოვანი პროდუქტივექტორები, განმარტება, თვისებები

ხაზოვანი მოქმედებები ვექტორებზე.

ვექტორები, ძირითადი ცნებები, განმარტებები, მათზე წრფივი მოქმედებები

სიბრტყეზე ვექტორი არის მისი წერტილების მოწესრიგებული წყვილი, პირველ წერტილს ეწოდება დასაწყისი, ხოლო მეორე წერტილი არის ვექტორის დასასრული.

ორ ვექტორს ტოლი ეწოდება, თუ ისინი თანაბარი და თანამიმართულები არიან.

ვექტორებს, რომლებიც დევს ერთსა და იმავე წრფეზე, ეწოდება თანამიმართულები, თუ ისინი თანამიმართულნი არიან ზოგიერთ იმავე ვექტორთან, რომელიც არ დევს ამ ხაზზე.

ვექტორებს, რომლებიც დევს ერთსა და იმავე წრფეზე ან პარალელურ ხაზებზე, ეწოდება კოლინარული, ხოლო კოლინურს, მაგრამ არა თანამიმართულს, საპირისპიროდ მიმართულს.

პერპენდიკულარულ წრფეებზე მოთავსებულ ვექტორებს ორთოგონალური ეწოდება.

განმარტება 5.4. თანხა ა+ბ ვექტორები ა და ბ ეწოდება ვექტორი, რომელიც მოდის ვექტორის დასაწყისიდან ა ვექტორის ბოლომდე ბ , თუ ვექტორის დასაწყისი ბ ემთხვევა ვექტორის დასასრულს ა .

განმარტება 5.5. განსხვავებით ა – ბ ვექტორები ა და ბ ასეთ ვექტორს უწოდებენ თან , რომელიც ემატება ვექტორს ბ იძლევა ვექტორს ა .

განმარტება 5.6. ნამუშევარიკ ა ვექტორი ა თითო რიცხვზე კვექტორად წოდებული ბ , ვექტორთან კოლინარული ა , რომელსაც აქვს |-ის ტოლი მოდული კ||ა |, და მიმართულება, რომელიც ემთხვევა მიმართულებას ა ზე კ>0 და პირიქით ა ზე კ<0.

ვექტორის რიცხვზე გამრავლების თვისებები:

საკუთრება 1. კ(ა+ბ ) = კ ა+k ბ.

საკუთრება 2. (კ + მ)ა = კ ა+მ ა.

საკუთრება 3. კ(მ ა) = (კმ)ა .

შედეგი. თუ არა ნულოვანი ვექტორები ა და ბ არის კოლინარული, მაშინ არის ასეთი რიცხვი კ, რა ბ = კ ა.

ორი არანულოვანი ვექტორის სკალარული ნამრავლი ადა ბარის რიცხვი (სკალარი) ამ ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის φ კუთხის კოსინუსების ნამრავლის ტოლი. წერტილოვანი პროდუქტი შეიძლება აღინიშნოს სხვადასხვა გზით, მაგალითად, როგორც აბ, ა · ბ, (ა , ბ), (ა · ბ). ასე რომ, წერტილის პროდუქტი არის:

ა · ბ = |ა| · | ბ| cos φ

თუ ვექტორებიდან ერთი მაინც არის ნული, მაშინ სკალარული ნამრავლი არის ნული.

· პერმუტაციის თვისება: ა · ბ = ბ · ა(სკალარული პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისგან);

· სადისტრიბუციო ქონება: ა · ( ბ · გ) = (ა · ბ) · გ(შედეგი არ არის დამოკიდებული გამრავლების თანმიმდევრობაზე);

· კომბინაციის თვისება (სკალარული ფაქტორის მიმართ): (λ ა) · ბ = λ ( ა · ბ).

· ორთოგონალურობის თვისება (პერპენდიკულარულობა): თუ ვექტორი ადა ბარ არის ნულოვანი, მაშინ მათი სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ეს ვექტორები ორთოგონალურია (ერთმანეთზე პერპენდიკულარული) ა ┴ ბ;

· კვადრატის საკუთრება: ა · ა = ა 2 = |ა| 2 (ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთან უდრის მისი მოდულის კვადრატს);

· თუ ვექტორების კოორდინატები ა=(x 1, y 1, z 1) და ბ=(x 2 , y 2 , z 2 ), მაშინ სკალარული ნამრავლი უდრის ა · ბ= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.

ვექტორის ტარების ვექტორები. განმარტება: ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი არის ვექტორი, რომლისთვისაც:

მოდული ტოლია ამ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობის, ე.ი. , სად არის კუთხე ვექტორებს შორის და

ეს ვექტორი პერპენდიკულარულია გამრავლებულ ვექტორებზე, ე.ი.

თუ ვექტორები არასწორხაზოვანია, მაშინ ისინი ქმნიან ვექტორების მარჯვენა სამეულს.

ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები:

1. ფაქტორების რიგის შეცვლისას ვექტორული ნამრავლი ცვლის თავის ნიშანს საპირისპიროდ, ინარჩუნებს მოდულს, ე.ი.

2 .ვექტორის კვადრატი ნულ ვექტორის ტოლია, ე.ი.

3 .სკალარული ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ვექტორული ნამრავლის ნიშნიდან, ე.ი.

