BLANDAD PRODUKT AV TRE VEKTORER OCH DESS EGENSKAPER

blandad produkt tre vektorer kallas ett tal lika med . Betecknas . Här multipliceras de två första vektorerna vektoriellt och sedan multipliceras den resulterande vektorn skalärt med den tredje vektorn. Uppenbarligen är en sådan produkt något nummer.

Tänk på egenskaperna hos den blandade produkten.

1. geometrisk känsla blandad produkt. Den blandade produkten av 3 vektorer, upp till ett tecken, är lika med volymen av parallellepipeden byggd på dessa vektorer, som på kanter, d.v.s. .

   Alltså och .

   

   Bevis. Låt oss skjuta upp vektorerna från det gemensamma ursprunget och bygga en parallellepiped på dem. Låt oss beteckna och notera det. Per definition av den skalära produkten

   Förutsatt att och betecknar igenom h höjden på parallellepipeden finner vi .

   Alltså kl

   Om , då och . Följaktligen.

   Genom att kombinera båda dessa fall får vi eller .

   Av beviset för denna egenskap, i synnerhet, följer att om trippeln av vektorer är rätt, då den blandade produkten , och om den är vänster, då .

2. För alla vektorer , , jämlikheten

   Beviset för denna egenskap följer av egenskap 1. Det är faktiskt lätt att visa att och . Dessutom tas tecknen "+" och "-" samtidigt, eftersom vinklarna mellan vektorerna och och och är både spetsiga eller trubbiga.

3. Genom att växla mellan två olika faktorer blandad produkt byter tecken.

   Faktum är att om vi betraktar den blandade produkten , då, till exempel, eller

4. En blandad produkt om och endast om en av faktorerna är lika med noll eller om vektorerna är koplanära.

   Bevis.

   Således är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för komplanariteten hos 3 vektorer lika med noll av deras blandade produkt. Dessutom följer av detta att tre vektorer utgör en bas i rymden om .

   Om vektorerna ges i koordinatform, kan det visas att deras blandade produkt hittas med formeln:

   .

   Således är den blandade produkten lika med en tredje ordningens determinant vars första linje innehåller koordinaterna för den första vektorn, den andra raden innehåller koordinaterna för den andra vektorn och den tredje raden innehåller koordinaterna för den tredje vektorn.

   Exempel.

ANALYTISK GEOMETRI I RYMMEN

Ekvationen F(x, y, z)= 0 definierar i rymden Oxyz någon yta, dvs. plats för punkter vars koordinater x, y, z uppfylla denna ekvation. Denna ekvation kallas ytekvationen, och x, y, z– aktuella koordinater.

Men ofta definieras ytan inte av en ekvation, utan som en uppsättning punkter i rymden som har en eller annan egenskap. I det här fallet krävs det att hitta ytans ekvation, baserat på dess geometriska egenskaper.

PLAN.

NORMAL PLAN VEKTOR.

EKVATION FÖR ETT PLAN SOM GÅR GENOM EN GIVET PUNKT

Betrakta ett godtyckligt plan σ i rymden. Dess position bestäms genom att sätta en vektor vinkelrätt mot detta plan, och någon fast punkt M0(x0, y 0, z0) liggande i planet σ.

Vektorn vinkelrät mot planet σ kallas vanligt vektor för detta plan. Låt vektorn ha koordinater.

Vi härleder ekvationen för planet σ som går genom den givna punkten M0 och har en normal vektor. För att göra detta, ta en godtycklig punkt på planet σ M(x, y, z) och betrakta vektorn.

För vilken punkt som helst MÎ σ vektor. Därför är deras skalära produkt lika med noll. Denna jämlikhet är villkoret att poängen MО σ. Den är giltig för alla punkter på detta plan och bryts så snart som punkten M kommer att vara utanför planet σ.

Om vi ​​betecknar med radievektorn punkterna M, är radievektorn för punkten M0, då kan ekvationen skrivas som

Denna ekvation kallas vektor plan ekvation. Låt oss skriva det i koordinatform. Sedan dess

Så vi har fått ekvationen för planet som passerar genom den givna punkten. För att komponera ekvationen för planet måste du alltså känna till koordinaterna för normalvektorn och koordinaterna för någon punkt som ligger på planet.

Observera att ekvationen för planet är en ekvation av 1:a graden med avseende på de aktuella koordinaterna x, y och z.

Exempel.

ALLMÄN EKVATION FÖR PLANET

Det kan visas att varje ekvation av första graden med avseende på kartesiska koordinater x, y, zär en ekvation för något plan. Denna ekvation skrivs som:

Axe+By+Cz+D=0

och ringde allmän ekvation planet och koordinaterna A, B, C här är koordinaterna för planets normalvektor.

