վեկտորային արտադրանք երկու գործոնով կառուցված հարթությանը ուղղահայաց կեղծվեկտոր է, որը եռաչափ Էվկլիդեսյան տարածության վեկտորների վրա «վեկտորային բազմապատկման» երկուական գործողության արդյունք է։ Վեկտորային արտադրյալը չունի կոմուտատիվության և ասոցիատիվության հատկություններ (այն հակակոմուտատիվ է) և, ի տարբերություն վեկտորների սկալյար արտադրյալի, վեկտոր է։ Լայնորեն օգտագործվում է բազմաթիվ տեխնիկական և ֆիզիկական կիրառություններում: Օրինակ, անկյունային իմպուլսը և Լորենցի ուժը մաթեմատիկորեն գրված են որպես խաչաձև արտադրյալ։ Խաչաձև արտադրյալը օգտակար է վեկտորների ուղղահայացությունը «չափելու» համար. երկու վեկտորների խաչաձև արտադրյալի մոդուլը հավասար է դրանց մոդուլների արտադրյալին, եթե դրանք ուղղահայաց են, և նվազում է մինչև զրոյի, եթե վեկտորները զուգահեռ են կամ հակազուգահեռ:

Դուք կարող եք տարբեր կերպ սահմանել վեկտորային արտադրյալը, և տեսականորեն, ցանկացած n չափման տարածության մեջ կարող եք հաշվարկել n-1 վեկտորների արտադրյալը՝ միաժամանակ ստանալով բոլորին ուղղահայաց մեկ վեկտոր: Բայց եթե արտադրյալը սահմանափակվում է վեկտորային արդյունքներով ոչ տրիվիալ երկուական արտադրյալներով, ապա ավանդական վեկտորային արտադրյալը սահմանվում է միայն եռաչափ և յոթաչափ տարածություններում: Վեկտորային արտադրյալի արդյունքը, ինչպես սկալյար արտադրյալը, կախված է Էվկլիդյան տարածության մետրիկից։

Ի տարբերություն եռաչափ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում վեկտորների կոորդինատներից սկալյար արտադրյալի հաշվարկման բանաձևի, վեկտորային արտադրյալի բանաձևը կախված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի կողմնորոշումից կամ, այլ կերպ ասած, նրա «խիրալից»:

Սահմանում:
R 3 տարածության մեջ a և b վեկտորի վեկտորի արտադրյալը կոչվում է c վեկտոր, որը բավարարում է հետևյալ պահանջները.
c վեկտորի երկարությունը հավասար է a և b վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև φ անկյան սինուսի արտադրյալին.
|գ|=|ա||բ|սին φ;
c վեկտորը ուղղանկյուն է a և b վեկտորներից յուրաքանչյուրի նկատմամբ.
c վեկտորն ուղղված է այնպես, որ abc վեկտորների եռապատիկը ճիշտ է.
R7 տարածության դեպքում անհրաժեշտ է a,b,c վեկտորների եռակի ասոցիատիվությունը։
Նշանակում:
c===a×b

Բրինձ. 1. Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է խաչաձև արտադրյալի մոդուլին

Խաչի արտադրանքի երկրաչափական հատկությունները:
Երկու ոչ զրոյական վեկտորների համակեցության համար անհրաժեշտ և բավարար պայման է նրանց վեկտորային արտադրյալի հավասարությունը զրոյի։

Խաչի արտադրանքի մոդուլ հավասար է տարածքին Սզուգահեռագիծ, որը կառուցված է ընդհանուր ծագման վեկտորների վրա աև բ(տե՛ս նկ. 1):

Եթե ե- միավոր վեկտորը ուղղահայաց է վեկտորներին աև բև ընտրեց այնպես, որ եռակի ա, բ, ե- ճիշտ է, և Ս- դրանց վրա կառուցված զուգահեռագծի տարածքը (նվազեցված է ընդհանուր ծագման), ապա վեկտորի արտադրանքի համար ճշմարիտ է հետևյալ բանաձևը.
=S e

Նկ.2. Զուգահեռի ծավալը վեկտորների վեկտորը և սկալյար արտադրյալն օգտագործելիս. կետագծերը ցույց են տալիս c վեկտորի կանխատեսումները a × b-ի վրա, իսկ a վեկտորը b × c-ի վրա, առաջին քայլը ներքին արտադրյալները գտնելն է

Եթե գ- ցանկացած վեկտոր π - այս վեկտորը պարունակող ցանկացած հարթություն, ե- հարթության մեջ ընկած միավոր վեկտոր π և ուղղանկյուն դեպի գ, գ- միավորի վեկտորը ուղղանկյուն հարթության վրա π և ուղղված է այնպես, որ վեկտորների եռապատիկը էկգճիշտ է, ապա ինքնաթիռում ցանկացած պառկած համար π վեկտոր աճիշտ բանաձևը հետևյալն է.
=Pr e a |c|g
որտեղ Pr e a-ն e վեկտորի պրոյեկցիան է a-ի վրա
|գ|-վեկտորի մոդուլը c

Վեկտորային և սկալյար արտադրյալներ օգտագործելիս կարող եք հաշվարկել վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալը, որը կրճատվել է մինչև ընդհանուր ծագման: ա, բև գ. Երեք վեկտորների նման արտադրյալը կոչվում է խառը:
V=|a (b×c)|
Նկարը ցույց է տալիս, որ այս ծավալը կարելի է գտնել երկու եղանակով. երկրաչափական արդյունքը պահպանվում է նույնիսկ այն դեպքում, երբ «սկալար» և «վեկտոր» արտադրյալները փոխանակվում են.
V=a×b c=a b×c

Խաչաձև արտադրյալի արժեքը կախված է սկզբնական վեկտորների միջև անկյան սինուսից, ուստի խաչաձև արտադրյալը կարող է ընկալվել որպես վեկտորների «ուղղահայացության» աստիճան այնպես, ինչպես. սկալյար արտադրանքկարելի է դիտարկել որպես «զուգահեռության» աստիճան։ Երկու միավոր վեկտորների խաչաձև արտադրյալը հավասար է 1-ի (միավոր վեկտոր), եթե սկզբնական վեկտորները ուղղահայաց են, և հավասար է 0-ի (զրոյական վեկտոր), եթե վեկտորները զուգահեռ են կամ հակազուգահեռ։

Խաչաձև արտադրական արտահայտություն դեկարտյան կոորդինատներով
Եթե ​​երկու վեկտոր աև բորոշվում են իրենց ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատներով, ավելի ճիշտ՝ ներկայացված են օրթոնորմալ հիմք
a = (a x, a y, a z)
b=(b x,b y,b z)
իսկ կոորդինատային համակարգը ճիշտ է, ապա դրանց վեկտորային արտադրյալն ունի ձև
=(a y b z -a z b y,a z b x -a x b z,a x b y -a y b x)
Այս բանաձևը հիշելու համար.
i =∑ε ijk a j b k
որտեղ ε ijk- Լևի-Սիվիտայի խորհրդանիշը:

Այս դասում մենք կդիտարկենք վեկտորներով ևս երկու գործողություն. վեկտորների խաչաձև արտադրյալև վեկտորների խառը արտադրյալ (անմիջական հղում նրանց համար, ովքեր դրա կարիքն ունեն). Ոչինչ, երբեմն պատահում է, որ լիակատար երջանկության համար, բացի վեկտորների կետային արտադրյալ, ավելի ու ավելի է պետք։ Այդպիսին է վեկտորային կախվածությունը։ Կարող է թվալ, որ մենք բարձրանում ենք վայրի բնություն վերլուծական երկրաչափություն. Սա ճիշտ չէ. Բարձրագույն մաթեմատիկայի այս բաժնում, ընդհանուր առմամբ, վառելափայտը քիչ է, բացառությամբ, գուցե, բավարար Պինոկիոյի համար: Փաստորեն, նյութը շատ տարածված է և պարզ, հազիվ թե ավելի դժվար, քան նույնը սկալյար արտադրանք, նույնիսկ ավելի քիչ բնորոշ առաջադրանքներ կլինեն։ Անալիտիկ երկրաչափության մեջ գլխավորը, ինչպես շատերը կտեսնեն կամ արդեն տեսել են, ՀԱՇՎԱՐԿՆԵՐԸ ՉՍԽԱԼԵԼՆ Է: Կրկնեք հմայքի պես, և դուք երջանիկ կլինեք =)

Եթե ​​վեկտորները փայլում են ինչ-որ հեռու, ինչպես կայծակը հորիզոնում, ապա դա նշանակություն չունի, սկսեք դասից Վեկտորներ կեղծամների համարվերականգնել կամ ձեռք բերել հիմնական գիտելիքներ վեկտորների մասին: Ավելի պատրաստված ընթերցողները կարող են ընտրողաբար ծանոթանալ տեղեկատվությանը, ես փորձեցի հավաքել օրինակների առավել ամբողջական հավաքածուն, որոնք հաճախ հանդիպում են. գործնական աշխատանք

Ի՞նչը ձեզ կուրախացնի։ Երբ ես փոքր էի, կարող էի ձեռնածություն անել երկու և նույնիսկ երեք գնդակով: Լավ ստացվեց։ Հիմա ամենևին էլ պետք չէ ձեռնածություն անել, քանի որ մենք կքննարկենք միայն տիեզերական վեկտորներ, և երկու կոորդինատներով հարթ վեկտորները դուրս կմնան: Ինչո՞ւ։ Ահա թե ինչպես են ծնվել այս գործողությունները. վեկտորների վեկտորը և խառը արտադրյալը սահմանվում են և աշխատում են եռաչափ տարածության մեջ: Արդեն ավելի հեշտ!

Այս գործողության մեջ, ինչպես սկալյար արտադրյալում, երկու վեկտոր. Թող դա անթառամ տառեր լինի։

Ակցիան ինքնին նշվում էհետևյալ կերպ. Կան նաև այլ տարբերակներ, բայց ես սովոր եմ վեկտորների խաչաձև արտադրյալը նշանակել այսպես՝ քառակուսի փակագծերում խաչով:

Եվ անմիջապես հարց: եթե ներս վեկտորների կետային արտադրյալերկու վեկտոր է ներգրավված, և այստեղ երկու վեկտոր նույնպես բազմապատկվում են, ապա որն է տարբերությունը? Հստակ տարբերություն, առաջին հերթին, ԱՐԴՅՈՒՆՔՈՒՄ.

Վեկտորների սկալյար արտադրյալի արդյունքը ԹԻՎ է.

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի արդյունքը ՎԵԿՏՈՐ է:, այսինքն՝ մենք բազմապատկում ենք վեկտորները և նորից ստանում վեկտոր։ Փակ ակումբ. Փաստորեն, այստեղից էլ վիրահատության անվանումը։ Տարբերում ուսումնական գրականությունՆշումը նույնպես կարող է տարբեր լինել, ես կօգտագործեմ տառը:

Խաչի արտադրանքի սահմանում

Նախ կլինի նկարով սահմանում, հետո մեկնաբանություններ։

Սահմանում՝ խաչաձև արտադրանք ոչ գծայինվեկտորներ, վերցված այս կարգով, կոչվում է ՎԵԿՏՈՐ, երկարությունըորը թվային է հավասար է զուգահեռագծի մակերեսին, կառուցված այս վեկտորների վրա; վեկտոր ուղղանկյուն դեպի վեկտորներ, և ուղղված է այնպես, որ հիմքն ունենա ճիշտ կողմնորոշում.

Մենք վերլուծում ենք սահմանումը ոսկորներով, շատ հետաքրքիր բաներ կան:

Այսպիսով, մենք կարող ենք առանձնացնել հետևյալ կարևոր կետերը.

1) Աղբյուրի վեկտորները, որոնք նշված են կարմիր սլաքներով, ըստ սահմանման ոչ համագիծ. Տեղի է ունենում համագիծ վեկտորներտեղին կլինի քննարկել մի փոքր ուշ։

2) վերցված վեկտորներ խիստ կարգով: – «ա»-ն բազմապատկվում է «լինել»-ով, ոչ թե «լինել» «ա»-ին։ Վեկտորի բազմապատկման արդյունքըՎԵԿՏՈՐ է, որը նշվում է կապույտով: Եթե ​​վեկտորները բազմապատկվեն հակառակ կարգը, ապա ստանում ենք երկարությամբ հավասար և ուղղությամբ հակառակ վեկտոր (կարմիր գույն)։ Այսինքն՝ հավասարությունը .

3) Այժմ եկեք ծանոթանանք վեկտորի արտադրյալի երկրաչափական նշանակությանը։ Սա շատ կարևոր կետ է: Կապույտ վեկտորի ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆԸ (և, հետևաբար, բոսորագույն վեկտորը) թվայինորեն հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերևույթին: Նկարում այս զուգահեռագիծը ստվերված է սևով:

Նշում գծագիրը սխեմատիկ է, և, իհարկե, խաչաձև արտադրյալի անվանական երկարությունը հավասար չէ զուգահեռագծի մակերեսին:

Մենք հիշում ենք երկրաչափական բանաձևերից մեկը. զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է հարակից կողմերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալին. Հետևաբար, ելնելով վերը նշվածից, վեկտորային արտադրյալի ԵՐԿՈՒՅԹԸ հաշվարկելու բանաձևը վավեր է.