4 .ნებისმიერი სამი ვექტორისთვის ტოლობა მართალია

5 .აუცილებელი და საკმარისი პირობა ორი ვექტორის კოლინარობისთვის და :

სანამ ვექტორული ნამრავლის ცნებას მოვიყვანთ, მივმართოთ საკითხს a →, b →, c → ვექტორების მოწესრიგებული სამეულის ორიენტაციის შესახებ სამგანზომილებიან სივრცეში.

დასაწყისისთვის, ერთი წერტილიდან გამოვყოთ a → , b → , c → ვექტორები. სამმაგი a → , b → , c → ორიენტაცია შეიძლება იყოს მარჯვნივ ან მარცხნივ, რაც დამოკიდებულია თავად c → ვექტორის მიმართულებაზე. სამმაგი a → , b → , c → განისაზღვრება იმ მიმართულებით, რომლითაც უმოკლეს ბრუნი კეთდება a ვექტორიდან b → c → ვექტორის ბოლოდან.

თუ უმოკლეს შემობრუნება ხორციელდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაშინ ვექტორების სამმაგი a → , b → , c → ე.წ. უფლებათუ საათის ისრის მიმართულებით - დატოვა.

შემდეგი, აიღეთ ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი a → და b →. შემდეგ გამოვსახოთ ვექტორები A B → = a → და A C → = b → A წერტილიდან. ავაშენოთ ვექტორი A D → = c →, რომელიც ერთდროულად არის პერპენდიკულარული A B → და A C →. ამრიგად, თავად ვექტორის აგებისას A D → = c → შეგვიძლია ეს გავაკეთოთ ორი გზით, მივცეთ მას ერთი მიმართულება ან საპირისპირო (იხ. ილუსტრაცია).

ვექტორების მოწესრიგებული სამეული a → , b → , c → შეიძლება იყოს, როგორც გავარკვიეთ, მარჯვნივ ან მარცხნივ, ვექტორის მიმართულებიდან გამომდინარე.

ზემოაღნიშნულიდან შეგვიძლია შემოვიტანოთ ვექტორული პროდუქტის განმარტება. ეს განმარტება მოცემულია ორ ვექტორზე, რომლებიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

განმარტება 1

ორი ვექტორის a → და b → ვექტორული ნამრავლი ჩვენ დავარქმევთ ისეთ ვექტორს, რომელიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, რომ:

• თუ a → და b → ვექტორები წრფივია, ის იქნება ნული;
• ის იქნება პერპენდიკულარული როგორც a → ​ ვექტორის, ასევე b ვექტორის მიმართ, ე.ი. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• მისი სიგრძე განისაზღვრება ფორმულით: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → ვექტორების სამეულს იგივე ორიენტაცია აქვს, რაც მოცემულ კოორდინატულ სისტემას.

a → და b → ვექტორების ნამრავლს აქვს შემდეგი აღნიშვნა: a → × b →.

ვექტორული პროდუქტის კოორდინატები

ვინაიდან ნებისმიერ ვექტორს აქვს გარკვეული კოორდინატები კოორდინატთა სისტემაში, შეგვიძლია შემოვიტანოთ ვექტორული პროდუქტის მეორე განმარტება, რომელიც საშუალებას მოგვცემს ვიპოვოთ მისი კოორდინატები ვექტორების მოცემული კოორდინატების გამოყენებით.

განმარტება 2

სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი a → = (a x ; a y ; a z) და b → = (b x ; b y ; b z) ეწოდება ვექტორი c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , სადაც i → , j → , k → არის კოორდინატული ვექტორები.

ვექტორული ნამრავლი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მესამე რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, სადაც პირველი მწკრივი შეიცავს ვექტორებს i → , j → , k → , მეორე რიგი შეიცავს a → ვექტორის კოორდინატებს, ხოლო მესამე მწკრივს. შეიცავს b → ვექტორის კოორდინატებს მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, ეს არის მატრიცის განმსაზღვრელი ასე გამოიყურება: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

ამ განმსაზღვრელი პირველი რიგის ელემენტებად გაფართოებით მივიღებთ ტოლობას: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x = → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები

ცნობილია, რომ ვექტორული ნამრავლი კოორდინატებში წარმოდგენილია როგორც c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z მატრიცის განმსაზღვრელი, შემდეგ საფუძველზე მატრიცის განმსაზღვრელი თვისებებინაჩვენებია შემდეგი ვექტორული პროდუქტის თვისებები:

1. ანტიკომუტატიურობა a → × b → = - b → × a →;
2. განაწილება a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ან a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ასოციაციურობა λ a → × b → = λ a → × b → ან a → × (λ b →) = λ a → × b →, სადაც λ არის თვითნებური რეალური რიცხვი.

ამ თვისებებს აქვს მარტივი მტკიცებულება.

მაგალითად, შეგვიძლია დავამტკიცოთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტაციური თვისება.

ანტიკომუტატიურობის მტკიცებულება

განმარტებით, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z და b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. და თუ მატრიცის ორი მწკრივი შეიცვალა, მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს საპირისპიროდ, შესაბამისად, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y - b → × a → , რაც და ადასტურებს, რომ ვექტორული ნამრავლი ანტიკომუტატიულია.

ვექტორული პროდუქტი - მაგალითები და გადაწყვეტილებები

უმეტეს შემთხვევაში, სამი სახის პრობლემაა.

