vektor produkt är en pseudovektor vinkelrät mot planet konstruerad av två faktorer, vilket är resultatet av den binära operationen "vektormultiplikation" på vektorer i det tredimensionella euklidiska rummet. Vektorprodukten har inte egenskaperna kommutativitet och associativitet (den är antikommutativ) och är, till skillnad från skalärprodukten av vektorer, en vektor. Används ofta i många tekniska och fysiska tillämpningar. Till exempel skrivs rörelsemängden och Lorentzkraften matematiskt som en korsprodukt. Korsprodukten är användbar för att "mäta" vektorernas vinkelräthet - modulen för korsprodukten för två vektorer är lika med produkten av deras moduler om de är vinkelräta, och minskar till noll om vektorerna är parallella eller antiparallella.

Du kan definiera en vektorprodukt på olika sätt, och teoretiskt, i ett utrymme av vilken dimension n som helst, kan du beräkna produkten av n-1 vektorer, samtidigt som du erhåller en enda vektor vinkelrät mot dem alla. Men om produkten är begränsad till icke-triviala binära produkter med vektorresultat, definieras den traditionella vektorprodukten endast i tredimensionella och sjudimensionella utrymmen. Resultatet av vektorprodukten, liksom den skalära produkten, beror på måtten för det euklidiska rummet.

Till skillnad från formeln för att beräkna skalärprodukten från vektorernas koordinater i ett tredimensionellt rektangulärt koordinatsystem, beror formeln för vektorprodukten på orienteringen av det rektangulära koordinatsystemet, eller, med andra ord, dess "kiralitet".

Definition:
Vektorprodukten av en vektor a och vektor b i utrymmet R 3 kallas en vektor c som uppfyller följande krav:
längden av vektorn c är lika med produkten av längderna av vektorerna a och b och sinus för vinkeln φ mellan dem:
|c|=|a||b|sin φ;
vektorn c är ortogonal mot var och en av vektorerna a och b;
vektorn c är riktad så att trippeln av vektorer abc är rätt;
i fallet med utrymmet R7 krävs associativiteten för trippeln av vektorer a,b,c.
Beteckning:
c===a×b

Ris. 1. Arean av ett parallellogram är lika med modulen för korsprodukten

Geometriska egenskaper hos korsprodukten:
Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för kolineariteten hos två vektorer som inte är noll är likheten mellan deras vektorprodukt och noll.

Cross produktmodul är lika med area S parallellogram byggt på vektorer reducerade till ett gemensamt ursprung a och b(se fig. 1).

Om en e- enhetsvektor ortogonal mot vektorerna a och b och valt så att trippeln a,b,e- rätt, och S- området för parallellogrammet byggt på dem (reducerat till ett gemensamt ursprung), då gäller följande formel för vektorprodukten:
=S e

Fig.2. Volymen av parallellepipeden när vektorn och skalärprodukten av vektorer används; de streckade linjerna visar projektionerna av vektorn c på a × b och vektorn a på b × c, det första steget är att hitta de inre produkterna

Om en c- vilken vektor som helst π - vilket plan som helst som innehåller denna vektor, e- enhetsvektor som ligger i planet π och ortogonalt mot c,g- enhetsvektor ortogonal mot planet π och riktade så att trippeln av vektorer ecgär rätt, då för alla som ligger i planet π vektor a den korrekta formeln är:
=Pr e a |c|g
där Pr e a är projektionen av vektorn e på a
|c|-modul för vektor c

När du använder vektor- och skalära produkter kan du beräkna volymen av en parallellepiped byggd på vektorer reducerade till ett gemensamt ursprung a, b och c. En sådan produkt av tre vektorer kallas blandad.
V=|a (b×c)|
Figuren visar att denna volym kan hittas på två sätt: det geometriska resultatet bevaras även när de "skalära" och "vektor"-produkterna byts ut:
V=a×b c=a b×c

Värdet på korsprodukten beror på sinus för vinkeln mellan de ursprungliga vektorerna, så korsprodukten kan uppfattas som graden av "vinkelrätt" för vektorerna på samma sätt som skalär produkt kan ses som en grad av "parallellism". Korsprodukten av två enhetsvektorer är lika med 1 (en enhetsvektor) om de initiala vektorerna är vinkelräta, och lika med 0 (noll vektor) om vektorerna är parallella eller antiparallella.

Tvärproduktuttryck i kartesiska koordinater
Om två vektorer a och b definieras av sina rektangulära kartesiska koordinater, eller mer exakt, de representeras i ortonormal grund
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
och koordinatsystemet är rätt, då har deras vektorprodukt formen
=(a y b z -a z b y, a z b x -a x b z, a x b y -a y b x)
För att komma ihåg denna formel:
i =∑ε ijk a j b k
var ε ijk- symbolen för Levi-Civita.