Låt oss överväga särskilda fall av den allmänna ekvationen. Låt oss ta reda på hur planet ligger i förhållande till koordinatsystemet om en eller flera koefficienter i ekvationen försvinner.

A är längden på segmentet avskuret av planet på axeln Oxe. På samma sätt kan man visa det b och cär längderna på segmenten avskurna av det betraktade planet på axlarna Oj och Uns.

Det är bekvämt att använda ekvationen för ett plan i segment för att konstruera plan.

Prick produktens egenskaper

Skalär produkt vektorer, definition, egenskaper

Linjära operationer på vektorer.

Vektorer, grundläggande begrepp, definitioner, linjära operationer på dem

En vektor på ett plan är ett ordnat par av dess punkter, medan den första punkten kallas början och den andra slutet - av vektorn

Två vektorer kallas lika om de är lika och samriktade.

Vektorer som ligger på samma linje kallas codirectional om de är codirectional med någon av samma vektor som inte ligger på denna linje.

Vektorer som ligger på samma linje eller på parallella linjer kallas kolinjära, och kolinjära men inte samriktade kallas motsatt riktade.

Vektorer som ligger på vinkelräta linjer kallas ortogonala.

Definition 5.4. belopp a+b vektorer a och b kallas vektorn som kommer från början av vektorn a till slutet av vektorn b , om början av vektorn b sammanfaller med slutet av vektorn a .

Definition 5.5. skillnad a - b vektorer a och b en sådan vektor kallas Med , som tillsammans med vektorn b ger en vektor a .

Definition 5.6. arbetek a vektor a per nummer k kallas vektor b , kolinjär vektor a , som har modul lika med | k||a | och en riktning som är samma som riktningen a på k>0 och motsatt a på k<0.

Egenskaper för multiplikation av en vektor med ett tal:

Fastighet 1. k(a+b ) = k a+ k b.

Fastighet 2. (k+m)a = k a+ m a.

Fastighet 3. k(m a) = (km)a .

Följd. Om vektorer som inte är noll a och b är kolinjära, så finns det ett nummer k, Vad b= k a.

Den skalära produkten av två vektorer som inte är noll a och b kallas ett tal (skalär) lika med produkten av längderna av dessa vektorer och cosinus för vinkeln φ mellan dem. Den skalära produkten kan uttryckas på olika sätt, till exempel som ab, a · b, (a , b), (a · b). Så prickprodukten är:

a · b = |a| · | b| cos φ

Om åtminstone en av vektorerna är lika med noll, så är skalärprodukten lika med noll.

Permutationsegenskap: a · b = b · a(den skalära produkten förändras inte från permutation av faktorer);

distributionsegenskap: a · ( b · c) = (a · b) · c(resultatet beror inte på multiplikationsordningen);

Kombinationsegenskap (i förhållande till skalärfaktorn): (λ a) · b = λ ( a · b).

Egenskapen för ortogonalitet (vinkelrätt): om vektorn a och b icke-noll, då är deras punktprodukt noll endast när dessa vektorer är ortogonala (vinkelräta mot varandra) a ┴ b;

Kvadratisk egenskap: a · a = a 2 = |a| 2 (skalärprodukten av en vektor med sig själv är lika med kvadraten på dess modul);

Om vektorernas koordinater a=(xl, y1, z1) och b=(x 2 , y 2 , z 2 ), då är den skalära produkten a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Vektor håller vektorer. Definition: Vektorprodukten av två vektorer och förstås som en vektor för vilken:

Modulen är lika med arean av parallellogrammet byggt på dessa vektorer, dvs. , var är vinkeln mellan vektorerna och

Denna vektor är vinkelrät mot de multiplicerade vektorerna, dvs.

Om vektorerna är icke-kollinjära bildar de en rät trippel av vektorer.

Kors produktegenskaper:

1. När ordningen på faktorerna ändras ändrar vektorprodukten sitt tecken till det motsatta, vilket bevarar modulen, d.v.s.

2 .Vektorkvadrat är lika med nollvektor, dvs.

3 .Skalärfaktorn kan tas ut ur vektorproduktens tecken, dvs.

4 .För vilka tre vektorer som helst, är likheten

5 .Nödvändigt och tillräckligt villkor för kolineariteten av två vektorer och :

Innan vi ger begreppet en vektorprodukt, låt oss vända oss till frågan om orienteringen av den ordnade trippeln av vektorer a → , b → , c → i tredimensionellt rymd.

