7.1. Խաչի արտադրանքի սահմանում

Երեք ոչ միակողմանի վեկտորներ a , b և c, վերցված նշված հերթականությամբ, կազմում են աջ եռապատիկ, եթե երրորդ վեկտորի վերջից c առաջին վեկտորից դեպի երկրորդ վեկտոր b ամենակարճ պտույտը երևում է հակառակ ուղղությամբ, և ձախը, եթե ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (տես նկ. 16):

Վեկտորի a և b վեկտորի վեկտորային արտադրյալը կոչվում է c վեկտոր, որը.

1. a և b վեկտորներին ուղղահայաց, այսինքն՝ c ^ a և c ^ բ;

2. Այն ունի երկարություն, որը թվայինորեն հավասար է a և վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսինբինչպես կողքերում (տես նկ. 17), այսինքն.

3. a , b և c վեկտորները կազմում են աջ եռապատիկ:

վեկտորային արտադրանքնշվում է a x b կամ [a,b]: Վեկտորային արտադրյալի սահմանումից ուղղակիորեն հետևում եմ հետևյալ փոխհարաբերություններին. ժև կ(տես նկ. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Փաստենք, օրինակ, որ i xj \u003d k.

1) կ ^ ի , կ ^ ժ;

2) |կ |=1, բայց | ես x ժ| = |i | |Ժ| մեղք (90°)=1;

3) վեկտորները i , j և կկազմել աջ եռյակ (տես նկ. 16):

7.2. Խաչի արտադրանքի հատկությունները

1. Երբ գործոնները վերադասավորվում են, վեկտորային արտադրյալը փոխում է նշանը, այսինքն. և xb \u003d (b xa) (տես նկ. 19):

a xb և b xa վեկտորները միաձույլ են, ունեն նույն մոդուլները (զուգահեռագծի տարածքը մնում է անփոփոխ), բայց հակառակ ուղղված են (եռապատիկ a, b, a xb և a, b, b x a հակառակ կողմնորոշման): Այն է աքսբ = -(bxa).

2. Վեկտորային արտադրյալը համակցված հատկություն ունի սկալյար գործոնի նկատմամբ, այսինքն՝ l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b):

Թող l >0: L վեկտորը (a xb) ուղղահայաց է a և b վեկտորներին: Վեկտոր ( լկացին բուղղահայաց է նաև a և վեկտորներին բ(վեկտորներ a, լբայց պառկեք նույն հարթության մեջ): Այսպիսով, վեկտորները լ(a xb) և ( լկացին բհամագիծ. Ակնհայտ է, որ նրանց ուղղությունները համընկնում են։ Նրանք ունեն նույն երկարությունը.

Ահա թե ինչու լ(a xb)= լ a xb. Նմանապես ապացուցված է լ<0.

3. Երկու ոչ զրոյական վեկտոր ա և բհամագիծ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանց վեկտորային արտադրյալը հավասար է զրոյական վեկտորին, այսինքն, և ||b<=>և xb \u003d 0.

Մասնավորապես, i *i =j *j =k *k =0:

4. Վեկտորային արտադրյալն ունի բաշխման հատկություն.

(ա+բ) xs = a xs + բ xs .

Ընդունեք առանց ապացույցների:

7.3. Խաչաձև արտադրանքի արտահայտություն կոորդինատների առումով

Մենք կօգտագործենք վեկտորային խաչաձև արտադրական աղյուսակ i , ժև k:

եթե առաջին վեկտորից դեպի երկրորդ ամենակարճ ճանապարհի ուղղությունը համընկնում է սլաքի ուղղության հետ, ապա արտադրյալը հավասար է երրորդ վեկտորին, եթե այն չի համընկնում, երրորդ վեկտորը վերցվում է մինուս նշանով։

Թող երկու վեկտոր a =a x i +a y ժ+ազ կև b=bx ես+ կողմից ժ+bz կ. Գտնենք այս վեկտորների վեկտորային արտադրյալը՝ դրանք բազմապատկելով որպես բազմանդամներ (ըստ վեկտորային արտադրյալի հատկությունների).

Ստացված բանաձևը կարելի է ավելի կարճ գրել.

քանի որ հավասարության աջ կողմը (7.1) համապատասխանում է երրորդ կարգի որոշիչի ընդլայնմանը առաջին շարքի տարրերի առումով Հավասարությունը (7.2) հեշտ է հիշել:

7.4. Խաչի արտադրանքի որոշ կիրառություններ

Վեկտորների համակողմանիության հաստատում

Գտեք զուգահեռագծի և եռանկյունու մակերեսը

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի սահմանման համաձայն աև բ |ա xb | =|ա | * |b |sin g , այսինքն S par = |a x b |. Եվ, հետևաբար, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Մի կետի նկատմամբ ուժի պահի որոշում

Թող ուժ կիրառվի Ա կետում F = ABթող գնա Օ- տարածության ինչ-որ կետ (տես նկ. 20):

Ֆիզիկայից հայտնի է, որ ոլորող մոմենտ Ֆ կետի համեմատ Օկոչվում է վեկտոր Մ ,որն անցնում է կետով Օև.

1) կետերով անցնող հարթությանը ուղղահայաց O, A, B;

2) թվայինորեն հավասար է ուժի և ուսի արտադրյալին

3) OA և A B վեկտորներով կազմում է աջ եռյակ:

Հետևաբար, M \u003d OA x F.

Գտեք պտտման գծային արագությունը

Արագություն vԱնկյունային արագությամբ պտտվող կոշտ մարմնի M կետը wֆիքսված առանցքի շուրջը որոշվում է Էյլերի բանաձևով v \u003d w x r, որտեղ r \u003d OM, որտեղ O-ն առանցքի որոշ ֆիքսված կետ է (տես Նկար 21):

Նախքան վեկտորային արտադրյալ հասկացությունը տալը, անդրադառնանք a → , b → , c → վեկտորների դասավորված եռյակի կողմնորոշման հարցին եռաչափ տարածության մեջ։

Սկսելու համար մի կետից մի կողմ դնենք a → , b → , c → վեկտորները։ a → , b → , c → եռակի կողմնորոշումը աջ կամ ձախ է՝ կախված c → վեկտորի ուղղությունից։ Այն ուղղությունից, որով կատարվում է ամենակարճ պտույտը a → վեկտորի c → b → վեկտորի վերջից, կորոշվի a → , b → , c → եռակի ձևը։

Եթե ​​ամենակարճ պտույտը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ է, ապա a → , b → , c → վեկտորների եռապատիկը կոչվում է. ճիշտեթե ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ - ձախ.

Այնուհետև վերցրեք երկու ոչ գծային վեկտոր a → և b →: Ապա հետաձգենք A B → = a → և A C → = b → վեկտորները A կետից: Եկեք կառուցենք A D → = c → վեկտորը, որը միաժամանակ ուղղահայաց է և՛ A B → , և՛ A C → : Այսպիսով, A D → = c → վեկտորը կառուցելիս մենք կարող ենք երկու բան անել՝ տալով նրան կամ մեկ ուղղություն, կամ հակառակը (տես նկարազարդումը):

a → , b → , c → վեկտորների դասավորված եռյակը կարող է լինել, ինչպես պարզեցինք, աջ կամ ձախ՝ կախված վեկտորի ուղղությունից։

Վերոնշյալից մենք կարող ենք ներկայացնել վեկտորային արտադրանքի սահմանումը: Այս սահմանումը տրված է եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանված երկու վեկտորների համար։

Սահմանում 1

a → և b → երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը Մենք կանվանենք այնպիսի վեկտոր, որը տրված է եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում այնպես, որ.