პირველი ტიპის ამოცანებში, როგორც წესი, მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე და თქვენ უნდა იპოვოთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე. ამ შემთხვევაში გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

მაგალითი 1

იპოვეთ a → და b → ვექტორების ნამრავლის სიგრძე, თუ იცით a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

გამოსავალი

a → და b → ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძის განსაზღვრით ვხსნით ამ ამოცანას: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

პასუხი: 15 2 2 .

მეორე ტიპის ამოცანებს აქვს კავშირი ვექტორების კოორდინატებთან, მათში ვექტორულ ნამრავლთან, მის სიგრძესთან და ა.შ. იძებნება მოცემული ვექტორების ცნობილი კოორდინატების მეშვეობით a → = (a x; a y; a z) და b → = (b x ; b y ; b z) .

ამ ტიპის პრობლემის გადასაჭრელად შეგიძლიათ ამოცანების მრავალი ვარიანტის გადაჭრა. მაგალითად, შეიძლება მითითებული იყოს არა a → და b → ვექტორების კოორდინატები, არამედ მათი გაფართოება ფორმის კოორდინატ ვექტორებად. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → და c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, ან a → და b → ვექტორები შეიძლება დაზუსტდეს მათი დაწყების კოორდინატებით და ბოლო წერტილები.

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითები.

მაგალითი 2

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია ორი ვექტორი: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). იპოვეთ მათი ჯვარედინი პროდუქტი.

გამოსავალი

მეორე განმარტებით, ჩვენ ვპოულობთ ორი ვექტორის ნამრავლს მოცემულ კოორდინატებში: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

თუ ვექტორულ ნამრავლს ჩავწერთ მატრიცის განმსაზღვრელი საშუალებით, მაშინ ამ მაგალითის ამოხსნა ასე გამოიყურება: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

პასუხი: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

მაგალითი 3

იპოვეთ i → - j → და i → + j → + k → ვექტორების ნამრავლის სიგრძე, სადაც i →, j →, k → არის მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ერთეული ვექტორები.

გამოსავალი

ჯერ ვიპოვოთ მოცემული ვექტორული ნამრავლის კოორდინატები i → - j → × i → + j → + k → მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

ცნობილია, რომ i → - j → და i → + j → + k → ვექტორებს აქვთ კოორდინატები (1; - 1; 0) და (1; 1; 1). ვიპოვოთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე მატრიცის დეტერმინანტის გამოყენებით, შემდეგ გვაქვს i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

ამიტომ ვექტორულ ნამრავლს i → - j → × i → + j → + k → აქვს კოორდინატები (- 1 ; - 1 ; 2) მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში.

ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს ვპოულობთ ფორმულის გამოყენებით (იხ. განყოფილება ვექტორის სიგრძის პოვნის შესახებ): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

პასუხი: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

მაგალითი 4

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია სამი წერტილის A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) კოორდინატები. იპოვნეთ A B → და A C → პერპენდიკულარული ვექტორი ერთდროულად.

გამოსავალი

A B → და A C → ვექტორებს აქვთ შემდეგი კოორდინატები (- 1 ; 2 ; 2) და (0 ; 4 ; 1) შესაბამისად. ვიპოვეთ A B → და A C → ვექტორების ვექტორული ნამრავლი, აშკარაა, რომ ის არის პერპენდიკულარული ვექტორი A B → და A C →, ანუ ეს არის ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა. ვიპოვოთ A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

პასუხი: - 6 i → + j → - 4 k → . - ერთ-ერთი პერპენდიკულარული ვექტორი.

მესამე ტიპის ამოცანები ფოკუსირებულია ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებაზე. რომლის გამოყენების შემდეგ ჩვენ მივიღებთ მოცემული პრობლემის გადაწყვეტას.

მაგალითი 5

ვექტორები a → და b → პერპენდიკულარულია და მათი სიგრძეა, შესაბამისად, 3 და 4. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

გამოსავალი

ვექტორული ნამრავლის გამანაწილებელი თვისებით შეგვიძლია დავწეროთ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

ასოციაციურობის თვისებით ვიღებთ ციფრულ კოეფიციენტებს ბოლო გამოსახულებაში ვექტორული ნამრავლების ნიშნიდან: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

ვექტორული ნამრავლები a → × a → და b → × b → ტოლია 0-ის, ვინაიდან a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 და b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, შემდეგ 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a →. .

ვექტორული ნამრავლის ანტიკომუტატიურობიდან გამომდინარეობს - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ბ → . .

ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებით ვიღებთ ტოლობას 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

პირობით, a → და b → ვექტორები პერპენდიკულარულია, ანუ მათ შორის კუთხე უდრის π 2-ს. ახლა რჩება მხოლოდ ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება შესაბამის ფორმულებში: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

პასუხი: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე განსაზღვრებით უდრის a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . ვინაიდან უკვე ცნობილია (სასკოლო კურსიდან), რომ სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ორი გვერდის სიგრძის ნამრავლის ნახევარს, გამრავლებული ამ გვერდებს შორის კუთხის სინუსზე. ამრიგად, ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის პარალელოგრამის ფართობს - გაორმაგებული სამკუთხედი, კერძოდ, გვერდების ნამრავლი a → და b → ვექტორების სახით, რომლებიც განლაგებულია ერთი წერტილიდან, სინუსით. მათ შორის კუთხე sin ∠ a →, b →.

