Vektorprodukt av vektorer i rymden. vektor produkt

Uppenbarligen, i fallet med en korsprodukt, spelar ordningen i vilken vektorerna tas också roll,

Direkt från definitionen följer det också att för varje skalär faktor k (tal) gäller följande:

Korsprodukten av kolinjära vektorer är lika med nollvektorn. Vidare, vektor produkt två vektorer är noll om och endast om de är kolinjära. (Om en av dem är en nollvektor är det nödvändigt att komma ihåg att nollvektorn är kolinjär med vilken vektor som helst per definition).

Vector produkt har fördelningsegendom, det är

Uttrycket av korsprodukten i termer av vektorernas koordinater.

Låt två vektorer ges

(hur man hittar koordinaterna för en vektor genom koordinaterna för dess början och slut - se artikeln Prickprodukt av vektorer, stycke Alternativ definition av prickprodukten, eller beräkning av prickprodukten av två vektorer som ges av deras koordinater.)

Varför behöver du en vektorprodukt?

Det finns många sätt att använda korsprodukten, till exempel, som redan skrivits ovan, genom att beräkna korsprodukten av två vektorer, kan du ta reda på om de är kolinjära.

Eller det kan användas som ett sätt att beräkna arean av ett parallellogram byggt från dessa vektorer. Baserat på definitionen är längden på den resulterande vektorn området för detta parallellogram.

Också stor mängd applikationer finns inom elektricitet och magnetism.

Online-kalkylator för vektorprodukt.

För att hitta skalärprodukten av två vektorer med hjälp av denna kalkylator måste du ange koordinaterna för den första vektorn på första raden i ordningsföljd. andra - andra. Koordinaterna för vektorer kan beräknas från deras start- och slutkoordinater (se artikel Punktprodukt av vektorer , artikel En alternativ definition av punktprodukten, eller beräkning av punktprodukten av två vektorer givet deras koordinater.)

Definition. Vektorprodukten av en vektor a (multiplikator) med en vektor (multiplikator) som inte är kolinjär med den är den tredje vektorn c (produkt), som är konstruerad enligt följande:

1) dess modul är numeriskt lika med arean av parallellogrammet i fig. 155), byggd på vektorer, d. v. s. den är lika med riktningen vinkelrät mot planet för nämnda parallellogram;

3) i detta fall väljs vektorns c riktning (av två möjliga) så att vektorerna c bildar ett högerhänt system (§ 110).

Beteckning: eller

Tillägg till definitionen. Om vektorerna är kolinjära, då betraktar figuren som ett (villkorligt) parallellogram, är det naturligt att tilldela noll area. Därför anses vektorprodukten av kolinjära vektorer vara lika med nollvektorn.

Eftersom nollvektorn kan tilldelas vilken riktning som helst, motsäger denna konvention inte punkterna 2 och 3 i definitionen.

Anmärkning 1. I termen "vektorprodukt" anger det första ordet att resultatet av en handling är en vektor (till skillnad från en skalär produkt; jfr 104 § anmärkning 1).

Exempel 1. Hitta vektorprodukten där huvudvektorerna för det högra koordinatsystemet (Fig. 156).

1. Eftersom längderna på huvudvektorerna är lika med skalenheten, är arean av parallellogrammet (kvadrat) numeriskt lika med en. Därför är modulen för vektorprodukten lika med ett.

2. Eftersom vinkelrät mot planet är axeln, är den önskade vektorprodukten en vektor kolinjär med vektorn k; och eftersom båda har modul 1 är den erforderliga korsprodukten antingen k eller -k.

3. Av dessa två möjliga vektorer måste den första väljas, eftersom vektorerna k bildar ett höger system (och vektorerna bildar ett vänster).

Exempel 2. Hitta korsprodukten

Lösning. Som i exempel 1 drar vi slutsatsen att vektorn är antingen k eller -k. Men nu måste vi välja -k, eftersom vektorerna bildar det högra systemet (och vektorerna bildar det vänstra). Så,

Exempel 3 Vektorerna har längder på 80 respektive 50 cm och bildar en vinkel på 30°. Ta en meter som en längdenhet och hitta längden på vektorprodukten a

Lösning. Arean av ett parallellogram byggt på vektorer är lika med Längden på den önskade vektorprodukten är lika med

Exempel 4. Hitta längden på korsprodukten av samma vektorer, ta en centimeter som en längdenhet.

Lösning. Eftersom arean av parallellogrammet byggt på vektorer är lika med längden på vektorprodukten är 2000 cm, dvs.