• եթե a → և b → վեկտորները համագիծ են, ապա այն կլինի զրո;
• այն ուղղահայաց կլինի ինչպես a →​— վեկտորին, այնպես էլ b վեկտորին → այսինքն. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• դրա երկարությունը որոշվում է բանաձևով՝ c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → վեկտորների եռյակն ունի նույն կողմնորոշումը, ինչ տրված կոորդինատային համակարգը։

a → և b → վեկտորների խաչաձև արտադրյալն ունի հետևյալ նշումը՝ a → × b →.

Արտադրանքի խաչաձև կոորդինատներ

Քանի որ ցանկացած վեկտոր կոորդինատային համակարգում ունի որոշակի կոորդինատներ, կարելի է ներկայացնել վեկտորային արտադրյալի երկրորդ սահմանումը, որը թույլ կտա վեկտորների տրված կոորդինատներից գտնել նրա կոորդինատները։

Սահմանում 2

Եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալ a → = (a x ; a y ; a z) և b → = (b x ; b y ; b z) կանչել վեկտորը c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , որտեղ i → , j → , k → կոորդինատային վեկտորներ են:

Վեկտորային արտադրյալը կարող է ներկայացվել որպես երրորդ կարգի քառակուսի մատրիցայի որոշիչ, որտեղ առաջին շարքը orta վեկտորներն են i → , j → , k → , երկրորդ շարքը պարունակում է a → վեկտորի կոորդինատները, իսկ երրորդը։ b → վեկտորի կոորդինատներն են տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, այս մատրիցային որոշիչն ունի հետևյալ տեսքը. c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z.

Ընդլայնելով այս որոշիչն առաջին շարքի տարրերի վրա՝ ստանում ենք հավասարություն՝ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b =y a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Խաչի արտադրանքի հատկությունները

Հայտնի է, որ վեկտորի արտադրյալը կոորդինատներում ներկայացված է որպես c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z մատրիցի որոշիչ, ապա հիմքի վրա. մատրիցային որոշիչ հատկություններհետեւյալը վեկտորի արտադրանքի հատկությունները.

1. հակակոմուտատիվություն a → × b → = - b → × a →;
2. բաշխվածություն a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → կամ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ասոցիատիվություն λ a → × b → = λ a → × b → կամ a → × (λ b →) = λ a → × b → , որտեղ λ կամայական իրական թիվ է։

Այս հատկությունները բարդ ապացույցներ չունեն:

Օրինակ, մենք կարող ենք ապացուցել վեկտորային արտադրանքի հակակոմուտատիվության հատկությունը։

Հակակոմուտատիվության ապացույց

Ըստ սահմանման՝ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z and b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Եվ եթե մատրիցայի երկու տողերը փոխվում են, ապա մատրիցայի որոշիչի արժեքը պետք է փոխվի հակառակը, հետևաբար, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y. - b → × a → , որը և ապացուցում է վեկտորի արտադրյալի հակակոմուտատիվությունը։

Վեկտորային արտադրանք - Օրինակներ և լուծումներ

Շատ դեպքերում կան երեք տեսակի առաջադրանքներ.

Առաջին տիպի խնդիրներում սովորաբար տրվում են երկու վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը, սակայն անհրաժեշտ է գտնել խաչաձև արտադրյալի երկարությունը: Այս դեպքում օգտագործեք հետևյալ բանաձևը c → = a → b → sin ∠ a → , b →.

Օրինակ 1

Գտե՛ք a → և b → վեկտորների խաչաձև արտադրյալի երկարությունը, եթե հայտնի է a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4:

Լուծում

Օգտագործելով a → և b → վեկտորների արտադրյալի երկարության սահմանումը, լուծում ենք այս խնդիրը՝ a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2. .

Պատասխան. 15 2 2 .

Երկրորդ տիպի առաջադրանքները կապ ունեն վեկտորների կոորդինատների հետ, պարունակում են վեկտորային արտադրյալ, դրա երկարությունը և այլն։ որոնվում են տվյալ վեկտորների հայտնի կոորդինատների միջոցով a → = (a x; a y; a z) և b → = (b x; b y; b z) .

Այս տեսակի առաջադրանքների համար դուք կարող եք լուծել առաջադրանքների բազմաթիվ տարբերակներ: Օրինակ, ոչ թե a → և b → վեկտորների կոորդինատները, այլ դրանց ընդլայնումները ձևի կոորդինատային վեկտորներում. b → = b x i → + b y j → + b z k → և c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, կամ a → և b → վեկտորները կարող են տրվել դրանց կոորդինատներով. մեկնարկային և ավարտական ​​կետերը.

Դիտարկենք հետևյալ օրինակները.

Օրինակ 2

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում դրված են երկու վեկտորներ a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) : Գտեք դրանց վեկտորային արտադրյալը:

Լուծում

Երկրորդ սահմանման համաձայն՝ տրված կոորդինատներում գտնում ենք երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը՝ a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 կ → .

Եթե ​​վեկտորի արտադրյալը գրենք մատրիցային որոշիչի միջոցով, ապա այս օրինակի լուծումը հետևյալն է՝ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 =. - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Պատասխան. a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Օրինակ 3

Գտե՛ք i → - j → և i → + j → + k → վեկտորների խաչաձև արտադրյալի երկարությունը, որտեղ i → , j → , k → - ուղղանկյուն դեկեկյան կոորդինատային համակարգի օրտներ։

Լուծում

Նախ գտնենք տրված վեկտորի i → - j → × i → + j → + k → կոորդինատները տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում։

Հայտնի է, որ i → - j → և i → + j → + k → վեկտորներն ունեն համապատասխանաբար (1 ; - 1 ; 0) և (1 ; 1 ; 1) կոորդինատներ։ Գտե՛ք վեկտորի արտադրյալի երկարությունը՝ օգտագործելով մատրիցային որոշիչը, այնուհետև մենք ունենք i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Հետեւաբար, i → - j → × i → + j → + k → վեկտորային արտադրյալը տրված կոորդինատային համակարգում ունի կոորդինատներ (- 1 ; - 1 ; 2):

Մենք գտնում ենք վեկտորի արտադրյալի երկարությունը բանաձևով (տե՛ս վեկտորի երկարությունը գտնելու բաժինը). i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Պատասխան. i → - j → × i → + j → + k → = 6. .

