Definition 1

Skalär produkt vektorer kallas ett tal som är lika med produkten av dynerna för dessa vektorer och cosinus för vinkeln mellan dem.

Notationen för produkten av vektorerna a → och b → har formen a → , b → . Låt oss konvertera till formeln:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → och b → anger längderna på vektorerna, a → , b → ^ anger vinkeln mellan de givna vektorerna. Om minst en vektor är noll, det vill säga den har värdet 0, blir resultatet noll, a → , b → = 0

När vi multiplicerar en vektor med sig själv får vi kvadraten på dess dyn:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definition 2

Skalär multiplikation av en vektor i sig själv kallas en skalär kvadrat.

Beräknat enligt formeln:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Att skriva a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n pa → b → = b → n p b → a → visar att n p b → a → är en numerisk projektion av a → på b → , n p a → a → - projektion av b → på a → respektive.

Vi formulerar definitionen av produkten för två vektorer:

Skalärprodukten av två vektorer a → med b → kallas produkten av längden av vektorn a → genom projektionen av b → i riktningen a → eller produkten av längden av b → genom projektionen av a →, respektive.

Prick produkten i koordinater

Beräkningen av den skalära produkten kan göras genom koordinaterna för vektorerna i ett givet plan eller i rymden.

Skalärprodukten av två vektorer på ett plan, i tredimensionell rymd, kallas summan av koordinater givna vektorer a → och b → .

När du beräknar på planet för punktprodukten av givna vektorer a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) i det kartesiska systemet, använd:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

för tredimensionellt utrymme är uttrycket tillämpligt:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

Detta är faktiskt den tredje definitionen av dot-produkten.

Låt oss bevisa det.

Bevis 1

För att bevisa det använder vi a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y för vektorer a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) på kartesiska system.

Vektorer bör skjutas upp

OA → = a → = a x , a y och O B → = b → = b x , b y .

Då blir längden på vektorn A B → lika med A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Betrakta en triangel O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) är sant, baserat på cosinussatsen.

Av villkor kan man se att O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , så vi skriver formeln för att hitta vinkeln mellan vektorer annorlunda

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Sedan följer av den första definitionen att b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , så (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Genom att tillämpa formeln för att beräkna längden på vektorer får vi:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Låt oss bevisa jämlikheterna:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– respektive för vektorer av tredimensionellt rymd.

Skalärprodukten av vektorer med koordinater säger att den skalära kvadraten av en vektor är lika med summan av kvadraterna av dess koordinater i rymden respektive på planet. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) och (a →, a →) = a x 2 + a y2.

Dot produkt och dess egenskaper

Det finns punktproduktegenskaper som gäller för a → , b → och c → :

1. kommutativitet (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivitet (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → c →);
3. associativ egenskap (λ a → , b →) = λ (a → , b →), (a → , λ b →) = λ (a → , b →), λ - vilket tal som helst;
4. den skalära kvadraten är alltid större än noll (a → , a →) ≥ 0 , där (a → , a →) = 0 när a → noll.

Exempel 1

Egenskaperna förklaras av definitionen av prickprodukten i planet och av egenskaperna för addition och multiplikation av reella tal.

Bevisa kommutativitetsegenskapen (a → , b →) = (b → , a →) . Från definitionen har vi att (a → , b →) = a y b y + a y b y och (b → , a →) = b x a x + b y a y .

Med egenskapen kommutativitet är likheterna a x · b x = b x · a x och a y · b y = b y · a y sanna, så a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Det följer att (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Distributiviteten är giltig för alla nummer:

(a (1) → + a (2) → + . . + a (n) →, b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) +. . . + (a (n) → , b →)

och (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

därför har vi

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) +. . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) +. . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . ++ (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Prick produkt med exempel och lösningar

Alla problem med en sådan plan löses med hjälp av egenskaperna och formlerna för den skalära produkten:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n pa → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a →, b →) = a xb x + a y b y eller (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Låt oss titta på några exempel på lösningar.

Exempel 2

Längden på a → är 3, längden på b → är 7. Hitta prickprodukten om vinkeln har 60 grader.

Lösning

Efter villkor har vi all data, så vi beräknar med formeln:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Svar: (a → , b →) = 21 2 .

Exempel 3

Givna vektorer a → = (1 , - 1 , 2 - 3), b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Vad är den skalära produkten.

Lösning

I det här exemplet övervägs formeln för beräkning av koordinaterna, eftersom de anges i problemformuleringen:

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Svar: (a → , b →) = - 9

Exempel 4

Hitta den inre produkten av A B → och A C → . Punkterna A (1 , - 3), B (5 , 4) , C (1 , 1) ges på koordinatplanet.

Lösning

Till att börja med beräknas vektorernas koordinater, eftersom punkternas koordinater ges av villkor:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Genom att ersätta formeln med hjälp av koordinater får vi:

(A B →, A C →) = 40 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Svar: (A B → , A C →) = 28 .

Exempel 5

Med tanke på vektorerna a → = 7 m → + 3 n → och b → = 5 m → + 8 n → , hitta deras produkt. m → är lika med 3 och n → är lika med 2 enheter, de är vinkelräta.

Lösning

(a →, b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →). Genom att tillämpa den distribuerande egenskapen får vi:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Vi tar koefficienten utanför produktens tecken och får:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Genom egenskapen kommutativitet transformerar vi:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Som ett resultat får vi:

(a →, b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →).

Nu tillämpar vi formeln för den skalära produkten med den vinkel som anges av villkoret:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Svar: (a → , b →) = 411

Om det finns en numerisk projektion.