Till att börja med, låt oss lägga åt sidan vektorerna a → , b → , c → från en punkt. Orienteringen av trippeln a → , b → , c → är höger eller vänster, beroende på vektorns c → riktning. Från den riktning i vilken den kortaste svängen görs från vektorn a → till b → från slutet av vektorn c → , kommer formen av trippeln a → , b → , c → att bestämmas.

Om den kortaste rotationen är moturs, kallas trippeln av vektorer a → , b → , c → höger om medurs - vänster.

Ta sedan två icke-kollinjära vektorer a → och b → . Låt oss sedan skjuta upp vektorerna A B → = a → och A C → = b → från punkten A. Låt oss konstruera en vektor A D → = c → , som samtidigt är vinkelrät mot både A B → och A C → . När vi konstruerar vektorn A D → = c → kan vi alltså göra två saker, ge den antingen en riktning eller motsatt (se illustrationen).

Den ordnade trion av vektorer a → , b → , c → kan, som vi fick reda på, vara höger eller vänster beroende på vektorns riktning.

Från ovanstående kan vi introducera definitionen av en vektorprodukt. Denna definition ges för två vektorer definierade i ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd.

Definition 1

Vektorprodukten av två vektorer a → och b → vi kallar en sådan vektor given i ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd så att:

• om vektorerna a → och b → är kolinjära kommer den att vara noll;
• den kommer att vara vinkelrät mot både vektor a →​​ och vektor b → dvs. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• dess längd bestäms av formeln: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• tripletten av vektorerna a → , b → , c → har samma orientering som det givna koordinatsystemet.

Korsprodukten av vektorerna a → och b → har följande notation: a → × b → .

Korsa produktkoordinater

Eftersom vilken vektor som helst har vissa koordinater i koordinatsystemet, är det möjligt att införa en andra definition av vektorprodukten, som gör att du kan hitta dess koordinater från de givna koordinaterna för vektorerna.

Definition 2

I ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd vektorprodukt av två vektorer a → = (a x ; a y ; a z) och b → = (b x ; b y ; b z) kalla vektorn c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , där i → , j → , k → är koordinatvektorer.

Vektorprodukten kan representeras som en determinant av en kvadratisk matris av tredje ordningen, där den första raden är orta-vektorerna i → , j → , k → , den andra raden innehåller koordinaterna för vektorn a → , och den tredje är koordinaterna för vektorn b → i ett givet rektangulärt koordinatsystem, ser denna matrisdeterminant ut så här: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Om vi ​​expanderar denna determinant över elementen i den första raden får vi likheten: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b → b → a k (→ x a y b → b → a k a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kors produktegenskaper

Det är känt att vektorprodukten i koordinater representeras som determinanten för matrisen c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , sedan på basen matrisdeterminantegenskaper det följande vektor produktegenskaper:

1. antikommutativitet a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitet a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → eller a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associativitet λ a → × b → = λ a → × b → eller a → × (λ b →) = λ a → × b → , där λ är ett godtyckligt reellt tal.

Dessa egenskaper har inte komplicerade bevis.

Till exempel kan vi bevisa antikommutativiteten hos en vektorprodukt.

Bevis på antikommutativitet

Per definition, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z och b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Och om två rader i matrisen byts om, bör värdet på matrisens determinant ändras till det motsatta, därför a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , vilket och bevisar antikommutativiteten hos vektorprodukten.

Vektorprodukt - exempel och lösningar

I de flesta fall finns det tre typer av uppgifter.

I problem av den första typen anges vanligtvis längden på två vektorer och vinkeln mellan dem, men du måste hitta längden på korsprodukten. Använd i det här fallet följande formel c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Exempel 1

Hitta längden på korsprodukten av vektorerna a → och b → om a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 är känd.

Lösning

Med hjälp av definitionen av längden av vektorprodukten av vektorerna a → och b → löser vi detta problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Svar: 15 2 2 .

Uppgifter av den andra typen har ett samband med vektorernas koordinater, de innehåller en vektorprodukt, dess längd etc. genomsöks genom de kända koordinaterna för de givna vektorerna a → = (a x ; a y ; a z) och b → = (b x ; b y ; b z) .

För den här typen av uppgifter kan du lösa många alternativ för uppgifter. Till exempel inte koordinaterna för vektorerna a → och b → , utan deras expansioner i formens koordinatvektorer b → = b x i → + b y j → + b z k → och c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , eller så kan vektorerna a → och b → ges av koordinaterna för deras start- och slutpunkter.

Betrakta följande exempel.

Exempel 2

Två vektorer sätts i ett rektangulärt koordinatsystem a → = (2 ; 1 ; - 3), b → = (0 ; - 1 ; 1) . Hitta deras vektorprodukt.