I den här lektionen kommer vi att titta på ytterligare två operationer med vektorer: korsprodukt av vektorer och blandad produkt av vektorer (direktlänk för de som behöver det). Det är okej, det händer ibland att för fullständig lycka, förutom prickprodukt av vektorer, mer och mer behövs. Sådant är vektorberoende. Det kan tyckas att vi klättrar ut i vildmarken analytisk geometri. Det är inte sant. I den här delen av högre matematik finns det i allmänhet lite ved, förutom kanske tillräckligt för Pinocchio. Faktum är att materialet är väldigt vanligt och enkelt - knappast svårare än detsamma skalär produkt, även det kommer att finnas färre typiska uppgifter. Huvudsaken i analytisk geometri, som många kommer att se eller redan har sett, är ATT INTE MISSTA BERÄKNINGAR. Upprepa som en trollformel så blir du glad =)

Om vektorerna gnistrar någonstans långt borta, som en blixt vid horisonten, spelar det ingen roll, börja med lektionen Vektorer för dummies att återställa eller återhämta grundläggande kunskaper om vektorer. Mer förberedda läsare kan bekanta sig med informationen selektivt, jag försökte samla den mest kompletta samlingen av exempel som ofta finns i praktiskt arbete

Vad kommer göra dig lycklig? När jag var liten kunde jag jonglera med två och till och med tre bollar. Det gick bra. Nu finns det ingen anledning att jonglera alls, eftersom vi kommer att överväga endast rymdvektorer, och platta vektorer med två koordinater kommer att utelämnas. Varför? Det är så dessa handlingar föddes - vektorn och den blandade produkten av vektorer definieras och fungerar i tredimensionellt rymd. Redan lättare!

I denna operation, på samma sätt som i den skalära produkten, två vektorer. Låt det vara oförgängliga bokstäver.

Själva handlingen betecknas på följande sätt: . Det finns andra alternativ, men jag är van vid att beteckna korsprodukten av vektorer på det här sättet, inom hakparenteser med ett kryss.

Och omedelbart fråga: om i prickprodukt av vektorer två vektorer är inblandade, och här multipliceras också två vektorer, alltså vad är skillnaden? En tydlig skillnad, först och främst, i RESULTAT:

Resultatet av den skalära produkten av vektorer är ett TAL:

Resultatet av korsprodukten av vektorer är en VEKTOR: , det vill säga vi multiplicerar vektorerna och får en vektor igen. Stängd klubb. Egentligen, därav namnet på operationen. På olika utbildningslitteratur notationen kan också variera, jag kommer att använda bokstaven .

Definition av korsprodukt

Först blir det en definition med en bild, sedan kommentarer.

Definition: korsprodukt icke-kolinjär vektorer, tagna i denna ordning, kallas VECTOR, längd vilket är numeriskt lika med parallellogrammets area, byggd på dessa vektorer; vektor ortogonalt mot vektorer, och är inriktad så att grunden har en rätt orientering:

Vi analyserar definitionen av ben, det finns många intressanta saker!

Så vi kan lyfta fram följande viktiga punkter:

1) Källvektorer, indikerade med röda pilar, per definition inte kolinjär. Happening kolinjära vektorer det är lämpligt att överväga lite senare.

2) Vektorer tagna i strikt ordning: – "a" multipliceras med "vara", inte "vara" till "a". Resultatet av vektormultiplikationär VECTOR , som betecknas med blått. Om vektorerna multipliceras med omvänd ordning, då får vi en vektor lika lång och motsatt i riktning (karmröd färg). Det vill säga jämställdheten .

3) Låt oss nu bekanta oss med den geometriska betydelsen av vektorprodukten. Detta är en mycket viktig punkt! LÄNGDEN för den blå vektorn (och därför den crimson vektorn ) är numeriskt lika med AREAN för parallellogrammet som byggs på vektorerna . I figuren är detta parallellogram skuggat i svart.

Notera : ritningen är schematisk, och naturligtvis är den nominella längden på korsprodukten inte lika med parallellogrammets yta.

Vi minns en av de geometriska formlerna: arean av ett parallellogram är lika med produkten av intilliggande sidor och sinus för vinkeln mellan dem. Därför, baserat på det föregående, är formeln för att beräkna LÄNGDEN för en vektorprodukt giltig:

Jag betonar att vi i formeln talar om LÄNGDEN på vektorn, och inte om själva vektorn. Vad är den praktiska innebörden? Och innebörden är sådan att i problem med analytisk geometri hittas området för ett parallellogram ofta genom konceptet med en vektorprodukt:

Vi får den andra viktiga formeln. Parallellogrammets diagonal (röd prickad linje) delar upp det i två lika stora trianglar. Därför kan arean av en triangel byggd på vektorer (röd skuggning) hittas med formeln:

4) Ett lika viktigt faktum är att vektorn är ortogonal mot vektorerna, dvs . Naturligtvis är den motsatt riktade vektorn (crimson pil) också ortogonal mot de ursprungliga vektorerna.