Exempel 6

Hitta den inre produkten av a → och b → . Vektorn a → har koordinater a → = (9 , 3 , - 3) , projektionen b → har koordinater (- 3 , - 1 , 1) .

Lösning

Enligt villkor är vektorerna a → och projektionen b → motsatt riktade, eftersom a → = - 1 3 n pa → b → → , så projektionen b → motsvarar längden n p a → b → → , och med "-" tecken:

n pa → b → → = - n pa → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Genom att ersätta formeln får vi uttrycket:

(a → , b →) = a → n pa → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Svar: (a → , b →) = - 33 .

Problem med en känd skalär produkt, där det är nödvändigt att hitta längden på en vektor eller en numerisk projektion.

Exempel 7

Vilket värde ska λ ta för en given skalär produkt a → \u003d (1, 0, λ + 1) och b → \u003d (λ, 1, λ) kommer att vara lika med -1.

Lösning

Från formeln kan det ses att det är nödvändigt att hitta summan av produkterna av koordinater:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

I givet har vi (a → , b →) = - 1 .

För att hitta λ , beräknar vi ekvationen:

λ 2 + 2 · λ = - 1, därav λ = - 1 .

Svar: λ = - 1 .

Den fysiska innebörden av den skalära produkten

Mekanik överväger tillämpningen av dot-produkten.

När man arbetar med A med en konstant kraft F → en kropp som rör sig från punkt M till N kan man hitta produkten av längderna på vektorerna F → och M N → med cosinus för vinkeln mellan dem, vilket betyder att arbetet är lika stort. till produkten av kraft- och förskjutningsvektorerna:

A = (F^, MN^).

Exempel 8

Förskjutningen av en materialpunkt med 3 meter under inverkan av en kraft lika med 5 Nton riktas i en vinkel på 45 grader i förhållande till axeln. Hitta en .

Lösning

Eftersom arbete är produkten av kraftvektorn och förskjutningen, så får vi, baserat på villkoret F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Svar: A = 15 2 2 .

Exempel 9

Materialpunkten, som rörde sig från M (2, - 1, - 3) till N (5, 3 λ - 2, 4) under kraften F → = (3, 1, 2), fungerade lika med 13 J. Beräkna rörelsens längd.

Lösning

För givna koordinater för vektorn M N → har vi M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Genom formeln för att hitta arbete med vektorerna F → = (3 , 1 , 2) och M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) får vi A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3) X - 1) + 27 = 22 + 3 X.

Som villkor är det givet att A \u003d 13 J, vilket betyder 22 + 3 λ \u003d 13. Detta innebär λ = - 3 , därav M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

För att hitta reslängden M N → tillämpar vi formeln och ersätter värdena:

MN → = 32+ (-10)2+72 = 158.

Svar: 158 .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Det kommer också att finnas uppgifter för en självständig lösning, som du kan se svaren på.

Om i problemet både längderna på vektorerna och vinkeln mellan dem presenteras "på ett silverfat", ser tillståndet för problemet och dess lösning ut så här:

Exempel 1 Vektorer ges. Hitta skalärprodukten av vektorer om deras längder och vinkeln mellan dem representeras av följande värden:

En annan definition är också giltig, som helt motsvarar definition 1.

Definition 2. Den skalära produkten av vektorer är ett tal (skalär) lika med produkten av längden av en av dessa vektorer och projektionen av en annan vektor på axeln som bestäms av den första av dessa vektorer. Formel enligt definition 2:

Vi kommer att lösa problemet med denna formel efter nästa viktiga teoretiska punkt.

Definition av skalärprodukten av vektorer i termer av koordinater

Samma antal kan erhållas om de multiplicerade vektorerna ges av deras koordinater.

Definition 3. Punktprodukten av vektorer är talet lika med summan av de parvisa produkterna av deras respektive koordinater.

På ytan

Om två vektorer och i planet definieras av deras två kartesiska koordinater

då är punktprodukten av dessa vektorer lika med summan av de parvisa produkterna av deras respektive koordinater:

.

Exempel 2 Hitta det numeriska värdet för projektionen av vektorn på axeln parallell med vektorn.

Lösning. Vi hittar skalärprodukten av vektorer genom att addera de parvisa produkterna av deras koordinater:

Nu måste vi likställa den resulterande skalära produkten med produkten av vektorns längd och projektionen av vektorn på en axel parallell med vektorn (i enlighet med formeln).

Vi finner längden på vektorn som kvadratroten av summan av kvadraterna av dess koordinater:

.

Skriv en ekvation och lös den:

Svar. Det önskade numeriska värdet är minus 8.

I rymden

Om två vektorer och i rymden definieras av deras tre kartesiska rektangulära koordinater

,

då är den skalära produkten av dessa vektorer också lika med summan av de parvisa produkterna av deras respektive koordinater, bara det finns redan tre koordinater:

.

Uppgiften att hitta den skalära produkten på det övervägda sättet är efter att ha analyserat egenskaperna hos den skalära produkten. För i uppgiften kommer det att vara nödvändigt att bestämma vilken vinkel de multiplicerade vektorerna bildar.

Egenskaper för prickprodukten av vektorer

Algebraiska egenskaper

1. (kommutativ egenskap: värdet av deras skalära produkt ändras inte från att ändra platserna för multiplicerade vektorer).

2. (associativ egenskap med avseende på en numerisk faktor: skalärprodukten av en vektor multiplicerad med någon faktor och en annan vektor är lika med skalärprodukten av dessa vektorer multiplicerad med samma faktor).