ეს არის ვექტორული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ვექტორული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა

მექანიკაში, ფიზიკის ერთ-ერთ ფილიალში, ვექტორული პროდუქტის წყალობით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ძალის მომენტი სივრცის წერტილთან მიმართებაში.

განმარტება 3

ძალის F → გამოყენებული B წერტილზე, A წერტილთან მიმართებაში, ჩვენ გავიგებთ შემდეგ ვექტორულ ნამრავლს A B → × F →.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ოპერაციას ვექტორებით: ვექტორების ვექტორული ნამრავლიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი (დაუყოვნებელი ბმული მათთვის, ვისაც ეს სჭირდება). არა უშავს, ზოგჯერ ისეც ხდება, რომ სრული ბედნიერებისთვის, გარდა ამისა ვექტორების სკალარული პროდუქტი, უფრო და უფრო მეტია საჭირო. ეს არის ვექტორული დამოკიდებულება. შეიძლება ჩანდეს, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის ჯუნგლებში შევდივართ. ეს არასწორია. უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილებაში ზოგადად ცოტა ხეა, გარდა შესაძლოა საკმარისი პინოქიოს. სინამდვილეში, მასალა ძალიან გავრცელებული და მარტივია - ძნელად უფრო რთული, ვიდრე იგივე წერტილოვანი პროდუქტი, უფრო ნაკლები ტიპიური დავალებაც კი იქნება. ანალიტიკურ გეომეტრიაში მთავარი, როგორც ბევრი დარწმუნდება ან უკვე დარწმუნდა, არის არ დაუშვათ შეცდომები გამოთვლებში. გაიმეორეთ შელოცვის მსგავსად და ბედნიერი იქნებით =)

თუ ვექტორები ანათებენ სადმე შორს, როგორც ელვა ჰორიზონტზე, არ აქვს მნიშვნელობა, დაიწყეთ გაკვეთილით ვექტორები დუმებისთვისვექტორების შესახებ საბაზისო ცოდნის აღდგენა ან ხელახლა მიღება. უფრო მომზადებულ მკითხველებს შეუძლიათ შერჩევითად გაეცნონ ინფორმაციას. შევეცადე შემეგროვებინა მაგალითების ყველაზე სრულყოფილი კოლექცია, რომლებიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკულ მუშაობაში

რა გაგაბედნიერებთ მაშინვე? პატარა რომ ვიყავი, ორი და თუნდაც სამი ბურთის ჟონგლირება შემეძლო. კარგად გამოუვიდა. ახლა თქვენ საერთოდ არ მოგიწევთ ჟონგლირება, რადგან განვიხილავთ მხოლოდ სივრცითი ვექტორები, და ბრტყელი ვექტორები ორი კოორდინატით დარჩება გარეთ. რატომ? ასე დაიბადა ეს მოქმედებები - ვექტორების ვექტორული და შერეული პროდუქტი განისაზღვრება და მუშაობს სამგანზომილებიან სივრცეში. ეს უკვე უფრო ადვილია!

ეს ოპერაცია, ისევე როგორც სკალარული პროდუქტი, მოიცავს ორი ვექტორი. დაე ეს იყოს უხრწნელი ასოები.

თავად მოქმედება აღინიშნებაშემდეგნაირად: . არის სხვა ვარიანტებიც, მაგრამ მე მიჩვეული ვარ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის აღნიშვნას ასე, კვადრატულ ფრჩხილებში ჯვრით.

და მაშინვე კითხვა: თუ შევიდა ვექტორების სკალარული პროდუქტიჩართულია ორი ვექტორი და აქ ორი ვექტორიც მრავლდება, მაშინ რა განსხვავებაა? აშკარა განსხვავებაა, პირველ რიგში, შედეგში:

ვექტორების სკალარული ნამრავლის შედეგია NUMBER:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის შედეგია ვექტორი: , ანუ ვამრავლებთ ვექტორებს და ისევ ვიღებთ ვექტორს. დახურული კლუბი. ფაქტობრივად, სწორედ აქედან მოდის ოპერაციის სახელი. სხვადასხვა საგანმანათლებლო ლიტერატურაში აღნიშვნები ასევე შეიძლება განსხვავდებოდეს მე გამოვიყენებ ასოს.

ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

ჯერ იქნება განმარტება სურათით, მერე კომენტარები.

განმარტება: ვექტორული პროდუქტი არაკოლინარულივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, სახელად ვექტორი, სიგრძერომელიც რიცხობრივად პარალელოგრამის ფართობის ტოლიაამ ვექტორებზე აგებული; ვექტორი ორთოგონალური ვექტორების მიმართდა მიმართულია ისე, რომ საფუძველს ჰქონდეს სწორი ორიენტაცია:

მოდით ცალ-ცალკე დავყოთ განმარტება, აქ ბევრი საინტერესო რამ არის!

ამრიგად, შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი მნიშვნელოვანი პუნქტები:

1) ორიგინალური ვექტორები, რომლებიც მითითებულია წითელი ისრებით, განმარტებით არა კოლინარული. მიზანშეწონილი იქნება კოლინარული ვექტორების შემთხვევა ცოტა მოგვიანებით განვიხილოთ.