Jämförelse av exempel 3 och 4 visar att vektorns längd inte bara beror på faktorernas längder utan också på valet av längdenhet.

Den fysiska betydelsen av vektorprodukten. Av de många fysiska storheter som representeras av vektorprodukten kommer vi bara att betrakta kraftmomentet.

Låt A vara kraftens appliceringspunkt. Kraftmomentet i förhållande till punkten O kallas vektorprodukten. Eftersom modulen för denna vektorprodukt är numeriskt lika med parallellogrammets area (fig. 157), momentets modul är lika med produkten av basen med höjden, d.v.s. kraften multiplicerad med avståndet från punkten O till den räta linjen längs vilken kraften verkar.

Inom mekaniken är det bevisat att för jämvikten hos en stel kropp är det nödvändigt att inte bara summan av vektorerna som representerar krafterna som appliceras på kroppen, utan också summan av kraftmomenten ska vara lika med noll. I det fall då alla krafter är parallella med samma plan, kan additionen av vektorerna som representerar momenten ersättas med addition och subtraktion av deras moduler. Men för godtyckliga kraftriktningar är en sådan ersättning omöjlig. I enlighet med detta definieras korsprodukten exakt som en vektor och inte som ett tal.

Definition. Vektorprodukten av en vektor a och vektor b är en vektor betecknad med symbolen [«, b] (eller l x b), så att 1) ​​längden på vektorn [a, b] är lika med (p, där y är vinkeln mellan vektorerna a och b ( 31), 2) vektorn [a, b) är vinkelrät mot vektorerna a och b, dvs. vinkelrätt mot planet för dessa vektorer; 3) vektorn [a, b] är riktad på ett sådant sätt att från slutet av denna vektor ses det kortaste varvet från a till b ske moturs (fig. 32). Ris. 32 Fig.31 Med andra ord bildar vektorerna a, b och [а, b) den högra trippeln av vektorer, dvs. ligger som tummen, pekfingret och långfingret på höger hand. Om vektorerna a och b är kolinjära kommer vi att anta att [a, b] = 0. Per definition är längden på vektorprodukten numeriskt lika med arean Sa av parallellogrammet (fig. 33) byggt på de multiplicerade vektorerna a och b som på sidorna: 6.1 . Egenskaper för en vektorprodukt 1. En vektorprodukt är lika med en nollvektor om och endast om minst en av de multiplicerade vektorerna är noll eller när dessa vektorer är kolinjära (om vektorerna a och b är kolinjära, då vinkeln mellan dem är antingen 0 eller 7r). Detta är lätt att få från det faktum att Om vi ​​betraktar nollvektorn collinsar till vilken vektor som helst, så kan villkoret för collinariteten för vektorerna a och b uttryckas enligt följande 2. Vektorprodukten är antikommutativ, dvs alltid. Faktum är att vektorerna (a, b) och har samma längd och är kolinjära. Riktningarna för dessa vektorer är motsatta, eftersom från slutet av vektorn [a, b] kommer den kortaste svängen från a till b att ses ske moturs och från slutet av vektorn [b, a] - medurs (fig. 34). 3. Vektorprodukten har en fördelningsegenskap med avseende på addition 4. Den numeriska faktorn A kan tas ut ur vektorproduktens tecken 6.2. Vektorprodukt av vektorer givna av koordinater Låt vektorerna a och b ges av deras koordinater i basen. Med hjälp av fördelningsegenskapen för vektorprodukten hittar vi vektorprodukten av vektorerna som ges av koordinaterna. Blandat arbete. Låt oss skriva ut vektorprodukterna av koordinatorter (fig. 35): Därför, för vektorprodukten av vektorerna a och b, får vi från formel (3) följande uttrycksdeterminant över elementen i den första raden, vi får ( 4). Exempel. 1. Hitta arean för ett parallellogram byggt på vektorer Hitta arean av triangeln (bild 36). Det är tydligt att arean b "d för triangeln JSC är lika med halva arean S av parallellogrammet O AC B. Beräkna vektorprodukten (a, b | av vektorerna a \u003d OA och b \u003d b \u003d ob ), vi får (a, b), c) = [a, |b, c)) är inte sant i det allmänna fallet. Till exempel, för a = ss j har vi § 7. Blandad produkt av vektorer Låt oss ha tre vektorer a, b och c. Multiplicera vektorerna a och 1> vektoriellt. Som ett resultat får vi vektorn [a, 1>]. Vi multiplicerar den skalärt med vektorn c: (k b), c. Antalet ( [a, b], e) kallas den blandade produkten av vektorerna a, b. c och betecknas med symbolen (a, 1), e) 7.1 Den geometriska betydelsen av den blandade produkten Låt oss lägga åt sidan vektorerna a, b och från den allmänna punkten O (fig. 37) Om alla fyra punkterna O, A, B, C ligger i samma plan (vektorerna a, b och c kallas i detta fall coplanar), så är de blandade produkt ([a, b], c) = 0. Detta följer av att vektorn [a, b| är vinkelrät