3. (fördelningsegenskap med avseende på summan av vektorer: skalärprodukten av summan av två vektorer av den tredje vektorn är lika med summan av skalärprodukterna av den första vektorn av den tredje vektorn och den andra vektorn av den tredje vektorn).

4. (skalär kvadrat av en vektor större än noll) if är en vektor som inte är noll, och , if är en nollvektor.

Geometriska egenskaper

I definitionerna av operationen som studeras har vi redan berört konceptet med en vinkel mellan två vektorer. Det är dags att förtydliga detta koncept.

I figuren ovan syns två vektorer som förs till en gemensam början. Och det första du måste vara uppmärksam på: det finns två vinklar mellan dessa vektorer - φ 1 och φ 2 . Vilken av dessa vinklar förekommer i definitionerna och egenskaperna för skalärprodukten av vektorer? Summan av de betraktade vinklarna är 2 π och därför är cosinuserna för dessa vinklar lika. Definitionen av punktprodukten inkluderar endast cosinus för vinkeln, inte värdet av dess uttryck. Men endast ett hörn beaktas i fastigheterna. Och detta är den av de två vinklarna som inte överstiger π dvs 180 grader. Denna vinkel visas i figuren som φ 1 .

1. Två vektorer kallas ortogonal och vinkeln mellan dessa vektorer är en höger (90 grader eller π /2) om skalärprodukten av dessa vektorer är noll :

.

Ortogonalitet i vektoralgebra är vinkelrätheten mellan två vektorer.

2. Två vektorer som inte är noll utgör vasst hörn (från 0 till 90 grader, eller, vad är detsamma, mindre π prickprodukten är positiv .

3. Två vektorer som inte är noll utgör trubbig vinkel (från 90 till 180 grader, eller vad är samma sak - mer π /2 ) om och endast om prickprodukten är negativ .

Exempel 3 Vektorer ges i koordinater:

.

Beräkna punktprodukterna för alla par av givna vektorer. Vilken vinkel (spets, höger, trubbig) bildar dessa vektorpar?

Lösning. Vi kommer att beräkna genom att lägga till produkterna av motsvarande koordinater.

Vi fick ett negativt tal, så vektorerna bildar en trubbig vinkel.

Vi fick ett positivt tal, så vektorerna bildar en spetsig vinkel.

Vi fick noll, så vektorerna bildar en rät vinkel.

Vi fick ett positivt tal, så vektorerna bildar en spetsig vinkel.

.

Vi fick ett positivt tal, så vektorerna bildar en spetsig vinkel.

För självtest kan du använda online-kalkylator Punktprodukt av vektorer och cosinus för vinkeln mellan dem .

Exempel 4 Givet längden på två vektorer och vinkeln mellan dem:

.

Bestäm vid vilket värde av talet vektorerna och är ortogonala (vinkelräta).

Lösning. Vi multiplicerar vektorerna enligt multiplikationsregeln för polynom:

Låt oss nu beräkna varje term:

.

Låt oss komponera en ekvation (likhet mellan produkten och noll), ge liknande termer och lösa ekvationen:

Svar: vi fick värdet λ = 1,8 , där vektorerna är ortogonala.

Exempel 5 Bevisa att vektorn ortogonal (vinkelrätt) mot vektorn

Lösning. För att kontrollera ortogonalitet multiplicerar vi vektorerna och som polynom och ersätter uttrycket som ges i problemvillkoret istället för det:

.

För att göra detta måste du multiplicera varje term (term) i det första polynomet med varje term i den andra och lägga till de resulterande produkterna:

.

Som ett resultat minskar den förfallna andelen. Följande resultat erhålls:

Slutsats: som ett resultat av multiplikation fick vi noll, därför bevisas ortogonaliteten (vinkelräthet) för vektorerna.

Lös problemet själv och se sedan lösningen

Exempel 6 Med tanke på längderna av vektorer och , och vinkeln mellan dessa vektorer är π /fyra. Bestäm till vilket värde μ vektorer och är inbördes vinkelräta.

För självtest kan du använda online-kalkylator Punktprodukt av vektorer och cosinus för vinkeln mellan dem .

Matrisrepresentation av den skalära produkten av vektorer och produkten av n-dimensionella vektorer

Ibland är det för tydlighetens skull fördelaktigt att representera två multiplicerade vektorer i form av matriser. Sedan representeras den första vektorn som en radmatris, och den andra - som en kolumnmatris:

Då blir den skalära produkten av vektorer produkten av dessa matriser :

Resultatet är detsamma som erhålls med metoden vi redan har övervägt. Vi fick ett enda tal, och produkten av matrisraden vid matriskolumnen är också ett enda tal.

I matrisform är det lämpligt att representera produkten av abstrakta n-dimensionella vektorer. Således kommer produkten av två fyrdimensionella vektorer att vara produkten av en radmatris med fyra element med en kolumnmatris också med fyra element, produkten av två femdimensionella vektorer kommer att vara produkten av en radmatris med fem element av en kolumnmatris också med fem element, och så vidare.

Exempel 7 Hitta Dot-produkter av par av vektorer

,

med hjälp av matrisrepresentation.

Lösning. Det första vektorparet. Vi representerar den första vektorn som en radmatris och den andra som en kolumnmatris. Vi finner skalärprodukten av dessa vektorer som produkten av radmatrisen av kolumnmatrisen:

På liknande sätt representerar vi det andra paret och finner:

Som du kan se är resultaten desamma som för samma par från exempel 2.