2) ვექტორები აღებულია მკაცრად განსაზღვრული თანმიმდევრობით: – "a" მრავლდება "იყოს", და არა „იყოს“ „ა“-ით. ვექტორული გამრავლების შედეგიარის VECTOR, რომელიც მითითებულია ლურჯად. თუ ვექტორები მრავლდება საპირისპირო თანმიმდევრობით, მივიღებთ სიგრძით ტოლ და მიმართულებით საპირისპირო ვექტორს (ჟოლოს ფერი). ანუ თანასწორობა მართალია .

3) ახლა გავეცნოთ ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილია! ლურჯი ვექტორის სიგრძე (და, მაშასადამე, ჟოლოსფერი ვექტორის) რიცხობრივად უდრის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობს. ფიგურაში ეს პარალელოგრამი შავად არის დაჩრდილული.

შენიშვნა : ნახაზი სქემატურია და, ბუნებრივია, ვექტორული ნამრავლის ნომინალური სიგრძე არ არის პარალელოგრამის ფართობის ტოლი.

გავიხსენოთ ერთ-ერთი გეომეტრიული ფორმულა: პარალელოგრამის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს.. ამიტომ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოქმედებს ვექტორული ნამრავლის სიგრძის გამოთვლის ფორმულა:

ხაზს ვუსვამ, რომ ფორმულა ეხება ვექტორის სიგრძეს და არა თავად ვექტორს. რა არის პრაქტიკული მნიშვნელობა? და მნიშვნელობა ის არის, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში, პარალელოგრამის ფართობი ხშირად გვხვდება ვექტორული პროდუქტის კონცეფციის საშუალებით:

მოდით მივიღოთ მეორე მნიშვნელოვანი ფორმულა. პარალელოგრამის დიაგონალი (წითელი წერტილოვანი ხაზი) ​​ყოფს მას ორ ტოლ სამკუთხედად. ამრიგად, ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი (წითელი დაჩრდილვა) შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

4) თანაბრად მნიშვნელოვანი ფაქტია, რომ ვექტორი ორთოგონალურია ვექტორებთან, ანუ . რა თქმა უნდა, საპირისპიროდ მიმართული ვექტორი (ჟოლოს ისარი) ასევე ორთოგონალურია თავდაპირველი ვექტორების მიმართ.

5) ვექტორი მიმართულია ისე, რომ საფუძველიაქვს უფლებაორიენტაცია. გაკვეთილზე იმის შესახებ ახალ ბაზაზე გადასვლასაკმარისად დეტალურად ვისაუბრე თვითმფრინავის ორიენტაციადა ახლა ჩვენ გავარკვევთ რა არის სივრცეში ორიენტაცია. თითებზე აგიხსნი მარჯვენა ხელი. გონებრივად შეაერთეთ საჩვენებელი თითივექტორით და შუა თითივექტორით. ბეჭედი და პატარა თითიდააჭირე მას ხელისგულში. შედეგად ცერა თითი– ვექტორული პროდუქტი გამოჩნდება. ეს არის უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველი (ეს არის ფიგურაში). ახლა შეცვალეთ ვექტორები ( საჩვენებელი და შუა თითები) ზოგან, შედეგად ცერა თითი შემობრუნდება და ვექტორული პროდუქტი უკვე ქვემოთ იყურება. ესეც უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველია. შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა: რომელი საფუძველი აქვს მარცხენა ორიენტაციას? იგივე თითებზე "მინიშნება". მარცხენა ხელივექტორები და მიიღეთ სივრცის მარცხენა საფუძველი და მარცხენა ორიენტაცია (ამ შემთხვევაში, ცერა თითი განთავსდება ქვედა ვექტორის მიმართულებით). ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ეს ფუძეები "უხვევს" ან ორიენტირებს სივრცეს სხვადასხვა მიმართულებით. და ეს კონცეფცია არ უნდა ჩაითვალოს რაღაც შორს ან აბსტრაქტულად - მაგალითად, სივრცის ორიენტაცია იცვლება ყველაზე ჩვეულებრივი სარკით და თუ "ასახულ საგანს ამოიყვანთ შუშიდან", მაშინ ზოგადად შეუძლებელი იქნება მისი "ორიგინალთან" შერწყმა. სხვათა შორის, სამი თითი მიიტანეთ სარკესთან და გააანალიზეთ ანარეკლი ;-)

...რა კარგია, რომ ახლა იცი მარჯვნივ და მარცხნივ ორიენტირებულისაფუძვლები, რადგან ზოგიერთი ლექტორის განცხადება ორიენტაციის ცვლილების შესახებ საშინელია =)

კოლინარული ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი

განმარტება დეტალურად იქნა განხილული, რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ხდება, როდესაც ვექტორები კოლინარულია. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ისინი შეიძლება განთავსდეს ერთ სწორ ხაზზე და ჩვენი პარალელოგრამი ასევე "იკეცოს" ერთ სწორ ხაზზე. ისეთი არეალი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, გადაგვარებულიპარალელოგრამი ნულის ტოლია. იგივე გამომდინარეობს ფორმულიდან - ნულის ან 180 გრადუსის სინუსი ნულის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ფართობი ნულის ტოლია

ამრიგად, თუ, მაშინ და . გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თავად ვექტორული ნამრავლი ტოლია ნულოვანი ვექტორის, მაგრამ პრაქტიკაში ეს ხშირად უგულებელყოფილია და წერენ, რომ ის ასევე ნულის ტოლია.

განსაკუთრებული შემთხვევაა ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი თავისთან:

ვექტორული პროდუქტის გამოყენებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ სამგანზომილებიანი ვექტორების კოლინარულობა და ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ ამ პრობლემას, სხვათა შორის.