Lösning

Enligt den andra definitionen hittar vi vektorprodukten av två vektorer i givna koordinater: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Om vi ​​skriver vektorprodukten genom matrisdeterminanten, så är lösningen i detta exempel följande: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Svar: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Exempel 3

Hitta längden på korsprodukten av vektorerna i → - j → och i → + j → + k → , där i → , j → , k → - orter av ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem.

Lösning

Låt oss först hitta koordinaterna för den givna vektorprodukten i → - j → × i → + j → + k → i det givna rektangulära koordinatsystemet.

Det är känt att vektorerna i → - j → och i → + j → + k → har koordinater (1 ; - 1 ; 0) respektive (1 ; 1 ; 1). Hitta längden på vektorprodukten med hjälp av matrisdeterminanten, då har vi i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Därför har vektorprodukten i → - j → × i → + j → + k → koordinater (- 1 ; - 1 ; 2) i det givna koordinatsystemet.

Vi hittar längden på vektorprodukten med formeln (se avsnittet om att hitta vektorns längd): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Svar: i → - j → x i → + j → + k → = 6 . .

Exempel 4

Koordinaterna för tre punkter A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ges i ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem. Hitta någon vektor vinkelrät mot A B → och A C → samtidigt.

Lösning

Vektorerna A B → och A C → har följande koordinater (-1 ; 2 ; 2) respektive (0 ; 4 ; 1). Efter att ha hittat vektorprodukten av vektorerna A B → och A C → , är det uppenbart att det är en vinkelrät vektor per definition till både A B → och A C → , det vill säga att det är lösningen på vårt problem. Hitta det A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Svar: - 6 i → + j → - 4 k → . är en av de vinkelräta vektorerna.

Problem av den tredje typen är fokuserade på att använda egenskaperna hos vektorprodukten av vektorer. Efter att ha ansökt vilken, kommer vi att få en lösning på det givna problemet.

Exempel 5

Vektorerna a → och b → är vinkelräta och deras längder är 3 respektive 4. Hitta längden på korsprodukten 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Lösning

Med fördelningsegenskapen för vektorprodukten kan vi skriva 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Genom egenskapen associativitet tar vi ut de numeriska koefficienterna bortom tecknet för vektorprodukter i det sista uttrycket: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorprodukterna a → × a → och b → × b → är lika med 0, eftersom a → × a → = a → a → sin 0 = 0 och b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , sedan 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Av vektorproduktens antikommutativitet följer - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Med hjälp av vektorproduktens egenskaper får vi likheten 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Av villkor är vektorerna a → och b → vinkelräta, det vill säga vinkeln mellan dem är lika med π 2 . Nu återstår bara att ersätta de hittade värdena i motsvarande formler: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Svar: 3a → - b → x a → - 2 b → = 60 .

Längden på vektorernas korsprodukt är per definition a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Eftersom det redan är känt (från skolkursen) att arean av en triangel är lika med hälften av produkten av längderna på dess två sidor multiplicerat med sinus för vinkeln mellan dessa sidor. Därför är längden på vektorprodukten lika med arean av ett parallellogram - en fördubblad triangel, nämligen produkten av sidorna i form av vektorerna a → och b → , avskild från en punkt, med sinus av vinkeln mellan dem sin ∠ a → , b → .

Detta är den geometriska betydelsen av vektorprodukten.

Den fysiska betydelsen av vektorprodukten

Inom mekaniken, en av fysikens grenar, kan du tack vare vektorprodukten bestämma kraftmomentet i förhållande till en punkt i rymden.

Definition 3

Under kraftmomentet F → , applicerad på punkt B , relativt punkt A kommer vi att förstå följande vektorprodukt A B → × F → .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

I den här lektionen kommer vi att titta på ytterligare två operationer med vektorer: korsprodukt av vektorer och blandad produkt av vektorer (direktlänk för de som behöver det). Det är okej, det händer ibland att för fullständig lycka, förutom prickprodukt av vektorer, mer och mer behövs. Sådant är vektorberoende. Man kan få intrycket att vi går in i djungeln av analytisk geometri. Det är inte sant. I den här delen av högre matematik finns det i allmänhet lite ved, förutom kanske tillräckligt för Pinocchio. Faktum är att materialet är väldigt vanligt och enkelt - knappast svårare än detsamma skalär produkt, även det kommer att finnas färre typiska uppgifter. Huvudsaken i analytisk geometri, som många kommer att se eller redan har sett, är ATT INTE MISSTA BERÄKNINGAR. Upprepa som en trollformel så blir du glad =)