Vinkel mellan två vektorer

Härledningen av formeln för cosinus för vinkeln mellan två vektorer är mycket vacker och koncis.

Att uttrycka prickprodukten av vektorer

(1)

i koordinatform finner vi först den skalära produkten av orts. Den skalära produkten av en vektor med sig själv är per definition:

Det som står i formeln ovan betyder: skalärprodukten av en vektor med sig själv är lika med kvadraten på dess längd. Cosinus noll är lika med ett, så kvadraten på varje ort blir lika med ett:

Eftersom vektorerna

är parvis vinkelräta, kommer de parvisa produkterna av orterna att vara lika med noll:

Låt oss nu utföra multiplikationen av vektorpolynom:

Vi ersätter på den högra sidan av jämlikheten värdena för motsvarande skalära produkter från orterna:

Vi får formeln för cosinus för vinkeln mellan två vektorer:

Exempel 8 Med tanke på tre poäng A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Hitta en vinkel.

Lösning. Vi hittar vektorernas koordinater:

,

.

Med hjälp av formeln för cosinus för en vinkel får vi:

Följaktligen.

För självtest kan du använda online-kalkylator Punktprodukt av vektorer och cosinus för vinkeln mellan dem .

Exempel 9 Givet två vektorer

Hitta summan, skillnaden, längden, prickprodukten och vinkeln mellan dem.

2.Skillnad

Vektor och punktprodukt gör det enkelt att beräkna vinkeln mellan vektorer. Låt två vektorer $\overline(a)$ och $\overline(b)$ ges, den orienterade vinkeln mellan dem är lika med $\varphi$. Låt oss beräkna värdena $x = (\overline(a),\overline(b))$ och $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Sedan $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, där $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ och $\varphi$ är det önskade vinkel, det vill säga punkten $(x, y)$ har en polär vinkel lika med $\varphi$, och därför kan $\varphi$ hittas som atan2(y, x).

Arean av en triangel

Eftersom vektorprodukten innehåller produkten av två vektorlängder och cosinus för vinkeln mellan dem, kan vektorprodukten användas för att beräkna arean av triangeln ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\överlinje(AB),\överlinje(AC)]| $.

Punkt som hör till en linje

Låt en punkt $P$ och en linje $AB$ (given av två punkter $A$ och $B$) ges. Det är nödvändigt att kontrollera om en punkt tillhör linjen $AB$.

En punkt tillhör linjen $AB$ om och endast om vektorerna $AP$ och $AB$ är kolinjära, det vill säga om $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

En punkts tillhörighet till en stråle

Låt en punkt $P$ och en stråle $AB$ (givna av två punkter - början av strålen $A$ och en punkt på strålen $B$) ges. Det är nödvändigt att kontrollera om punkten tillhör strålen $AB$.

Ett ytterligare villkor måste läggas till villkoret att punkten $P$ tillhör linjen $AB$ - vektorerna $AP$ och $AB$ är samriktade, det vill säga de är kolinjära och deras skalära produkt är icke-negativ, det vill säga $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

Punkt som hör till ett segment

Låt en punkt $P$ och ett segment $AB$ ges. Det är nödvändigt att kontrollera om punkten tillhör segmentet $AB$.

I det här fallet måste punkten tillhöra både strålen $AB$ och strålen $BA$, så följande villkor måste kontrolleras:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\överlinje(BA), \överlinje(BP))\ge 0$.

Avstånd från punkt till linje

Låt en punkt $P$ och en linje $AB$ (given av två punkter $A$ och $B$) ges. Det är nödvändigt att hitta avståndet från punkten på den räta linjen $AB$.

Betrakta triangel ABP. Å ena sidan är dess område $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

Å andra sidan är dess area $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, där $h$ är höjden från $P$, dvs avståndet från $P$ till $ AB $. Varifrån $h=|[\överlinje(AB),\överlinje(AP)]|/|AB|$.

Avstånd från punkt till stråle

Låt en punkt $P$ och en stråle $AB$ (givna av två punkter - början av strålen $A$ och en punkt på strålen $B$) ges. Det är nödvändigt att hitta avståndet från punkten till strålen, det vill säga längden på det kortaste segmentet från punkten $P$ till valfri punkt på strålen.

Detta avstånd är lika med antingen längden $AP$ eller avståndet från punkten $P$ till linjen $AB$. Vilket av fallen som äger rum kan lätt bestämmas av strålens relativa läge och punkten. Om vinkeln PAB är spetsig, dvs $(\överlinje(AB),\överlinje(AP)) > 0$, så är svaret avståndet från punkten $P$ till linjen $AB$, annars är svaret längden av segmentet $AB$.

Avstånd från punkt till linje

Låt en punkt $P$ och ett segment $AB$ ges. Det är nödvändigt att hitta avståndet från $P$ till segmentet $AB$.

Om basen av vinkelrät sjunkit från $P$ till linjen $AB$ faller på segmentet $AB$, vilket kan kontrolleras av villkoren

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

då är svaret avståndet från punkten $P$ till linjen $AB$. Annars blir avståndet lika med $\min(AP, BP)$.

