Höjden på boxvektorerna. Korsprodukt av vektorer

Betrakta produkten av vektorer, och , sammansatt enligt följande:
. Här multipliceras de två första vektorerna vektoriellt, och deras resultat multipliceras skalärt med den tredje vektorn. En sådan produkt kallas en vektor-skalär, eller blandad, produkt av tre vektorer. blandad produktär något nummer.

Låt oss ta reda på den geometriska betydelsen av uttrycket
.

Sats . Den blandade produkten av tre vektorer är lika med volymen av parallellepipeden byggd på dessa vektorer, taget med ett plustecken om dessa vektorer bildar en högertrippel och med ett minustecken om de bildar en vänstertrippel.

Bevis.. Vi konstruerar en parallellepiped vars kanter är vektorerna , , och vektor
.

Vi har:
,
, var - arean av parallellogrammet byggt på vektorer och ,
för rätt trippel av vektorer och
för vänstern, var
är parallellepipedens höjd. Vi får:
, dvs.
, var - volymen av parallellepipeden som bildas av vektorerna , och .

Blandade produktegenskaper

1. Den blandade produkten ändras inte när cyklisk permutation av dess faktorer, dvs. .

I det här fallet ändras varken parallellepipedens volym eller orienteringen av dess kanter.

2. Den blandade produkten förändras inte när tecknen på vektor och skalär multiplikation vänds om, d.v.s.
.

Verkligen,
och
. Vi tar samma tecken på höger sida av dessa likheter, eftersom trippeln av vektorer , , och , , - en orientering.

Följaktligen,
. Detta gör att vi kan skriva den blandade produkten av vektorer
som
utan tecken på vektor, skalär multiplikation.

3. Den blandade produkten byter tecken när två godtyckliga faktorvektorer byter plats, d.v.s.
,
,
.

I själva verket är en sådan permutation ekvivalent med en permutation av faktorerna i vektorprodukten, vilket ändrar produktens tecken.

4. Blandad produkt av icke-nollvektorer , och är noll om och endast om de är i samma plan.

2.12. Beräkning av den blandade produkten i koordinatform på ortonormal basis

Låt vektorerna
,
,
. Låt oss hitta deras blandade produkt med hjälp av uttryck i koordinater för vektor- och skalära produkter:

. (10)

Den resulterande formeln kan skrivas kortare:

eftersom den högra sidan av likhet (10) är expansionen av tredje ordningens determinant i termer av elementen i den tredje raden.

Så den blandade produkten av vektorer är lika med tredje ordningens determinant, sammansatt av koordinaterna för de multiplicerade vektorerna.

2.13 Vissa tillämpningar av den blandade produkten

Bestämma den relativa orienteringen av vektorer i rymden

Bestämma den relativa orienteringen av vektorer , och baserat på följande överväganden. Om en
, då , , - höger tre om
, då , , - vänster tre.

Komplanaritetsvillkor för vektorer

Vektorer , och är i samma plan om och endast om deras blandade produkt är noll (
,
,
):

vektorer , , i samma plan.

Bestämma volymerna av en parallellepiped och en triangulär pyramid

Det är lätt att visa att volymen av en parallellepiped bygger på vektorer , och beräknas som
, och volymen av den triangulära pyramiden byggd på samma vektorer är lika med
.

Exempel 1 Bevisa att vektorerna
,
,
i samma plan.

Lösning. Låt oss hitta den blandade produkten av dessa vektorer med formeln:

Det betyder att vektorerna
i samma plan.

Exempel 2 Med tanke på hörn av en tetraeder: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Hitta längden på dess höjd som faller från vertexet .

Lösning. Låt oss först hitta volymen av tetraedern
. Enligt formeln får vi:

Eftersom determinanten är ett negativt tal måste du i det här fallet ta ett minustecken före formeln. Följaktligen,
.

Det önskade värdet h bestämma från formeln
, var S - basarea. Låt oss bestämma området S:

var

Eftersom det

Ersätter i formeln
värden
och
, vi får h= 3.

Exempel 3 Bildas vektorer
bas i rymden? Nedbryt vektor
på basis av vektorer .

Lösning. Om vektorerna utgör en bas i rymden, så ligger de inte i samma plan, d.v.s. är icke-koplanära. Hitta den blandade produkten av vektorer
:
,

Därför är vektorerna inte i samma plan och utgör en bas i rymden. Om vektorer utgör en bas i rymden, då vilken vektor som helst kan representeras som en linjär kombination av basvektorer, nämligen
,var
vektorkoordinater på vektorbasis
. Låt oss hitta dessa koordinater genom att sammanställa och lösa ekvationssystemet

Vi har löst det med Gauss-metoden

Härifrån
. Sedan .

På det här sättet,
.

Exempel 4 Pyramidens hörn är vid punkterna:
,
,
,
. Beräkna:

a) ansiktsområdet
;

b) pyramidens volym
;

c) vektorprojektion
till vektorns riktning
;

d) vinkel
;

e) kontrollera att vektorerna
,
,
i samma plan.

Lösning

a) Från definitionen av en korsprodukt är det känt att:

Hitta vektorer
och
, med hjälp av formeln

,
.

För vektorer som definieras av deras projektioner, hittas vektorprodukten av formeln

, var
.