Om vektorerna gnistrar någonstans långt borta, som en blixt vid horisonten, spelar det ingen roll, börja med lektionen Vektorer för dummies att återställa eller återhämta grundläggande kunskaper om vektorer. Mer förberedda läsare kan bekanta sig med informationen selektivt, jag försökte samla den mest kompletta samlingen av exempel som ofta finns i praktiskt arbete

Vad kommer göra dig lycklig? När jag var liten kunde jag jonglera med två och till och med tre bollar. Det gick bra. Nu finns det ingen anledning att jonglera alls, eftersom vi kommer att överväga endast rymdvektorer, och platta vektorer med två koordinater kommer att utelämnas. Varför? Det är så dessa handlingar föddes - vektorn och den blandade produkten av vektorer definieras och fungerar i tredimensionellt rymd. Redan lättare!

I denna operation, på samma sätt som i den skalära produkten, två vektorer. Låt det vara oförgängliga bokstäver.

Själva handlingen betecknas på följande sätt: . Det finns andra alternativ, men jag är van vid att beteckna korsprodukten av vektorer på det här sättet, inom hakparenteser med ett kryss.

Och omedelbart fråga: om i prickprodukt av vektorer två vektorer är inblandade, och här multipliceras också två vektorer, alltså vad är skillnaden? En tydlig skillnad, först och främst, i RESULTAT:

Resultatet av den skalära produkten av vektorer är ett TAL:

Resultatet av korsprodukten av vektorer är en VEKTOR: , det vill säga vi multiplicerar vektorerna och får en vektor igen. Stängd klubb. Egentligen, därav namnet på operationen. I olika utbildningslitteratur kan även beteckningarna variera, jag kommer att använda bokstaven .

Definition av korsprodukt

Först blir det en definition med en bild, sedan kommentarer.

Definition: korsprodukt icke-kolinjär vektorer, tagna i denna ordning, kallas VECTOR, längd vilket är numeriskt lika med parallellogrammets area, byggd på dessa vektorer; vektor ortogonalt mot vektorer, och är inriktad så att grunden har en rätt orientering:

Vi analyserar definitionen av ben, det finns många intressanta saker!

Så vi kan lyfta fram följande viktiga punkter:

1) Källvektorer, indikerade med röda pilar, per definition inte kolinjär. Det kommer att vara lämpligt att överväga fallet med kolinjära vektorer lite senare.

2) Vektorer tagna i strikt ordning: – "a" multipliceras med "vara", inte "vara" till "a". Resultatet av vektormultiplikationär VECTOR , som betecknas med blått. Om vektorerna multipliceras i omvänd ordning, så får vi en vektor lika lång och motsatt i riktning (karmosinröd färg). Det vill säga jämställdheten .

3) Låt oss nu bekanta oss med den geometriska betydelsen av vektorprodukten. Detta är en mycket viktig punkt! LÄNGDEN för den blå vektorn (och därför den crimson vektorn ) är numeriskt lika med AREAN för parallellogrammet som byggs på vektorerna . I figuren är detta parallellogram skuggat i svart.

Notera : ritningen är schematisk, och naturligtvis är den nominella längden på korsprodukten inte lika med parallellogrammets yta.

Vi minns en av de geometriska formlerna: arean av ett parallellogram är lika med produkten av intilliggande sidor och sinus för vinkeln mellan dem. Därför, baserat på det föregående, är formeln för att beräkna LÄNGDEN för en vektorprodukt giltig:

Jag betonar att vi i formeln talar om LÄNGDEN på vektorn, och inte om själva vektorn. Vad är den praktiska innebörden? Och innebörden är sådan att i problem med analytisk geometri hittas området för ett parallellogram ofta genom konceptet med en vektorprodukt:

Vi får den andra viktiga formeln. Parallellogrammets diagonal (röd prickad linje) delar upp det i två lika stora trianglar. Därför kan arean av en triangel byggd på vektorer (röd skuggning) hittas med formeln:

4) Ett lika viktigt faktum är att vektorn är ortogonal mot vektorerna, dvs . Naturligtvis är den motsatt riktade vektorn (crimson pil) också ortogonal mot de ursprungliga vektorerna.