Օրինակ 4

A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) երեք կետերի կոորդինատները տրված են ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում: Գտե՛ք միաժամանակ A B → և A C → մի քանի վեկտորներ:

Լուծում

A B → և A C → վեկտորները համապատասխանաբար ունեն հետևյալ կոորդինատները (- 1 ; 2 ; 2) և (0 ; 4 ; 1): Գտնելով A B → և A C → վեկտորների վեկտորային արտադրյալը, ակնհայտ է, որ այն ըստ սահմանման ուղղահայաց վեկտոր է և՛ A B →, և՛ A C → →, այսինքն՝ դա մեր խնդրի լուծումն է։ Գտեք այն A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →:

Պատասխան. - 6 i → + j → - 4 k → . ուղղահայաց վեկտորներից մեկն է։

Երրորդ տիպի խնդիրները ուղղված են վեկտորների վեկտորային արտադրյալի հատկությունների օգտագործմանը: Որը կիրառելուց հետո կստանանք տվյալ խնդրի լուծումը։

Օրինակ 5

a → և b → վեկտորները ուղղահայաց են, իսկ երկարությունները՝ համապատասխանաբար 3 և 4։ Գտեք 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → խաչաձև արտադրյալի երկարությունը. + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Լուծում

Վեկտորային արտադրյալի բաշխման հատկությամբ կարող ենք գրել 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ասոցիատիվության հատկությամբ վերջին արտահայտության մեջ հանում ենք վեկտորային արտադրյալների նշանից դուրս թվային գործակիցները՝ 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → ×. - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → և b → × b → վեկտորային արտադրյալները հավասար են 0-ի, քանի որ a → × a → = a → a → sin 0 = 0 և b → × b → = b → b → sin 0 = 0, ապա 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Վեկտորային արտադրյալի հակակոմուտատիվությունից հետեւում է - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Օգտագործելով վեկտորի արտադրյալի հատկությունները, մենք ստանում ենք 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → հավասարությունը:

Ըստ պայմանի՝ a → և b → վեկտորները ուղղահայաց են, այսինքն՝ նրանց միջև անկյունը հավասար է π 2-ի։ Այժմ մնում է միայն գտնված արժեքները փոխարինել համապատասխան բանաձևերով՝ 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60:

Պատասխան. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60:

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի երկարությունը ըստ սահմանման a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Քանի որ արդեն հայտնի է (դպրոցական դասընթացից), որ եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա երկու կողմերի երկարությունների արտադրյալի կեսին՝ բազմապատկված այս կողմերի միջև անկյան սինուսով։ Հետևաբար, վեկտորի արտադրյալի երկարությունը հավասար է զուգահեռագծի մակերեսին՝ կրկնապատկված եռանկյունին, այն է՝ կողմերի արտադրյալը a → և b → վեկտորների տեսքով, որոնք անջատված են մեկ կետից, սինուսով։ նրանց միջև անկյան sin ∠ a → , b → .

Սա վեկտորային արտադրանքի երկրաչափական նշանակությունն է:

Վեկտորային արտադրանքի ֆիզիկական նշանակությունը

Մեխանիկայում՝ ֆիզիկայի ճյուղերից մեկը, վեկտորային արտադրյալի շնորհիվ կարող եք որոշել ուժի պահը տարածության կետի նկատմամբ։

Սահմանում 3

B կետի վրա կիրառված F → ուժի պահի տակ, A կետի նկատմամբ մենք կհասկանանք հետևյալ վեկտորային արտադրյալը A B → × F →.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

ԵՐԵՔ ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ ԵՎ ՆՐԱ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԽԱՌՆ ԱՐՏԱԴՐԱՆՔ

խառը արտադրանքերեք վեկտոր կոչվում է այն թիվը, որը հավասար է . Նշվում է . Այստեղ առաջին երկու վեկտորները բազմապատկվում են վեկտորորեն, իսկ հետո ստացված վեկտորը սկալյար կերպով բազմապատկվում է երրորդ վեկտորով: Ակնհայտ է, որ նման ապրանքը որոշակի թիվ է:

Դիտարկենք խառը արտադրանքի հատկությունները:

1. երկրաչափական իմաստխառը արտադրանք. 3 վեկտորի խառը արտադրյալը, մինչև նշանը, հավասար է այս վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալին, ինչպես եզրերի վրա, այսինքն. .

   Այսպիսով, և .

   

   Ապացույց. Եկեք հետաձգենք ընդհանուր ծագման վեկտորները և դրանց վրա կառուցենք զուգահեռականություն։ Նշենք և նշենք, որ. Սկալյար արտադրանքի սահմանմամբ

   Ենթադրելով դա և նշելով միջոցով հզուգահեռականի բարձրությունը, մենք գտնում ենք.

   Այսպիսով, ժամը

   Եթե ​​, ապա եւ . Հետևաբար, .

   Այս երկու դեպքերն էլ համադրելով՝ ստանում ենք կամ .

   Այս հատկության ապացույցից, մասնավորապես, հետևում է, որ եթե վեկտորների եռապատիկը ճիշտ է, ապա խառը արտադրյալը, իսկ եթե այն մնացել է, ապա .

2. Ցանկացած վեկտորների համար , հավասարությունը

   Այս հատկության ապացույցը բխում է սեփականությունից 1. Իրոք, հեշտ է ցույց տալ, որ և . Ընդ որում, «+» և «-» նշանները վերցվում են միաժամանակ, քանի որ վեկտորների և և և-ի միջև անկյունները երկուսն էլ սուր են կամ բութ:

3. Երբ ցանկացած երկու գործոն փոխվում է, խառը արտադրանքը փոխում է նշանը:

   Իսկապես, եթե հաշվի առնենք խառը արտադրանքը, ապա, օրինակ, կամ

4. Խառը արտադրյալ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ գործոններից մեկը հավասար է զրոյի կամ վեկտորները համահարթակ են:

   Ապացույց.

   Այսպիսով, 3 վեկտորների համադրելիության անհրաժեշտ և բավարար պայման է նրանց խառը արտադրյալի հավասարությունը զրոյին։ Բացի այդ, սրանից հետևում է, որ երեք վեկտորները հիմք են կազմում տարածության մեջ, եթե .

   Եթե ​​վեկտորները տրված են կոորդինատային ձևով, ապա կարելի է ցույց տալ, որ դրանց խառը արտադրյալը գտնվել է բանաձևով.

   .

   Այսպիսով, խառը արտադրյալը հավասար է երրորդ կարգի որոշիչի, որի առաջին տողը պարունակում է առաջին վեկտորի կոորդինատները, երկրորդ տողը պարունակում է երկրորդ վեկտորի կոորդինատները, իսկ երրորդ տողը պարունակում է երրորդ վեկտորի կոորդինատները։

   Օրինակներ.

ՎԵՐԼՈՒԾԱԿԱՆ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆԸ ՏԻԵԶԵՐՈՒԹՅԱՆ ՄԵՋ

Հավասարումը F(x, y, z)= 0-ը սահմանում է տարածության մեջ Օքսիզորոշ մակերես, այսինքն. կետերի վայր, որոնց կոորդինատները x, y, zբավարարել այս հավասարումը. Այս հավասարումը կոչվում է մակերեսային հավասարում և x, y, z- ընթացիկ կոորդինատները:

Այնուամենայնիվ, հաճախ մակերեսը սահմանվում է ոչ թե հավասարմամբ, այլ որպես տարածության կետերի մի շարք, որոնք ունեն այս կամ այն ​​հատկությունը: Այս դեպքում պահանջվում է գտնել մակերեսի հավասարումը` ելնելով նրա երկրաչափական հատկություններից:

ԻՆՔՆԱԹԻՌ.

ՆՈՐՄԱԼ ՊԼԱՆԻ ՎԵԿՏՈՐ.