mot det plan i vilket vektorerna a och 1 ligger ", och därav vektorn c. / If t punkterna O, A, B, C ligger inte i samma plan (vektorerna a, b och c är icke-samplanära), vi kommer att bygga en parallellepiped på kanterna OA, OB och OS (Fig. 38 a). Enligt definitionen av korsprodukten har vi (a,b) = So c, där So är arean av parallellogrammet OADB, och c är en enhetsvektor vinkelrät mot vektorerna a och b och så att trippeln a , b, c är rätt, dvs. vektorerna a, b och c är placerade som tummen, pekfingret och långfingret på höger hand (fig. 38 b). Multiplicerar vi båda delarna av den sista likheten på den högra skalären med vektorn c, får vi vektorprodukten av vektorerna som ges av koordinaterna. Blandat arbete. Talet rc c är lika med höjden h för den konstruerade parallellepipeden, taget med tecknet "+" om vinkeln mellan vektorerna c och c är spetsig (trippeln a, b, c är rätt), och med tecknet " -” om vinkeln är trubbig (trippeln a, b, c - vänster), så att alltså den blandade produkten av vektorerna a, b och c är lika med volymen V av parallellepipeden byggd på dessa vektorer som på kanter om trippeln a, b, c är höger och -V om trippeln a , b, c - vänster. Baserat på den blandade produktens geometriska betydelse kan vi dra slutsatsen att genom att multiplicera samma vektorer a, b och c i valfri annan ordning kommer vi alltid att få antingen +7 eller -K. Tecknet för pro- Fig. 38 referens kommer endast att bero på vilken triplett de multiplicerade vektorerna bildar - höger eller vänster. Om vektorerna a, b, c bildar en rät trippel, så blir även trippelna b, c, a och c, a, b rätt. Samtidigt, alla tre trillingarna b, a, c; a, c, b och c, b, a - vänster. Således, (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b , a). Vi betonar återigen att den blandade produkten av vektorer är lika med noll om och endast om de multiplicerade vektorerna a, b, c är koplanära: (a, b, c är koplanära) 7.2. Blandad produkt i koordinater Låt vektorerna a, b, c ges av deras koordinater i basen i, j, k: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Låt oss hitta ett uttryck för deras blandade produkt (a, b, c). Vi har en blandad produkt av vektorer som ges av deras koordinater i basen i, J, k, lika med tredje ordningens determinant, vars linjer är sammansatta av koordinaterna för den första, andra och tredje av den multiplicerade vektorer. Det nödvändiga och tillräckliga villkoret för komplanariteten för vektorerna a y\, Z|), b = (xx, y2.22), c = (x3, uz, 23) kan skrivas i följande form z, ar2y2-2=0. Uz Exempel. Kontrollera om vektorerna v = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) är i samma plan. Vektorerna som övervägs kommer att vara koplanära eller icke-samplanära, beroende på om determinanten är lika med noll eller inte. Genom att expandera den i termer av elementen i den första raden får vi 7.3. Dubbelkorsprodukt Dubbelkorsprodukten [a, [b, c]] är en vektor vinkelrät mot vektorerna a och [b, c]. Därför ligger den i planet för vektorerna b och c och kan expanderas i dessa vektorer. Det kan visas att formeln [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) är giltig. Övningar 1. Tre vektorer AB = c, W? = o och CA = b fungerar som sidor i triangeln. Uttryck i termer av a, b och c vektorerna som sammanfaller med medianerna AM, DN, CP i triangeln. 2. Vilket villkor måste kopplas mellan vektorerna p och q så att vektorn p + q delar vinkeln mellan dem på mitten? Det antas att alla tre vektorerna är relaterade till ett gemensamt ursprung. 3. Beräkna längden på diagonalerna för parallellogrammet byggt på vektorerna a = 5p + 2q och b = p - 3q, om det är känt att |p| = 2v/2, |q| = 3H-(p7ci) = f. 4. Bevisa med a och b sidorna av romben som kommer ut från en gemensam vertex, bevisa att rombens diagonaler är inbördes vinkelräta. 5. Beräkna punktprodukten av vektorerna a = 4i + 7j + 3k och b = 31 - 5j + k. 6. Hitta enhetsvektorn a0 parallell med vektorn a = (6, 7, -6). 7. Hitta projektionen av vektorn a = l+ j- kHa vektor b = 21 - j - 3k. 8. Hitta cosinus för vinkeln mellan vektorerna IS "w, om A (-4.0.4), B (-1.6.7), C (1.10.9). 9. Hitta en enhetsvektor p° som samtidigt är vinkelrät mot vektorn a = (3, 6, 8) och x-axeln. 10. Beräkna sinus för vinkeln mellan diagonalerna för parallellophamen byggd på vektorerna a = 2i+J-k, b=i-3j + k som på sidorna. Beräkna höjden h för parallellepipeden byggd på vektorerna a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, om parallellogrammet byggt på vektorerna a och I tas som bas). Svar

Innan vi ger begreppet en vektorprodukt, låt oss vända oss till frågan om orienteringen av den ordnade trippeln av vektorer a → , b → , c → i tredimensionellt rymd.

Till att börja med, låt oss lägga åt sidan vektorerna a → , b → , c → från en punkt. Orienteringen av trippeln a → , b → , c → är höger eller vänster, beroende på vektorns c → riktning. Från den riktning i vilken den kortaste svängen görs från vektorn a → till b → från slutet av vektorn c → , kommer formen av trippeln a → , b → , c → att bestämmas.

Om den kortaste rotationen är moturs, kallas trippeln av vektorer a → , b → , c → höger om medurs - vänster.

Ta sedan två kolinjära vektorer a → och b → . Låt oss sedan skjuta upp vektorerna A B → = a → och A C → = b → från punkten A. Låt oss konstruera en vektor A D → = c → , som samtidigt är vinkelrät mot både A B → och A C → . När vi konstruerar vektorn A D → = c → kan vi alltså göra två saker, ge den antingen en riktning eller motsatt (se illustrationen).

Den ordnade trion av vektorer a → , b → , c → kan, som vi fick reda på, vara höger eller vänster beroende på vektorns riktning.

Från ovanstående kan vi introducera definitionen av en vektorprodukt. Denna definition ges för två vektorer definierade i ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd.

Definition 1

Vektorprodukten av två vektorer a → och b → vi kallar en sådan vektor given i ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd så att:

• om vektorerna a → och b → är kolinjära kommer den att vara noll;
• den kommer att vara vinkelrät mot både vektor a →​​ och vektor b → dvs. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• dess längd bestäms av formeln: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• tripletten av vektorerna a → , b → , c → har samma orientering som det givna koordinatsystemet.

Korsprodukten av vektorerna a → och b → har följande notation: a → × b → .

Korsa produktkoordinater

Eftersom vilken vektor som helst har vissa koordinater i koordinatsystemet, är det möjligt att införa en andra definition av vektorprodukten, som gör att du kan hitta dess koordinater från de givna koordinaterna för vektorerna.

Definition 2

I ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd vektorprodukt av två vektorer a → = (a x ; a y ; a z) och b → = (b x ; b y ; b z) kalla vektorn c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , där i → , j → , k → är koordinatvektorer.

Vektorprodukten kan representeras som en determinant av en kvadratisk matris av tredje ordningen, där den första raden är orta-vektorerna i → , j → , k → , den andra raden innehåller koordinaterna för vektorn a → , och den tredje är koordinaterna för vektorn b → i ett givet rektangulärt koordinatsystem, ser denna matrisdeterminant ut så här: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Om vi ​​expanderar denna determinant över elementen i den första raden får vi likheten: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b → b → a k (→ x a y b → b → a k a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kors produktegenskaper

Det är känt att vektorprodukten i koordinater representeras som determinanten för matrisen c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , sedan på basen matrisdeterminantegenskaper det följande vektor produktegenskaper:

1. antikommutativitet a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitet a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → eller a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associativitet λ a → × b → = λ a → × b → eller a → × (λ b →) = λ a → × b → , där λ är ett godtyckligt reellt tal.

Dessa egenskaper har inte komplicerade bevis.

Till exempel kan vi bevisa antikommutativiteten hos en vektorprodukt.