5) Vektorn är riktad så att grund Det har höger orientering. I en lektion om övergång till en ny grund Jag har talat i detalj om plan orientering, och nu kommer vi att ta reda på vad rymdens orientering är. Jag ska förklara på dina fingrar höger hand. Kombinera mentalt pekfinger med vektor och långfinger med vektor. Ringfinger och lillfinger tryck in i handflatan. Som ett resultat tumme- vektorprodukten kommer att slå upp. Detta är den rättorienterade grunden (det finns i figuren). Byt nu vektorerna ( pek- och långfinger) på vissa ställen, som ett resultat kommer tummen att vända sig om, och vektorprodukten kommer redan att titta ner. Detta är också en högerorienterad grund. Kanske har du en fråga: vilken grund har en vänsterorientering? "Tilldela" samma fingrar vänster hand vektorer och få vänster bas och vänster utrymmesorientering (i det här fallet kommer tummen att vara placerad i den nedre vektorns riktning). Bildligt talat "vrider" dessa baser eller orienterar rymden i olika riktningar. Och detta koncept bör inte betraktas som något långsökt eller abstrakt - till exempel ändrar den vanligaste spegeln orienteringen av rymden, och om du "drar det reflekterade föremålet ut ur spegeln", kommer det i allmänhet inte att vara möjligt att kombinera det med "originalet". Ta förresten tre fingrar till spegeln och analysera reflektionen ;-)

... vad bra det är att du nu vet om höger- och vänsterorienterad grunder, eftersom vissa föreläsares uttalanden om förändringen av inriktningen är fruktansvärda =)

Vektorprodukt av kolinjära vektorer

Definitionen är utarbetad i detalj, det återstår att ta reda på vad som händer när vektorerna är kolinjära. Om vektorerna är kolinjära kan de placeras på en rak linje och vårt parallellogram "viks" också till en rak linje. Området för sådana, som matematiker säger, degenererad parallellogrammet är noll. Detsamma följer av formeln - sinus för noll eller 180 grader är lika med noll, vilket betyder att arean är noll

Alltså, om, då och . Observera att själva korsprodukten är lika med nollvektorn, men i praktiken försummas detta ofta och skrivs att det också är lika med noll.

Ett specialfall är vektorprodukten av en vektor och sig själv:

Med hjälp av korsprodukten kan du kontrollera kolineariteten hos tredimensionella vektorer, och vi kommer också att analysera bland annat detta problem.

För att lösa praktiska exempel kan det bli nödvändigt trigonometrisk tabell för att hitta värdena för sinus från den.

Nåväl, låt oss starta en eld:

Exempel 1

a) Hitta längden på vektorprodukten av vektorer if

b) Hitta arean av ett parallellogram byggt på vektorer if

Lösning: Nej, det här är inte ett stavfel, jag gjorde avsiktligt de ursprungliga uppgifterna i villkorsposterna lika. För designen på lösningarna blir annorlunda!

a) Enligt villkoret krävs att hitta längd vektor (vektorprodukt). Enligt motsvarande formel:

Svar:

Eftersom det frågades om längden, anger vi i svaret dimensionen - enheter.

b) Enligt villkoret krävs att finna fyrkant parallellogram byggt på vektorer. Arean av detta parallellogram är numeriskt lika med längden på korsprodukten:

Svar:

Observera att i svaret om vektorprodukten finns det inget snack alls, vi fick frågan om figuryta, respektive dimensionen är kvadratiska enheter.

Vi tittar alltid på VAD som krävs för att hittas av tillståndet, och utifrån detta formulerar vi klar svar. Det kan tyckas vara bokstavstrogen, men det finns tillräckligt många bokstavstrogna bland lärarna, och uppgiften med goda chanser kommer att lämnas tillbaka för revidering. Även om detta inte är en särskilt ansträngd nitpick - om svaret är felaktigt får man intrycket att personen inte förstår enkla saker och/eller inte har förstått kärnan i uppgiften. Detta ögonblick bör alltid hållas under kontroll, lösa alla problem i högre matematik, och i andra ämnen också.

Var tog den stora bokstaven "en" vägen? I princip kunde det dessutom ha fastnat på lösningen, men för att förkorta rekordet gjorde jag det inte. Jag hoppas att alla förstår det och är beteckningen på samma sak.

Ett populärt exempel på en gör-det-själv-lösning:

Exempel 2

Hitta arean av en triangel byggd på vektorer om

Formeln för att hitta arean av en triangel genom vektorprodukten ges i kommentarerna till definitionen. Lösning och svar i slutet av lektionen.

I praktiken är uppgiften verkligen mycket vanlig, trianglar kan i allmänhet torteras.

För att lösa andra problem behöver vi:

Egenskaper för korsprodukten av vektorer

Vi har redan övervägt några egenskaper hos vektorprodukten, men jag kommer att inkludera dem i den här listan.

För godtyckliga vektorer och ett godtyckligt tal är följande egenskaper sanna:

1) I andra informationskällor är denna post vanligtvis inte särskiljd i fastigheterna, men den är mycket viktig i praktiska termer. Så låt det vara.

2) – fastigheten diskuteras också ovan, ibland kallas det antikommutativitet. Med andra ord, ordningen på vektorerna har betydelse.