პრაქტიკული მაგალითების გადასაჭრელად შეიძლება დაგჭირდეთ ტრიგონომეტრიული ცხრილიმისგან სინუსების მნიშვნელობების პოვნა.

აბა, ავანთოთ ცეცხლი:

მაგალითი 1

ა) იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე თუ

ბ) იპოვეთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი თუ

გამოსავალი: არა, ეს არ არის ბეჭდვითი შეცდომა, შეგნებულად დავწერე თავდაპირველი მონაცემები პუნქტებში. რადგან გადაწყვეტილებების დიზაინი განსხვავებული იქნება!

ა) პირობის მიხედვით უნდა მოძებნოთ სიგრძევექტორი (ჯვარედინი პროდუქტი). შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე:

თუ გკითხეს სიგრძეზე, მაშინ პასუხში მივუთითებთ განზომილებას - ერთეულებს.

ბ) პირობის მიხედვით უნდა მოძებნოთ კვადრატივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი. ამ პარალელოგრამის ფართობი რიცხობრივად უდრის ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს:

უპასუხე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პასუხში საერთოდ არ არის საუბარი ვექტორულ ნამრავლზე ფიგურის ფართობიშესაბამისად, განზომილება არის კვადრატული ერთეული.

ჩვენ ყოველთვის ვუყურებთ რა უნდა ვიპოვოთ პირობის მიხედვით და ამის საფუძველზე ვაყალიბებთ ნათელიპასუხი. შეიძლება სიტყვასიტყვით მოგეჩვენოთ, მაგრამ მათ შორის უამრავი ლიტერატურული მასწავლებელია და დავალებას აქვს კარგი შანსი, რომ დაბრუნდეს გადასინჯვისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ არის განსაკუთრებით შორსმჭვრეტელი ყვირილი - თუ პასუხი არასწორია, მაშინ იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ადამიანს არ ესმის მარტივი რაღაცეები და/ან არ ესმის ამოცანის არსი. ეს პუნქტი ყოველთვის უნდა იყოს კონტროლირებადი უმაღლეს მათემატიკაში და სხვა საგნებში ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრისას.

სად წავიდა დიდი ასო "ენ"? პრინციპში შეიძლებოდა ხსნარზე დამატებით მიმაგრებულიყო, მაგრამ ჩანაწერის შესამცირებლად ეს არ გამიკეთებია. ვიმედოვნებ, რომ ყველას ესმის ეს და არის იგივე აღნიშვნა.

პოპულარული მაგალითი წვრილმანი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

იპოვეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

ვექტორული პროდუქტის მეშვეობით სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა მოცემულია განმარტების კომენტარებში. გამოსავალი და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში, ამოცანა მართლაც ძალიან გავრცელებულია.

სხვა პრობლემების გადასაჭრელად დაგვჭირდება:

ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ვექტორული პროდუქტის ზოგიერთი თვისება, თუმცა მათ ამ სიაში ჩავრიცხავ.

თვითნებური ვექტორებისთვის და თვითნებური რიცხვებისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) ინფორმაციის სხვა წყაროებში ეს პუნქტი, როგორც წესი, არ არის ხაზგასმული თვისებებში, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანია პრაქტიკული თვალსაზრისით. ასე რომ იყოს.

2) – საკუთრებაც ზემოთ არის განხილული, ხანდახან ე.წ ანტიკომუტატიურობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების თანმიმდევრობას აქვს მნიშვნელობა.

3) – ასოციაციური ან ასოციაციურივექტორული პროდუქტის კანონები. მუდმივები ადვილად შეიძლება გადავიდეს ვექტორული პროდუქტის გარეთ. მართლა, რა უნდა ქნან იქ?

4) – განაწილება ან გამანაწილებელივექტორული პროდუქტის კანონები. არც სამაგრების გახსნის პრობლემაა.

დემონსტრირებისთვის, მოდით შევხედოთ მოკლე მაგალითს:

მაგალითი 3

იპოვეთ თუ

გამოსავალი:მდგომარეობა კვლავ მოითხოვს ვექტორული პროდუქტის სიგრძის პოვნას. მოდით დავხატოთ ჩვენი მინიატურა:

(1) ასოციაციური კანონების მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ მუდმივებს ვექტორული ნამრავლის ფარგლებს გარეთ.

(2) ჩვენ ვიღებთ მუდმივას მოდულის გარეთ და მოდული "ჭამს" მინუს ნიშანს. სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

(3) დანარჩენი ნათელია.

უპასუხე:

დროა ცეცხლზე მეტი შეშა დავამატოთ:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

გამოსავალი: იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ფორმულის გამოყენებით . მთავარი ის არის, რომ ვექტორები "ცე" და "დე" თავად არის წარმოდგენილი ვექტორების ჯამებად. ალგორითმი აქ სტანდარტულია და გარკვეულწილად მოგვაგონებს გაკვეთილის მე-3 და მე-4 მაგალითებს ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. სიცხადისთვის, ჩვენ დავყოფთ გამოსავალს სამ ეტაპად:

1) პირველ ეტაპზე ჩვენ ვექტორულ ნამრავლს ვექტორული ნამრავლის საშუალებით გამოვხატავთ, ფაქტობრივად, გამოვხატოთ ვექტორი ვექტორის მიხედვით. სიგრძეზე ჯერ არაფერია ნათქვამი!