5) Vektorn är riktad så att grund Det har höger orientering. I en lektion om övergång till en ny grund Jag har talat i detalj om plan orientering, och nu kommer vi att ta reda på vad rymdens orientering är. Jag ska förklara på dina fingrar höger hand. Kombinera mentalt pekfinger med vektor och långfinger med vektor. Ringfinger och lillfinger tryck in i handflatan. Som ett resultat tumme - vektorprodukten kommer att slå upp. Detta är den rättorienterade grunden (det finns i figuren). Byt nu vektorerna ( pek- och långfinger) på vissa ställen, som ett resultat kommer tummen att vända sig om, och vektorprodukten kommer redan att titta ner. Detta är också en högerorienterad grund. Kanske har du en fråga: vilken grund har en vänsterorientering? "Tilldela" samma fingrar vänster hand vektorer och få vänster bas och vänster utrymmesorientering (i det här fallet kommer tummen att vara placerad i den nedre vektorns riktning). Bildligt talat "vrider" dessa baser eller orienterar rymden i olika riktningar. Och detta koncept bör inte betraktas som något långsökt eller abstrakt - till exempel ändrar den vanligaste spegeln orienteringen av rymden, och om du "drar det reflekterade föremålet ut ur spegeln", kommer det i allmänhet inte att vara möjligt att kombinera det med "originalet". Ta förresten tre fingrar till spegeln och analysera reflektionen ;-)

... vad bra det är att du nu vet om höger- och vänsterorienterad grunder, eftersom vissa föreläsares uttalanden om förändringen av inriktningen är fruktansvärda =)

Vektorprodukt av kolinjära vektorer

Definitionen är utarbetad i detalj, det återstår att ta reda på vad som händer när vektorerna är kolinjära. Om vektorerna är kolinjära kan de placeras på en rak linje och vårt parallellogram "viks" också till en rak linje. Området för sådana, som matematiker säger, degenererad parallellogrammet är noll. Detsamma följer av formeln - sinus för noll eller 180 grader är lika med noll, vilket betyder att arean är noll

Alltså, om, då och . Observera att själva korsprodukten är lika med nollvektorn, men i praktiken försummas detta ofta och skrivs att det också är lika med noll.

Ett specialfall är vektorprodukten av en vektor och sig själv:

Med hjälp av korsprodukten kan du kontrollera kolineariteten hos tredimensionella vektorer, och vi kommer också att analysera bland annat detta problem.

För att lösa praktiska exempel kan det bli nödvändigt trigonometrisk tabell för att hitta värdena för sinus från den.

Nåväl, låt oss starta en eld:

Exempel 1

a) Hitta längden på vektorprodukten av vektorer if

b) Hitta arean av ett parallellogram byggt på vektorer if

Lösning: Nej, det här är inte ett stavfel, jag gjorde avsiktligt de ursprungliga uppgifterna i villkorsposterna lika. För designen på lösningarna blir annorlunda!

a) Enligt villkoret krävs att hitta längd vektor (vektorprodukt). Enligt motsvarande formel:

Svar:

Eftersom det frågades om längden, anger vi i svaret dimensionen - enheter.

b) Enligt villkoret krävs att finna fyrkant parallellogram byggt på vektorer. Arean av detta parallellogram är numeriskt lika med längden på korsprodukten:

Svar:

Observera att i svaret om vektorprodukten finns det inget snack alls, vi fick frågan om figuryta, respektive dimensionen är kvadratiska enheter.

Vi tittar alltid på VAD som krävs för att hittas av tillståndet, och utifrån detta formulerar vi klar svar. Det kan tyckas vara bokstavstrogen, men det finns tillräckligt många bokstavstrogna bland lärarna, och uppgiften med goda chanser kommer att lämnas tillbaka för revidering. Även om detta inte är en särskilt ansträngd nitpick - om svaret är felaktigt får man intrycket att personen inte förstår enkla saker och/eller inte har förstått kärnan i uppgiften. Detta ögonblick bör alltid hållas under kontroll, lösa alla problem i högre matematik, och i andra ämnen också.

Var tog den stora bokstaven "en" vägen? I princip kunde det dessutom ha fastnat på lösningen, men för att förkorta rekordet gjorde jag det inte. Jag hoppas att alla förstår det och är beteckningen på samma sak.

Ett populärt exempel på en gör-det-själv-lösning:

Exempel 2

Hitta arean av en triangel byggd på vektorer om

Formeln för att hitta arean av en triangel genom vektorprodukten ges i kommentarerna till definitionen. Lösning och svar i slutet av lektionen.

I praktiken är uppgiften verkligen mycket vanlig, trianglar kan i allmänhet torteras.