För vårt fall

Vi hittar längden på den resulterande vektorn med hjälp av formeln

,
.

och då
(kvm enheter).

b) Den blandade produkten av tre vektorer är lika i absolut värde med volymen av parallellepipeden byggd på vektorerna , , som på revbenen.

Den blandade produkten beräknas med formeln:

Låt oss hitta vektorerna
,
,
, sammanfaller med pyramidens kanter, konvergerande till toppen :

Den blandade produkten av dessa vektorer

Eftersom volymen av pyramiden är lika med den del av volymen av parallellepipeden byggd på vektorerna
,
,
, då
(kubiska enheter).

c) Använd formeln
, som definierar skalärprodukten av vektorer , , kan skrivas så här:

var
eller
;

eller
.

För att hitta projektionen av vektorn
till vektorns riktning
hitta vektorernas koordinater
,
, och sedan tillämpa formeln

vi får

d) För att hitta vinkeln
definiera vektorer
,
, som har ett gemensamt ursprung vid punkten :

Sedan, enligt den skalära produktformeln

e) I ordning för de tre vektorerna

,
,

är i samma plan, är det nödvändigt och tillräckligt att deras blandade produkt är lika med noll.

I vårt fall har vi
.

Därför är vektorerna i samma plan.

För vektorer och , givna koordinater, , den blandade produkten beräknas med formeln: .

Blandad produkt används: 1) att beräkna volymerna av en tetraeder och en parallellepiped byggd på vektorer , och , som på kanter, enligt formeln: ; 2) som ett villkor för komplanariteten hos vektorerna , och : och är koplanära.

Ämne 5. Linjer på planet.

Normal linje vektor , anropas vilken vektor som helst som inte är noll vinkelrät mot den givna linjen. Riktning vektor rak , anropas vilken vektor som helst som inte är noll parallell med den givna linjen.

Hetero på ytan i koordinatsystemet kan ges av en ekvation av en av följande typer:

1) - allmän ekvation rak linje, där är normalvektorn för den räta linjen;

2) - ekvationen för en rät linje som går genom en punkt vinkelrät mot en given vektor;

3) - ekvation för en rät linje som går genom en punkt parallell med en given vektor ( kanonisk ekvation );

4) - ekvation för en rät linje som går genom två givna punkter, ;

5) - linjeekvationer med lutning , var är punkten genom vilken linjen passerar; () - vinkeln som linjen gör med axeln; - segmentets längd (med tecknet ) avskuren av en rät linje på axeln (tecken " " om segmentet är avskuren på den positiva delen av axeln och " " om på den negativa delen).

6) - rak linje ekvation i snitt, där och är längderna på segmenten (med tecknet ) avskurna av en rät linje på koordinataxlarna och (tecknet " " om segmentet är avskuret på den positiva delen av axeln och " " om på den negativa axeln ).

Avstånd från punkt till linje , given av den allmänna ekvationen på planet, hittas av formeln:

Hörn , ( )mellan raka linjer och , ges av allmänna ekvationer eller ekvationer med en lutning, hittas av en av följande formler:

Om eller .

Om eller

Koordinater för skärningspunkten för linjer och hittas som en lösning på ett system av linjära ekvationer: eller .

Ämne 10. Uppsättningar. Numeriska uppsättningar. Funktioner.

Under många förstå en viss uppsättning objekt av vilken karaktär som helst, särskiljbara från varandra och tänkbara som en helhet. Objekten som utgör en uppsättning kallar det element . En mängd kan vara oändlig (består av ett oändligt antal element), ändlig (består av ett ändligt antal element), tom (innehåller inte ett enda element). Uppsättningar betecknas med , och deras element med . Den tomma uppsättningen betecknas med .

Ställ in samtal delmängd ställ in om alla element i mängden tillhör mängden och skriv .

Sätter och ringer likvärdig , om de består av samma element och skriv . Två uppsättningar och kommer att vara lika om och endast om och .

Ställ in samtal universell (inom ramen för denna matematiska teori) , om dess beståndsdelar är alla objekt som betraktas i denna teori.

Många kan ställas in: 1) uppräkning av alla dess element, till exempel: (endast för finita mängder); 2) genom att sätta en regel för att avgöra om ett element i en universell mängd hör till en given mängd : .

Förening

korsning sätter och kallas en mängd

skillnad sätter och kallas en mängd

Tillägg uppsättningar (upp till en universell uppsättning) kallas en uppsättning.

De två uppsättningarna och kallas likvärdig och skriv ~ om en en-till-en överensstämmelse kan upprättas mellan elementen i dessa uppsättningar. Uppsättningen heter räknebar , om det är ekvivalent med mängden naturliga tal : ~ . Den tomma uppsättningen är, per definition, räkningsbar.

Giltig (verklig) siffra kallas ett oändligt decimaltal, taget med tecknet "+" eller "". Reella tal identifieras med punkter på tallinjen.

modul (absolut värde) av ett reellt tal är ett icke-negativt tal:

Uppsättningen heter numerisk om dess element är reella tal. Numerisk i intervaller kallas uppsättningar

tal: , , , , , , , , .