(1) ჩაანაცვლეთ ვექტორების გამოსახულებები.

(2) გამანაწილებელი კანონების გამოყენებით ვხსნით ფრჩხილებს მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.

(3) ასოციაციური კანონების გამოყენებით, ჩვენ გადავაადგილებთ ყველა მუდმივას ვექტორული პროდუქტების მიღმა. მცირე გამოცდილებით, მე-2 და მე-3 ნაბიჯების შესრულება შესაძლებელია ერთდროულად.

(4) პირველი და ბოლო წევრი ნულის ტოლია (ნულოვანი ვექტორი) ლამაზი თვისების გამო. მეორე ტერმინში ვიყენებთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურობის თვისებას:

(5) ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.

შედეგად, ვექტორი გამოიხატება ვექტორის საშუალებით, რისი მიღწევაც საჭირო იყო:

2) მეორე საფეხურზე ვპოულობთ ჩვენთვის საჭირო ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს. ეს მოქმედება მსგავსია მაგალითი 3-ის:

3) იპოვეთ საჭირო სამკუთხედის ფართობი:

ამოხსნის 2-3 ეტაპები შეიძლებოდა დაეწერა ერთ სტრიქონში.

უპასუხე:

განხილული პრობლემა საკმაოდ გავრცელებულია ტესტებში, აქ არის მაგალითი მისი გადაჭრისთვის:

მაგალითი 5

იპოვეთ თუ

მოკლე გამოსავალი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ვნახოთ, რამდენად ყურადღებიანი იყავით წინა მაგალითების შესწავლისას ;-)

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი კოორდინატებში

, მითითებული ორთონორმალურ საფუძველზე, გამოხატული ფორმულით:

ფორმულა მართლაც მარტივია: დეტერმინანტის ზედა სტრიქონში ვწერთ კოორდინატთა ვექტორებს, მეორე და მესამე სტრიქონებში „ვაყენებთ“ ვექტორების კოორდინატებს და ვსვამთ. მკაცრი წესით– ჯერ “ve” ვექტორის კოორდინატები, შემდეგ “double-ve” ვექტორის კოორდინატები. თუ ვექტორები უნდა გამრავლდეს სხვა თანმიმდევრობით, მაშინ რიგები უნდა შეიცვალოს:

მაგალითი 10

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები თანამიმართულია:
ა)
ბ)

გამოსავალი: შემოწმება ემყარება ამ გაკვეთილის ერთ-ერთ დებულებას: თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლი ნულის ტოლია (ნულოვანი ვექტორი): .

ა) იპოვნეთ ვექტორული ნამრავლი:

ამრიგად, ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

უპასუხე: ა) არა კოლინარული, ბ)

აქ, ალბათ, არის ყველა ძირითადი ინფორმაცია ვექტორების ვექტორული ნამრავლის შესახებ.

ეს განყოფილება არ იქნება ძალიან დიდი, რადგან ვექტორების შერეული პროდუქტის გამოყენებისას რამდენიმე პრობლემაა. სინამდვილეში, ყველაფერი დამოკიდებული იქნება განმარტებაზე, გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე და რამდენიმე სამუშაო ფორმულაზე.

ვექტორთა შერეული ნამრავლი არის სამი ვექტორის ნამრავლი:

ასე რომ, ისინი მატარებელივით დადგნენ და ვერ ითმენენ ვინაობის ამოცნობას.

ჯერ კიდევ, განმარტება და სურათი:

განმარტება: შერეული სამუშაო არათანაბარივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, დაურეკა პარალელეპიპედური მოცულობა, აგებულია ამ ვექტორებზე, აღჭურვილია „+“ ნიშნით, თუ საფუძველი სწორია და „–“ ნიშნით, თუ საფუძველი დარჩა.

მოდით დავხატოთ. ჩვენთვის უხილავი ხაზები დახატულია წერტილოვანი ხაზებით:

მოდით ჩავუღრმავდეთ განმარტებას:

2) ვექტორები აღებულია გარკვეული თანმიმდევრობით, ანუ პროდუქტში ვექტორების გადაწყობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, შედეგების გარეშე არ ხდება.

3) სანამ გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე კომენტარს გავაკეთებ, აღვნიშნავ აშკარა ფაქტს: ვექტორების შერეული ნამრავლი არის NUMBER: . საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, დიზაინი შეიძლება იყოს ოდნავ განსხვავებული, მე მიჩვეული ვარ შერეული პროდუქტის აღნიშვნას, ხოლო გამოთვლების შედეგი ასო „პე“-თ.

განსაზღვრებით შერეული პროდუქტი არის პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ვექტორებზე (ფიგურა დახატულია წითელი ვექტორებითა და შავი ხაზებით). ანუ რიცხვი უდრის მოცემული პარალელეპიპედის მოცულობას.

შენიშვნა : ნახატი სქემატურია.

4) ისევ ნუ ვიდარდებთ საფუძვლისა და სივრცის ორიენტაციის კონცეფციაზე. ბოლო ნაწილის მნიშვნელობა არის ის, რომ მინუს ნიშანი შეიძლება დაემატოს მოცულობას. მარტივი სიტყვებით, შერეული პროდუქტი შეიძლება იყოს უარყოფითი: .

პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა.