För att lösa andra problem behöver vi:

Egenskaper för korsprodukten av vektorer

Vi har redan övervägt några egenskaper hos vektorprodukten, men jag kommer att inkludera dem i den här listan.

För godtyckliga vektorer och ett godtyckligt tal är följande egenskaper sanna:

1) I andra informationskällor är denna post vanligtvis inte särskiljd i fastigheterna, men den är mycket viktig i praktiska termer. Så låt det vara.

2) – fastigheten diskuteras också ovan, ibland kallas det antikommutativitet. Med andra ord, ordningen på vektorerna har betydelse.

3) - kombination eller associativ vektor produktlagar. Konstanterna tas lätt ut från vektorproduktens gränser. Verkligen, vad gör de där?

4) - distribution eller distribution vektor produktlagar. Det är inga problem med att öppna fästen heller.

Som en demonstration, överväg ett kort exempel:

Exempel 3

Hitta om

Lösning: Av villkor krävs det återigen att hitta längden på vektorprodukten. Låt oss måla vår miniatyr:

(1) Enligt de associativa lagarna tar vi ut konstanterna bortom gränserna för vektorprodukten.

(2) Vi tar konstanten ur modulen, medan modulen "äter" minustecknet. Längden kan inte vara negativ.

(3) Vad som följer är tydligt.

Svar:

Det är dags att kasta ved på elden:

Exempel 4

Beräkna arean av en triangel byggd på vektorer om

Lösning: Hitta arean av en triangel med hjälp av formeln . Haken är att vektorerna "ce" och "te" själva representeras som summor av vektorer. Algoritmen här är standard och påminner en del om exempel nr 3 och 4 på lektionen. Punktprodukt av vektorer. Låt oss dela upp det i tre steg för tydlighetens skull:

1) I det första steget uttrycker vi vektorprodukten genom vektorprodukten, faktiskt, uttrycka vektorn i termer av vektorn. Inga ord om längden ännu!

(1) Vi ersätter uttryck av vektorer.

(2) Med hjälp av distributiva lagar öppnar vi parenteserna enligt regeln för multiplikation av polynom.

(3) Med hjälp av de associativa lagarna tar vi ut alla konstanter bortom vektorprodukterna. Med liten erfarenhet kan åtgärder 2 och 3 utföras samtidigt.

(4) De första och sista termerna är lika med noll (nollvektor) på grund av den trevliga egenskapen . I den andra termen använder vi vektorproduktens antikommutativitetsegenskap:

(5) Vi presenterar liknande termer.

Som ett resultat visade det sig att vektorn uttrycktes genom en vektor, vilket var vad som krävdes för att uppnås:

2) I det andra steget hittar vi längden på vektorprodukten vi behöver. Denna åtgärd liknar exempel 3:

3) Hitta arean för den önskade triangeln:

Steg 2-3 i lösningen kan ordnas i en rad.

Svar:

Det övervägda problemet är ganska vanligt i kontrollarbete, här är ett exempel på en gör-det-själv-lösning:

Exempel 5

Hitta om

Kort lösning och svar i slutet av lektionen. Låt oss se hur uppmärksam du var när du studerade de tidigare exemplen ;-)

Korsprodukt av vektorer i koordinater

, givet i ortonormal grund , uttrycks med formeln:

Formeln är verkligen enkel: vi skriver koordinatvektorerna i den översta raden av determinanten, vi "packar" koordinaterna för vektorerna i den andra och tredje raden, och vi sätter i strikt ordning- först koordinaterna för vektorn "ve", sedan koordinaterna för vektorn "dubbel-ve". Om vektorerna måste multipliceras i en annan ordning, så ska linjerna också bytas:

Exempel 10

Kontrollera om följande rymdvektorer är kolinjära:
a)
b)

Lösning: Testet är baserat på ett av påståendena i den här lektionen: om vektorerna är kolinjära är deras korsprodukt noll (noll vektor): .

a) Hitta vektorprodukten:

Så vektorerna är inte kolinjära.

b) Hitta vektorprodukten:

Svar: a) inte kolinjär, b)

Här är kanske all grundläggande information om vektorprodukten av vektorer.

Detta avsnitt kommer inte att vara särskilt stort, eftersom det finns få problem där den blandade produkten av vektorer används. Faktum är att allt kommer att vila på definitionen, geometrisk betydelse och ett par arbetsformler.

Den blandade produkten av vektorer är produkten av tre vektorer:

Så här ställde de upp sig som ett tåg och väntar, de kan inte vänta tills de är uträknade.

Först igen definitionen och bilden:

Definition: Blandprodukt icke-koplanär vektorer, tagna i denna ordning, kallas volymen av parallellepipeden, byggd på dessa vektorer, utrustad med ett "+"-tecken om basen är höger, och ett "-"-tecken om basen är vänster.