Mängden av alla punkter på tallinjen som uppfyller villkoret , där är ett godtyckligt litet tal, kallas -grannskap (eller bara ett område) av en punkt och betecknas med . Uppsättningen av alla punkter av villkoret , där är ett godtyckligt stort antal, kallas - grannskap (eller bara en stadsdel) av oändlighet och betecknas med .

En storhet som behåller samma numeriska värde kallas konstant. En storhet som antar olika numeriska värden kallas variabel. Fungera regeln kallas, enligt vilken varje nummer tilldelas ett väldefinierat nummer, och de skriver. Uppsättningen heter definitionsdomän funktioner, - många ( eller region ) värden funktioner, - argument , - funktionsvärde . Det vanligaste sättet att specificera en funktion är den analytiska metoden, där funktionen ges av en formel. naturlig domän funktion är uppsättningen värden för argumentet som denna formel är vettig för. Funktionsdiagram , i ett rektangulärt koordinatsystem , är mängden av alla punkter i planet med koordinater , .

Funktionen kallas även på uppsättningen , symmetrisk med avseende på punkten , om följande villkor är uppfyllt för alla: och udda om villkoret är uppfyllt. Annars en generisk funktion eller varken jämnt eller udda .

Funktionen kallas periodisk på uppsättningen om det finns ett nummer ( funktionsperiod ) så att följande villkor är uppfyllt för alla: . Det minsta talet kallas huvudperioden.

Funktionen kallas monotont ökande (avtagande ) på uppsättningen om det större värdet på argumentet motsvarar det större (mindre) värdet på funktionen .

Funktionen kallas begränsad på uppsättningen , om det finns ett nummer så att följande villkor är uppfyllt för alla : . Annars är funktionen obegränsat .

Omvänd att fungera , , är en funktion som definieras på en uppsättning och tilldelar varje sådan att . För att hitta funktionen inverterad till funktionen , du måste lösa ekvationen relativt. Om funktionen , är strikt monoton på , då har den alltid en invers, och om funktionen ökar (minskar) så ökar (minskar) den inversa funktionen också.

En funktion representerad som , där , är några funktioner så att domänen för funktionsdefinitionen innehåller hela uppsättningen av värden för funktionen, kallas komplex funktion oberoende argument. Variabeln kallas ett mellanargument. En komplex funktion kallas också en sammansättning av funktioner och , och skrivs: .

Grundläggande elementärt funktioner är: kraft funktion, demonstration funktion ( , ), logaritmisk funktion ( , ), trigonometrisk funktioner , , , , omvänd trigonometrisk funktioner , , , . Elementärt kallas en funktion som erhålls från grundläggande elementära funktioner genom ett ändligt antal av deras aritmetiska operationer och sammansättningar.

Grafen för funktionen är en parabel med vertex vid , vars grenar är riktade uppåt if eller nedåt if .

I vissa fall, när man konstruerar en graf för en funktion, är det tillrådligt att dela upp dess definitionsdomän i flera icke-korsande intervall och sekventiellt bygga en graf på vart och ett av dem.

Varje ordnad uppsättning reella tal kallas punktdimensionell aritmetik (samordna) Plats och betecknas eller , medan siffrorna kallas dess koordinater .

Låt och vara några uppsättningar av punkter och . Om varje punkt tilldelas, enligt någon regel, ett väldefinierat reellt tal , då säger de att en numerisk funktion av variabler ges på mängden och skriver eller kort och , medan de kallas definitionsdomän , - värderingar , - argument (oberoende variabler) funktioner.

En funktion av två variabler betecknas ofta, en funktion av tre variabler -. Definitionsdomänen för en funktion är en viss uppsättning punkter i planet, funktioner är en viss uppsättning punkter i rymden.

Ämne 7. Numeriska sekvenser och serier. Sekvensgräns. Begränsning av en funktion och kontinuitet.

Om, enligt en viss regel, varje naturligt tal är associerat med ett väldefinierat reellt tal, så säger de det numerisk sekvens . Beteckna kortfattat. Numret är uppringt gemensam medlem i sekvensen . En sekvens kallas också en funktion av ett naturligt argument. En sekvens innehåller alltid ett oändligt antal element, av vilka några kan vara lika.

Numret är uppringt sekvensgräns , och skriv om det för något tal finns ett tal så att olikheten är uppfylld för alla .

En sekvens som har en ändlig gräns kallas konvergerande , annars - avvikande .

: 1) avtagande , om ; 2) ökande , om ; 3) icke-minskande , om ; 4) icke-ökande , om . Alla ovanstående sekvenser kallas monoton .

Sekvensen kallas begränsad , om det finns ett antal så att följande villkor är uppfyllt för alla: . Annars är sekvensen obegränsat .

Varje monoton avgränsad sekvens har en gräns ( Weierstrass teorem).

Sekvensen kallas oändligt liten , om . Sekvensen kallas oändligt stor (konvergerar till oändligheten) om .

siffra kallas gränsen för sekvensen, där

Konstanten kallas nonpeer-talet. Baslogaritmen för ett tal kallas den naturliga logaritmen för ett tal och betecknas .

Ett uttryck av formen , där är en talföljd, kallas numeriska serier och är markerade. Summan av de första termerna i serien kallas delsumman rad.