ՏՐՎԱԾ ԿԵՏՈՎ ԱՆՑՆՈՂ ԻՆՔՆԱԹԻՐԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ

Դիտարկենք կամայական σ հարթություն տարածության մեջ: Նրա դիրքը որոշվում է այս հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր և որոշ ֆիքսված կետ դնելով M0(x0, y 0, z0) ինքնաթիռում պառկած σ.

Ս հարթությանը ուղղահայաց վեկտորը կոչվում է նորմալայս հարթության վեկտորը: Թող վեկտորն ունենա կոորդինատներ:

Ստացվում է տվյալ կետով անցնող σ հարթության հավասարումը M0և ունենալով նորմալ վեկտոր: Դա անելու համար կամայական կետ վերցրեք σ հարթության վրա M(x, y, z)և հաշվի առեք վեկտորը:

Ցանկացած կետի համար ՄÎ σ վեկտոր։Ուստի նրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի։ Այս հավասարությունը պայմանն է, որ կետը ՄՕ ս. Այն գործում է այս հարթության բոլոր կետերի համար և խախտվում է հենց կետը Մկլինի ինքնաթիռից դուրս σ.

Եթե ​​շառավղով վեկտորով նշենք կետերը Մ, կետի շառավիղի վեկտորն է M0, ապա հավասարումը կարելի է գրել այսպես

Այս հավասարումը կոչվում է վեկտորհարթության հավասարումը. Գրենք այն կոորդինատային տեսքով։ Այդ ժամանակվանից

Այսպիսով, մենք ստացել ենք տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը։ Այսպիսով, հարթության հավասարումը կազմելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նորմալ վեկտորի կոորդինատները և հարթության վրա ընկած ինչ-որ կետի կոորդինատները։

Նշենք, որ հարթության հավասարումը 1-ին աստիճանի հավասարում է ընթացիկ կոորդինատների նկատմամբ. x, yև զ.

Օրինակներ.

ԻՆՔՆԱԹԻՐԻ ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ

Կարելի է ցույց տալ, որ առաջին աստիճանի ցանկացած հավասարում դեկարտյան կոորդինատների նկատմամբ x, y, zինչ-որ հարթության հավասարում է: Այս հավասարումը գրված է այսպես.

Axe+By+Cz+D=0

և կանչեց ընդհանուր հավասարումհարթությունը և կոորդինատները A, B, Cահա հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները.

Դիտարկենք ընդհանուր հավասարման առանձին դեպքեր: Եկեք պարզենք, թե ինչպես է հարթությունը գտնվում կոորդինատային համակարգի համեմատ, եթե հավասարման մեկ կամ մի քանի գործակիցներ անհետանում են:

A-ն առանցքի վրա հարթության կողմից կտրված հատվածի երկարությունն է Եզ. Նմանապես, կարելի է դա ցույց տալ բև գառանցքների վրա դիտարկված հարթությամբ կտրված հատվածների երկարություններն են Օյև Օզ.

Հարմար է հարթությունների կառուցման համար օգտագործել հարթության հավասարումը հատվածներում։

Այս դասում մենք կդիտարկենք վեկտորներով ևս երկու գործողություն. վեկտորների խաչաձև արտադրյալև վեկտորների խառը արտադրյալ (անմիջական հղում նրանց համար, ովքեր դրա կարիքն ունեն). Ոչինչ, երբեմն պատահում է, որ լիակատար երջանկության համար, բացի վեկտորների կետային արտադրյալ, ավելի ու ավելի է պետք։ Այդպիսին է վեկտորային կախվածությունը։ Կարելի է տպավորություն ստեղծվել, որ մենք մտնում ենք վերլուծական երկրաչափության ջունգլիներում: Սա ճիշտ չէ. Բարձրագույն մաթեմատիկայի այս բաժնում, ընդհանուր առմամբ, վառելափայտը քիչ է, բացառությամբ, գուցե, բավարար Պինոկիոյի համար: Փաստորեն, նյութը շատ տարածված է և պարզ, հազիվ թե ավելի դժվար, քան նույնը սկալյար արտադրանք, նույնիսկ ավելի քիչ բնորոշ առաջադրանքներ կլինեն։ Անալիտիկ երկրաչափության մեջ գլխավորը, ինչպես շատերը կտեսնեն կամ արդեն տեսել են, ՀԱՇՎԱՐԿՆԵՐԸ ՉՍԽԱԼԵԼՆ Է: Կրկնեք հմայքի պես, և դուք երջանիկ կլինեք =)

Եթե ​​վեկտորները փայլում են ինչ-որ հեռու, ինչպես կայծակը հորիզոնում, ապա դա նշանակություն չունի, սկսեք դասից Վեկտորներ կեղծամների համարվերականգնել կամ ձեռք բերել հիմնական գիտելիքներ վեկտորների մասին: Ավելի պատրաստված ընթերցողները կարող են ընտրողաբար ծանոթանալ տեղեկատվությանը, ես փորձեցի հավաքել օրինակների առավել ամբողջական հավաքածուն, որոնք հաճախ հանդիպում են գործնական աշխատանքում.

Ի՞նչը ձեզ կուրախացնի։ Երբ ես փոքր էի, կարող էի ձեռնածություն անել երկու և նույնիսկ երեք գնդակով: Լավ ստացվեց։ Հիմա ամենևին էլ պետք չէ ձեռնածություն անել, քանի որ մենք կքննարկենք միայն տիեզերական վեկտորներ, և երկու կոորդինատներով հարթ վեկտորները դուրս կմնան: Ինչո՞ւ։ Ահա թե ինչպես են ծնվել այս գործողությունները. վեկտորների վեկտորը և խառը արտադրյալը սահմանվում են և աշխատում են եռաչափ տարածության մեջ: Արդեն ավելի հեշտ!

Այս գործողության մեջ, ինչպես սկալյար արտադրյալում, երկու վեկտոր. Թող դա անթառամ տառեր լինի։

Ակցիան ինքնին նշվում էհետևյալ կերպ. Կան նաև այլ տարբերակներ, բայց ես սովոր եմ վեկտորների խաչաձև արտադրյալը նշանակել այսպես՝ քառակուսի փակագծերում խաչով:

Եվ անմիջապես հարց: եթե ներս վեկտորների կետային արտադրյալերկու վեկտոր է ներգրավված, և այստեղ երկու վեկտոր նույնպես բազմապատկվում են, ապա որն է տարբերությունը? Հստակ տարբերություն, առաջին հերթին, ԱՐԴՅՈՒՆՔՈՒՄ.

Վեկտորների սկալյար արտադրյալի արդյունքը ԹԻՎ է.

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի արդյունքը ՎԵԿՏՈՐ է:, այսինքն՝ մենք բազմապատկում ենք վեկտորները և նորից ստանում վեկտոր։ Փակ ակումբ. Փաստորեն, այստեղից էլ վիրահատության անվանումը։ Տարբեր ուսումնական գրականության մեջ նշանակումները կարող են նաև տարբեր լինել, ես կօգտագործեմ տառը:

Խաչի արտադրանքի սահմանում

Նախ կլինի նկարով սահմանում, հետո մեկնաբանություններ։

Սահմանում՝ խաչաձև արտադրանք ոչ գծայինվեկտորներ, վերցված այս կարգով, կոչվում է ՎԵԿՏՈՐ, երկարությունըորը թվային է հավասար է զուգահեռագծի մակերեսին, կառուցված այս վեկտորների վրա; վեկտոր ուղղանկյուն դեպի վեկտորներ, և ուղղված է այնպես, որ հիմքն ունենա ճիշտ կողմնորոշում.