Punktprodukt av vektorer

Vi fortsätter att hantera vektorer. Vid första lektionen Vektorer för dummies vi har övervägt begreppet vektor, handlingar med vektorer, vektorkoordinater och de enklaste problemen med vektorer. Om du kom till denna sida för första gången från en sökmotor rekommenderar jag starkt att du läser ovanstående introduktionsartikel, för för att tillgodogöra dig materialet behöver du vägledas i de termer och notation jag använder, ha grundläggande kunskaper om vektorer och kunna lösa elementära problem. Den här lektionen är en logisk fortsättning på ämnet, och i den kommer jag att analysera i detalj typiska uppgifter som använder den skalära produkten av vektorer. Detta är ett MYCKET VIKTIGT jobb.. Försök att inte hoppa över exemplen, de åtföljs av en användbar bonus - övning hjälper dig att konsolidera materialet som täcks och "få din hand" på att lösa vanliga problem analytisk geometri.

Addera vektorer, multiplicera en vektor med ett tal... Det vore naivt att tro att matematiker inte har kommit på något annat. Utöver de åtgärder som redan har övervägts finns det ett antal andra operationer med vektorer, nämligen: prickprodukt av vektorer, korsprodukt av vektorer och blandad produkt av vektorer. Den skalära produkten av vektorer är bekant för oss från skolan, de andra två produkterna är traditionellt relaterade till kursen i högre matematik. Ämnena är enkla, algoritmen för att lösa många problem är stereotyp och förståelig. Den enda saken. Det finns en anständig mängd information, så det är inte önskvärt att försöka bemästra och lösa ALLT OCH PÅ EN GÅNG. Detta gäller särskilt för dummies, tro mig, författaren vill absolut inte känna sig som Chikatilo från matematiken. Tja, inte från matematiken, förstås, heller =) Mer förberedda elever kan använda materialen selektivt, i en viss mening, för att "förvärva" den saknade kunskapen, för dig kommer jag att vara en ofarlig greve Dracula =)

Till sist, låt oss öppna dörren lite och ta en titt på vad som händer när två vektorer möter varandra...

Definition av skalärprodukten av vektorer.
Egenskaper hos den skalära produkten. Typiska arbetsuppgifter

Begreppet prickprodukt

Först om vinkel mellan vektorer. Jag tror att alla intuitivt förstår vad vinkeln mellan vektorer är, men för säkerhets skull, lite mer. Överväg fria vektorer som inte är noll och . Om vi ​​skjuter upp dessa vektorer från en godtycklig punkt, får vi en bild som många redan har presenterat mentalt:

Jag erkänner, här beskrev jag situationen endast på nivån av förståelse. Om du behöver en strikt definition av vinkeln mellan vektorer, se läroboken, men för praktiska uppgifter behöver vi i princip inte det. Även HÄR OCH VIDARE kommer jag ibland att ignorera nollvektorer på grund av deras låga praktiska betydelse. Jag gjorde en reservation specifikt för avancerade besökare på webbplatsen, som kan förebrå mig för den teoretiska ofullständigheten i några av följande påståenden.

kan ta värden från 0 till 180 grader (från 0 till radianer) inklusive. Analytiskt skrivs detta faktum som en dubbel ojämlikhet: eller (i radianer).

I litteraturen är vinkelikonen ofta utelämnad och enkelt skriven.

Definition: Den skalära produkten av två vektorer är ett TAL lika med produkten av längderna av dessa vektorer och cosinus för vinkeln mellan dem:

Nu är det en ganska strikt definition.

Vi fokuserar på viktig information:

Beteckning: den skalära produkten betecknas med eller helt enkelt .

Resultatet av operationen är ett NUMMER: Multiplicera en vektor med en vektor för att få ett tal. Faktum är att om längderna på vektorer är tal, är cosinus för vinkeln ett tal, då deras produkt kommer också att vara ett nummer.

Bara ett par uppvärmningsexempel:

Exempel 1

Lösning: Vi använder formeln . I detta fall:

Svar:

Cosinusvärden finns i trigonometrisk tabell. Jag rekommenderar att du skriver ut det - det kommer att krävas i nästan alla delar av tornet och kommer att krävas många gånger.

Rent matematiskt är den skalära produkten dimensionslös, det vill säga resultatet, i det här fallet, är bara en siffra och det är allt. Ur fysikens problemsynpunkt har den skalära produkten alltid en viss fysisk betydelse, det vill säga efter resultatet måste en eller annan fysisk enhet anges. Det kanoniska exemplet på att beräkna en krafts arbete kan hittas i vilken lärobok som helst (formeln är exakt en prickprodukt). En krafts arbete mäts i Joule, därför kommer svaret att skrivas ganska specifikt, till exempel.

Exempel 2

Hitta om , och vinkeln mellan vektorerna är .

Detta är ett exempel på självbeslut, svaret finns i slutet av lektionen.

Vinkel mellan vektorer och punktproduktvärde

I exempel 1 visade sig den skalära produkten vara positiv och i exempel 2 visade den sig vara negativ. Låt oss ta reda på vad tecknet på den skalära produkten beror på. Låt oss titta på vår formel: . Längden på vektorer som inte är noll är alltid positiva: , så tecknet kan bara bero på värdet av cosinus.

Notera: För en bättre förståelse av informationen nedan är det bättre att studera cosinusgrafen i manualen Grafer och funktionsegenskaper. Se hur cosinusen beter sig på segmentet.

Som redan noterats kan vinkeln mellan vektorerna variera inom , och följande fall är möjliga:

1) Om hörn mellan vektorer kryddad: (från 0 till 90 grader), sedan , och prickprodukten kommer att vara positiv samregisserad, då anses vinkeln mellan dem vara noll, och den skalära produkten kommer också att vara positiv. Sedan är formeln förenklad: .