Raden kallas konvergerande om det finns en ändlig gräns och avvikande om gränsen inte finns. Numret är uppringt summan av en konvergent serie , medan du skriver.

Om serien konvergerar, då (ett nödvändigt kriterium för seriens konvergens ) . Det omvända är inte sant.

Om , då serien divergerar ( ett tillräckligt kriterium för seriens divergens ).

Generaliserade harmoniska serier kallas en serie som konvergerar vid och divergerar vid .

Geometrisk serie kalla en serie som konvergerar vid , medan dess summa är lika med och divergerar vid . hitta en siffra eller symbol. (vänster halvkvarter, höger halvkvarter) och

I den här lektionen kommer vi att titta på ytterligare två operationer med vektorer: korsprodukt av vektorer och blandad produkt av vektorer (direktlänk för de som behöver det). Det är okej, det händer ibland att för fullständig lycka, förutom prickprodukt av vektorer, mer och mer behövs. Sådant är vektorberoende. Det kan tyckas att vi klättrar ut i vildmarken analytisk geometri. Det är inte sant. I den här delen av högre matematik finns det i allmänhet lite ved, förutom kanske tillräckligt för Pinocchio. Faktum är att materialet är väldigt vanligt och enkelt - knappast svårare än detsamma skalär produkt, även det kommer att finnas färre typiska uppgifter. Huvudsaken i analytisk geometri, som många kommer att se eller redan har sett, är ATT INTE MISSTA BERÄKNINGAR. Upprepa som en trollformel så blir du glad =)

Om vektorerna gnistrar någonstans långt borta, som en blixt vid horisonten, spelar det ingen roll, börja med lektionen Vektorer för dummies att återställa eller återhämta grundläggande kunskaper om vektorer. Mer förberedda läsare kan bekanta sig med informationen selektivt, jag försökte samla den mest kompletta samlingen av exempel som ofta finns i praktiskt arbete

Vad kommer göra dig lycklig? När jag var liten kunde jag jonglera med två och till och med tre bollar. Det gick bra. Nu finns det ingen anledning att jonglera alls, eftersom vi kommer att överväga endast rymdvektorer, och platta vektorer med två koordinater kommer att utelämnas. Varför? Det är så dessa handlingar föddes - vektorn och den blandade produkten av vektorer definieras och fungerar i tredimensionellt rymd. Redan lättare!

I denna operation, på samma sätt som i den skalära produkten, två vektorer. Låt det vara oförgängliga bokstäver.

Själva handlingen betecknas på följande sätt: . Det finns andra alternativ, men jag är van vid att beteckna korsprodukten av vektorer på det här sättet, inom hakparenteser med ett kryss.

Och omedelbart fråga: om i prickprodukt av vektorer två vektorer är inblandade, och här multipliceras också två vektorer, alltså vad är skillnaden? En tydlig skillnad, först och främst, i RESULTAT:

Resultatet av den skalära produkten av vektorer är ett TAL:

Resultatet av korsprodukten av vektorer är en VEKTOR: , det vill säga vi multiplicerar vektorerna och får en vektor igen. Stängd klubb. Egentligen, därav namnet på operationen. På olika utbildningslitteratur notationen kan också variera, jag kommer att använda bokstaven .

Definition av korsprodukt

Först blir det en definition med en bild, sedan kommentarer.

Definition: korsprodukt icke-kolinjär vektorer, tagna i denna ordning, kallas VECTOR, längd vilket är numeriskt lika med parallellogrammets area, byggd på dessa vektorer; vektor ortogonalt mot vektorer, och är inriktad så att grunden har en rätt orientering:

Vi analyserar definitionen av ben, det finns många intressanta saker!

Så vi kan lyfta fram följande viktiga punkter:

1) Källvektorer, indikerade med röda pilar, per definition inte kolinjär. Det kommer att vara lämpligt att överväga fallet med kolinjära vektorer lite senare.

2) Vektorer tagna i strikt ordning: – "a" multipliceras med "vara", inte "vara" till "a". Resultatet av vektormultiplikationär VECTOR , som betecknas med blått. Om vektorerna multipliceras med omvänd ordning, då får vi en vektor lika lång och motsatt i riktning (karmröd färg). Det vill säga jämställdheten .

3) Låt oss nu bekanta oss med den geometriska betydelsen av vektorprodukten. Detta är en mycket viktig punkt! LÄNGDEN för den blå vektorn (och därför den crimson vektorn ) är numeriskt lika med AREAN för parallellogrammet som byggs på vektorerna . I figuren är detta parallellogram skuggat i svart.

Notera : ritningen är schematisk, och naturligtvis är den nominella längden på korsprodukten inte lika med parallellogrammets yta.

Vi minns en av de geometriska formlerna: arean av ett parallellogram är lika med produkten av intilliggande sidor och sinus för vinkeln mellan dem. Därför, baserat på det föregående, är formeln för att beräkna LÄNGDEN för en vektorprodukt giltig:

Jag betonar att vi i formeln talar om LÄNGDEN på vektorn, och inte om själva vektorn. Vad är den praktiska innebörden? Och innebörden är sådan att i problem med analytisk geometri hittas området för ett parallellogram ofta genom konceptet med en vektorprodukt:

Vi får den andra viktiga formeln. Parallellogrammets diagonal (röd prickad linje) delar upp det i två lika stora trianglar. Därför kan arean av en triangel byggd på vektorer (röd skuggning) hittas med formeln:

4) Ett lika viktigt faktum är att vektorn är ortogonal mot vektorerna, dvs . Naturligtvis är den motsatt riktade vektorn (crimson pil) också ortogonal mot de ursprungliga vektorerna.