Շեշտում եմ, որ բանաձեւում խոսքը վեկտորի ԵՐԿԱՐՈՒԹՅԱՆ մասին է, այլ ոչ թե բուն վեկտորի։ Ո՞րն է գործնական իմաստը: Եվ իմաստն այնպիսին է, որ վերլուծական երկրաչափության խնդիրներում զուգահեռագծի տարածքը հաճախ հայտնաբերվում է վեկտորային արտադրանքի հայեցակարգի միջոցով.

Մենք ստանում ենք երկրորդ կարևոր բանաձևը. Զուգահեռագծի անկյունագիծը (կարմիր կետագիծ) այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։ Հետևաբար, վեկտորների վրա կառուցված եռանկյունու տարածքը (կարմիր ստվերում) կարելի է գտնել բանաձևով.

4) Ոչ պակաս կարևոր փաստ այն է, որ վեկտորը ուղղահայաց է վեկտորներին, այսինքն. . Իհարկե, հակառակ ուղղված վեկտորը (կարմիր սլաքը) նույնպես ուղղանկյուն է սկզբնական վեկտորներին:

5) Վեկտորն ուղղված է այնպես, որ հիմքԱյն ունի ճիշտկողմնորոշում. Մի դասի մասին անցում դեպի նոր հիմքԵս մանրամասն խոսել եմ դրա մասին հարթության կողմնորոշում, և հիմա մենք կպարզենք, թե որն է տարածության կողմնորոշումը: Ես կբացատրեմ ձեր մատների վրա աջ ձեռք. Հոգեպես միավորել ցուցամատվեկտորով և միջնամատվեկտորով. Մատանի մատը և փոքր մատըսեղմեք ձեր ափի մեջ: Որպես արդյունք բութ մատը - վեկտորային արտադրանքը կանդրադառնա վերև: Սա ճիշտ կողմնորոշված ​​հիմքն է (նկարում է): Այժմ փոխեք վեկտորները ( ցուցամատ և միջին մատներ) տեղ-տեղ, արդյունքում բթամատը կշրջվի, իսկ վեկտորային արտադրյալն արդեն ներքև կնայվի։ Սա նույնպես ճիշտ կողմնորոշված ​​հիմք է։ Երևի ձեզ մոտ հարց է առաջանում՝ ի՞նչ հիմք ունի ձախ կողմնորոշումը։ «Նշանակիր» նույն մատները ձախ ձեռքվեկտորները և ստացեք ձախ հիմքը և ձախ տարածության կողմնորոշումը (այս դեպքում բթամատը կգտնվի ստորին վեկտորի ուղղությամբ). Պատկերավոր ասած՝ այս հիմքերը «ոլորում» կամ կողմնորոշում են տարածությունը տարբեր ուղղություններով։ Եվ այս հայեցակարգը չպետք է համարվի հեռուն կամ վերացական ինչ-որ բան. օրինակ, ամենասովորական հայելին փոխում է տարածության կողմնորոշումը, և եթե դուք «արտացոլված առարկան դուրս հանեք հայելու միջից», ապա ընդհանուր առմամբ հնարավոր չի լինի համադրել այն «բնօրինակի» հետ։ Ի դեպ, երեք մատը մոտեցրեք հայելուն և վերլուծեք արտացոլումը ;-)

... որքան լավ է, որ դուք հիմա գիտեք դրա մասին աջ և ձախ կողմնորոշվածհիմքեր, քանի որ որոշ դասախոսների հայտարարությունները կողմնորոշման փոփոխության մասին սարսափելի են =)

Կոլայն վեկտորների վեկտորային արտադրյալ

Սահմանումը մանրամասն մշակված է, մնում է պարզել, թե ինչ է տեղի ունենում, երբ վեկտորները համագիծ են։ Եթե ​​վեկտորները միաձույլ են, ապա դրանք կարող են տեղադրվել մեկ ուղիղ գծի վրա և մեր զուգահեռագիծը նույնպես «ծալվել» մեկ ուղիղ գծի մեջ։ Նման տարածքը, ինչպես ասում են մաթեմատիկոսները. այլասերվածզուգահեռագիծը զրո է: Նույնը հետևում է բանաձևից՝ զրոյի կամ 180 աստիճանի սինուսը հավասար է զրոյի, ինչը նշանակում է, որ տարածքը զրո է։

Այսպիսով, եթե, ապա և . Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ խաչաձև արտադրյալն ինքնին հավասար է զրոյական վեկտորի, բայց գործնականում դա հաճախ անտեսվում է և գրվում, որ այն նույնպես հավասար է զրոյի:

Հատուկ դեպք է վեկտորի և իր վեկտորի արտադրյալը.

Օգտագործելով խաչաձև արտադրյալը, դուք կարող եք ստուգել եռաչափ վեկտորների համակողմանիությունը, և մենք, ի թիվս այլոց, կվերլուծենք նաև այս խնդիրը:

Գործնական օրինակներ լուծելու համար կարող է անհրաժեշտ լինել եռանկյունաչափական աղյուսակդրանից գտնել սինուսների արժեքները:

Դե, եկեք կրակ վառենք.

Օրինակ 1

ա) Գտե՛ք վեկտորների վեկտորային արտադրյալի երկարությունը, եթե

բ) Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը, եթե

ԼուծումՈչ, սա տառասխալ չէ, ես միտումնավոր նախնական տվյալները դարձրել եմ նույնը: Որովհետև լուծումների դիզայնը տարբեր կլինի։

ա) Ըստ պայմանի՝ պահանջվում է գտնել երկարությունըվեկտոր (վեկտորային արտադրանք): Համապատասխան բանաձևի համաձայն.

Պատասխանել:

Քանի որ հարցվել է երկարության մասին, ապա պատասխանում նշում ենք չափը՝ միավորներ։

բ) Ըստ պայմանի՝ պահանջվում է գտնել քառակուսիվեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագիծ. Այս զուգահեռագծի տարածքը թվայինորեն հավասար է խաչաձև արտադրյալի երկարությանը.

Պատասխանել:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վեկտորային արտադրյալի մասին պատասխանում ընդհանրապես խոսք չկա, մեզ հարցրել են գործչի տարածքը, համապատասխանաբար, չափը քառակուսի միավոր է։

Մենք միշտ նայում ենք, թե ԻՆՉ է պահանջվում գտնել պայմանով, և դրա հիման վրա ձևակերպում ենք պարզպատասխանել. Կարող է տառացիություն թվալ, բայց ուսուցիչների մեջ բավականաչափ բառացիներ կան, և լավ շանսեր ունեցող առաջադրանքը կվերադարձվի վերանայման։ Թեև սա առանձնապես լարված հնարք չէ. եթե պատասխանը սխալ է, ապա տպավորություն է ստեղծվում, որ մարդը չի հասկանում պարզ բաները և/կամ չի հասկացել առաջադրանքի էությունը: Այս պահը միշտ պետք է վերահսկողության տակ պահել՝ լուծելով ցանկացած խնդիր բարձրագույն մաթեմատիկայից, ինչպես նաև այլ առարկաներից։

Ո՞ւր գնաց մեծ «en» տառը: Սկզբունքորեն, դա կարող էր լրացուցիչ կառչել լուծմանը, բայց ռեկորդը կրճատելու համար ես չարեցի: Հուսով եմ, որ բոլորը դա հասկանում են և նույն բանի նշանակումն է։

Ինքնուրույն լուծման հանրաճանաչ օրինակ.