2) Om hörn mellan vektorer korkad: (från 90 till 180 grader), då , och på motsvarande sätt, prickprodukten är negativ: . Specialfall: om vektorerna riktat motsatt, då beaktas vinkeln mellan dem utplacerade: (180 grader). Den skalära produkten är också negativ, eftersom

De omvända påståendena är också sanna:

1) Om , då är vinkeln mellan dessa vektorer spetsig. Alternativt är vektorerna samriktade.

2) Om , då är vinkeln mellan dessa vektorer trubbig. Alternativt är vektorerna riktade motsatta.

Men det tredje fallet är av särskilt intresse:

3) Om hörn mellan vektorer hetero: (90 grader) sedan och punktprodukten är noll: . Det omvända är också sant: om , då . Det kompakta uttalandet är formulerat enligt följande: Den skalära produkten av två vektorer är noll om och endast om de givna vektorerna är ortogonala. Kort matematisk notation:

! Notera : upprepa grunderna för matematisk logik: dubbelsidig logisk konsekvensikon läses vanligtvis "om och endast då", "om och endast om". Som du kan se är pilarna riktade åt båda håll - "av detta följer detta, och vice versa - från detta följer detta." Vad är förresten skillnaden från envägsföljningsikonen? Ikon hävdar bara det att "av detta följer detta", och inte det faktum att det omvända är sant. Till exempel: , men inte alla djur är en panter, så ikonen kan inte användas i det här fallet. Samtidigt, istället för ikonen burk använd ensidig ikon. Till exempel, när vi löste problemet, fick vi reda på att vi drog slutsatsen att vektorerna är ortogonala: - en sådan post kommer att vara korrekt och till och med lämpligare än .

Det tredje fallet är av stor praktisk betydelse., eftersom det låter dig kontrollera om vektorerna är ortogonala eller inte. Vi kommer att lösa detta problem i den andra delen av lektionen.

Prick produktens egenskaper

Låt oss återgå till situationen när två vektorer samregisserad. I det här fallet är vinkeln mellan dem noll, , och den skalära produktformeln har formen: .

Vad händer om en vektor multipliceras med sig själv? Det är tydligt att vektorn är samriktad med sig själv, så vi använder ovanstående förenklade formel:

Numret är uppringt skalär kvadrat vektor och betecknas som .

På det här sättet, den skalära kvadraten av en vektor är lika med kvadraten på längden på den givna vektorn:

Från denna likhet kan du få en formel för att beräkna längden på en vektor:

Även om det verkar dunkelt, men lektionens uppgifter kommer att sätta allt på sin plats. För att lösa problem behöver vi också punkt produktegenskaper.

För godtyckliga vektorer och valfritt tal är följande egenskaper sanna:

1) - förskjutbar eller kommutativ skalär produktlag.

2) - distribution eller distributiv skalär produktlag. Enkelt uttryckt kan du öppna parenteser.

3) - kombination eller associativ skalär produktlag. Konstanten kan tas ut ur den skalära produkten.

Ofta upplevs alla möjliga egenskaper (som också måste bevisas!) av eleverna som onödigt skräp, som bara behöver memoreras och säkert glömmas bort direkt efter tentamen. Det verkar som att det som är viktigt här, alla vet redan från första klass att produkten inte förändras från en permutation av faktorerna:. Jag måste varna dig, i högre matematik med ett sådant tillvägagångssätt är det lätt att förstöra saker. Så till exempel är den kommutativa egenskapen inte giltig för algebraiska matriser. Det är inte sant för korsprodukt av vektorer. Därför är det åtminstone bättre att fördjupa sig i alla egenskaper som du kommer att möta under högre matematik för att förstå vad som kan och inte kan göras.

Exempel 3

.

Lösning: Låt oss först klargöra situationen med vektorn. Vad handlar det om? Summan av vektorerna och är en väldefinierad vektor, som betecknas med . Geometrisk tolkning av handlingar med vektorer finns i artikeln Vektorer för dummies. Samma persilja med en vektor är summan av vektorerna och .

Så, enligt tillståndet, krävs det att hitta den skalära produkten. I teorin måste du tillämpa arbetsformeln , men problemet är att vi inte vet längden på vektorerna och vinkeln mellan dem. Men i tillståndet ges liknande parametrar för vektorer, så vi kommer att gå åt andra hållet:

(1) Vi ersätter uttryck av vektorer.

(2) Vi öppnar parentesen enligt regeln för multiplikation av polynom, en vulgär tungvridare kan hittas i artikeln Komplexa tal eller Integration av en bråk-rationell funktion. Jag kommer inte att upprepa mig själv =) Förresten, den distribuerande egenskapen hos den skalära produkten tillåter oss att öppna parenteserna. Vi har rätten.

(3) I de första och sista termerna skriver vi kompakt de skalära kvadraterna av vektorerna: . I den andra termen använder vi den skalära produktens commuterbarhet: .

(4) Här är liknande termer: .

(5) I den första termen använder vi den skalära kvadratformeln, som nämndes för inte så länge sedan. Under den sista terminen fungerar samma sak: . Den andra termen utökas enligt standardformeln .

(6) Ersätt dessa villkor , och utför noggrant de slutliga beräkningarna.

Svar:

Det negativa värdet för punktprodukten anger att vinkeln mellan vektorerna är trubbig.

Uppgiften är typisk, här är ett exempel på en oberoende lösning:

Exempel 4

Hitta skalärprodukten av vektorerna och , om det är känt att .