Låt oss rita. Linjer som är osynliga för oss ritas av en prickad linje:

Låt oss dyka in i definitionen:

2) Vektorer tagna i en viss ordning, det vill säga permutationen av vektorer i produkten, som du kanske kan gissa, går inte utan konsekvenser.

3) Innan jag kommenterar den geometriska betydelsen kommer jag att notera det uppenbara faktum: den blandade produkten av vektorer är ett TAL: . I utbildningslitteraturen kan designen vara något annorlunda, jag brukade beteckna en blandad produkt igenom, och resultatet av beräkningar med bokstaven "pe".

Per definition den blandade produkten är volymen av parallellepipeden, byggd på vektorer (figuren är ritad med röda vektorer och svarta linjer). Det vill säga antalet är lika med volymen av den givna parallellepipeden.

Notera : Ritningen är schematisk.

4) Låt oss inte bry oss igen med konceptet med orienteringen av basen och rummet. Meningen med den sista delen är att ett minustecken kan läggas till volymen. Enkelt uttryckt kan den blandade produkten vara negativ: .

Formeln för att beräkna volymen av en parallellepiped byggd på vektorer följer direkt av definitionen.

Definition. Vektorprodukten av en vektor a och vektor b är en vektor betecknad med symbolen [«, b] (eller l x b), så att 1) ​​längden på vektorn [a, b] är lika med (p, där y är vinkeln mellan vektorerna a och b ( 31), 2) vektorn [a, b) är vinkelrät mot vektorerna a och b, dvs. vinkelrätt mot planet för dessa vektorer; 3) vektorn [a, b] är riktad på ett sådant sätt att från slutet av denna vektor ses det kortaste varvet från a till b ske moturs (fig. 32). Ris. 32 Fig.31 Med andra ord bildar vektorerna a, b och [а, b) den högra trippeln av vektorer, dvs. ligger som tummen, pekfingret och långfingret på höger hand. Om vektorerna a och b är kolinjära kommer vi att anta att [a, b] = 0. Per definition är längden på vektorprodukten numeriskt lika med arean Sa av parallellogrammet (fig. 33) byggt på de multiplicerade vektorerna a och b som på sidorna: 6.1 . Egenskaper för en vektorprodukt 1. En vektorprodukt är lika med en nollvektor om och endast om minst en av de multiplicerade vektorerna är noll eller när dessa vektorer är kolinjära (om vektorerna a och b är kolinjära, då vinkeln mellan dem är antingen 0 eller 7r). Detta är lätt att erhålla från det faktum att Om vi ​​betraktar nollvektorn collinsar till vilken vektor som helst, så kan villkoret för collinariteten för vektorerna a och b uttryckas enligt följande 2. Vektorprodukten är antikommutativ, d.v.s. alltid. Faktum är att vektorerna (a, b) och har samma längd och är kolinjära. Riktningarna för dessa vektorer är motsatta, eftersom från slutet av vektorn [a, b] kommer den kortaste svängen från a till b att ses ske moturs, och från slutet av vektorn [b, a] - medurs (fig. 34). 3. Vektorprodukten har en fördelningsegenskap med avseende på addition 4. Den numeriska faktorn A kan tas ur vektorproduktens tecken 6.2. Vektorprodukt av vektorer, givna koordinater Låt vektorerna a och b ges av deras koordinater i basen. Med hjälp av fördelningsegenskapen för vektorprodukten hittar vi vektorprodukten av vektorerna som ges av koordinaterna. Blandat arbete. Låt oss skriva ut vektorprodukterna av koordinatorter (fig. 35): Därför, för vektorprodukten av vektorerna a och b, får vi från formel (3) följande uttrycksdeterminant över elementen i den första raden, vi får ( 4). Exempel. 1. Hitta arean av parallellogrammet byggt på vektorerna. Erforderlig area Därför finner vi = varifrån 2. Hitta arean av triangeln (fig. 36). Det är tydligt att arean b "d för triangeln JSC är lika med halva arean S av parallellogrammet O AC B. Beräkna vektorprodukten (a, b | av vektorerna a \u003d OA och b \u003d b \u003d ob ), vi får (a, b), c) = [a, |b, c)) är inte sant i det allmänna fallet. Till exempel, för a = ss j har vi § 7. Blandad produkt av vektorer Låt oss ha tre vektorer a, b och c. Multiplicera vektorerna a och 1> vektoriellt. Som ett resultat får vi vektorn [a, 1>]. Vi multiplicerar den skalärt med vektorn c: (k b), c. Antalet ( [a, b], e) kallas den blandade produkten av vektorerna a, b. c och betecknas med symbolen (a, 1), e) 7.1 Den geometriska betydelsen av den blandade produkten Låt oss lägga åt sidan vektorerna a, b och från den allmänna punkten O (fig. 37) Om alla fyra punkterna O, A, B, C ligger i samma plan (vektorerna a, b och c kallas i detta fall coplanar), så är de blandade produkt ([a, b], c) = 0. Detta följer av att vektorn [a, b| är vinkelrät mot det plan i vilket vektorerna a och 1 ligger ", och därav vektorn c. / If t punkterna O, A, B, C ligger inte i samma plan (vektorerna a, b och c är icke-samplanära), vi