5) Vektorn är riktad så att grund Det har höger orientering. I en lektion om övergång till en ny grund Jag har talat i detalj om plan orientering, och nu kommer vi att ta reda på vad rymdens orientering är. Jag ska förklara på dina fingrar höger hand. Kombinera mentalt pekfinger med vektor och långfinger med vektor. Ringfinger och lillfinger tryck in i handflatan. Som ett resultat tumme - vektorprodukten kommer att slå upp. Detta är den rättorienterade grunden (det finns i figuren). Byt nu vektorerna ( pek- och långfinger) på vissa ställen, som ett resultat kommer tummen att vända sig om, och vektorprodukten kommer redan att titta ner. Detta är också en högerorienterad grund. Kanske har du en fråga: vilken grund har en vänsterorientering? "Tilldela" samma fingrar vänster hand vektorer och få vänster bas och vänster utrymmesorientering (i det här fallet kommer tummen att vara placerad i den nedre vektorns riktning). Bildligt talat "vrider" dessa baser eller orienterar rymden i olika riktningar. Och detta koncept bör inte betraktas som något långsökt eller abstrakt - till exempel ändrar den vanligaste spegeln orienteringen av rymden, och om du "drar det reflekterade föremålet ut ur spegeln", kommer det i allmänhet inte att vara möjligt att kombinera det med "originalet". Ta förresten tre fingrar till spegeln och analysera reflektionen ;-)

... vad bra det är att du nu vet om höger- och vänsterorienterad grunder, eftersom vissa föreläsares uttalanden om förändringen av inriktningen är fruktansvärda =)

Vektorprodukt av kolinjära vektorer

Definitionen är utarbetad i detalj, det återstår att ta reda på vad som händer när vektorerna är kolinjära. Om vektorerna är kolinjära kan de placeras på en rak linje och vårt parallellogram "viks" också till en rak linje. Området för sådana, som matematiker säger, degenererad parallellogrammet är noll. Detsamma följer av formeln - sinus för noll eller 180 grader är lika med noll, vilket betyder att arean är noll

Alltså, om, då och . Observera att själva korsprodukten är lika med nollvektorn, men i praktiken försummas detta ofta och skrivs att det också är lika med noll.

Ett specialfall är vektorprodukten av en vektor och sig själv:

Med hjälp av korsprodukten kan du kontrollera kolineariteten hos tredimensionella vektorer, och vi kommer också att analysera bland annat detta problem.

För att lösa praktiska exempel kan det bli nödvändigt trigonometrisk tabell för att hitta värdena för sinus från den.

Nåväl, låt oss starta en eld:

Exempel 1

a) Hitta längden på vektorprodukten av vektorer if

b) Hitta arean av ett parallellogram byggt på vektorer if

Lösning: Nej, det här är inte ett stavfel, jag gjorde avsiktligt de ursprungliga uppgifterna i villkorsposterna lika. För designen på lösningarna blir annorlunda!

a) Enligt villkoret krävs att hitta längd vektor (vektorprodukt). Enligt motsvarande formel:

Svar:

Eftersom det frågades om längden, anger vi i svaret dimensionen - enheter.

b) Enligt villkoret krävs att finna fyrkant parallellogram byggt på vektorer. Arean av detta parallellogram är numeriskt lika med längden på korsprodukten:

Svar:

Observera att i svaret om vektorprodukten finns det inget snack alls, vi fick frågan om figuryta, respektive dimensionen är kvadratiska enheter.

Vi tittar alltid på VAD som krävs för att hittas av tillståndet, och utifrån detta formulerar vi klar svar. Det kan tyckas vara bokstavstrogen, men det finns tillräckligt många bokstavstrogna bland lärarna, och uppgiften med goda chanser kommer att lämnas tillbaka för revidering. Även om detta inte är en särskilt ansträngd nitpick - om svaret är felaktigt får man intrycket att personen inte förstår enkla saker och/eller inte har förstått kärnan i uppgiften. Detta ögonblick bör alltid hållas under kontroll, lösa alla problem i högre matematik, och i andra ämnen också.

Var tog den stora bokstaven "en" vägen? I princip kunde det dessutom ha fastnat på lösningen, men för att förkorta rekordet gjorde jag det inte. Jag hoppas att alla förstår det och är beteckningen på samma sak.

Ett populärt exempel på en gör-det-själv-lösning:

Exempel 2

Hitta arean av en triangel byggd på vektorer om

Formeln för att hitta arean av en triangel genom vektorprodukten ges i kommentarerna till definitionen. Lösning och svar i slutet av lektionen.

I praktiken är uppgiften verkligen mycket vanlig, trianglar kan i allmänhet torteras.

För att lösa andra problem behöver vi:

Egenskaper för korsprodukten av vektorer

Vi har redan övervägt några egenskaper hos vektorprodukten, men jag kommer att inkludera dem i den här listan.