Nu en annan vanlig uppgift, bara för den nya vektorlängdformeln. Beteckningarna här kommer att överlappa lite, så för tydlighetens skull kommer jag att skriva om den med en annan bokstav:

Exempel 5

Hitta längden på vektorn if .

Lösning blir som följer:

(1) Vi tillhandahåller vektoruttrycket.

(2) Vi använder längdformeln: , medan vi har ett heltalsuttryck som vektorn "ve".

(3) Vi använder skolans formel för kvadraten på summan. Var uppmärksam på hur det konstigt nog fungerar här: - i själva verket är det här kvadraten på skillnaden, och i själva verket är det så. De som vill kan ordna om vektorerna på platser: - det blev samma sak upp till en omarrangering av termerna.

(4) Det som följer är redan bekant från de två tidigare problemen.

Svar:

Eftersom vi pratar om längd, glöm inte att ange dimensionen - "enheter".

Exempel 6

Hitta längden på vektorn if .

Det här är ett gör-det-själv-exempel. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Vi fortsätter att pressa ut användbara saker ur den skalära produkten. Låt oss titta på vår formel igen . Med proportionsregeln återställer vi vektorernas längder till nämnaren på vänster sida:

Låt oss byta delar:

Vad är meningen med denna formel? Om längden på två vektorer och deras skalära produkt är kända, kan cosinus för vinkeln mellan dessa vektorer beräknas, och följaktligen själva vinkeln.

Är den skalära produkten ett nummer? Siffra. Är vektorlängder tal? Tal. Så ett bråk är också ett tal. Och om cosinus för vinkeln är känd: , sedan med den inversa funktionen är det lätt att hitta själva vinkeln: .

Exempel 7

Hitta vinkeln mellan vektorerna och , om det är känt att .

Lösning: Vi använder formeln:

I slutskedet av beräkningar användes en teknik - eliminering av irrationalitet i nämnaren. För att eliminera irrationalitet multiplicerade jag täljaren och nämnaren med .

Så om , sedan:

Värdena för inversa trigonometriska funktioner kan hittas av trigonometrisk tabell. Även om detta sällan händer. I problem med analytisk geometri uppträder vissa klumpiga björnliknande mycket oftare, och värdet på vinkeln måste hittas ungefär med hjälp av en miniräknare. Faktum är att vi kommer att se den här bilden om och om igen.

Svar:

Återigen, glöm inte att ange dimensionen - radianer och grader. Personligen, för att medvetet "ta bort alla frågor", föredrar jag att ange båda (såvida det inte, naturligtvis, av villkoret krävs att svaret endast presenteras i radianer eller endast i grader).

Nu kommer du att kunna klara en svårare uppgift på egen hand:

Exempel 7*

Angivna är längderna på vektorerna och vinkeln mellan dem. Hitta vinkeln mellan vektorerna , .

Uppgiften är inte så mycket svår som flervägs.
Låt oss analysera lösningsalgoritmen:

1) Enligt villkoret krävs det att hitta vinkeln mellan vektorerna och , så du måste använda formeln .

2) Vi hittar den skalära produkten (se exempel nr 3, 4).

3) Hitta längden på vektorn och längden på vektorn (se exempel nr 5, 6).

4) Slutet på lösningen sammanfaller med exempel nr 7 - vi känner till talet , vilket betyder att det är lätt att hitta själva vinkeln:

Kort lösning och svar i slutet av lektionen.

Den andra delen av lektionen ägnas åt samma punktprodukt. Koordinater. Det blir ännu lättare än i första delen.

Punktprodukt av vektorer,
ges av koordinater på ortonormal basis

Svar:

Det behöver inte sägas att det är mycket trevligare att hantera koordinater.

Exempel 14

Hitta skalärprodukten av vektorer och om

Detta är ett gör-det-själv-exempel. Här kan du använda operationens associativitet, det vill säga inte räkna, utan omedelbart ta trippeln ur skalärprodukten och multiplicera med den sist. Lösning och svar i slutet av lektionen.

I slutet av stycket, ett provokativt exempel på att beräkna längden på en vektor:

Exempel 15

Hitta längder på vektorer , om

Lösning:återigen föreslår metoden i föregående avsnitt sig själv: men det finns ett annat sätt:

Låt oss hitta vektorn:

Och dess längd enligt den triviala formeln :

Den skalära produkten är inte aktuell här alls!

Hur out of business är det när man beräknar längden på en vektor:
Sluta. Varför inte dra fördel av den uppenbara längdegenskapen hos en vektor? Vad kan man säga om längden på en vektor? Denna vektor är 5 gånger längre än vektorn. Riktningen är motsatt, men det spelar ingen roll, för vi pratar om längd. Uppenbarligen är vektorns längd lika med produkten modul antal per vektorlängd:
- modulens tecken "äter" det möjliga minus av numret.

På det här sättet:

Svar:

Formeln för cosinus för vinkeln mellan vektorer som ges av koordinater

Nu har vi fullständig information för att uttrycka den tidigare härledda formeln för cosinus för vinkeln mellan vektorer i termer av vektorernas koordinater:

Cosinus för vinkeln mellan planvektorer och , ges in ortonormal grund , uttrycks med formeln:
.

Cosinus för vinkeln mellan rymdvektorer, givet i ortonormal grund , uttrycks med formeln:

Exempel 16

Tre hörn i en triangel ges. Hitta (vertexvinkel ).

Lösning: Enligt villkor krävs inte ritningen, men ändå:

Den önskade vinkeln är markerad med en grön båge. Omedelbart komma ihåg skolans beteckning av vinkeln: - särskild uppmärksamhet på mitten bokstav - detta är spetsen på vinkeln vi behöver. För korthetens skull kan det också skrivas enkelt.