Մենք վերլուծում ենք սահմանումը ոսկորներով, շատ հետաքրքիր բաներ կան:

Այսպիսով, մենք կարող ենք առանձնացնել հետևյալ կարևոր կետերը.

1) Աղբյուրի վեկտորները, որոնք նշված են կարմիր սլաքներով, ըստ սահմանման ոչ համագիծ. Համաձև վեկտորների դեպքը տեղին կլինի դիտարկել մի փոքր ավելի ուշ:

2) վերցված վեկտորներ խիստ կարգով: – «ա»-ն բազմապատկվում է «լինել»-ով, ոչ թե «լինել» «ա»-ին։ Վեկտորի բազմապատկման արդյունքըՎԵԿՏՈՐ է, որը նշվում է կապույտով: Եթե ​​վեկտորները բազմապատկվում են հակառակ հերթականությամբ, ապա ստանում ենք երկարությամբ հավասար և ուղղությամբ հակառակ վեկտոր (կարմիր գույն): Այսինքն՝ հավասարությունը .

3) Այժմ եկեք ծանոթանանք վեկտորի արտադրյալի երկրաչափական նշանակությանը։ Սա շատ կարևոր կետ է։ Կապույտ վեկտորի ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆԸ (և, հետևաբար, բոսորագույն վեկտորը) թվայինորեն հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերևույթին: Նկարում այս զուգահեռագիծը ստվերված է սևով:

Նշում գծագիրը սխեմատիկ է, և, իհարկե, խաչաձև արտադրյալի անվանական երկարությունը հավասար չէ զուգահեռագծի մակերեսին:

Մենք հիշում ենք երկրաչափական բանաձևերից մեկը. զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է հարակից կողմերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալին. Հետևաբար, ելնելով վերը նշվածից, վեկտորային արտադրյալի ԵՐԿՈՒՅԹԸ հաշվարկելու բանաձևը վավեր է.

Շեշտում եմ, որ բանաձեւում խոսքը վեկտորի ԵՐԿԱՐՈՒԹՅԱՆ մասին է, այլ ոչ թե բուն վեկտորի։ Ո՞րն է գործնական իմաստը: Եվ իմաստն այնպիսին է, որ վերլուծական երկրաչափության խնդիրներում զուգահեռագծի տարածքը հաճախ հայտնաբերվում է վեկտորային արտադրանքի հայեցակարգի միջոցով.

Մենք ստանում ենք երկրորդ կարևոր բանաձևը. Զուգահեռագծի անկյունագիծը (կարմիր կետագիծ) այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։ Հետևաբար, վեկտորների վրա կառուցված եռանկյունու տարածքը (կարմիր ստվերում) կարելի է գտնել բանաձևով.

4) Ոչ պակաս կարևոր փաստ այն է, որ վեկտորը ուղղահայաց է վեկտորներին, այսինքն. . Իհարկե, հակառակ ուղղված վեկտորը (կարմիր սլաքը) նույնպես ուղղանկյուն է սկզբնական վեկտորներին:

5) Վեկտորն ուղղված է այնպես, որ հիմքԱյն ունի ճիշտկողմնորոշում. Մի դասի մասին անցում դեպի նոր հիմքԵս մանրամասն խոսել եմ դրա մասին հարթության կողմնորոշում, և հիմա մենք կպարզենք, թե որն է տարածության կողմնորոշումը: Ես կբացատրեմ ձեր մատների վրա աջ ձեռք. Հոգեպես միավորել ցուցամատվեկտորով և միջնամատվեկտորով. Մատանի մատը և փոքր մատըսեղմեք ձեր ափի մեջ: Որպես արդյունք բութ մատը- վեկտորային արտադրանքը կանդրադառնա վերև: Սա ճիշտ կողմնորոշված ​​հիմքն է (նկարում է): Այժմ փոխեք վեկտորները ( ցուցամատ և միջին մատներ) տեղ-տեղ, արդյունքում բթամատը կշրջվի, իսկ վեկտորային արտադրյալն արդեն ներքև կնայվի։ Սա նույնպես ճիշտ կողմնորոշված ​​հիմք է։ Երևի ձեզ մոտ հարց է առաջանում՝ ի՞նչ հիմք ունի ձախ կողմնորոշումը։ «Նշանակիր» նույն մատները ձախ ձեռքվեկտորները և ստացեք ձախ հիմքը և ձախ տարածության կողմնորոշումը (այս դեպքում բթամատը կգտնվի ստորին վեկտորի ուղղությամբ). Պատկերավոր ասած՝ այս հիմքերը «ոլորում» կամ կողմնորոշում են տարածությունը տարբեր ուղղություններով։ Եվ այս հայեցակարգը չպետք է համարվի հեռուն կամ վերացական ինչ-որ բան. օրինակ, ամենասովորական հայելին փոխում է տարածության կողմնորոշումը, և եթե դուք «արտացոլված առարկան դուրս հանեք հայելու միջից», ապա ընդհանուր առմամբ հնարավոր չի լինի համադրել այն «բնօրինակի» հետ։ Ի դեպ, երեք մատը մոտեցրեք հայելուն և վերլուծեք արտացոլումը ;-)

... որքան լավ է, որ դուք հիմա գիտեք դրա մասին աջ և ձախ կողմնորոշվածհիմքեր, քանի որ որոշ դասախոսների հայտարարությունները կողմնորոշման փոփոխության մասին սարսափելի են =)

Կոլայն վեկտորների վեկտորային արտադրյալը

Սահմանումը մանրամասն մշակված է, մնում է պարզել, թե ինչ է տեղի ունենում, երբ վեկտորները համագիծ են։ Եթե ​​վեկտորները միաձույլ են, ապա դրանք կարող են տեղադրվել մեկ ուղիղ գծի վրա և մեր զուգահեռագիծը նույնպես «ծալվել» մեկ ուղիղ գծի մեջ։ Նման տարածքը, ինչպես ասում են մաթեմատիկոսները. այլասերվածզուգահեռագիծը զրո է: Նույնը հետևում է բանաձևից՝ զրոյի կամ 180 աստիճանի սինուսը հավասար է զրոյի, ինչը նշանակում է, որ տարածքը զրո է։

Այսպիսով, եթե, ապա և . Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ խաչաձև արտադրյալն ինքնին հավասար է զրոյական վեկտորի, բայց գործնականում դա հաճախ անտեսվում է և գրվում, որ այն նույնպես հավասար է զրոյի:

Հատուկ դեպք է վեկտորի և իր վեկտորի արտադրյալը.

Օգտագործելով խաչաձև արտադրյալը, դուք կարող եք ստուգել եռաչափ վեկտորների համակողմանիությունը, և մենք, ի թիվս այլոց, կվերլուծենք նաև այս խնդիրը:

Գործնական օրինակներ լուծելու համար կարող է անհրաժեշտ լինել եռանկյունաչափական աղյուսակդրանից գտնել սինուսների արժեքները:

Դե, եկեք կրակ վառենք.