kommer att bygga en parallellepiped på kanterna OA, OB och OS (Fig. 38 a). Enligt definitionen av korsprodukten har vi (a,b) = So c, där So är arean av parallellogrammet OADB, och c är en enhetsvektor vinkelrät mot vektorerna a och b och så att trippeln a , b, c är rätt, dvs. vektorerna a, b och c är placerade som tummen, pekfingret och långfingret på höger hand (fig. 38 b). Multiplicerar vi båda delarna av den sista likheten på den högra skalären med vektorn c, får vi vektorprodukten av vektorerna som ges av koordinaterna. Blandat arbete. Talet rc c är lika med höjden h för den konstruerade parallellepipeden, taget med tecknet "+" om vinkeln mellan vektorerna c och c är spetsig (trippeln a, b, c är rätt), och med tecknet " -” om vinkeln är trubbig (trippeln a, b, c - vänster), så att alltså den blandade produkten av vektorerna a, b och c är lika med volymen V av parallellepipeden byggd på dessa vektorer som på kanter om trippeln a, b, c är höger och -V om trippeln a , b, c - vänster. Baserat på den blandade produktens geometriska betydelse kan vi dra slutsatsen att genom att multiplicera samma vektorer a, b och c i valfri annan ordning kommer vi alltid att få antingen +7 eller -K. Tecknet för pro- Fig. 38 referens kommer endast att bero på vilken triplett de multiplicerade vektorerna bildar - höger eller vänster. Om vektorerna a, b, c bildar en rät trippel, så blir även trippelna b, c, a och c, a, b rätt. Samtidigt, alla tre trillingarna b, a, c; a, c, b och c, b, a - vänster. Således, (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b , a). Vi betonar återigen att den blandade produkten av vektorer är lika med noll om och endast om de multiplicerade vektorerna a, b, c är koplanära: (a, b, c är koplanära) 7.2. Blandad produkt i koordinater Låt vektorerna a, b, c ges av deras koordinater i basen i, j, k: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Låt oss hitta ett uttryck för deras blandade produkt (a, b, c). Vi har en blandad produkt av vektorer som ges av deras koordinater i basen i, J, k, lika med tredje ordningens determinant, vars linjer är sammansatta av koordinaterna för den första, andra och tredje av den multiplicerade vektorer. Det nödvändiga och tillräckliga villkoret för komplanariteten för vektorerna a y\, Z|), b = (xx, y2.22), c = (x3, uz, 23) kan skrivas i följande form z, ar2y2-2=0. Uz Exempel. Kontrollera om vektorerna v = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) är i samma plan. Vektorerna som övervägs kommer att vara koplanära eller icke-samplanära, beroende på om determinanten är lika med noll eller inte. Genom att expandera den i termer av elementen i den första raden får vi 7.3. Dubbelkorsprodukt Dubbelkorsprodukten [a, [b, c]] är en vektor vinkelrät mot vektorerna a och [b, c]. Därför ligger den i planet för vektorerna b och c och kan expanderas i dessa vektorer. Det kan visas att formeln [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) är giltig. Övningar 1. Tre vektorer AB = c, W? = o och CA = b fungerar som sidor i triangeln. Uttryck i termer av a, b och c vektorerna som sammanfaller med medianerna AM, DN, CP i triangeln. 2. Vilket villkor måste kopplas mellan vektorerna p och q så att vektorn p + q delar vinkeln mellan dem på mitten? Det antas att alla tre vektorerna är relaterade till ett gemensamt ursprung. 3. Beräkna längden på diagonalerna för parallellogrammet byggt på vektorerna a = 5p + 2q och b = p - 3q, om det är känt att |p| = 2v/2, |q| = 3H-(p7ci) = f. 4. Bevisa med a och b sidorna av romben som kommer ut från en gemensam vertex, bevisa att rombens diagonaler är inbördes vinkelräta. 5. Beräkna punktprodukten av vektorerna a = 4i + 7j + 3k och b = 31 - 5j + k. 6. Hitta enhetsvektorn a0 parallell med vektorn a = (6, 7, -6). 7. Hitta projektionen av vektorn a = l+ j- kHa vektor b = 21 - j - 3k. 8. Hitta cosinus för vinkeln mellan vektorerna IS "w, om A (-4.0.4), B (-1.6.7), C (1.10.9). 9. Hitta en enhetsvektor p° som samtidigt är vinkelrät mot vektorn a = (3, 6, 8) och x-axeln. 10. Beräkna sinus för vinkeln mellan diagonalerna för parallellophamen byggd på vektorerna a = 2i+J-k, b=i-3j + k som på sidorna. Beräkna höjden h för parallellepipeden byggd på vektorerna a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, om parallellogrammet byggt på vektorerna a och I tas som bas). Svar

7.1. Definition av korsprodukt

Tre icke-samplanära vektorer a , b och c , tagna i den angivna ordningen, bildar en högertrippel om från slutet av den tredje vektorn c det kortaste varvet från den första vektorn a till den andra vektorn b ses vara moturs, och en vänster om medurs (se fig. 16).