3) - kombination eller associativ vektor produktlagar. Konstanterna tas lätt ut från vektorproduktens gränser. Verkligen, vad gör de där?

4) - distribution eller distribution vektor produktlagar. Det är inga problem med att öppna fästen heller.

Som en demonstration, överväg ett kort exempel:

Exempel 3

Hitta om

Lösning: Av villkor krävs det återigen att hitta längden på vektorprodukten. Låt oss måla vår miniatyr:

(1) Enligt de associativa lagarna tar vi ut konstanterna bortom gränserna för vektorprodukten.

(2) Vi tar konstanten ur modulen, medan modulen "äter" minustecknet. Längden kan inte vara negativ.

(3) Vad som följer är tydligt.

Svar:

Det är dags att kasta ved på elden:

Exempel 4

Beräkna arean av en triangel byggd på vektorer om

Lösning: Hitta arean av en triangel med hjälp av formeln . Haken är att vektorerna "ce" och "te" själva representeras som summor av vektorer. Algoritmen här är standard och påminner en del om exempel nr 3 och 4 på lektionen. Punktprodukt av vektorer. Låt oss dela upp det i tre steg för tydlighetens skull:

1) I det första steget uttrycker vi vektorprodukten genom vektorprodukten, faktiskt, uttrycka vektorn i termer av vektorn. Inga ord om längden ännu!

(1) Vi ersätter uttryck av vektorer.

(2) Med hjälp av distributiva lagar öppnar vi parenteserna enligt regeln för multiplikation av polynom.

(3) Med hjälp av de associativa lagarna tar vi ut alla konstanter bortom vektorprodukterna. Med liten erfarenhet kan åtgärder 2 och 3 utföras samtidigt.

(4) De första och sista termerna är lika med noll (nollvektor) på grund av den trevliga egenskapen . I den andra termen använder vi vektorproduktens antikommutativitetsegenskap:

(5) Vi presenterar liknande termer.

Som ett resultat visade det sig att vektorn uttrycktes genom en vektor, vilket var vad som krävdes för att uppnås:

2) I det andra steget hittar vi längden på vektorprodukten vi behöver. Denna åtgärd liknar exempel 3:

3) Hitta arean för den önskade triangeln:

Steg 2-3 i lösningen kan ordnas i en rad.

Svar:

Det övervägda problemet är ganska vanligt i tester, här är ett exempel på en oberoende lösning:

Exempel 5

Hitta om

Kort lösning och svar i slutet av lektionen. Låt oss se hur uppmärksam du var när du studerade de tidigare exemplen ;-)

Korsprodukt av vektorer i koordinater

, givet i ortonormal grund , uttrycks med formeln:

Formeln är verkligen enkel: vi skriver koordinatvektorerna i den översta raden av determinanten, vi "packar" koordinaterna för vektorerna i den andra och tredje raden, och vi sätter i strikt ordning- först koordinaterna för vektorn "ve", sedan koordinaterna för vektorn "dubbel-ve". Om vektorerna måste multipliceras i en annan ordning, så ska linjerna också bytas:

Exempel 10

Kontrollera om följande rymdvektorer är kolinjära:
a)
b)

Lösning: Testet är baserat på ett av påståendena i den här lektionen: om vektorerna är kolinjära är deras korsprodukt noll (noll vektor): .

a) Hitta vektorprodukten:

Så vektorerna är inte kolinjära.

b) Hitta vektorprodukten:

Svar: a) inte kolinjär, b)

Här är kanske all grundläggande information om vektorprodukten av vektorer.

Detta avsnitt kommer inte att vara särskilt stort, eftersom det finns få problem där den blandade produkten av vektorer används. Faktum är att allt kommer att vila på definitionen, geometrisk betydelse och ett par arbetsformler.

Den blandade produkten av vektorer är produkten av tre vektorer:

Så här ställde de upp sig som ett tåg och väntar, de kan inte vänta tills de är uträknade.

Först igen definitionen och bilden:

Definition: Blandprodukt icke-koplanär vektorer, tagna i denna ordning, kallas volymen av parallellepipeden, byggd på dessa vektorer, utrustad med ett "+"-tecken om basen är höger, och ett "-"-tecken om basen är vänster.

Låt oss rita. Linjer som är osynliga för oss ritas av en prickad linje:

Låt oss dyka in i definitionen:

2) Vektorer tagna i en viss ordning, det vill säga permutationen av vektorer i produkten, som du kanske kan gissa, går inte utan konsekvenser.