För godtyckliga vektorer och ett godtyckligt tal är följande egenskaper sanna:

1) I andra informationskällor är denna post vanligtvis inte särskiljd i fastigheterna, men den är mycket viktig i praktiska termer. Så låt det vara.

2) – fastigheten diskuteras också ovan, ibland kallas det antikommutativitet. Med andra ord, ordningen på vektorerna har betydelse.

3) - kombination eller associativ vektor produktlagar. Konstanterna tas lätt ut från vektorproduktens gränser. Verkligen, vad gör de där?

4) - distribution eller distribution vektor produktlagar. Det är inga problem med att öppna fästen heller.

Som en demonstration, överväg ett kort exempel:

Exempel 3

Hitta om

Lösning: Av villkor krävs det återigen att hitta längden på vektorprodukten. Låt oss måla vår miniatyr:

(1) Enligt de associativa lagarna tar vi ut konstanterna bortom gränserna för vektorprodukten.

(2) Vi tar konstanten ur modulen, medan modulen "äter" minustecknet. Längden kan inte vara negativ.

(3) Vad som följer är tydligt.

Svar:

Det är dags att kasta ved på elden:

Exempel 4

Beräkna arean av en triangel byggd på vektorer om

Lösning: Hitta arean av en triangel med hjälp av formeln . Haken är att vektorerna "ce" och "te" själva representeras som summor av vektorer. Algoritmen här är standard och påminner en del om exempel nr 3 och 4 på lektionen. Punktprodukt av vektorer. Låt oss dela upp det i tre steg för tydlighetens skull:

1) I det första steget uttrycker vi vektorprodukten genom vektorprodukten, faktiskt, uttrycka vektorn i termer av vektorn. Inga ord om längden ännu!

(1) Vi ersätter uttryck av vektorer.

(2) Med hjälp av distributiva lagar öppnar vi parenteserna enligt regeln för multiplikation av polynom.

(3) Med hjälp av de associativa lagarna tar vi ut alla konstanter bortom vektorprodukterna. Med liten erfarenhet kan åtgärder 2 och 3 utföras samtidigt.

(4) De första och sista termerna är lika med noll (nollvektor) på grund av den trevliga egenskapen . I den andra termen använder vi vektorproduktens antikommutativitetsegenskap:

(5) Vi presenterar liknande termer.

Som ett resultat visade det sig att vektorn uttrycktes genom en vektor, vilket var vad som krävdes för att uppnås:

2) I det andra steget hittar vi längden på vektorprodukten vi behöver. Denna åtgärd liknar exempel 3:

3) Hitta arean för den önskade triangeln:

Steg 2-3 i lösningen kan ordnas i en rad.

Svar:

Det övervägda problemet är ganska vanligt i kontrollarbete, här är ett exempel på en gör-det-själv-lösning:

Exempel 5

Hitta om

Kort lösning och svar i slutet av lektionen. Låt oss se hur uppmärksam du var när du studerade de tidigare exemplen ;-)

Korsprodukt av vektorer i koordinater

, ges in ortonormal grund , uttrycks med formeln:

Formeln är verkligen enkel: vi skriver koordinatvektorerna i den översta raden av determinanten, vi "packar" koordinaterna för vektorerna i den andra och tredje raden, och vi sätter i strikt ordning- först koordinaterna för vektorn "ve", sedan koordinaterna för vektorn "dubbel-ve". Om vektorerna måste multipliceras i en annan ordning, så ska linjerna också bytas:

Exempel 10

Kontrollera om följande rymdvektorer är kolinjära:
a)
b)

Lösning: Testet är baserat på ett av påståendena i den här lektionen: om vektorerna är kolinjära är deras korsprodukt noll (noll vektor): .

a) Hitta vektorprodukten:

Så vektorerna är inte kolinjära.

b) Hitta vektorprodukten:

Svar: a) inte kolinjär, b)

Här är kanske all grundläggande information om vektorprodukten av vektorer.

Detta avsnitt kommer inte att vara särskilt stort, eftersom det finns få problem där den blandade produkten av vektorer används. Faktum är att allt kommer att vila på definitionen, geometrisk betydelse och ett par arbetsformler.

Den blandade produkten av vektorer är produkten av tre vektorer:

Så här ställde de upp sig som ett tåg och väntar, de kan inte vänta tills de är uträknade.

Först igen definitionen och bilden:

Definition: Blandprodukt icke-koplanär vektorer, tagna i denna ordning, kallas volymen av parallellepipeden, byggd på dessa vektorer, utrustad med ett "+"-tecken om basen är höger, och ett "-"-tecken om basen är vänster.

Låt oss rita. Linjer som är osynliga för oss ritas av en prickad linje:

Låt oss dyka in i definitionen:

2) Vektorer tagna i en viss ordning, det vill säga permutationen av vektorer i produkten, som du kanske kan gissa, går inte utan konsekvenser.

3) Innan jag kommenterar den geometriska betydelsen kommer jag att notera det uppenbara faktum: den blandade produkten av vektorer är ett TAL: . I utbildningslitteraturen kan designen vara något annorlunda, jag brukade beteckna en blandad produkt igenom, och resultatet av beräkningar med bokstaven "pe".