Օրինակ 1

ա) Գտե՛ք վեկտորների վեկտորային արտադրյալի երկարությունը, եթե

բ) Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը, եթե

ԼուծումՈչ, սա տառասխալ չէ, ես միտումնավոր նախնական տվյալները դարձրել եմ նույնը: Որովհետև լուծումների դիզայնը տարբեր կլինի։

ա) Ըստ պայմանի՝ պահանջվում է գտնել երկարությունըվեկտոր (վեկտորային արտադրանք): Համապատասխան բանաձևի համաձայն.

Պատասխանել:

Քանի որ հարցվել է երկարության մասին, ապա պատասխանում նշում ենք չափը՝ միավորներ։

բ) Ըստ պայմանի՝ պահանջվում է գտնել քառակուսիվեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագիծ. Այս զուգահեռագծի տարածքը թվայինորեն հավասար է խաչաձև արտադրյալի երկարությանը.

Պատասխանել:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վեկտորային արտադրյալի մասին պատասխանում ընդհանրապես խոսք չկա, մեզ հարցրել են գործչի տարածքը, համապատասխանաբար, չափը քառակուսի միավոր է։

Մենք միշտ նայում ենք, թե ԻՆՉ է պահանջվում գտնել պայմանով, և դրա հիման վրա ձևակերպում ենք պարզպատասխանել. Կարող է տառացիություն թվալ, բայց ուսուցիչների մեջ բավականաչափ բառացիներ կան, և լավ շանսեր ունեցող առաջադրանքը կվերադարձվի վերանայման։ Թեև սա առանձնապես լարված հնարք չէ. եթե պատասխանը սխալ է, ապա տպավորություն է ստեղծվում, որ մարդը չի հասկանում պարզ բաները և/կամ չի հասկացել առաջադրանքի էությունը: Այս պահը միշտ պետք է վերահսկողության տակ պահել՝ լուծելով ցանկացած խնդիր բարձրագույն մաթեմատիկայից, ինչպես նաև այլ առարկաներից։

Ո՞ւր գնաց մեծ «en» տառը: Սկզբունքորեն, դա կարող էր լրացուցիչ կառչել լուծմանը, բայց ռեկորդը կրճատելու համար ես չարեցի: Հուսով եմ, որ բոլորը դա հասկանում են և նույն բանի նշանակումն է։

Ինքնուրույն լուծման հանրաճանաչ օրինակ.

Օրինակ 2

Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված եռանկյան մակերեսը, եթե

Վեկտորային արտադրանքի միջոցով եռանկյունի տարածքը գտնելու բանաձևը տրված է սահմանման մեկնաբանություններում: Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։

Գործնականում խնդիրն իսկապես շատ տարածված է, եռանկյունները հիմնականում կարող են խոշտանգվել:

Այլ խնդիրներ լուծելու համար մեզ անհրաժեշտ է.

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի հատկությունները

Մենք արդեն դիտարկել ենք վեկտորային արտադրանքի որոշ հատկություններ, այնուամենայնիվ, ես դրանք կներառեմ այս ցանկում:

Կամայական վեկտորների և կամայական թվերի համար ճշմարիտ են հետևյալ հատկությունները.

1) Տեղեկատվության այլ աղբյուրներում այս նյութը սովորաբար չի առանձնանում հատկություններով, բայց գործնական առումով շատ կարևոր է: Ուրեմն թող լինի։

2) - վերևում խոսվում է նաև գույքի մասին, երբեմն կոչվում է հակակոմուտատիվություն. Այսինքն՝ վեկտորների հերթականությունը նշանակություն ունի։

3) - համադրություն կամ ասոցիատիվվեկտորային արտադրանքի օրենքները. Հաստատունները հեշտությամբ դուրս են բերվում վեկտորի արտադրյալի սահմաններից։ Իսկապես, ի՞նչ են անում այնտեղ։

4) - բաշխում կամ բաշխումվեկտորային արտադրանքի օրենքները. Փակագծերի բացման հետ կապված նույնպես խնդիրներ չկան։

Որպես ցուցադրություն, հաշվի առեք մի կարճ օրինակ.

Օրինակ 3

Գտեք, եթե

Լուծում:Ըստ պայմանի, կրկին պահանջվում է գտնել վեկտորի արտադրյալի երկարությունը։ Եկեք նկարենք մեր մանրանկարչությունը.

(1) Ասոցիատիվ օրենքների համաձայն՝ մենք հաստատունները հանում ենք վեկտորի արտադրյալի սահմաններից դուրս։

(2) Մենք մոդուլից հանում ենք հաստատունը, մինչդեռ մոդուլը «ուտում է» մինուս նշանը։ Երկարությունը չի կարող բացասական լինել:

(3) Հետևյալը պարզ է.

Պատասխանել:

Ժամանակն է կրակի վրա փայտ նետելու.

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք վեկտորների վրա կառուցված եռանկյան մակերեսը, եթե

ԼուծումԳտեք եռանկյան մակերեսը բանաձևով . Խնդիրն այն է, որ «ce» և «te» վեկտորներն իրենք ներկայացված են որպես վեկտորների գումարներ: Այստեղ ալգորիթմը ստանդարտ է և ինչ-որ չափով հիշեցնում է դասի թիվ 3 և 4 օրինակները։ Վեկտորների կետային արտադրյալ. Պարզության համար եկեք բաժանենք այն երեք քայլի.

1) Առաջին քայլում վեկտորային արտադրյալն արտահայտում ենք վեկտորային արտադրյալի միջոցով, փաստորեն. վեկտորն արտահայտել վեկտորի առումով. Երկարության մասին դեռ ոչինչ չկա:

(1) Մենք փոխարինում ենք վեկտորների արտահայտությունները:

(2) Բաշխիչ օրենքների օգնությամբ բացում ենք փակագծերը՝ ըստ բազմանդամների բազմապատկման կանոնի։

(3) Օգտագործելով ասոցիատիվ օրենքները, մենք հանում ենք բոլոր հաստատունները վեկտորային արտադրյալներից դուրս: Փոքր փորձի դեպքում 2-րդ և 3-րդ գործողությունները կարող են կատարվել միաժամանակ:

(4) Առաջին և վերջին անդամները հավասար են զրոյի (զրոյական վեկտոր)՝ շնորհիվ հաճելի հատկության: Երկրորդ տերմինում մենք օգտագործում ենք վեկտորային արտադրանքի հակակոմուտացիոն հատկությունը.

(5) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ:

Արդյունքում, վեկտորը պարզվեց, որ արտահայտվում է վեկտորի միջոցով, որն այն էր, ինչ պահանջվում էր հասնել.

2) Երկրորդ քայլում մենք գտնում ենք մեզ անհրաժեշտ վեկտորի արտադրյալի երկարությունը: Այս գործողությունը նման է Օրինակ 3-ին.

3) Գտեք պահանջվող եռանկյունու մակերեսը.

Լուծման 2-3 քայլերը կարելի է դասավորել մեկ տողում:

Պատասխանել:

Դիտարկված խնդիրը բավականին տարածված է թեստերում, ահա անկախ լուծման օրինակ.