Օրինակ 2

Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված եռանկյան մակերեսը, եթե

Վեկտորային արտադրանքի միջոցով եռանկյունի տարածքը գտնելու բանաձևը տրված է սահմանման մեկնաբանություններում: Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։

Գործնականում խնդիրն իսկապես շատ տարածված է, եռանկյունները հիմնականում կարող են խոշտանգվել:

Այլ խնդիրներ լուծելու համար մեզ անհրաժեշտ է.

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի հատկությունները

Մենք արդեն դիտարկել ենք վեկտորային արտադրանքի որոշ հատկություններ, այնուամենայնիվ, ես դրանք կներառեմ այս ցանկում:

Կամայական վեկտորների և կամայական թվերի համար ճշմարիտ են հետևյալ հատկությունները.

1) Տեղեկատվության այլ աղբյուրներում այս նյութը սովորաբար չի առանձնանում հատկություններով, բայց գործնական առումով շատ կարևոր է: Ուրեմն թող լինի։

2) - վերևում խոսվում է նաև գույքի մասին, երբեմն կոչվում է հակակոմուտատիվություն. Այսինքն՝ վեկտորների հերթականությունը նշանակություն ունի։

3) - համադրություն կամ ասոցիատիվվեկտորի արտադրանքի օրենքները. Հաստատունները հեշտությամբ դուրս են բերվում վեկտորի արտադրյալի սահմաններից։ Իսկապես, ի՞նչ են անում այնտեղ։

4) - բաշխում կամ բաշխումվեկտորի արտադրանքի օրենքները. Փակագծերի բացման հետ կապված նույնպես խնդիրներ չկան։

Որպես ցուցադրություն, հաշվի առեք մի կարճ օրինակ.

Օրինակ 3

Գտեք, եթե

Լուծում:Ըստ պայմանի, կրկին պահանջվում է գտնել վեկտորի արտադրյալի երկարությունը։ Եկեք նկարենք մեր մանրանկարչությունը.

(1) Ասոցիատիվ օրենքների համաձայն՝ մենք հաստատունները հանում ենք վեկտորի արտադրյալի սահմաններից դուրս։

(2) Մենք մոդուլից հանում ենք հաստատունը, մինչդեռ մոդուլը «ուտում է» մինուս նշանը։ Երկարությունը չի կարող բացասական լինել:

(3) Հետևյալը պարզ է.

Պատասխանել:

Ժամանակն է կրակի վրա փայտ նետելու.

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք վեկտորների վրա կառուցված եռանկյան մակերեսը, եթե

ԼուծումԳտեք եռանկյան մակերեսը բանաձևով . Խնդիրն այն է, որ «ce» և «te» վեկտորներն իրենք ներկայացված են որպես վեկտորների գումարներ: Այստեղ ալգորիթմը ստանդարտ է և ինչ-որ չափով հիշեցնում է դասի թիվ 3 և 4 օրինակները։ Վեկտորների կետային արտադրյալ. Պարզության համար եկեք բաժանենք այն երեք քայլի.

1) Առաջին քայլում վեկտորային արտադրյալն արտահայտում ենք վեկտորային արտադրյալի միջոցով, փաստորեն. վեկտորն արտահայտել վեկտորի առումով. Երկարության մասին դեռ ոչինչ չկա:

(1) Մենք փոխարինում ենք վեկտորների արտահայտությունները:

(2) Բաշխիչ օրենքների օգնությամբ բացում ենք փակագծերը՝ ըստ բազմանդամների բազմապատկման կանոնի։

(3) Օգտագործելով ասոցիատիվ օրենքները, մենք հանում ենք բոլոր հաստատունները վեկտորային արտադրյալներից դուրս: Փոքր փորձի դեպքում 2-րդ և 3-րդ գործողությունները կարող են կատարվել միաժամանակ:

(4) Առաջին և վերջին անդամները հավասար են զրոյի (զրոյական վեկտոր)՝ շնորհիվ հաճելի հատկության: Երկրորդ տերմինում մենք օգտագործում ենք վեկտորային արտադրանքի հակակոմուտացիոն հատկությունը.

(5) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ:

Արդյունքում, վեկտորը պարզվեց, որ արտահայտվում է վեկտորի միջոցով, որն այն էր, ինչ պահանջվում էր հասնել.

2) Երկրորդ քայլում մենք գտնում ենք մեզ անհրաժեշտ վեկտորի արտադրյալի երկարությունը: Այս գործողությունը նման է Օրինակ 3-ին.

3) Գտեք պահանջվող եռանկյունու մակերեսը.

Լուծման 2-3 քայլերը կարելի է դասավորել մեկ տողում:

Պատասխանել:

Դիտարկվող խնդիրը բավականին տարածված է վերահսկողական աշխատանք, ահա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ.

Օրինակ 5

Գտեք, եթե

Կարճ լուծում և պատասխան դասի վերջում. Տեսնենք, թե որքան ուշադիր էիք նախորդ օրինակներն ուսումնասիրելիս ;-)

Վեկտորների խաչաձև արտադրյալ կոորդինատներում

տրված օրթոնորմալ հիմունքներով, արտահայտվում է բանաձևով:

Բանաձևն իսկապես պարզ է՝ որոշիչի վերին տողում գրում ենք կոորդինատների վեկտորները, երկրորդ և երրորդ տողերում «փաթեթավորում» ենք վեկտորների կոորդինատները և դնում ենք. խիստ կարգով- նախ՝ «ve» վեկտորի կոորդինատները, ապա «կրկնակի-վե» վեկտորի կոորդինատները։ Եթե ​​վեկտորները պետք է բազմապատկվեն այլ հերթականությամբ, ապա տողերը նույնպես պետք է փոխանակվեն.

Օրինակ 10

Ստուգեք՝ արդյոք հետևյալ տիեզերական վեկտորները համագիծ են.
ա)
բ)

ԼուծումԹեստը հիմնված է այս դասի պնդումներից մեկի վրա. եթե վեկտորները համագիծ են, ապա դրանց խաչաձև արտադրյալը զրո է (զրոյական վեկտոր). .

ա) Գտեք վեկտորի արտադրյալը.

Այսպիսով, վեկտորները համակողմանի չեն:

բ) Գտեք վեկտորի արտադրյալը.