Per definition den blandade produkten är volymen av parallellepipeden, byggd på vektorer (figuren är ritad med röda vektorer och svarta linjer). Det vill säga antalet är lika med volymen av den givna parallellepipeden.

Notera : Ritningen är schematisk.

4) Låt oss inte bry oss igen med konceptet med orienteringen av basen och rummet. Meningen med den sista delen är att ett minustecken kan läggas till volymen. Enkelt uttryckt kan den blandade produkten vara negativ: .

Formeln för att beräkna volymen av en parallellepiped byggd på vektorer följer direkt av definitionen.

För vektorer , och , givet av deras koordinater , , beräknas den blandade produkten med formeln: .

Ämne 5. Raka linjer och plan.

Hetero på ytan

1) - allmän ekvation rak linje, där är normalvektorn för den räta linjen;

2) - ekvationen för en rät linje som går genom en punkt vinkelrät mot en given vektor;

3) kanonisk ekvation );

Avstånd från punkt till linje , given av den allmänna ekvationen på planet, hittas av formeln:

Hörn , ( )mellan raka linjer och , ges av allmänna ekvationer eller ekvationer med en lutning, hittas av en av följande formler:

Om eller .

Om eller

Koordinater för skärningspunkten för linjer och hittas som en lösning på ett system av linjära ekvationer: eller .

Planets normalvektor , en vektor som inte är noll vinkelrät mot det givna planet kallas.

Plan i koordinatsystemet kan ges av en ekvation av en av följande typer:

1) - allmän ekvation plan, där är normalvektorn för planet;

2) - ekvationen för planet som passerar genom punkten vinkelrät mot den givna vektorn;

3) - ekvation för planet som passerar genom tre punkter, och;

4) - plan ekvation i snitt, där , och är längderna på segmenten (med tecknet ) avskurna av planet på koordinataxlarna, och (tecken " " om segmentet är avskuret på den positiva delen av axeln och " " om på den negativa ).

Avstånd från punkt till plan , ges av den allmänna ekvationen , hittas av formeln:

Hörn ,( )mellan plan och , givet av allmänna ekvationer, hittas av formeln:

Hetero i rymden i koordinatsystemet kan ges av en ekvation av en av följande typer:

1) - allmän ekvation en rät linje, som skärningslinjerna för två plan, där och är normalvektorerna för planen och;

2) - ekvation för en rät linje som går genom en punkt parallell med en given vektor ( kanonisk ekvation );

3) - ekvation för en rät linje som går genom två givna punkter, ;

4) - ekvation av en rät linje som går genom en punkt parallell med en given vektor, ( parametrisk ekvation );

Hörn , ( ) mellan raka linjer och i rymden , givet av kanoniska ekvationer, hittas av formeln:

Koordinaterna för linjens skärningspunkt , ges av den parametriska ekvationen och flygplan , som ges av den allmänna ekvationen, hittas som en lösning på systemet med linjära ekvationer: .

Hörn , ( ) mellan linjen , givet av den kanoniska ekvationen och flygplan , ges av den allmänna ekvationen hittas av formeln: .

Ämne 6. Kurvor av andra ordningen.

Algebraisk kurva av andra ordningen i koordinatsystemet kallas en kurva, allmän ekvation som ser ut som:

där siffror - inte är lika med noll samtidigt. Det finns följande klassificering av andra ordningens kurvor: 1) om , då definierar den allmänna ekvationen kurvan elliptisk typ (cirkel (för ), ellips (för ), tom uppsättning, punkt); 2) om , då - kurva hyperbolisk typ (hyperbol, ett par korsande linjer); 3) om , då - kurva parabolisk typ(parabel, tom uppsättning, linje, par parallella linjer). Cirkel, ellips, hyperbel och parabel kallas icke degenererade kurvor av andra ordningen.

Den generella ekvationen , där , som definierar en icke-degenererad kurva (cirkel, ellips, hyperbel, parabel), kan alltid (med användning av hela kvadraters urvalsmetod) reduceras till en ekvation av en av följande typer:

1a) - cirkelekvation centrerad vid en punkt och radie (fig. 5).

1b)- ekvationen för en ellips centrerad vid en punkt och symmetriaxlar parallella med koordinataxlarna. Siffrorna och - kallas halvaxlar av en ellips ellipsens huvudrektangel; ellipsens hörn .

Så här bygger du en ellips i koordinatsystemet: 1) markera mitten av ellipsen; 2) vi ritar genom mitten med en prickad linje ellipsens symmetriaxel; 3) vi bygger huvudrektangeln för en ellips med en prickad linje med ett centrum och sidor parallella med symmetriaxlarna; 4) vi ritar en ellips med en heldragen linje och skriver in den i huvudrektangeln så att ellipsen endast vidrör sina sidor vid ellipsens hörn (fig. 6).

På liknande sätt konstrueras en cirkel, vars huvudrektangel har sidor (fig. 5).

Fig.5 Fig.6

2) - ekvationer av hyperbler (kallas konjugera) centrerad vid en punkt och symmetriaxlar parallella med koordinataxlarna. Siffrorna och - kallas halvaxlar av hyperboler ; en rektangel med sidor parallella med symmetriaxlarna och centrerade i en punkt - huvudrektangeln av hyperboler; skärningspunkter för huvudrektangeln med symmetriaxlarna - hörn av hyperboler; raka linjer som går genom motsatta hörn av huvudrektangeln - asymptoter av hyperboler .