3) Innan jag kommenterar den geometriska betydelsen kommer jag att notera det uppenbara faktum: den blandade produkten av vektorer är ett TAL: . I utbildningslitteraturen kan designen vara något annorlunda, jag brukade beteckna en blandad produkt igenom, och resultatet av beräkningar med bokstaven "pe".

Per definition den blandade produkten är volymen av parallellepipeden, byggd på vektorer (figuren är ritad med röda vektorer och svarta linjer). Det vill säga antalet är lika med volymen av den givna parallellepipeden.

Notera : Ritningen är schematisk.

4) Låt oss inte bry oss igen med konceptet med orienteringen av basen och rummet. Meningen med den sista delen är att ett minustecken kan läggas till volymen. Enkelt uttryckt kan den blandade produkten vara negativ: .

Formeln för att beräkna volymen av en parallellepiped byggd på vektorer följer direkt av definitionen.

Definition. Vektorprodukten av en vektor a (multiplikator) med en vektor (multiplikator) som inte är kolinjär med den är den tredje vektorn c (produkt), som är konstruerad enligt följande:

1) dess modul är numeriskt lika med arean av parallellogrammet i fig. 155), byggd på vektorer, d. v. s. den är lika med riktningen vinkelrät mot planet för nämnda parallellogram;

3) i detta fall väljs vektorns c riktning (av två möjliga) så att vektorerna c bildar ett högerhänt system (§ 110).

Beteckning: eller

Tillägg till definitionen. Om vektorerna är kolinjära, då betraktar figuren som ett (villkorligt) parallellogram, är det naturligt att tilldela noll area. Därför anses vektorprodukten av kolinjära vektorer vara lika med nollvektorn.

Eftersom nollvektorn kan tilldelas vilken riktning som helst, motsäger denna konvention inte punkterna 2 och 3 i definitionen.

Anmärkning 1. I begreppet "vektorprodukt" anger det första ordet att resultatet av en handling är en vektor (till skillnad från en skalär produkt; jfr 104 § anmärkning 1).

Exempel 1. Hitta vektorprodukten där huvudvektorerna för det högra koordinatsystemet (Fig. 156).

1. Eftersom längderna på huvudvektorerna är lika med skalenheten, är arean av parallellogrammet (kvadrat) numeriskt lika med en. Därför är modulen för vektorprodukten lika med ett.

2. Eftersom vinkelrät mot planet är axeln, är den önskade vektorprodukten en vektor kolinjär med vektorn k; och eftersom båda har modul 1 är den erforderliga korsprodukten antingen k eller -k.

3. Av dessa två möjliga vektorer måste den första väljas, eftersom vektorerna k bildar ett höger system (och vektorerna bildar ett vänster).

Exempel 2. Hitta korsprodukten

Lösning. Som i exempel 1 drar vi slutsatsen att vektorn är antingen k eller -k. Men nu måste vi välja -k, eftersom vektorerna bildar det högra systemet (och vektorerna bildar det vänstra). Så,

Exempel 3 Vektorerna har längder på 80 respektive 50 cm och bildar en vinkel på 30°. Ta en meter som en längdenhet och hitta längden på vektorprodukten a

Lösning. Arean av ett parallellogram byggt på vektorer är lika med Längden på den önskade vektorprodukten är lika med

Exempel 4. Hitta längden på korsprodukten av samma vektorer, ta en centimeter som en längdenhet.

Lösning. Eftersom arean av parallellogrammet byggt på vektorer är lika med längden på vektorprodukten är 2000 cm, dvs.

Jämförelse av exempel 3 och 4 visar att vektorns längd inte bara beror på faktorernas längder utan också på valet av längdenhet.

Den fysiska betydelsen av vektorprodukten. Av de många fysiska storheter som representeras av vektorprodukten kommer vi bara att betrakta kraftmomentet.

Låt A vara kraftens appliceringspunkt. Kraftmomentet i förhållande till punkten O kallas vektorprodukten. Eftersom modulen för denna vektorprodukt är numeriskt lika med parallellogrammets area (fig. 157), momentets modul är lika med produkten av basen med höjden, d.v.s. kraften multiplicerad med avståndet från punkten O till den räta linjen längs vilken kraften verkar.

Inom mekaniken är det bevisat att för jämvikten hos en stel kropp är det nödvändigt att inte bara summan av vektorerna som representerar krafterna som appliceras på kroppen, utan också summan av kraftmomenten ska vara lika med noll. I det fall då alla krafter är parallella med samma plan, kan additionen av vektorerna som representerar momenten ersättas med addition och subtraktion av deras moduler. Men för godtyckliga kraftriktningar är en sådan ersättning omöjlig. I enlighet med detta definieras korsprodukten exakt som en vektor och inte som ett tal.