Bevis på antikommutativitet

Per definition, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z och b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Och om två rader i matrisen byts om, bör värdet på matrisens determinant ändras till det motsatta, därför a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , vilket och bevisar antikommutativiteten hos vektorprodukten.

Vektorprodukt - exempel och lösningar

I de flesta fall finns det tre typer av uppgifter.

I problem av den första typen anges vanligtvis längden på två vektorer och vinkeln mellan dem, men du måste hitta längden på korsprodukten. Använd i det här fallet följande formel c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Exempel 1

Hitta längden på korsprodukten av vektorerna a → och b → om a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 är känd.

Lösning

Med hjälp av definitionen av längden av vektorprodukten av vektorerna a → och b → löser vi detta problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Svar: 15 2 2 .

Uppgifter av den andra typen har ett samband med vektorernas koordinater, de innehåller en vektorprodukt, dess längd etc. sökte genom kända koordinater givna vektorer a → = (a x ; a y ; a z) och b → = (b x ; b y ; b z) .

För den här typen av uppgifter kan du lösa många alternativ för uppgifter. Till exempel inte koordinaterna för vektorerna a → och b → , utan deras expansioner i formens koordinatvektorer b → = b x i → + b y j → + b z k → och c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , eller så kan vektorerna a → och b → ges av koordinaterna för deras start- och slutpunkter.

Betrakta följande exempel.

Exempel 2

Två vektorer sätts i ett rektangulärt koordinatsystem a → = (2 ; 1 ; - 3), b → = (0 ; - 1 ; 1) . Hitta deras vektorprodukt.

Lösning

Enligt den andra definitionen finner vi vektorprodukten av två vektorer i givna koordinater: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + (( - 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Om vi ​​skriver vektorprodukten genom matrisdeterminanten, så är lösningen i detta exempel följande: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Svar: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Exempel 3

Hitta längden på korsprodukten av vektorerna i → - j → och i → + j → + k → , där i → , j → , k → - orter av ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem.

Lösning

Låt oss först hitta koordinaterna för den givna vektorprodukten i → - j → × i → + j → + k → i det givna rektangulära koordinatsystemet.

Det är känt att vektorerna i → - j → och i → + j → + k → har koordinater (1 ; - 1 ; 0) respektive (1 ; 1 ; 1). Hitta längden på vektorprodukten med hjälp av matrisdeterminanten, då har vi i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Därför har vektorprodukten i → - j → × i → + j → + k → koordinater (- 1 ; - 1 ; 2) i det givna koordinatsystemet.

Vi hittar längden på vektorprodukten med formeln (se avsnittet om att hitta vektorns längd): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Svar: i → - j → x i → + j → + k → = 6 . .

Exempel 4

Koordinaterna för tre punkter A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ges i ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem. Hitta någon vektor vinkelrät mot A B → och A C → samtidigt.

Lösning

Vektorerna A B → och A C → har följande koordinater (-1 ; 2 ; 2) respektive (0 ; 4 ; 1). Efter att ha hittat vektorprodukten av vektorerna A B → och A C → , är det uppenbart att det är en vinkelrät vektor per definition till både A B → och A C → , det vill säga att det är lösningen på vårt problem. Hitta det A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Svar: - 6 i → + j → - 4 k → . är en av de vinkelräta vektorerna.

Problem av den tredje typen är fokuserade på att använda egenskaperna hos vektorprodukten av vektorer. Efter att ha ansökt vilken, kommer vi att få en lösning på det givna problemet.

Exempel 5

Vektorerna a → och b → är vinkelräta och deras längder är 3 respektive 4. Hitta längden på korsprodukten 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Lösning

Med fördelningsegenskapen för vektorprodukten kan vi skriva 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Genom egenskapen associativitet tar vi ut de numeriska koefficienterna bortom tecknet för vektorprodukter i det sista uttrycket: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorprodukterna a → × a → och b → × b → är lika med 0, eftersom a → × a → = a → a → sin 0 = 0 och b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , sedan 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Av vektorproduktens antikommutativitet följer - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Med hjälp av vektorproduktens egenskaper får vi likheten 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Av villkor är vektorerna a → och b → vinkelräta, det vill säga vinkeln mellan dem är lika med π 2 . Nu återstår bara att ersätta de hittade värdena i motsvarande formler: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Svar: 3a → - b → x a → - 2 b → = 60 .

Längden på vektorernas korsprodukt är per definition a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Eftersom det redan är känt (från skolkursen) att arean av en triangel är lika med hälften av produkten av längderna på dess två sidor multiplicerat med sinus för vinkeln mellan dessa sidor. Därför är längden på vektorprodukten lika med arean av ett parallellogram - en fördubblad triangel, nämligen produkten av sidorna i form av vektorerna a → och b → , avskild från en punkt, med sinus av vinkeln mellan dem sin ∠ a → , b → .

Detta är den geometriska betydelsen av vektorprodukten.

Den fysiska betydelsen av vektorprodukten

Inom mekaniken, en av fysikens grenar, kan du tack vare vektorprodukten bestämma kraftmomentet i förhållande till en punkt i rymden.

Definition 3

Under kraftmomentet F → , applicerad på punkt B , relativt punkt A kommer vi att förstå följande vektorprodukt A B → × F → .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Prick produktens egenskaper

Skalär produkt vektorer, definition, egenskaper

Linjära operationer på vektorer.

Vektorer, grundläggande begrepp, definitioner, linjära operationer på dem

En vektor på ett plan är ett ordnat par av dess punkter, medan den första punkten kallas början och den andra slutet - av vektorn

Två vektorer kallas lika om de är lika och samriktade.

Vektorer som ligger på samma linje kallas codirectional om de är codirectional med någon av samma vektor som inte ligger på denna linje.

Vektorer som ligger på samma linje eller på parallella linjer kallas kolinjära, och kolinjära men inte samriktade kallas motsatt riktade.

Vektorer som ligger på vinkelräta linjer kallas ortogonala.

Definition 5.4. belopp a+b vektorer a och b kallas vektorn som kommer från början av vektorn a till slutet av vektorn b , om början av vektorn b sammanfaller med slutet av vektorn a .

Definition 5.5. skillnad a - b vektorer a och b en sådan vektor kallas Med , som tillsammans med vektorn b ger en vektor a .

Definition 5.6. arbetek a vektor a per nummer k kallas vektor b , kolinjär vektor a , som har modul lika med | k||a | och en riktning som är samma som riktningen a på k>0 och motsatt a på k<0.

Egenskaper för multiplikation av en vektor med ett tal:

Fastighet 1. k(a+b ) = k a+ k b.

Fastighet 2. (k+m)a = k a+ m a.

Fastighet 3. k(m a) = (km)a .

Följd. Om vektorer som inte är noll a och b är kolinjära, så finns det ett nummer k, Vad b= k a.

Den skalära produkten av två vektorer som inte är noll a och b kallas ett tal (skalär) lika med produkten av längderna av dessa vektorer och cosinus för vinkeln φ mellan dem. Den skalära produkten kan uttryckas på olika sätt, till exempel som ab, a · b, (a , b), (a · b). Så prickprodukten är:

a · b = |a| · | b| cos φ

Om åtminstone en av vektorerna är lika med noll, så är skalärprodukten lika med noll.

Permutationsegenskap: a · b = b · a(den skalära produkten förändras inte från permutation av faktorer);

distributionsegenskap: a · ( b · c) = (a · b) · c(resultatet beror inte på multiplikationsordningen);

Kombinationsegenskap (i förhållande till skalärfaktorn): (λ a) · b = λ ( a · b).

Egenskapen för ortogonalitet (vinkelrätt): om vektorn a och b icke-noll, då är deras punktprodukt noll endast när dessa vektorer är ortogonala (vinkelräta mot varandra) a ┴ b;

Kvadratisk egenskap: a · a = a 2 = |a| 2 (skalärprodukten av en vektor med sig själv är lika med kvadraten på dess modul);

Om vektorernas koordinater a=(xl, y1, z1) och b=(x 2 , y 2 , z 2 ), då är den skalära produkten a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Vektor håller vektorer. Definition: Vektorprodukten av två vektorer och förstås som en vektor för vilken:

Modulen är lika med arean av parallellogrammet byggt på dessa vektorer, dvs. , var är vinkeln mellan vektorerna och

Denna vektor är vinkelrät mot de multiplicerade vektorerna, dvs.

Om vektorerna är icke-kollinjära bildar de en rät trippel av vektorer.

Kors produktegenskaper:

1. När ordningen på faktorerna ändras ändrar vektorprodukten sitt tecken till det motsatta, vilket bevarar modulen, d.v.s.

2 .Vektorkvadrat är lika med nollvektor, dvs.

3 .Skalärfaktorn kan tas ut ur vektorproduktens tecken, dvs.

4 .För vilka tre vektorer som helst, är likheten

5 .Nödvändigt och tillräckligt villkor för kolineariteten av två vektorer och :