Պատասխանելա) ոչ համագիծ, բ)

Այստեղ է, հավանաբար, բոլոր հիմնական տեղեկությունները վեկտորների վեկտորային արտադրյալի մասին։

Այս բաժինը շատ մեծ չի լինի, քանի որ քիչ խնդիրներ կան, որտեղ օգտագործվում է վեկտորների խառը արտադրյալը: Փաստորեն, ամեն ինչ կախված կլինի սահմանման, երկրաչափական իմաստի և մի երկու աշխատանքային բանաձևերի վրա։

Վեկտորների խառը արտադրյալը երեք վեկտորի արտադրյալն է:

Ահա թե ինչպես են գնացքի պես շարվել ու սպասում, չեն կարող սպասել, մինչև հաշվարկվեն։

Նախ կրկին սահմանումը և պատկերը.

ՍահմանումԽառը արտադրանք ոչ համաչափվեկտորներ, վերցված այս կարգով, կոչվում է զուգահեռականի ծավալը, կառուցված այս վեկտորների վրա, հագեցած «+» նշանով, եթե հիմքը ճիշտ է, և «-» նշանով, եթե հիմքը մնացել է։

Եկեք նկարենք: Մեզ համար անտեսանելի գծերը գծվում են կետագծով.

Եկեք խորանանք սահմանման մեջ.

2) վերցված վեկտորներ որոշակի կարգով, այսինքն՝ արտադրյալում վեկտորների փոխարկումը, ինչպես կարող եք կռահել, անհետևանք չի անցնում։

3) Նախքան երկրաչափական իմաստը մեկնաբանելը, նշեմ ակնհայտ փաստը. վեկտորների խառը արտադրյալը ԹԻՎ է: Ուսումնական գրականության մեջ դիզայնը կարող է փոքր-ինչ տարբեր լինել, ես օգտագործում էի խառը արտադրանքը նշանակում, իսկ հաշվարկների արդյունքը «պե» տառով:

Ըստ սահմանման խառը արդյունքը զուգահեռականի ծավալն է, կառուցված վեկտորների վրա (նկարը գծված է կարմիր վեկտորներով և սև գծերով)։ Այսինքն՝ թիվը հավասար է տվյալ զուգահեռականի ծավալին։

Նշում Նկարը սխեմատիկ է:

4) Եկեք նորից չանհանգստանանք հիմքի և տարածության կողմնորոշման հայեցակարգով։ Վերջնական մասի իմաստն այն է, որ ծավալին կարելի է մինուս նշան ավելացնել։ Պարզ ասած, խառը արտադրանքը կարող է բացասական լինել.

Վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալը հաշվարկելու բանաձևը ուղղակիորեն բխում է սահմանումից:

Սահմանում. Վեկտորի a և b վեկտորի վեկտորի արտադրյալը վեկտոր է, որը նշվում է [«, b] (կամ l x b) նշանով, այնպես, որ 1) վեկտորի երկարությունը [a, b] հավասար է (p, որտեղ y-ն է. a և b վեկտորների միջև անկյունը (31); 2) [a, b) վեկտորը ուղղահայաց է a և b վեկտորներին, այսինքն. այս վեկտորների հարթությանը ուղղահայաց; 3) [a, b] վեկտորն ուղղված է այնպես, որ այս վեկտորի վերջից երևում է, որ ամենակարճ պտույտը a-ից b է կատարվում ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (նկ. 32): Բրինձ. 32 Նկ.31 Այլ կերպ ասած, a, b և [а, b) վեկտորները կազմում են վեկտորների աջ եռյակը, այսինքն. գտնվում է աջ ձեռքի բթամատի, ցուցամատի և միջնամատի նման: Եթե ​​a և b վեկտորները համագիծ են, ապա կենթադրենք, որ [a, b] = 0: Ըստ սահմանման, վեկտորի արտադրյալի երկարությունը թվայինորեն հավասար է բազմապատկված վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի Sa մակերեսին (նկ. 33): a և b, ինչպես կողքերում. 6.1. Վեկտորային արտադրյալի հատկությունները 1. Վեկտորային արտադրյալը հավասար է զրոյական վեկտորի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե բազմապատկված վեկտորներից առնվազն մեկը զրո է կամ երբ այս վեկտորները համագիծ են (եթե a և b վեկտորները համագիծ են, ապա նրանց միջև եղած անկյունը 0 կամ 7r է): Սա հեշտ է ստանալ այն փաստից, որ եթե զրոյական վեկտորը կոլինսարը դիտարկենք որևէ վեկտորի նկատմամբ, ապա a և b վեկտորների համակցվածության պայմանը կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ. Վեկտորային արտադրյալը հակակոմուտատիվ է, այսինքն՝ միշտ: Իրոք, վեկտորները (a, b) և ունեն նույն երկարությունը և համագիծ են: Այս վեկտորների ուղղությունները հակադիր են, քանի որ [a, b] վեկտորի վերջից երևում է ամենակարճ պտույտը a-ից դեպի b, որը տեղի է ունենում ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, իսկ վեկտորի վերջից [b, a]՝ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (Նկար 10): 34): 3. Վեկտորային արտադրյալն ունի բաշխիչ հատկություն գումարման նկատմամբ 4. Ա թվային գործակիցը կարելի է հանել վեկտորի արտադրյալի նշանից 6.2. Վեկտորների վեկտորային արտադրյալ, տրված կոորդինատները Թող a և b վեկտորները տրվեն հիմքում իրենց կոորդինատներով: Օգտագործելով վեկտորի արտադրյալի բաշխման հատկությունը՝ մենք գտնում ենք կոորդինատներով տրված վեկտորների վեկտորային արտադրյալը։ Խառը աշխատանք. Դուրս գրենք կոորդինատային օրթերի վեկտորային արտադրյալները (նկ. 35). Հետևաբար, a և b վեկտորների վեկտորների արտադրյալի համար (3) բանաձևից ստանում ենք հետևյալ որոշիչ արտահայտությունը 1-ին շարքի տարրերի նկատմամբ, ստանում ենք (. 4). Օրինակներ. 1. Գտեք վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի տարածքը: Պահանջվող տարածքը Հետևաբար գտնում ենք = որտեղից 2. Գտեք եռանկյան մակերեսը (նկ. 36): Հասկանալի է, որ ԲԲԸ եռանկյան b "d մակերեսը հավասար է O AC B զուգահեռագծի S տարածքի կեսին: Վեկտորային արտադրյալի հաշվարկը (a, b | վեկտորների a \u003d OA և b \u003d b \u003d ob): ), ստանում ենք (a, b), c) = [a, |b, c)) ընդհանուր դեպքում ճիշտ չէ:Օրինակ a = ss j-ի համար ունենք § 7. Վեկտորների խառը արտադրյալ Թող ունենանք. երեք a, b և c վեկտորները բազմապատկեք a և 1> վեկտորները վեկտորականորեն, արդյունքում ստացվում է [a, 1>] վեկտորը, այն մասշտաբային բազմապատկում ենք c վեկտորով. (k b), c թիվը ( [a, b], e) կոչվում է a, b.c վեկտորների խառը արտադրյալ և նշանակվում է (a, 1), e նշանով 7.1 Խառը արտադրյալի երկրաչափական նշանակությունը Մի կողմ դնենք. a, b վեկտորները և O ընդհանուր կետից (նկ. 37): Եթե բոլոր չորս կետերը O, A, B, C գտնվում են նույն հարթության մեջ ( a, b և c վեկտորները այս դեպքում կոչվում են համահավասար), ապա խառը արտադրյալ ([a, b], c) = 0: Սա բխում է այն փաստից, որ վեկտորը [a, b|-ն ուղղահայաց է այն հարթությանը, որում գտնվում են a և 1 վեկտորները», և, հետևաբար, վեկտորը c. / Եթե t O, A, B, C կետերը չեն գտնվում նույն հարթության վրա (a, b և c վեկտորները ոչ համահունչ են), մենք զուգահեռաբար կկառուցենք OA, OB և OS եզրերին (նկ. 38 ա). Խաչաձև արտադրյալի սահմանմամբ մենք ունենք (a,b) = So c, որտեղ So է OADB զուգահեռագծի տարածքը, իսկ c-ն միավոր վեկտոր է, որը ուղղահայաց է a և b վեկտորներին և այնպիսին, որ եռակի a , բ, գ ճիշտ է, այսինքն. a, b և c վեկտորները գտնվում են համապատասխանաբար որպես աջ ձեռքի բթամատ, ցուցամատ և միջին մատներ (նկ. 38 բ): Աջ սկալարի վերջին հավասարության երկու մասերը բազմապատկելով c վեկտորով, մենք ստանում ենք, որ վեկտորների վեկտորների արտադրյալը տրված է կոորդինատներով: Խառը աշխատանք. rc c թիվը հավասար է կառուցված զուգահեռականի h բարձրությանը, որը վերցված է «+» նշանով, եթե c և c վեկտորների միջև անկյունը սուր է (եռակի a, b, c ճիշտ է), և «+» նշանով: -», եթե անկյունը բութ է (եռակի a, b, c - ձախ), այնպես որ, այսպիսով, a, b և c վեկտորների խառը արտադրյալը հավասար է այս վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի V ծավալին, ինչպես եզրերի վրա: եթե a, b, c եռապատիկը ճիշտ է, և -V, եթե a , b, c եռապատիկը ձախ է: Ելնելով խառը արտադրյալի երկրաչափական նշանակությունից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ նույն a, b և c վեկտորները ցանկացած այլ կարգով բազմապատկելով՝ միշտ կստանանք կամ +7 կամ -K: նշանը պրո- Նկ. 38 հղումը կախված կլինի միայն նրանից, թե որ եռյակը կձևավորվի բազմապատկված վեկտորները՝ աջ թե ձախ: Եթե ​​a, b, c վեկտորները կազմում են ճիշտ եռյակ, ապա b, c, a և c, a, b եռյակները նույնպես ճիշտ կլինեն։ Միևնույն ժամանակ, բոլոր երեք եռյակները b, a, c; ա, գ, բ և գ, բ, ա - ձախ. Այսպիսով, (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b , ա). Եվս մեկ անգամ շեշտում ենք, որ վեկտորների խառը արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե բազմապատկված a, b, c վեկտորները համահավասար են. Խառը արտադրյալ կոորդինատներում Թող a, b, c վեկտորները տրվեն իրենց կոորդինատներով i, j, k հիմքում. a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c. = (x3, uz, 23): Գտնենք արտահայտություն նրանց խառը արտադրյալի համար (a, b, c): Մենք ունենք վեկտորների խառը արտադրյալ, որը տրված է i, J, k հիմքում իրենց կոորդինատներով, որը հավասար է երրորդ կարգի որոշիչին, որի ուղիղները կազմված են, համապատասխանաբար, բազմապատկվածի առաջին, երկրորդ և երրորդի կոորդինատներից։ վեկտորներ. a y\, Z|), b = (xx, y2.22), c = (x3, uz, 23) վեկտորների համադրելիության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը կարելի է գրել հետևյալ ձևով. z, ar2 y2 -2 =0. Ուզ օրինակ. Ստուգեք, արդյոք v = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) վեկտորները համահարթակ են: Դիտարկվող վեկտորները կլինեն համահավասար, թե ոչ համահավասար՝ կախված նրանից, թե որոշիչը հավասար է զրոյի, թե ոչ: Այն ընդլայնելով առաջին շարքի տարրերով, ստանում ենք. 7.3. Կրկնակի խաչաձև արտադրյալ Կրկնակի խաչաձև արտադրյալը [a, [b, c]] վեկտոր է a և [b, c] վեկտորներին ուղղահայաց։ Հետևաբար, այն գտնվում է b և c վեկտորների հարթությունում և կարող է ընդլայնվել այս վեկտորներում: Կարելի է ցույց տալ, որ [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) բանաձեւը վավեր է։ Վարժություններ 1. Երեք վեկտոր AB = c, W? = o և CA = b ծառայում են որպես եռանկյան կողմեր: Արտահայտե՛ք a, b և c չափերով վեկտորները, որոնք համընկնում են եռանկյան AM, DN, CP միջնորների հետ: 2. Ի՞նչ պայման պետք է կապել p և q վեկտորների միջև, որպեսզի p + q վեկտորը կիսի նրանց միջև եղած անկյունը: Ենթադրվում է, որ բոլոր երեք վեկտորները կապված են ընդհանուր ծագման հետ: 3. Հաշվե՛ք a = 5p + 2q և b = p - 3q վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի անկյունագծերի երկարությունը, եթե հայտնի է, որ |p| = 2v/2, |ք| = 3 H-(p7ci) = f. 4. a և b-ով նշելով ռոմբի ընդհանուր գագաթից դուրս եկող կողմերը, ապացուցեք, որ ռոմբի անկյունագծերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են: 5. Հաշվե՛ք a = 4i + 7j + 3k և b = 31 - 5j + k վեկտորների կետային արտադրյալը: 6. Գտե՛ք a = (6, 7, -6) վեկտորին զուգահեռ a0 միավոր վեկտորը: 7. Գտե՛ք a = l+ j- kHa վեկտորի պրոյեկցիան b = 21 - j - 3k: 8. Գտե՛ք վեկտորների միջև անկյան կոսինուսը IS «w, եթե A (-4.0.4), B (-1.6.7), C (1.10.9): 9. Գտե՛ք p° միավոր վեկտորը, որը միաժամանակ ուղղահայաց է a = (3, 6, 8) վեկտորին և x առանցքին: 10. Հաշվի՛ր a = 2i+J-k, b=i-3j + k վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի անկյունագծերի միջև ընկած անկյան սինուսը, ինչպես կողմերի վրա։ Հաշվե՛ք a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի h բարձրությունը, եթե որպես հիմք ընդունված է a և I վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագիծը։ Պատասխանները

7.1. Խաչի արտադրանքի սահմանում

Երեք ոչ միակողմանի վեկտորներ a , b և c, վերցված նշված հերթականությամբ, կազմում են աջ եռապատիկ, եթե երրորդ վեկտորի վերջից c առաջին վեկտորից դեպի երկրորդ վեկտոր b ամենակարճ պտույտը երևում է հակառակ ուղղությամբ, և ձախը, եթե ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (տես նկ. 16):

Վեկտորի a և b վեկտորի վեկտորային արտադրյալը կոչվում է c վեկտոր, որը.

1. a և b վեկտորներին ուղղահայաց, այսինքն՝ c ^ a և c ^ բ;

2. Այն ունի երկարություն, որը թվայինորեն հավասար է a և վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսինբինչպես կողքերում (տես նկ. 17), այսինքն.

3. a , b և c վեկտորները կազմում են աջ եռապատիկ:

Վեկտորային արտադրյալը նշվում է a x b կամ [a,b]: Վեկտորային արտադրյալի սահմանումից ուղղակիորեն հետևում եմ հետևյալ փոխհարաբերություններին. ժև կ(տես նկ. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Փաստենք, օրինակ, որ i xj \u003d k.

1) կ ^ ի , կ ^ ժ;

2) |կ |=1, բայց | ես x ժ| = |i | |Ժ| մեղք (90°)=1;

3) վեկտորները i , j և կկազմել աջ եռյակ (տես նկ. 16):

7.2. Խաչի արտադրանքի հատկությունները

1. Երբ գործոնները վերադասավորվում են, վեկտորային արտադրյալը փոխում է նշանը, այսինքն. և xb \u003d (b xa) (տես նկ. 19):

a xb և b xa վեկտորները միաձույլ են, ունեն նույն մոդուլները (զուգահեռագծի տարածքը մնում է անփոփոխ), բայց հակառակ ուղղված են (եռապատիկ a, b, a xb և a, b, b x a հակառակ կողմնորոշման): Այն է աքսբ = -(bxa).

2. Վեկտորային արտադրյալը համակցված հատկություն ունի սկալյար գործոնի նկատմամբ, այսինքն՝ l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b):

Թող l >0: L վեկտորը (a xb) ուղղահայաց է a և b վեկտորներին: Վեկտոր ( լկացին բուղղահայաց է նաև a և վեկտորներին բ(վեկտորներ ա, լբայց պառկեք նույն հարթության մեջ): Այսպիսով, վեկտորները լ(a xb) և ( լկացին բհամագիծ. Ակնհայտ է, որ նրանց ուղղությունները համընկնում են։ Նրանք ունեն նույն երկարությունը.

Ահա թե ինչու լ(a xb)= լ a xb. Նմանապես ապացուցված է լ<0.

3. Երկու ոչ զրոյական վեկտոր ա և բհամագիծ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանց վեկտորային արտադրյալը հավասար է զրոյական վեկտորին, այսինքն, և ||b<=>և xb \u003d 0.

Մասնավորապես, i *i =j *j =k *k =0:

4. Վեկտորային արտադրյալն ունի բաշխման հատկություն.

(ա+բ) xs = a xs + բ xs .

Ընդունեք առանց ապացույցների:

7.3. Խաչաձև արտադրանքի արտահայտություն կոորդինատների առումով

Մենք կօգտագործենք վեկտորային խաչաձև արտադրական աղյուսակ i , ժև k :

եթե առաջին վեկտորից դեպի երկրորդ ամենակարճ ճանապարհի ուղղությունը համընկնում է սլաքի ուղղության հետ, ապա արտադրյալը հավասար է երրորդ վեկտորին, եթե այն չի համընկնում, երրորդ վեկտորը վերցվում է մինուս նշանով։

Թող երկու վեկտոր a =a x i +a y ժ+ազ կև b=bx ես+ կողմից ժ+bz կ. Գտնենք այս վեկտորների վեկտորային արտադրյալը՝ դրանք բազմապատկելով որպես բազմանդամներ (ըստ վեկտորային արտադրյալի հատկությունների).

Ստացված բանաձևը կարելի է ավելի կարճ գրել.

քանի որ հավասարության աջ կողմը (7.1) համապատասխանում է երրորդ կարգի որոշիչի ընդլայնմանը առաջին շարքի տարրերի առումով Հավասարությունը (7.2) հեշտ է հիշել:

7.4. Խաչի արտադրանքի որոշ կիրառություններ

Վեկտորների համակողմանիության հաստատում

Գտեք զուգահեռագծի և եռանկյունու մակերեսը

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի սահմանման համաձայն աև բ |ա xb | =|ա | * |b |sin g , այսինքն S par = |a x b |. Եվ, հետևաբար, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Մի կետի նկատմամբ ուժի պահի որոշում

Թող ուժ կիրառվի Ա կետում F = ABթող գնա Օ- տարածության ինչ-որ կետ (տես նկ. 20):

Ֆիզիկայից հայտնի է, որ ոլորող մոմենտ Ֆ կետի համեմատ Օկոչվում է վեկտոր Մ ,որն անցնում է կետով Օև.

1) կետերով անցնող հարթությանը ուղղահայաց O, A, B;

2) թվայինորեն հավասար է ուժի և թևի արտադրյալին

3) OA և A B վեկտորներով կազմում է աջ եռյակ:

Հետևաբար, M \u003d OA x F.

Գտեք պտտման գծային արագությունը

Արագություն vԱնկյունային արագությամբ պտտվող կոշտ մարմնի M կետը wֆիքսված առանցքի շուրջը որոշվում է Էյլերի բանաձևով v \u003d w x r, որտեղ r \u003d OM, որտեղ O-ն առանցքի որոշ ֆիքսված կետ է (տես Նկար 21):

ԵՐԵՔ ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ ԵՎ ՆՐԱ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԽԱՌՆ ԱՐՏԱԴՐԱՆՔ

խառը արտադրանքերեք վեկտոր կոչվում է այն թիվը, որը հավասար է . Նշվում է . Այստեղ առաջին երկու վեկտորները բազմապատկվում են վեկտորորեն, իսկ հետո ստացված վեկտորը սկալյար կերպով բազմապատկվում է երրորդ վեկտորով: Ակնհայտ է, որ նման ապրանքը որոշակի թիվ է:

Դիտարկենք խառը արտադրանքի հատկությունները:

1. երկրաչափական իմաստխառը արտադրանք. 3 վեկտորի խառը արտադրյալը, մինչև նշանը, հավասար է այս վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալին, ինչպես եզրերի վրա, այսինքն. .

   Այսպիսով, և .

   

   Ապացույց. Եկեք հետաձգենք ընդհանուր ծագման վեկտորները և դրանց վրա կառուցենք զուգահեռականություն։ Նշենք և նշենք, որ. Սկալյար արտադրանքի սահմանմամբ

   Ենթադրելով դա և նշելով միջոցով հզուգահեռականի բարձրությունը, մենք գտնում ենք.

   Այսպիսով, ժամը

   Եթե ​​, ապա եւ . Հետևաբար, .

   Այս երկու դեպքերն էլ համադրելով՝ ստանում ենք կամ .

   Այս հատկության ապացույցից, մասնավորապես, հետևում է, որ եթե վեկտորների եռապատիկը ճիշտ է, ապա խառը արտադրյալը, իսկ եթե այն մնացել է, ապա .

2. Ցանկացած վեկտորների համար , հավասարությունը

   Այս հատկության ապացույցը բխում է սեփականությունից 1. Իրոք, հեշտ է ցույց տալ, որ և . Ընդ որում, «+» և «-» նշանները վերցվում են միաժամանակ, քանի որ վեկտորների և և և-ի միջև անկյունները երկուսն էլ սուր են կամ բութ:

3. Երբ ցանկացած երկու գործոն փոխվում է, խառը արտադրանքը փոխում է նշանը:

   Իսկապես, եթե հաշվի առնենք խառը արտադրանքը, ապա, օրինակ, կամ

4. Խառը արտադրյալ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ գործոններից մեկը հավասար է զրոյի կամ վեկտորները համահարթակ են:

   Ապացույց.

   Այսպիսով, 3 վեկտորների համադրելիության անհրաժեշտ և բավարար պայման է նրանց խառը արտադրյալի հավասարությունը զրոյին։ Բացի այդ, սրանից հետևում է, որ երեք վեկտորները հիմք են կազմում տարածության մեջ, եթե .

   Եթե ​​վեկտորները տրված են կոորդինատային ձևով, ապա կարելի է ցույց տալ, որ դրանց խառը արտադրյալը գտնվել է բանաձևով.

   .

   Այսպիսով, խառը արտադրյալը հավասար է երրորդ կարգի որոշիչի, որի առաջին տողը պարունակում է առաջին վեկտորի կոորդինատները, երկրորդ տողը պարունակում է երկրորդ վեկտորի կոորդինատները, իսկ երրորդ տողը պարունակում է երրորդ վեկտորի կոորդինատները։

   Օրինակներ.

ՎԵՐԼՈՒԾԱԿԱՆ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆԸ ՏԻԵԶԵՐՈՒԹՅԱՆ ՄԵՋ

Հավասարումը F (x, y, z)= 0-ը սահմանում է տարածության մեջ Օքսիզորոշ մակերես, այսինքն. կետերի վայր, որոնց կոորդինատները x, y, zբավարարել այս հավասարումը. Այս հավասարումը կոչվում է մակերեսային հավասարում և x, y, z- ընթացիկ կոորդինատները:

Այնուամենայնիվ, հաճախ մակերեսը սահմանվում է ոչ թե հավասարմամբ, այլ որպես տարածության կետերի մի շարք, որոնք ունեն այս կամ այն ​​հատկությունը: Այս դեպքում պահանջվում է գտնել մակերեսի հավասարումը` ելնելով նրա երկրաչափական հատկություններից:

ԻՆՔՆԱԹԻՌ.

ՆՈՐՄԱԼ ՊԼԱՆԻ ՎԵԿՏՈՐ.

ՏՐՎԱԾ ԿԵՏՈՎ ԱՆՑՆՈՂ ԻՆՔՆԱԹԻՐԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ

Դիտարկենք կամայական σ հարթություն տարածության մեջ: Նրա դիրքը որոշվում է այս հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր և որոշ ֆիքսված կետ դնելով M0(x0, y 0, z0) ինքնաթիռում պառկած σ.

Ս հարթությանը ուղղահայաց վեկտորը կոչվում է նորմալայս հարթության վեկտորը: Թող վեկտորն ունենա կոորդինատներ:

Ստացվում է տվյալ կետով անցնող σ հարթության հավասարումը M0և ունենալով նորմալ վեկտոր: Դա անելու համար կամայական կետ վերցրեք σ հարթության վրա M(x, y, z)և հաշվի առեք վեկտորը:

Ցանկացած կետի համար ՄÎ σ վեկտոր։Ուստի նրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի։ Այս հավասարությունը պայմանն է, որ կետը ՄՕ ս. Այն գործում է այս հարթության բոլոր կետերի համար և խախտվում է հենց կետը Մկլինի ինքնաթիռից դուրս σ.

Եթե ​​շառավղով վեկտորով նշենք կետերը Մ, կետի շառավիղի վեկտորն է M0, ապա հավասարումը կարելի է գրել այսպես

Այս հավասարումը կոչվում է վեկտորհարթության հավասարումը. Գրենք կոորդինատային տեսքով։ Այդ ժամանակվանից

Այսպիսով, մենք ստացել ենք տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը։ Այսպիսով, հարթության հավասարումը կազմելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նորմալ վեկտորի կոորդինատները և հարթության վրա ընկած ինչ-որ կետի կոորդինատները։

Նշենք, որ հարթության հավասարումը 1-ին աստիճանի հավասարում է ընթացիկ կոորդինատների նկատմամբ. x, yև զ.

Օրինակներ.

ԻՆՔՆԱԹԻՐԻ ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ

Կարելի է ցույց տալ, որ առաջին աստիճանի ցանկացած հավասարում դեկարտյան կոորդինատների նկատմամբ x, y, zինչ-որ հարթության հավասարում է: Այս հավասարումը գրված է այսպես.

Axe+By+Cz+D=0

և կանչեց ընդհանուր հավասարումհարթությունը և կոորդինատները A, B, Cահա հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները.

Դիտարկենք ընդհանուր հավասարման առանձին դեպքեր: Եկեք պարզենք, թե ինչպես է հարթությունը գտնվում կոորդինատային համակարգի համեմատ, եթե հավասարման մեկ կամ մի քանի գործակիցներ անհետանում են:

A-ն առանցքի վրա հարթության կողմից կտրված հատվածի երկարությունն է Եզ. Նմանապես, կարելի է դա ցույց տալ բև գառանցքների վրա դիտարկված հարթությամբ կտրված հատվածների երկարություններն են Օյև Օզ.

Հարմար է հարթությունների կառուցման համար օգտագործել հարթության հավասարումը հատվածներում։