განმარტება. ვექტორის ნამრავლი a (გამრავლება) და არასწორხაზოვანი ვექტორი (მულტიპლიკატორი) არის მესამე ვექტორი c (პროდუქტი), რომელიც აგებულია შემდეგნაირად:

1) მისი მოდული რიცხობრივად ტოლია პარალელოგრამის ფართობის ნახ. 155), აგებულია ვექტორებზე, ანუ ტოლია აღნიშნული პარალელოგრამის სიბრტყის პერპენდიკულარული მიმართულებისა;

3) ამ შემთხვევაში c ვექტორის მიმართულება არჩეულია (ორი შესაძლოდან) ისე, რომ c ვექტორებმა შექმნან მარჯვენა სისტემა (§ 110).

აღნიშვნა: ან

განმარტების დამატება. თუ ვექტორები კოლინარულია, მაშინ ფიგურის (პირობითად) პარალელოგრამის გათვალისწინებით, ბუნებრივია ნულოვანი ფართობის მინიჭება. ამრიგად, კოლინარული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი ითვლება ნულოვანი ვექტორის ტოლად.

ვინაიდან ნულ ვექტორს შეიძლება მიენიჭოს ნებისმიერი მიმართულება, ეს შეთანხმება არ ეწინააღმდეგება განმარტების მე-2 და მე-3 პუნქტებს.

შენიშვნა 1. ტერმინში „ვექტორული ნამრავლი“ პირველი სიტყვა მიუთითებს, რომ მოქმედების შედეგი არის ვექტორი (განსხვავებით სკალარული ნამრავლი; შდრ. § 104, შენიშვნა 1).

მაგალითი 1. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი, სადაც არის სწორი კოორდინატთა სისტემის ძირითადი ვექტორები (სურ. 156).

1. ვინაიდან ძირითადი ვექტორების სიგრძე უდრის ერთი მასშტაბის ერთეულს, პარალელოგრამის (კვადრატის) ფართობი რიცხობრივად ერთის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ ვექტორული ნამრავლის მოდული ერთის ტოლია.

2. ვინაიდან სიბრტყეზე პერპენდიკულარული არის ღერძი, სასურველი ვექტორული ნამრავლი არის ვექტორი k ვექტორის კოლინარული; და რადგან ორივე მათგანს აქვს მოდული 1, სასურველი ვექტორული ნამრავლი უდრის k ან -k.

3. ამ ორი შესაძლო ვექტორიდან უნდა ავირჩიოთ პირველი, ვინაიდან k ვექტორები ქმნიან მემარჯვენე სისტემას (ხოლო ვექტორები მემარცხენე).

მაგალითი 2. იპოვეთ ჯვარედინი ნამრავლი

გამოსავალი. როგორც 1-ელ მაგალითში, დავასკვნათ, რომ ვექტორი ტოლია k ან -k. მაგრამ ახლა ჩვენ უნდა ავირჩიოთ -k, რადგან ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სისტემას (და ვექტორები ქმნიან მარცხენა სისტემას). ასე რომ,

მაგალითი 3. ვექტორებს აქვთ სიგრძე, შესაბამისად 80 და 50 სმ-ის ტოლი და ქმნიან კუთხეს 30°. მეტრის სიგრძის ერთეულად აიღეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე a

გამოსავალი. ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ტოლია სასურველი ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის

მაგალითი 4. იპოვეთ იგივე ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე, აიღეთ სანტიმეტრი სიგრძის ერთეულით.

გამოსავალი. ვინაიდან ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ტოლია, ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის 2000 სმ, ე.ი.

მე-3 და მე-4 მაგალითების შედარებიდან ირკვევა, რომ ვექტორის სიგრძე დამოკიდებულია არა მხოლოდ ფაქტორების სიგრძეზე, არამედ სიგრძის ერთეულის არჩევანზეც.

ვექტორული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა.ვექტორული ნამრავლით წარმოდგენილი მრავალი ფიზიკური სიდიდედან განვიხილავთ მხოლოდ ძალის მომენტს.

მოდით A იყოს ძალის გამოყენების წერტილი O წერტილის მიმართ ძალის მომენტს ვექტორული ნამრავლი ეწოდება, ვინაიდან ამ ვექტორული ნამრავლის მოდული უდრის პარალელოგრამის ფართობს (ნახ. 157). მომენტის მოდული უდრის ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლს, ანუ ძალა გამრავლებული მანძილით O წერტილიდან სწორ ხაზამდე, რომლის გასწვრივაც მოქმედებს ძალა.

მექანიკაში დადასტურებულია, რომ ხისტი სხეულის წონასწორობისთვის აუცილებელია, რომ არა მხოლოდ სხეულზე მიმართული ძალების გამოსახული ვექტორების ჯამი იყოს ნულის ტოლი, არამედ ძალების მომენტების ჯამიც. იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა ძალა პარალელურია ერთი სიბრტყის პარალელურად, ვექტორების დამატება, რომლებიც წარმოადგენენ მომენტებს, შეიძლება შეიცვალოს მათი სიდიდეების შეკრებითა და გამოკლებით. მაგრამ ძალების თვითნებური მიმართულებებით, ასეთი ჩანაცვლება შეუძლებელია. ამის შესაბამისად, ვექტორული ნამრავლი განისაზღვრება ზუსტად როგორც ვექტორი და არა როგორც რიცხვი.