Vektorprodukten av en vektor a och vektor b kallas vektor c, som:

1. Vinkelrätt mot vektorerna a och b, dvs c ^ a och c ^ b;

2. Den har en längd numeriskt lika med arean av parallellogrammet byggt på vektorerna a ochb som på sidorna (se fig. 17), d.v.s.

3. Vektorerna a , b och c bildar en rät trippel.

Vektorprodukten betecknas a x b eller [a,b]. Från definitionen av en vektorprodukt följer följande relationer mellan orterna i direkt, j och k(se fig. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Låt oss bevisa det till exempel i xj \u003d k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, men | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vektorerna i, j och k bildar en högertrippel (se fig. 16).

7.2. Kors produktegenskaper

1. När faktorerna omarrangeras byter vektorprodukten tecken, d.v.s. och xb \u003d (b xa) (se fig. 19).

Vektorerna a xb och b xa är kolinjära, har samma moduler (arean av parallellogrammet förblir oförändrad), men är motsatt riktade (trippel a, b, a xb och a, b, b x a med motsatt orientering). Det är axb = -(bxa).

2. Vektorprodukten har en kombinationsegenskap med avseende på en skalär faktor, dvs l (a xb) \u003d (la) x b \u003d a x (l b).

Låt l >0. Vektorn l (a xb) är vinkelrät mot vektorerna a och b. Vektor ( l yxa bär också vinkelrät mot vektorerna a och b(vektorer a, l men ligger i samma plan). Vektorerna alltså l(a xb) och ( l yxa b kolinjär. Det är uppenbart att deras riktningar sammanfaller. De har samma längd:

Det är därför l(a xb)= l en xb. Det är bevisat på samma sätt för l<0.

3. Två icke-noll vektorer a och bär kolinjära om och endast om deras vektorprodukt är lika med nollvektorn, dvs. och ||b<=>och xb \u003d 0.

Speciellt i*i=j*j=k*k=0.

4. Vektorprodukten har en distributionsegenskap:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Acceptera utan bevis.

7.3. Korsproduktuttryck i termer av koordinater

Vi kommer att använda vektorkorsprodukttabellen i , j och k:

om riktningen för den kortaste vägen från den första vektorn till den andra sammanfaller med pilens riktning, är produkten lika med den tredje vektorn, om den inte matchar tas den tredje vektorn med ett minustecken.

Låt två vektorer a =a x i +a y j+az k och b=bx i+av j+bz k. Låt oss hitta vektorprodukten för dessa vektorer genom att multiplicera dem som polynom (enligt vektorproduktens egenskaper):

Den resulterande formeln kan skrivas ännu kortare:

eftersom den högra sidan av likhet (7.1) motsvarar expansionen av tredje ordningens determinant när det gäller elementen i den första raden, är likhet (7.2) lätt att komma ihåg.

7.4. Vissa tillämpningar av korsprodukten

Etablering av kollinearitet av vektorer

Hitta arean av ett parallellogram och en triangel

Enligt definitionen av korsprodukten av vektorer a och b |a xb | =| a | * |b |sin g, dvs S par = |a x b |. Och därför D S \u003d 1/2 | a x b |.

Bestämma kraftmomentet kring en punkt

Låt en kraft appliceras vid punkt A F =AB släpp det O- någon punkt i rymden (se fig. 20).

Det är känt från fysiken att vridmoment F i förhållande till punkten O kallas vektor M , som går genom punkten O och:

1) vinkelrätt mot planet som passerar genom punkterna O, A, B;

2) numeriskt lika med produkten av kraften och skuldran

3) bildar en rät trippel med vektorerna OA och AB.

Därför M \u003d OA x F.

Hitta den linjära rotationshastigheten

Fart v punkt M av en stel kropp som roterar med en vinkelhastighet w runt en fast axel, bestäms av Eulerformeln v \u003d w x r, där r \u003d OM, där O är någon fast punkt på axeln (se fig. 21).

BLANDAD PRODUKT AV TRE VEKTORER OCH DESS EGENSKAPER

blandad produkt tre vektorer kallas ett tal lika med . Betecknas . Här multipliceras de två första vektorerna vektoriellt och sedan multipliceras den resulterande vektorn skalärt med den tredje vektorn. Uppenbarligen är en sådan produkt något nummer.