Så här bygger du en hyperbel i koordinatsystemet: 1) markera hyperbelns centrum; 2) vi ritar genom mitten med en prickad linje hyperbelns symmetriaxel; 3) vi bygger huvudrektangeln för en hyperbel med en prickad linje med ett centrum och sidor och parallellt med symmetriaxlarna; 4) vi ritar raka linjer genom huvudrektangelns motsatta hörn med en prickad linje, som är asymptoter av hyperbeln, till vilka grenarna av hyperbeln närmar sig obestämt nära, på ett oändligt avstånd från koordinaternas ursprung, utan att korsa dem; 5) vi avbildar grenarna av en hyperbel (fig. 7) eller hyperbel (fig. 8) med en heldragen linje.

Fig.7 Fig.8

3a)- ekvationen för en parabel med ett vertex i en punkt och en symmetriaxel parallell med koordinataxeln (fig. 9).

3b)- ekvationen för en parabel med ett vertex i en punkt och en symmetriaxel parallell med koordinataxeln (fig. 10).

Så här bygger du en parabel i koordinatsystemet: 1) markera toppen av parabeln; 2) vi ritar genom spetsen med en prickad linje parabelns symmetriaxel; 3) vi skildrar en parabel med en heldragen linje som riktar sin gren, med hänsyn till tecknet för parabelparametern: vid - i positiv riktning för koordinataxeln parallell med parabelns symmetriaxel (fig. 9a och 10a); at - på den negativa sidan av koordinataxeln (fig. 9b och 10b).

Ris. 9a Fig. 9b

Ris. 10a Fig. 10b

Ämne 7. Uppsättningar. Numeriska uppsättningar. Fungera.

Ställ in samtal delmängd ställ in om alla element i mängden tillhör mängden och skriv . Sätter och ringer likvärdig , om de består av samma element och skriv . Två uppsättningar och kommer att vara lika om och endast om och .

Ställ in samtal universell (inom ramen för denna matematiska teori) , om dess beståndsdelar är alla objekt som betraktas i denna teori.

Förening

korsning sätter och kallas en mängd

skillnad sätter och kallas en mängd

Tillägg uppsättningar (upp till en universell uppsättning) kallas en uppsättning.

Begreppet kardinalitet för en mängd uppstår när mängder jämförs med antalet element de innehåller. Uppsättningens kardinalitet betecknas med . Kardinaliteten för en ändlig mängd är antalet av dess element.

Likvärdiga uppsättningar har samma kardinalitet. Uppsättningen heter oräknelig om dess kardinalitet är större än uppsättningens kardinalitet.

Giltig (verklig) siffra kallas ett oändligt decimaltal, taget med tecknet "+" eller "". Reella tal identifieras med punkter på tallinjen. modul (absolut värde) av ett reellt tal är ett icke-negativt tal:

Uppsättningen heter numerisk om dess element är reella tal. Numeriska i intervaller uppsättningar av nummer kallas: , , , , , , , , .

Funktionen kallas periodisk på uppsättningen om det finns ett nummer ( funktionsperiod ) så att följande villkor är uppfyllt för alla: . Det minsta talet kallas huvudperioden.

Funktionen kallas monotont ökande (avtagande ) på uppsättningen om det större värdet på argumentet motsvarar det större (mindre) värdet på funktionen .

Funktionen kallas begränsad på uppsättningen , om det finns ett nummer så att följande villkor är uppfyllt för alla : . Annars är funktionen obegränsat .

Omvänd att fungera , , en sådan funktion kallas , som definieras på uppsättningen och till varje

Matcher så att . För att hitta funktionen inverterad till funktionen , du måste lösa ekvationen relativt. Om funktionen , är strikt monoton på , då har den alltid en invers, och om funktionen ökar (minskar) så ökar (minskar) den inversa funktionen också.

Om grafen för funktionen ges, reduceras konstruktionen av grafen för funktionen till en serie transformationer (förskjutning, kompression eller sträckning, visning) av grafen:

1) 2) transformationen visar grafen symmetriskt kring axeln; 3) transformationen flyttar grafen längs axeln med enheter ( - till höger, - till vänster); 4) transformationen flyttar diagrammet längs axeln med enheter (- upp, - ner); 5) transformationsgraf längs axeln sträcker sig i tider, om eller komprimeras i tider, om ; 6) omvandling av grafen längs axeln komprimeras med en faktor om eller sträcker ut med en faktor om .

Sekvensen av transformationer när man ritar en funktionsgraf kan representeras symboliskt som:

Notera. När du utför en transformation, kom ihåg att mängden förskjutning längs axeln bestäms av konstanten som läggs direkt till argumentet och inte till argumentet.

Grafen för funktionen är en parabel med vertex vid , vars grenar är riktade uppåt if eller nedåt if . Grafen för en linjär-fraktionell funktion är en hyperbel centrerad vid punkten , vars asymptoter passerar genom mitten, parallellt med koordinataxlarna. , som uppfyller villkoret. kallad.