Օրինակ 5

Գտեք, եթե

Կարճ լուծում և պատասխան դասի վերջում. Տեսնենք, թե որքան ուշադիր էիք նախորդ օրինակներն ուսումնասիրելիս ;-)

Վեկտորների խաչաձև արտադրյալ կոորդինատներում

տրված օրթոնորմալ հիմունքներով, արտահայտվում է բանաձևով:

Բանաձևն իսկապես պարզ է՝ որոշիչի վերին տողում գրում ենք կոորդինատների վեկտորները, երկրորդ և երրորդ տողերում «փաթեթավորում» ենք վեկտորների կոորդինատները և դնում ենք. խիստ կարգով- նախ՝ «ve» վեկտորի կոորդինատները, ապա «կրկնակի-վե» վեկտորի կոորդինատները։ Եթե ​​վեկտորները պետք է բազմապատկվեն այլ հերթականությամբ, ապա տողերը նույնպես պետք է փոխանակվեն.

Օրինակ 10

Ստուգեք՝ արդյոք հետևյալ տիեզերական վեկտորները համագիծ են.
ա)
բ)

ԼուծումԹեստը հիմնված է այս դասի պնդումներից մեկի վրա. եթե վեկտորները համագիծ են, ապա դրանց խաչաձև արտադրյալը զրո է (զրոյական վեկտոր). .

ա) Գտեք վեկտորի արտադրյալը.

Այսպիսով, վեկտորները համակողմանի չեն:

բ) Գտեք վեկտորի արտադրյալը.

Պատասխանելա) ոչ համագիծ, բ)

Այստեղ է, հավանաբար, բոլոր հիմնական տեղեկությունները վեկտորների վեկտորային արտադրյալի մասին։

Այս բաժինը շատ մեծ չի լինի, քանի որ քիչ խնդիրներ կան, որտեղ օգտագործվում է վեկտորների խառը արտադրյալը: Փաստորեն, ամեն ինչ կախված կլինի սահմանման, երկրաչափական իմաստի և մի երկու աշխատանքային բանաձևերի վրա։

Վեկտորների խառը արտադրյալը երեք վեկտորի արտադրյալն է:

Ահա թե ինչպես են գնացքի պես շարվել ու սպասում, չեն կարող սպասել, մինչև հաշվարկվեն։

Նախ կրկին սահմանումը և պատկերը.

ՍահմանումԽառը արտադրանք ոչ համաչափվեկտորներ, վերցված այս կարգով, կոչվում է զուգահեռականի ծավալը, կառուցված այս վեկտորների վրա, հագեցած «+» նշանով, եթե հիմքը ճիշտ է, և «-» նշանով, եթե հիմքը մնացել է։

Եկեք նկարենք: Մեզ համար անտեսանելի գծերը գծվում են կետագծով.

Եկեք խորանանք սահմանման մեջ.

2) վերցված վեկտորներ որոշակի կարգով, այսինքն՝ արտադրյալում վեկտորների փոխարկումը, ինչպես կարող եք կռահել, անհետևանք չի անցնում։

3) Նախքան երկրաչափական իմաստը մեկնաբանելը, նշեմ ակնհայտ փաստը. վեկտորների խառը արտադրյալը ԹԻՎ է: Ուսումնական գրականության մեջ դիզայնը կարող է փոքր-ինչ տարբեր լինել, ես օգտագործում էի խառը արտադրանքը նշանակում, իսկ հաշվարկների արդյունքը «պե» տառով:

Ըստ սահմանման խառը արդյունքը զուգահեռականի ծավալն է, կառուցված վեկտորների վրա (նկարը գծված է կարմիր վեկտորներով և սև գծերով)։ Այսինքն՝ թիվը հավասար է տվյալ զուգահեռականի ծավալին։

Նշում Նկարը սխեմատիկ է:

4) Եկեք նորից չանհանգստանանք հիմքի և տարածության կողմնորոշման հայեցակարգով։ Վերջնական մասի իմաստն այն է, որ ծավալին կարելի է մինուս նշան ավելացնել։ Պարզ ասած, խառը արտադրանքը կարող է բացասական լինել.

Վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալը հաշվարկելու բանաձևը ուղղակիորեն բխում է սահմանումից:

Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք երկու վեկտորների խաչաձև արտադրյալի հայեցակարգին: Մենք կտանք անհրաժեշտ սահմանումները, կգրենք վեկտորային արտադրյալի կոորդինատները գտնելու բանաձև, թվարկենք և հիմնավորենք դրա հատկությունները։ Դրանից հետո մենք կանդրադառնանք երկու վեկտորների խաչաձև արտադրյալի երկրաչափական իմաստին և կդիտարկենք տարբեր բնորոշ օրինակների լուծումները:

Էջի նավարկություն.

Վեկտորային արտադրանքի սահմանում.

Նախքան խաչաձև արտադրյալի սահմանումը տալը, եկեք զբաղվենք վեկտորների դասավորված եռակի կողմնորոշմամբ եռաչափ տարածության մեջ:

Մի կետից հետաձգենք վեկտորները։ Կախված վեկտորի ուղղությունից, եռյակը կարող է լինել աջ կամ ձախ: Եկեք վեկտորի վերջից նայենք, թե ինչպես է ամենակարճ շրջադարձը վեկտորից դեպի . Եթե ​​ամենակարճ պտույտը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ է, ապա կոչվում է վեկտորների եռապատիկ ճիշտհակառակ դեպքում - ձախ.

Այժմ վերցնենք երկու ոչ համագիծ վեկտորներ և . Մի կողմ դրեք վեկտորները և Ա կետից. Եկեք կառուցենք մի վեկտոր, որն ուղղահայաց է և և միաժամանակ: Ակնհայտ է, որ վեկտորը կառուցելիս մենք կարող ենք երկու բան անել՝ տալով նրան կամ մեկ ուղղություն, կամ հակառակը (տես նկարազարդումը):

Կախված վեկտորի ուղղությունից՝ վեկտորների պատվիրված եռապատիկը կարող է լինել աջ կամ ձախ։

Այսպիսով, մենք մոտեցանք վեկտորային արտադրանքի սահմանմանը: Տրված է եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված երկու վեկտորների համար։

Սահմանում.

Երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալև, տրված եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, կոչվում է այնպիսի վեկտոր, որ

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալը և նշվում է որպես .

Վեկտորային արտադրանքի կոորդինատները:

Այժմ տալիս ենք վեկտորային արտադրյալի երկրորդ սահմանումը, որը թույլ է տալիս գտնել նրա կոորդինատները տվյալ վեկտորների կոորդինատներից և.

Սահմանում.

Եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում երկու վեկտորների խաչաձև արտադրյալ և վեկտոր է, որտեղ գտնվում են կոորդինատային վեկտորները:

Այս սահմանումը մեզ տալիս է խաչաձև արտադրյալ կոորդինատային ձևով:

Հարմար է վեկտորային արտադրյալը ներկայացնել որպես երրորդ կարգի քառակուսի մատրիցայի որոշիչ, որի առաջին շարքը օրտներն են, երկրորդ շարքը պարունակում է վեկտորի կոորդինատները, իսկ երրորդ շարքը պարունակում է վեկտորի կոորդինատները: տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ.