Tänk på egenskaperna hos den blandade produkten.

1. geometrisk känsla blandad produkt. Den blandade produkten av 3 vektorer, upp till ett tecken, är lika med volymen av parallellepipeden byggd på dessa vektorer, som på kanter, d.v.s. .

   Alltså och .

   

   Bevis. Låt oss skjuta upp vektorerna från det gemensamma ursprunget och bygga en parallellepiped på dem. Låt oss beteckna och notera det. Per definition av den skalära produkten

   Förutsatt att och betecknar igenom h höjden på parallellepipeden finner vi .

   Alltså kl

   Om , då och . Följaktligen.

   Genom att kombinera båda dessa fall får vi eller .

   Av beviset för denna egenskap, i synnerhet, följer att om trippeln av vektorer är rätt, då den blandade produkten , och om den är vänster, då .

2. För alla vektorer , , jämlikheten

   Beviset för denna egenskap följer av egenskap 1. Det är faktiskt lätt att visa att och . Dessutom tas tecknen "+" och "-" samtidigt, eftersom vinklarna mellan vektorerna och och och är både spetsiga eller trubbiga.

3. När två olika faktorer byts om byter den blandade produkten tecken.

   Faktum är att om vi betraktar den blandade produkten , då, till exempel, eller

4. En blandad produkt om och endast om en av faktorerna är lika med noll eller om vektorerna är koplanära.

   Bevis.

   Således är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för komplanariteten hos 3 vektorer lika med noll av deras blandade produkt. Dessutom följer av detta att tre vektorer utgör en bas i rymden om .

   Om vektorerna ges i koordinatform, kan det visas att deras blandade produkt hittas med formeln:

   .

   Således är den blandade produkten lika med en tredje ordningens determinant vars första linje innehåller koordinaterna för den första vektorn, den andra raden innehåller koordinaterna för den andra vektorn och den tredje raden innehåller koordinaterna för den tredje vektorn.

   Exempel.

ANALYTISK GEOMETRI I RYMMEN

Ekvationen F(x, y, z)= 0 definierar i rymden Oxyz någon yta, dvs. plats för punkter vars koordinater x, y, z uppfylla denna ekvation. Denna ekvation kallas ytekvationen, och x, y, z– aktuella koordinater.

Men ofta definieras ytan inte av en ekvation, utan som en uppsättning punkter i rymden som har en eller annan egenskap. I det här fallet krävs det att hitta ytans ekvation, baserat på dess geometriska egenskaper.

PLAN.

NORMAL PLAN VEKTOR.

EKVATION FÖR ETT PLAN SOM GÅR GENOM EN GIVET PUNKT

Betrakta ett godtyckligt plan σ i rymden. Dess position bestäms genom att sätta en vektor vinkelrätt mot detta plan, och någon fast punkt M0(x0, y 0, z0) liggande i planet σ.

Vektorn vinkelrät mot planet σ kallas vanligt vektor för detta plan. Låt vektorn ha koordinater.

Vi härleder ekvationen för planet σ som går genom den givna punkten M0 och har en normal vektor. För att göra detta, ta en godtycklig punkt på planet σ M(x, y, z) och betrakta vektorn.

För vilken punkt som helst MÎ σ vektor. Därför är deras skalära produkt lika med noll. Denna jämlikhet är villkoret att poängen MО σ. Den är giltig för alla punkter på detta plan och bryts så snart som punkten M kommer att vara utanför planet σ.

Om vi ​​betecknar med radievektorn punkterna M, är radievektorn för punkten M0, då kan ekvationen skrivas som

Denna ekvation kallas vektor plan ekvation. Låt oss skriva det i koordinatform. Sedan dess

Så vi har fått ekvationen för planet som passerar genom den givna punkten. För att komponera ekvationen för planet måste du alltså känna till koordinaterna för normalvektorn och koordinaterna för någon punkt som ligger på planet.

Observera att ekvationen för planet är en ekvation av 1:a graden med avseende på de aktuella koordinaterna x, y och z.

Exempel.

ALLMÄN EKVATION FÖR PLANET

Det kan visas att varje ekvation av första graden med avseende på kartesiska koordinater x, y, zär en ekvation för något plan. Denna ekvation skrivs som:

Axe+By+Cz+D=0

och ringde allmän ekvation planet och koordinaterna A, B, C här är koordinaterna för planets normalvektor.

Låt oss överväga särskilda fall av den allmänna ekvationen. Låt oss ta reda på hur planet ligger i förhållande till koordinatsystemet om en eller flera koefficienter i ekvationen försvinner.

A är längden på segmentet avskuret av planet på axeln Oxe. På samma sätt kan man visa det b och cär längderna på segmenten avskurna av det betraktade planet på axlarna Oj och Uns.

Det är bekvämt att använda ekvationen för ett plan i segment för att konstruera plan.