Från ritningen är det ganska uppenbart att triangelns vinkel sammanfaller med vinkeln mellan vektorerna och , med andra ord: .

Det är önskvärt att lära sig hur man utför den analys som utförs mentalt.

Låt oss hitta vektorerna:

Låt oss beräkna den skalära produkten:

Och längden på vektorerna:

Cosinus av en vinkel:

Det är denna ordning av uppgiften som jag rekommenderar till dummies. Mer avancerade läsare kan skriva beräkningarna "på en rad":

Här är ett exempel på ett "dåligt" cosinusvärde. Det resulterande värdet är inte slutgiltigt, så det finns ingen mening med att bli av med irrationaliteten i nämnaren.

Låt oss hitta vinkeln:

Om du tittar på ritningen är resultatet ganska rimligt. För att kontrollera vinkeln kan även mätas med en gradskiva. Skada inte bildskärmens beläggning =)

Svar:

I svaret, glöm inte det frågade om triangelns vinkel(och inte om vinkeln mellan vektorerna), glöm inte att ange det exakta svaret: och det ungefärliga värdet på vinkeln: hittas med en miniräknare.

De som har njutit av processen kan beräkna vinklarna och se till att den kanoniska jämlikheten är sann

Exempel 17

En triangel ges i rymden av koordinaterna för dess hörn. Hitta vinkeln mellan sidorna och

Detta är ett gör-det-själv-exempel. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen

Ett litet sista avsnitt kommer att ägnas åt projektioner, där den skalära produkten också är "involverad":

Projektion av en vektor på en vektor. Vektorprojektion på koordinataxlar.
Vector riktning cosinus

Tänk på vektorer och:

Vi projicerar vektorn på vektorn, för detta utelämnar vi från början och slutet av vektorn vinkelräta per vektor (gröna prickade linjer). Föreställ dig att ljusstrålar faller vinkelrätt mot en vektor. Då kommer segmentet (röd linje) att vara vektorns "skugga". I detta fall är projektionen av en vektor på en vektor segmentets LÄNGD. Det vill säga, PROJEKTION ÄR ETT TAL.

Detta NUMMER betecknas enligt följande: , "stor vektor" betecknar en vektor VILKEN projekt, "liten nedsänkt vektor" betecknar vektorn PÅ som projiceras.

Själva posten lyder så här: "projektionen av vektorn "a" på vektorn "be"".

Vad händer om vektorn "be" är "för kort"? Vi ritar en rak linje som innehåller vektorn "be". Och vektorn "a" kommer redan att projiceras till vektorns riktning "vara", helt enkelt - på en rak linje som innehåller vektorn "be". Samma sak kommer att hända om vektorn "a" sätts åt sidan i det trettionde riket - den kommer fortfarande att projiceras lätt på linjen som innehåller vektorn "be".

Om vinkeln mellan vektorer kryddad(som på bilden), alltså

Om vektorerna ortogonal, alltså (projektionen är en punkt vars dimensioner antas vara noll).

Om vinkeln mellan vektorer korkad(i figuren, ordna om vektorns pil mentalt), sedan (samma längd, men taget med ett minustecken).

Lägg åt sidan dessa vektorer från en punkt:

Uppenbarligen ändras inte dess projektion när en vektor flyttas

Föreläsning: Vektorkoordinater; prickprodukt av vektorer; vinkel mellan vektorer

Vektorkoordinater

Så, som nämnts tidigare, är en vektor ett riktat segment som har sin egen början och slut. Om början och slutet representeras av några punkter, så har de sina egna koordinater på planet eller i rymden.

Om varje punkt har sina egna koordinater, så kan vi få koordinaterna för hela vektorn.

Anta att vi har någon vektor vars början och slutet av vektorn har följande beteckningar och koordinater: A(A x ; Ay) och B(B x ; By)

För att få koordinaterna för denna vektor är det nödvändigt att subtrahera motsvarande startkoordinater från koordinaterna för slutet av vektorn:

För att bestämma koordinaten för en vektor i rymden, använd följande formel:

Punktprodukt av vektorer

Det finns två sätt att definiera begreppet en punktprodukt:

• Geometriskt sätt. Enligt honom är den skalära produkten lika med produkten av värdena för dessa moduler och cosinus för vinkeln mellan dem.

• algebraisk betydelse. Ur algebras synvinkel är den skalära produkten av två vektorer ett visst värde som härrör från summan av produkterna av motsvarande vektorer.

Om vektorerna ges i rymden, bör du använda en liknande formel:

Egenskaper:

• Om du multiplicerar två identiska vektorer skalärt, kommer deras skalära produkt att vara icke-negativ:

• Om den skalära produkten av två identiska vektorer visade sig vara lika med noll, anses dessa vektorer vara noll:

• Om en viss vektor multipliceras med sig själv, kommer skalärprodukten att vara lika med kvadraten på dess modul:

• Den skalära produkten har en kommunikativ egenskap, det vill säga den skalära produkten kommer inte att förändras från en permutation av vektorer:

• Den skalära produkten av vektorer som inte är noll kan bara vara noll om vektorerna är vinkelräta mot varandra:

• För skalärprodukten av vektorer är den kommutativa lagen giltig när en av vektorerna multipliceras med ett tal:

• Med en punktprodukt kan du också använda den fördelande egenskapen för multiplikation:

Vinkel mellan vektorer