Եթե ​​մենք ընդլայնենք այս որոշիչը առաջին շարքի տարրերով, ապա մենք հավասարություն ենք ստանում վեկտորային արտադրյալի սահմանումից կոորդինատներով (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը).

Հարկ է նշել, որ խաչաձև արտադրյալի կոորդինատային ձևը լիովին համապատասխանում է սույն հոդվածի առաջին պարբերությունում տրված սահմանմանը: Ավելին, խաչաձև արտադրանքի այս երկու սահմանումները համարժեք են: Այս փաստի ապացույցը կարելի է գտնել հոդվածի վերջում նշված գրքում։

Վեկտորային արտադրանքի հատկությունները.

Քանի որ վեկտորային արտադրյալը կոորդինատներում կարող է ներկայացվել որպես մատրիցայի որոշիչ, հետևյալը հեշտությամբ կարելի է հիմնավորել հիմքի վրա. վեկտորի արտադրանքի հատկությունները:

Որպես օրինակ՝ եկեք ապացուցենք վեկտորային արտադրյալի հակակոմուտատիվության հատկությունը։

Ըստ սահմանման և . Մենք գիտենք, որ մատրիցայի որոշիչի արժեքը հակադարձվում է, երբ երկու տողերը փոխանակվում են, ուստի՝ , որն ապացուցում է վեկտորային արտադրանքի հակակոմուտատիվ հատկությունը։

Վեկտորային արտադրանք - օրինակներ և լուծումներ:

Հիմնականում կան երեք տեսակի առաջադրանքներ.

Առաջին տիպի խնդիրներում տրված են երկու վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը, և պահանջվում է գտնել խաչաձև արտադրյալի երկարությունը։ Այս դեպքում օգտագործվում է բանաձեւը .

Օրինակ.

Գտե՛ք վեկտորների խաչաձև արտադրյալի երկարությունը և եթե հայտնի է .

Լուծում.

Սահմանումից գիտենք, որ վեկտորների խաչաձև արտադրյալի երկարությունը և հավասար է վեկտորների երկարությունների արտադրյալին և նրանց միջև անկյան սինուսի բազմապատիկին, հետևաբար. .

Պատասխան.

.

Երկրորդ տիպի առաջադրանքները կապված են վեկտորների կոորդինատների հետ, որոնցում տվյալ վեկտորների կոորդինատների միջոցով որոնվում է վեկտորի արտադրյալը, դրա երկարությունը կամ որևէ այլ բան. և .

Այստեղ կան բազմաթիվ տարբեր տարբերակներ: Օրինակ, ոչ թե վեկտորների կոորդինատները և , այլ դրանց ընդլայնումները ձևի կոորդինատային վեկտորներում և , կամ վեկտորներ և կարող են սահմանվել դրանց սկզբի և վերջի կետերի կոորդինատներով:

Դիտարկենք բնորոշ օրինակներ.

Օրինակ.

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված է երկու վեկտոր . Գտեք դրանց վեկտորային արտադրյալը:

Լուծում.

Երկրորդ սահմանման համաձայն՝ կոորդինատներում երկու վեկտորների խաչաձև արտադրյալը գրվում է հետևյալ կերպ.

Մենք նույն արդյունքին կհասնեինք, եթե վեկտորի արտադրյալը գրեինք որոշիչի միջոցով

Պատասխան.

.

Օրինակ.

Գտե՛ք վեկտորների և , խաչաձև արտադրյալի երկարությունը, որտեղ են ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգի օրտները:

Լուծում.

Նախ, գտեք վեկտորի արտադրյալի կոորդինատները տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում:

Քանի որ վեկտորները և ունեն կոորդինատներ և համապատասխանաբար (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում վեկտորի հոդվածի կոորդինատները), ապա ըստ խաչաձև արտադրյալի երկրորդ սահմանման՝ մենք ունենք.

Այսինքն՝ վեկտորային արտադրանքը ունի կոորդինատներ տվյալ կոորդինատային համակարգում.

Մենք գտնում ենք վեկտորի արտադրյալի երկարությունը որպես նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատ (վեկտորի երկարությունը գտնելու բաժնում մենք ստացել ենք այս բանաձևը վեկտորի երկարության համար).

Պատասխան.

.

Օրինակ.

Երեք կետերի կոորդինատները տրված են ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։ Գտեք մի վեկտոր, որը ուղղահայաց է և միաժամանակ:

Լուծում.

Վեկտորներ և ունեն կոորդինատներ և համապատասխանաբար (տե՛ս հոդվածը, որտեղ գտնում ենք վեկտորի կոորդինատները կետերի կոորդինատների միջոցով): Եթե ​​գտնենք վեկտորների խաչաձև արտադրյալը և , ապա ըստ սահմանման այն վեկտոր է ուղղահայաց և՛ դեպի, և՛ դեպի, այսինքն՝ դա մեր խնդրի լուծումն է։ Եկեք գտնենք նրան

Պատասխան.

ուղղահայաց վեկտորներից մեկն է։

Երրորդ տիպի առաջադրանքներում ստուգվում է վեկտորների վեկտորային արտադրյալի հատկությունների օգտագործման հմտությունը։ Հատկությունների կիրառումից հետո կիրառվում են համապատասխան բանաձևերը:

Օրինակ.

Վեկտորները և ուղղահայաց են, իսկ երկարությունները՝ համապատասխանաբար 3 և 4։ Գտեք վեկտորի արտադրյալի երկարությունը .

Լուծում.

Վեկտորային արտադրյալի բաշխման հատկությամբ մենք կարող ենք գրել

Ասոցիատիվ հատկության ուժով մենք վեկտորային ապրանքների նշանի համար հանում ենք թվային գործակիցները վերջին արտահայտության մեջ.

Վեկտորային արտադրանքները և հավասար են զրոյի, քանի որ և , ապա .

Քանի որ վեկտորային արտադրանքը հակակոմուտատիվ է, ապա .

Այսպիսով, օգտագործելով վեկտորային արտադրյալի հատկությունները, մենք հանգել ենք հավասարությանը .

Ըստ պայմանի՝ վեկտորները և ուղղահայաց են, այսինքն՝ նրանց միջև անկյունը հավասար է . Այսինքն՝ մենք ունենք բոլոր տվյալները պահանջվող երկարությունը գտնելու համար

Պատասխան.

.

Վեկտորային արտադրանքի երկրաչափական նշանակությունը:

Ըստ սահմանման՝ վեկտորների խաչաձև արտադրյալի երկարությունն է . Իսկ ավագ դպրոցի երկրաչափության դասընթացից մենք գիտենք, որ եռանկյան մակերեսը հավասար է եռանկյան երկու կողմերի երկարությունների և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին: Հետևաբար, խաչաձև արտադրյալի երկարությունը հավասար է վեկտորների կողմերով եռանկյան տարածքի կրկնապատիկին, և եթե դրանք հետաձգվում են մեկ կետից: Այլ կերպ ասած, վեկտորների խաչաձև արտադրյալի երկարությունը և հավասար է զուգահեռագծի մակերեսին, որի կողմերը և նրանց միջև անկյունը հավասար է . Սա վեկտորային արտադրանքի երկրաչափական նշանակությունն է: