Տուփի վեկտորների բարձրությունը: Վեկտորների խաչաձև արտադրյալ

Դիտարկենք վեկտորների արտադրյալը, և , կազմված է հետևյալ կերպ.
. Այստեղ առաջին երկու վեկտորները բազմապատկվում են վեկտորականորեն, և դրանց արդյունքը սանդղակով բազմապատկվում է երրորդ վեկտորով։ Նման արտադրյալը կոչվում է երեք վեկտորների վեկտորային սկալյար կամ խառը արտադրյալ։ խառը արտադրանքինչ-որ թիվ է:

Եկեք պարզենք արտահայտության երկրաչափական իմաստը
.

Թեորեմ . Երեք վեկտորների խառը արտադրյալը հավասար է այս վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալին, որը վերցված է գումարած նշանով, եթե այս վեկտորները կազմում են աջ եռապատիկ, և մինուս նշանով, եթե ձախ եռապատիկ են կազմում։

Ապացույց..Մենք կառուցում ենք զուգահեռաբարձ, որի եզրերը վեկտորներն են , , և վեկտոր
.

Մենք ունենք:
,
, որտեղ - վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի տարածքը և ,
վեկտորների ճիշտ եռակի համար և
ձախի համար, որտեղ
զուգահեռականի բարձրությունն է։ Մենք ստանում ենք.
, այսինքն.
, որտեղ - վեկտորների կողմից ձևավորված զուգահեռականի ծավալը , և .

Արտադրանքի խառը հատկություններ

1. Խառը արտադրանքը չի փոխվում, երբ ցիկլայինդրա գործոնների փոխակերպումը, այսինքն. .

Իսկապես, այս դեպքում չի փոխվում ոչ զուգահեռի ծավալը, ոչ էլ նրա եզրերի կողմնորոշումը։

2. Խառը արտադրյալը չի փոխվում, երբ հակադարձվում են վեկտորային և սկալյար բազմապատկման նշանները, այսինքն.
.

Իսկապես,
և
. Մենք վերցնում ենք նույն նշանը այս հավասարումների աջ կողմում, քանի որ վեկտորների եռապատիկները , , և , , - մեկ կողմնորոշում.

հետևաբար,
. Սա թույլ է տալիս գրել վեկտորների խառը արտադրյալը
ինչպես
առանց վեկտորի նշանների, սկալյար բազմապատկման։

3. Խառը արտադրյալը փոխում է նշանը, երբ ցանկացած երկու գործոն վեկտոր փոխում են տեղերը, այսինքն.
,
,
.

Իրոք, նման փոխարկումը համարժեք է վեկտորային արտադրյալի գործոնների փոխակերպմանը, որը փոխում է արտադրյալի նշանը։

4. Ոչ զրոյական վեկտորների խառը արտադրանք , և զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ դրանք համահունչ են:

2.12. Խառը արտադրանքի հաշվարկը կոորդինատային ձևով օրթոնորմալ հիմունքներով

Թող վեկտորները
,
,
. Եկեք գտնենք նրանց խառը արտադրյալը՝ օգտագործելով վեկտորի և սկալյար արտադրյալների կոորդինատների արտահայտությունները.

. (10)

Ստացված բանաձևը կարելի է ավելի կարճ գրել.

քանի որ (10) հավասարության աջ կողմը երրորդ կարգի որոշիչի ընդլայնումն է երրորդ շարքի տարրերի առումով։

Այսպիսով, վեկտորների խառը արտադրյալը հավասար է երրորդ կարգի որոշիչին, որը կազմված է բազմապատկված վեկտորների կոորդինատներից։

2.13 Խառը արտադրանքի որոշ կիրառություններ

Տիեզերքում վեկտորների հարաբերական կողմնորոշման որոշում

Վեկտորների հարաբերական կողմնորոշման որոշում , և հիմնվելով հետևյալ նկատառումների վրա. Եթե
, ապա , , - ճիշտ երեք եթե
, ապա , , - թողեց երեքը:

Համատեղելիության պայման վեկտորների համար

Վեկտորներ , և հավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց խառը արտադրյալը զրո է (
,
,
):

վեկտորներ , , համակողմանի.

Զուգահեռաբարի և եռանկյուն բուրգի ծավալների որոշում

Հեշտ է ցույց տալ, որ վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալը , և հաշվարկվում է որպես
, և նույն վեկտորների վրա կառուցված եռանկյուն բուրգի ծավալը հավասար է
.

Օրինակ 1Ապացուցեք, որ վեկտորները
,
,
համակողմանի.

Լուծում.Գտնենք այս վեկտորների խառը արտադրյալը՝ օգտագործելով բանաձևը.

Սա նշանակում է, որ վեկտորները
համակողմանի.

Օրինակ 2Հաշվի առնելով քառաեդրոնի գագաթները. (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3): Գտի՛ր գագաթից իջած նրա բարձրության երկարությունը .

Լուծում.Եկեք նախ գտնենք քառանիստի ծավալը
. Բանաձևի համաձայն մենք ստանում ենք.

Քանի որ որոշիչը բացասական թիվ է, այս դեպքում բանաձևից առաջ անհրաժեշտ է վերցնել մինուս նշան: հետևաբար,
.

Ցանկալի արժեքը հորոշեք բանաձևից
, որտեղ Ս - բազայի տարածքը. Եկեք որոշենք տարածքը Ս:

որտեղ

Քանի որ

Փոխարինելով բանաձևի մեջ
արժեքներ
և
, ստանում ենք հ= 3.

Օրինակ 3Արդյո՞ք ձևավորվում են վեկտորներ
հիմքը տիեզերքում? Քայքայել վեկտորը
վեկտորների հիման վրա.

Լուծում.Եթե վեկտորները հիմք են կազմում տարածության մեջ, ապա նրանք չեն գտնվում նույն հարթության վրա, այսինքն. ոչ համահունչ են: Գտե՛ք վեկտորների խառը արտադրյալը
:
,

Հետևաբար, վեկտորները հավասարաչափ չեն և հիմք են կազմում տարածության մեջ։ Եթե վեկտորները հիմք են կազմում տարածության մեջ, ապա ցանկացած վեկտոր կարող է ներկայացվել որպես հիմքի վեկտորների գծային համակցություն, մասնավորապես
, որտեղ
վեկտորի կոորդինատները վեկտորային հիմքով
. Գտնենք այս կոորդինատները՝ կազմելով և լուծելով հավասարումների համակարգը

Գաուսի մեթոդով լուծելով՝ մենք ունենք

Այստեղից
. Հետո .

Այս կերպ,
.

Օրինակ 4Բուրգի գագաթները գտնվում են կետերում.
,
,
,
. Հաշվարկել.

ա) դեմքի տարածքը
;

բ) բուրգի ծավալը
;

գ) վեկտորային պրոյեկցիա
դեպի վեկտորի ուղղությամբ
;

դ) անկյուն
;

ե) ստուգեք, որ վեկտորները
,
,
համակողմանի.

Լուծում

ա) Խաչաձև արտադրանքի սահմանումից հայտնի է, որ.

Վեկտորների որոնում
և
, օգտագործելով բանաձեւը

,
.

Իրենց կանխատեսումներով սահմանված վեկտորների համար վեկտորային արտադրյալը հայտնաբերվում է բանաձևով

, որտեղ
.

Մեր գործի համար

Մենք գտնում ենք ստացված վեկտորի երկարությունը՝ օգտագործելով բանաձևը

,
.

եւ հետո
(քառ. միավոր):

բ) Երեք վեկտորների խառը արտադրյալը բացարձակ արժեքով հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալին. , , ինչպես կողերի վրա:

Խառը արտադրանքը հաշվարկվում է բանաձևով.

Գտնենք վեկտորները
,
,
, համընկնում է բուրգի եզրերին, զուգակցվում դեպի գագաթը :

Այս վեկտորների խառը արտադրյալը

Քանի որ բուրգի ծավալը հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալի մասին.
,
,
, ապա
(խորանարդ միավոր):

գ) Օգտագործելով բանաձևը
, որը սահմանում է վեկտորների սկալյար արտադրյալը , , կարելի է գրել այսպես.

որտեղ
կամ
;

կամ
.

Վեկտորի պրոյեկցիան գտնելու համար
դեպի վեկտորի ուղղությամբ
գտե՛ք վեկտորների կոորդինատները
,
, այնուհետև կիրառելով բանաձևը

մենք ստանում ենք

դ) Անկյունը գտնելու համար
սահմանել վեկտորներ
,
, կետում ունենալով ընդհանուր ծագում :

Այնուհետեւ, ըստ սկալյար արտադրանքի բանաձեւի

ե) Երեք վեկտորների համար

,
,

համակողմանի են, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրանց խառը արտադրյալը հավասար լինի զրոյի։

Մեր դեպքում ունենք
.

Հետևաբար, վեկտորները հավասարաչափ են:

Վեկտորների համար և, տրված կոորդինատները, , խառը արտադրանքը հաշվարկվում է բանաձևով.

Խառը արտադրանքը օգտագործվում է. 1) հաշվարկել վեկտորների վրա կառուցված քառանիստի և զուգահեռականի ծավալները և, ինչպես եզրերի վրա, ըստ բանաձևի. 2) որպես վեկտորների համադրելիության պայման, և : և համահարթակ են։

Թեմա 5. Գծեր ինքնաթիռում.

Նորմալ գծի վեկտոր , կոչվում է տվյալ ուղղին ուղղահայաց ցանկացած ոչ զրոյական վեկտոր։ Ուղղության վեկտորը ուղիղ , կոչվում է տվյալ ուղղին զուգահեռ ցանկացած ոչ զրոյական վեկտոր։

Ուղիղ մակերեսի վրա կոորդինատային համակարգում կարելի է տրվել հետևյալ տեսակներից մեկի հավասարմամբ.

1) - ընդհանուր հավասարում ուղիղ գիծ, որտեղ է ուղիղ գծի նորմալ վեկտորը;

2) - տրված վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

3) - տրված վեկտորին զուգահեռ կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ( կանոնական հավասարում );

4) - երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարում;

5) - գծային հավասարումներ թեքությամբ , որտեղ է այն կետը, որով անցնում է գիծը; () - անկյունը, որը կազմում է գիծը առանցքի հետ; - առանցքի վրա ուղիղ գծով կտրված հատվածի երկարությունը (նշանով) (« » նշանը, եթե հատվածը կտրված է առանցքի դրական մասի վրա և « », եթե բացասական մասի վրա):

6) - ուղիղ գծի հավասարում կտրվածքների մեջ, որտեղ և արդյո՞ք հատվածների երկարությունները (նշանով) կոորդինատային առանցքների վրա ուղիղ գծով կտրված են և (« » նշանը, եթե հատվածը կտրված է առանցքի դրական մասի վրա և « », եթե բացասական մասում )

Հեռավորությունը կետից տող , որը տրված է հարթության վրա ընդհանուր հավասարմամբ, գտնում ենք բանաձևով.

Անկյուն, ( )ուղիղ գծերի միջև և, տրված ընդհանուր հավասարումներով կամ թեքությամբ հավասարումներով, կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերից մեկով.

Եթե կամ.

Եթե կամ

Գծերի հատման կետի կոորդինատները և գտնվել են որպես գծային հավասարումների համակարգի լուծում՝ կամ .

Թեմա 10. Կոմպլեկտներ. Թվային հավաքածուներ. Գործառույթներ.

Տակ շատերը հասկանալ ցանկացած բնույթի առարկաների որոշակի խումբ, որոնք տարբերվում են միմյանցից և կարող են պատկերացնել որպես մեկ ամբողջություն: Այն օբյեկտները, որոնք կազմում են բազմություն, անվանում են այն տարրեր . Բազմությունը կարող է լինել անսահման (բաղկացած է անսահման թվով տարրերից), վերջավոր (բաղկացած է վերջավոր թվով տարրերից), դատարկ (չի պարունակում մեկ տարր)։ Բազմությունները նշանակվում են -ով, իսկ դրանց տարրերը՝ -ով: Դատարկ բազմությունը նշանակվում է .

Սահմանել զանգը ենթաբազմություն սահմանել, եթե բազմության բոլոր տարրերը պատկանում են բազմությանը և գրել:

Սահմանում և կանչում է հավասար , եթե դրանք կազմված են նույն տարրերից եւ գրեն . Երկու բազմություն և հավասար կլինեն, եթե և միայն, եթե և .

Սահմանել զանգը ունիվերսալ (այս մաթեմատիկական տեսության շրջանակներում) , եթե դրա տարրերը այս տեսության մեջ դիտարկվող բոլոր օբյեկտներն են:

Շատերը կարող են սահմանվել. 1) նրա բոլոր տարրերի թվարկումը, օրինակ՝ (միայն վերջավոր բազմությունների համար); 2) սահմանելով կանոն՝ որոշելու, թե արդյոք ունիվերսալ բազմության տարրը պատկանում է տվյալ բազմությանը.

Ասոցիացիա

հատում սահմանում է և կոչվում է բազմություն

տարբերությունը սահմանում է և կոչվում է բազմություն

Լրացում կոմպլեկտներ (մինչև ունիվերսալ հավաքածու) կոչվում է հավաքածու:

Երկու հավաքածուները և կոչվում են համարժեք and write ~ if կարող է հաստատվել մեկ առ մեկ համապատասխանություն այս բազմությունների տարրերի միջև։ Հավաքածուն կոչվում է հաշվելի , եթե այն համարժեք է բնական թվերի բազմությանը ~ . Դատարկ բազմությունը, ըստ սահմանման, հաշվելի է:

Վավերական (իրական) թիվ կոչվում է անվերջ տասնորդական կոտորակ՝ վերցված «+» կամ «» նշանով։ Իրական թվերը նույնացվում են թվային տողի կետերով:

մոդուլ Իրական թվի (բացարձակ արժեքը) ոչ բացասական թիվ է.

Հավաքածուն կոչվում է թվային եթե նրա տարրերը իրական թվեր են. Թվային ընդմիջումներով կոչվում են բազմություններ

թվեր՝ , , , , , , , , , .

Թվային տողի բոլոր կետերի բազմությունը, որոնք բավարարում են պայմանը, որտեղ կամայականորեն փոքր թիվ է, կոչվում է. -հարեւանություն (կամ ուղղակի հարևանություն) կետի և նշանակվում է . Բոլոր կետերի բազմությունը պայմանով, որտեղ կամայականորեն մեծ թիվ է, կոչվում է. հարեւանություն (կամ պարզապես հարևանություն) անսահմանության և նշանակվում է .

Այն մեծությունը, որը պահպանում է նույն թվային արժեքը, կոչվում է մշտական. Այն մեծությունը, որն ընդունում է տարբեր թվային արժեքներ, կոչվում է փոփոխական. Գործառույթ կոչվում է կանոնը, ըստ որի յուրաքանչյուր թվի վերագրվում է մեկ լավ սահմանված թիվ, և նրանք գրում են. Հավաքածուն կոչվում է սահմանման տիրույթ գործառույթներ, - շատերը (կամ տարածաշրջան ) արժեքներ գործառույթներ, - փաստարկ , - ֆունկցիայի արժեքը . Ֆունկցիան նշելու ամենատարածված եղանակը վերլուծական մեթոդն է, որտեղ ֆունկցիան տրվում է բանաձևով։ բնական տիրույթ ֆունկցիան այն փաստարկի արժեքների բազմությունն է, որի համար այս բանաձևը իմաստ ունի: Ֆունկցիայի գրաֆիկ , ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է կոորդինատներով , .

Ֆունկցիան կոչվում է նույնիսկ բազմության վրա՝ սիմետրիկ կետի նկատմամբ, եթե բոլորի համար բավարարված է հետևյալ պայմանը. տարօրինակ պայմանը բավարարելու դեպքում. Հակառակ դեպքում, ընդհանուր գործառույթ կամ ոչ զույգ, ոչ էլ կենտ .

Ֆունկցիան կոչվում է պարբերական հավաքածուի վրա, եթե կա թիվ ( ֆունկցիոնալ ժամանակահատվածը ) այնպես, որ բոլորի համար բավարարվի հետևյալ պայմանը. Ամենափոքր թիվը կոչվում է հիմնական ժամանակաշրջան:

Ֆունկցիան կոչվում է միապաղաղ աճող (թուլանալով ) բազմության վրա, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ (փոքր) արժեքին:

Ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակված հավաքածուի վրա, եթե կա այնպիսի թիվ, որ բոլորի համար բավարարվի հետևյալ պայմանը. Հակառակ դեպքում գործառույթն է անսահմանափակ .

Հակադարձ գործելու համար , , ֆունկցիա է, որը սահմանված է բազմության վրա և յուրաքանչյուրին վերագրում է այնպիսին, որ . Գտնել ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան , դուք պետք է լուծեք հավասարումը համեմատաբար. Եթե ֆունկցիան , -ին խիստ միատոն է, ապա միշտ ունի հակադարձ, իսկ եթե ֆունկցիան մեծանում է (նվազում), ապա հակադարձ ֆունկցիան նույնպես մեծանում է (նվազում է)։

Գործառույթը, որը ներկայացված է որպես, որտեղ կան որոշ գործառույթներ, ինչպիսիք են, որ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը պարունակում է ֆունկցիայի արժեքների ամբողջ հավաքածուն, կոչվում է. բարդ գործառույթ անկախ փաստարկ. Փոփոխականը կոչվում է միջանկյալ փաստարկ: Բարդ ֆունկցիան կոչվում է նաև ֆունկցիաների կազմություն և , և գրված է.

Հիմնական տարրական գործառույթներն են. ուժ գործառույթ, ցուցադրություն ֆունկցիա (,), լոգարիթմական ֆունկցիա (,), եռանկյունաչափական գործառույթներ , , , , հակադարձ եռանկյունաչափական գործառույթներ , , , . Տարրական կոչվում է ֆունկցիա, որը ստացվում է հիմնական տարրական ֆունկցիաներից դրանց թվաբանական գործողությունների և կազմությունների վերջավոր թվով։

Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է, որի գագաթը ժամը է, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, եթե կամ ներքև, եթե:

Որոշ դեպքերում, երբ կառուցում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկը, նպատակահարմար է նրա սահմանման տիրույթը բաժանել մի քանի չհատվող միջակայքերի և դրանցից յուրաքանչյուրի վրա հաջորդաբար կառուցել գրաֆիկ:

Իրական թվերի ցանկացած դասավորված բազմություն կոչվում է կետաչափական թվաբանություն (համակարգել) տարածություն և նշանակում է կամ, մինչդեռ թվերը կոչվում են իր կոորդինատները .

Թողեք և լինեն մի քանի միավոր և . Եթե յուրաքանչյուր կետին, ըստ ինչ-որ կանոնի, վերագրվում է մեկ հստակ սահմանված իրական թիվ, ապա ասում են, որ փոփոխականների թվային ֆունկցիան տրված է բազմության վրա և գրել կամ հակիրճ և, մինչդեռ կոչվում է. սահմանման տիրույթ , - արժեքների հավաքածու , - փաստարկներ (անկախ փոփոխականներ) ֆունկցիաներ։

Հաճախ նշվում է երկու փոփոխականի ֆունկցիա, երեք փոփոխականի ֆունկցիա՝ -: Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը հարթության կետերի որոշակի բազմություն է, ֆունկցիաները՝ տարածության կետերի որոշակի բազմություն։

Թեմա 7. Թվային հաջորդականություններ և շարքեր: Հերթականության սահմանափակում. Գործառույթի սահմանը և շարունակականությունը:

Եթե, ըստ որոշակի կանոնի, յուրաքանչյուր բնական թիվ կապված է մեկ հստակ սահմանված իրական թվի հետ, ապա ասում են թվային հաջորդականություն . Համառոտ նշեք. Համարը կոչվում է հաջորդականության ընդհանուր անդամ . Հերթականությունը կոչվում է նաև բնական փաստարկի ֆունկցիա։ Հերթականությունը միշտ պարունակում է անսահման թվով տարրեր, որոնցից մի քանիսը կարող են հավասար լինել:

Համարը կոչվում է հաջորդականության սահմանը , և գրի՛ր, եթե որևէ թվի համար կա այնպիսի թիվ, որ անհավասարությունը բավարարվի բոլորի համար:

Այն հաջորդականությունը, որն ունի վերջավոր սահման, կոչվում է համընկնող հակառակ դեպքում - տարբերվող .

: 1) թուլանալով , եթե ; 2) աճող , եթե ; 3) չնվազող , եթե ; 4) չաճող , եթե . Բոլոր վերը նշված հաջորդականությունները կոչվում են միապաղաղ .

Հաջորդականությունը կոչվում է սահմանափակված , եթե կա այնպիսի թիվ, որ բոլորի համար բավարարվի հետևյալ պայմանը. Հակառակ դեպքում, հաջորդականությունը անսահմանափակ .

Յուրաքանչյուր միապաղաղ սահմանափակ հաջորդականություն ունի սահման ( Վայերշտրասի թեորեմ).

Հաջորդականությունը կոչվում է անսահման փոքր , եթե . Հաջորդականությունը կոչվում է անսահման մեծ (համընկնում է դեպի անսահմանություն), եթե .

թիվ կոչվում է հաջորդականության սահման, որտեղ

հաստատունը կոչվում է ոչ համարժեք թիվ: Թվի հիմնական լոգարիթմը կոչվում է թվի բնական լոգարիթմ և նշվում է .

Այն ձևի արտահայտությունը, որտեղ թվերի հաջորդականություն է, կոչվում է թվային շարք և նշվում են. Շարքի առաջին անդամների գումարը կոչվում է մասնակի գումարը շարք.

Շարքը կոչվում է համընկնող եթե կա վերջավոր սահման և տարբերվող եթե սահմանը գոյություն չունի. Համարը կոչվում է կոնվերգենտ շարքի գումարը , գրելիս.

Եթե շարքը համընկնում է, ապա (շարքի սերտաճման անհրաժեշտ չափանիշ ) . Հակառակը ճիշտ չէ։

Եթե, ապա շարքը տարբերվում է ( շարքի տարբերության բավարար չափանիշ ).

Ընդհանրացված ներդաշնակ շարքերկոչվում է մի շարք, որը համընկնում է և շեղվում է .

Երկրաչափական շարք անվանել մի շարք, որը համընկնում է , մինչդեռ դրա գումարը հավասար է և շեղվում է . գտնել թիվ կամ նշան: (ձախ կիսաթաղամաս, աջ կիսաթաղամաս) և

Այս դասում մենք կդիտարկենք վեկտորներով ևս երկու գործողություն. վեկտորների խաչաձև արտադրյալև վեկտորների խառը արտադրյալ (անմիջական հղում նրանց համար, ովքեր դրա կարիքն ունեն). Ոչինչ, երբեմն պատահում է, որ լիակատար երջանկության համար, բացի վեկտորների կետային արտադրյալ, ավելի ու ավելի է պետք։ Այդպիսին է վեկտորային կախվածությունը։ Կարող է թվալ, որ մենք բարձրանում ենք վայրի բնություն վերլուծական երկրաչափություն. Սա ճիշտ չէ. Բարձրագույն մաթեմատիկայի այս բաժնում, ընդհանուր առմամբ, վառելափայտը քիչ է, բացառությամբ, գուցե, բավարար Պինոկիոյի համար: Փաստորեն, նյութը շատ տարածված է և պարզ, հազիվ թե ավելի դժվար, քան նույնը սկալյար արտադրանք, նույնիսկ ավելի քիչ բնորոշ առաջադրանքներ կլինեն։ Անալիտիկ երկրաչափության մեջ գլխավորը, ինչպես շատերը կտեսնեն կամ արդեն տեսել են, ՀԱՇՎԱՐԿՆԵՐԸ ՉՍԽԱԼԵԼՆ Է: Կրկնեք հմայքի պես, և դուք երջանիկ կլինեք =)

Եթե վեկտորները փայլում են ինչ-որ հեռու, ինչպես կայծակը հորիզոնում, ապա դա նշանակություն չունի, սկսեք դասից Վեկտորներ կեղծամների համարվերականգնել կամ ձեռք բերել հիմնական գիտելիքներ վեկտորների մասին: Ավելի պատրաստված ընթերցողները կարող են ընտրողաբար ծանոթանալ տեղեկատվությանը, ես փորձեցի հավաքել օրինակների առավել ամբողջական հավաքածուն, որոնք հաճախ հանդիպում են. գործնական աշխատանք

Ի՞նչը ձեզ կուրախացնի։ Երբ ես փոքր էի, կարող էի ձեռնածություն անել երկու և նույնիսկ երեք գնդակով: Լավ ստացվեց։ Հիմա ամենևին էլ պետք չէ ձեռնածություն անել, քանի որ մենք կքննարկենք միայն տիեզերական վեկտորներ, և երկու կոորդինատներով հարթ վեկտորները դուրս կմնան: Ինչո՞ւ։ Ահա թե ինչպես են ծնվել այս գործողությունները. վեկտորների վեկտորը և խառը արտադրյալը սահմանվում են և աշխատում են եռաչափ տարածության մեջ: Արդեն ավելի հեշտ!

Այս գործողության մեջ, ինչպես սկալյար արտադրյալում, երկու վեկտոր. Թող դա անթառամ տառեր լինի։

Ակցիան ինքնին նշվում էհետևյալ կերպ. Կան նաև այլ տարբերակներ, բայց ես սովոր եմ վեկտորների խաչաձև արտադրյալը նշանակել այսպես՝ քառակուսի փակագծերում խաչով:

Եվ անմիջապես հարց: եթե ներս վեկտորների կետային արտադրյալերկու վեկտոր է ներգրավված, և այստեղ երկու վեկտոր նույնպես բազմապատկվում են, ապա որն է տարբերությունը? Հստակ տարբերություն, առաջին հերթին, ԱՐԴՅՈՒՆՔՈՒՄ.

Վեկտորների սկալյար արտադրյալի արդյունքը ԹԻՎ է.

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի արդյունքը ՎԵԿՏՈՐ է:, այսինքն՝ մենք բազմապատկում ենք վեկտորները և նորից ստանում վեկտոր։ Փակ ակումբ. Փաստորեն, այստեղից էլ վիրահատության անվանումը։ Տարբերում ուսումնական գրականությունՆշումը նույնպես կարող է տարբեր լինել, ես կօգտագործեմ տառը:

Խաչի արտադրանքի սահմանում

Նախ կլինի նկարով սահմանում, հետո մեկնաբանություններ։

Սահմանում՝ խաչաձև արտադրանք ոչ գծայինվեկտորներ, վերցված այս կարգով, կոչվում է ՎԵԿՏՈՐ, երկարությունըորը թվային է հավասար է զուգահեռագծի մակերեսին, կառուցված այս վեկտորների վրա; վեկտոր ուղղանկյուն դեպի վեկտորներ, և ուղղված է այնպես, որ հիմքն ունենա ճիշտ կողմնորոշում.

Մենք վերլուծում ենք սահմանումը ոսկորներով, շատ հետաքրքիր բաներ կան:

Այսպիսով, մենք կարող ենք առանձնացնել հետևյալ կարևոր կետերը.

1) Աղբյուրի վեկտորները, որոնք նշված են կարմիր սլաքներով, ըստ սահմանման ոչ համագիծ. Համաձև վեկտորների դեպքը տեղին կլինի դիտարկել մի փոքր ավելի ուշ:

2) վերցված վեկտորներ խիստ կարգով: – «ա»-ն բազմապատկվում է «լինել»-ով, ոչ թե «լինել» «ա»-ին։ Վեկտորի բազմապատկման արդյունքըՎԵԿՏՈՐ է, որը նշվում է կապույտով: Եթե վեկտորները բազմապատկվեն հակառակ կարգը, ապա ստանում ենք երկարությամբ հավասար և ուղղությամբ հակառակ վեկտոր (կարմիր գույն)։ Այսինքն՝ հավասարությունը .

3) Այժմ եկեք ծանոթանանք վեկտորի արտադրյալի երկրաչափական նշանակությանը։ Սա շատ կարևոր կետ է: Կապույտ վեկտորի ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆԸ (և, հետևաբար, բոսորագույն վեկտորը) թվայինորեն հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերևույթին: Նկարում այս զուգահեռագիծը ստվերված է սևով:

Նշում գծագիրը սխեմատիկ է, և, իհարկե, խաչաձև արտադրյալի անվանական երկարությունը հավասար չէ զուգահեռագծի մակերեսին:

Մենք հիշում ենք երկրաչափական բանաձևերից մեկը. զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է հարակից կողմերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալին. Հետևաբար, ելնելով վերը նշվածից, վեկտորային արտադրյալի ԵՐԿՈՒՅԹԸ հաշվարկելու բանաձևը վավեր է.

Շեշտում եմ, որ բանաձեւում խոսքը վեկտորի ԵՐԿԱՐՈՒԹՅԱՆ մասին է, այլ ոչ թե բուն վեկտորի։ Ո՞րն է գործնական իմաստը: Եվ իմաստն այնպիսին է, որ վերլուծական երկրաչափության խնդիրներում զուգահեռագծի տարածքը հաճախ հայտնաբերվում է վեկտորային արտադրանքի հայեցակարգի միջոցով.

Մենք ստանում ենք երկրորդ կարևոր բանաձևը. Զուգահեռագծի անկյունագիծը (կարմիր կետագիծ) այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։ Հետևաբար, վեկտորների վրա կառուցված եռանկյունու տարածքը (կարմիր ստվերում) կարելի է գտնել բանաձևով.

4) Ոչ պակաս կարևոր փաստ այն է, որ վեկտորը ուղղահայաց է վեկտորներին, այսինքն. . Իհարկե, հակառակ ուղղված վեկտորը (կարմիր սլաքը) նույնպես ուղղանկյուն է սկզբնական վեկտորներին:

5) Վեկտորն ուղղված է այնպես, որ հիմքԱյն ունի ճիշտկողմնորոշում. Մի դասի մասին անցում դեպի նոր հիմքԵս մանրամասն խոսել եմ դրա մասին հարթության կողմնորոշում, և հիմա մենք կպարզենք, թե որն է տարածության կողմնորոշումը: Ես կբացատրեմ ձեր մատների վրա աջ ձեռք. Հոգեպես միավորել ցուցամատվեկտորով և միջնամատվեկտորով. Մատանի մատը և փոքր մատըսեղմեք ձեր ափի մեջ: Որպես արդյունք բութ մատը - վեկտորային արտադրանքը կանդրադառնա վերև: Սա ճիշտ կողմնորոշված հիմքն է (նկարում է): Այժմ փոխեք վեկտորները ( ցուցամատ և միջին մատներ) տեղ-տեղ, արդյունքում բթամատը կշրջվի, իսկ վեկտորային արտադրյալն արդեն ներքև կնայվի։ Սա նույնպես ճիշտ կողմնորոշված հիմք է։ Երևի ձեզ մոտ հարց է առաջանում՝ ի՞նչ հիմք ունի ձախ կողմնորոշումը։ «Նշանակիր» նույն մատները ձախ ձեռքվեկտորները և ստացեք ձախ հիմքը և ձախ տարածության կողմնորոշումը (այս դեպքում բթամատը կգտնվի ստորին վեկտորի ուղղությամբ). Պատկերավոր ասած՝ այս հիմքերը «ոլորում» կամ կողմնորոշում են տարածությունը տարբեր ուղղություններով։ Եվ այս հայեցակարգը չպետք է համարվի հեռուն կամ վերացական ինչ-որ բան. օրինակ, ամենասովորական հայելին փոխում է տարածության կողմնորոշումը, և եթե դուք «արտացոլված առարկան դուրս հանեք հայելու միջից», ապա ընդհանուր առմամբ հնարավոր չի լինի համադրել այն «բնօրինակի» հետ։ Ի դեպ, երեք մատը մոտեցրեք հայելուն և վերլուծեք արտացոլումը ;-)

... որքան լավ է, որ դուք հիմա գիտեք դրա մասին աջ և ձախ կողմնորոշվածհիմքեր, քանի որ որոշ դասախոսների հայտարարությունները կողմնորոշման փոփոխության մասին սարսափելի են =)

Կոլայն վեկտորների վեկտորային արտադրյալը

Սահմանումը մանրամասն մշակված է, մնում է պարզել, թե ինչ է տեղի ունենում, երբ վեկտորները համագիծ են։ Եթե վեկտորները միաձույլ են, ապա դրանք կարող են տեղադրվել մեկ ուղիղ գծի վրա և մեր զուգահեռագիծը նույնպես «ծալվել» մեկ ուղիղ գծի մեջ։ Նման տարածքը, ինչպես ասում են մաթեմատիկոսները. այլասերվածզուգահեռագիծը զրո է: Նույնը հետևում է բանաձևից՝ զրոյի կամ 180 աստիճանի սինուսը հավասար է զրոյի, ինչը նշանակում է, որ տարածքը զրո է։

Այսպիսով, եթե, ապա և . Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ խաչաձև արտադրյալն ինքնին հավասար է զրոյական վեկտորի, բայց գործնականում դա հաճախ անտեսվում է և գրվում, որ այն նույնպես հավասար է զրոյի:

Հատուկ դեպք է վեկտորի և իր վեկտորի արտադրյալը.

Օգտագործելով խաչաձև արտադրյալը, դուք կարող եք ստուգել եռաչափ վեկտորների համակողմանիությունը, և մենք, ի թիվս այլոց, կվերլուծենք նաև այս խնդիրը:

Գործնական օրինակներ լուծելու համար կարող է անհրաժեշտ լինել եռանկյունաչափական աղյուսակդրանից գտնել սինուսների արժեքները:

Դե, եկեք կրակ վառենք.

Օրինակ 1

ա) Գտե՛ք վեկտորների վեկտորային արտադրյալի երկարությունը, եթե

բ) Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը, եթե

ԼուծումՈչ, սա տառասխալ չէ, ես միտումնավոր նախնական տվյալները դարձրել եմ նույնը: Որովհետև լուծումների դիզայնը տարբեր կլինի։

ա) Ըստ պայմանի՝ պահանջվում է գտնել երկարությունըվեկտոր (վեկտորային արտադրանք): Համապատասխան բանաձևի համաձայն.

Պատասխանել:

Քանի որ հարցվել է երկարության մասին, ապա պատասխանում նշում ենք չափը՝ միավորներ։

բ) Ըստ պայմանի՝ պահանջվում է գտնել քառակուսիվեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագիծ. Այս զուգահեռագծի տարածքը թվայինորեն հավասար է խաչաձև արտադրյալի երկարությանը.

Պատասխանել:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վեկտորային արտադրյալի մասին պատասխանում ընդհանրապես խոսք չկա, մեզ հարցրել են գործչի տարածքը, համապատասխանաբար, չափը քառակուսի միավոր է։

Մենք միշտ նայում ենք, թե ԻՆՉ է պահանջվում գտնել պայմանով, և դրա հիման վրա ձևակերպում ենք պարզպատասխանել. Կարող է տառացիություն թվալ, բայց ուսուցիչների մեջ բավականաչափ բառացիներ կան, և լավ շանսեր ունեցող առաջադրանքը կվերադարձվի վերանայման։ Թեև սա առանձնապես լարված հնարք չէ. եթե պատասխանը սխալ է, ապա տպավորություն է ստեղծվում, որ մարդը չի հասկանում պարզ բաները և/կամ չի հասկացել առաջադրանքի էությունը: Այս պահը միշտ պետք է վերահսկողության տակ պահել՝ լուծելով ցանկացած խնդիր բարձրագույն մաթեմատիկայից, ինչպես նաև այլ առարկաներից։

Ո՞ւր գնաց մեծ «en» տառը: Սկզբունքորեն, դա կարող էր լրացուցիչ կառչել լուծմանը, բայց ռեկորդը կրճատելու համար ես չարեցի: Հուսով եմ, որ բոլորը դա հասկանում են և նույն բանի նշանակումն է։

Ինքնուրույն լուծման հանրաճանաչ օրինակ.

Օրինակ 2

Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված եռանկյան մակերեսը, եթե

Վեկտորային արտադրանքի միջոցով եռանկյունի տարածքը գտնելու բանաձևը տրված է սահմանման մեկնաբանություններում: Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։

Գործնականում խնդիրն իսկապես շատ տարածված է, եռանկյունները հիմնականում կարող են խոշտանգվել:

Այլ խնդիրներ լուծելու համար մեզ անհրաժեշտ է.

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի հատկությունները

Մենք արդեն դիտարկել ենք վեկտորային արտադրանքի որոշ հատկություններ, այնուամենայնիվ, ես դրանք կներառեմ այս ցանկում:

Կամայական վեկտորների և կամայական թվերի համար ճշմարիտ են հետևյալ հատկությունները.

1) Տեղեկատվության այլ աղբյուրներում այս նյութը սովորաբար չի առանձնանում հատկություններով, բայց գործնական առումով շատ կարևոր է: Ուրեմն թող լինի։

2) - վերևում խոսվում է նաև գույքի մասին, երբեմն կոչվում է հակակոմուտատիվություն. Այսինքն՝ վեկտորների հերթականությունը նշանակություն ունի։

3) - համադրություն կամ ասոցիատիվվեկտորի արտադրանքի օրենքները. Հաստատունները հեշտությամբ դուրս են բերվում վեկտորի արտադրյալի սահմաններից։ Իսկապես, ի՞նչ են անում այնտեղ։

4) - բաշխում կամ բաշխումվեկտորի արտադրանքի օրենքները. Փակագծերի բացման հետ կապված նույնպես խնդիրներ չկան։

Որպես ցուցադրություն, հաշվի առեք մի կարճ օրինակ.

Օրինակ 3

Գտեք, եթե

Լուծում:Ըստ պայմանի, կրկին պահանջվում է գտնել վեկտորի արտադրյալի երկարությունը։ Եկեք նկարենք մեր մանրանկարչությունը.

(1) Ասոցիատիվ օրենքների համաձայն՝ մենք հաստատունները հանում ենք վեկտորի արտադրյալի սահմաններից դուրս։

(2) Մենք մոդուլից հանում ենք հաստատունը, մինչդեռ մոդուլը «ուտում է» մինուս նշանը։ Երկարությունը չի կարող բացասական լինել:

(3) Հետևյալը պարզ է.

Պատասխանել:

Ժամանակն է կրակի վրա փայտ նետելու.

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք վեկտորների վրա կառուցված եռանկյան մակերեսը, եթե

ԼուծումԳտեք եռանկյան մակերեսը բանաձևով . Խնդիրն այն է, որ «ce» և «te» վեկտորներն իրենք ներկայացված են որպես վեկտորների գումարներ: Այստեղ ալգորիթմը ստանդարտ է և ինչ-որ չափով հիշեցնում է դասի թիվ 3 և 4 օրինակները։ Վեկտորների կետային արտադրյալ. Պարզության համար եկեք բաժանենք այն երեք քայլի.

1) Առաջին քայլում վեկտորային արտադրյալն արտահայտում ենք վեկտորային արտադրյալի միջոցով, փաստորեն. վեկտորն արտահայտել վեկտորի առումով. Երկարության մասին դեռ ոչինչ չկա:

(1) Մենք փոխարինում ենք վեկտորների արտահայտությունները:

(2) Օգտագործելով բաշխիչ օրենքներ՝ բացիր փակագծերը՝ ըստ բազմանդամների բազմապատկման կանոնի։

(3) Օգտագործելով ասոցիատիվ օրենքները, մենք հանում ենք բոլոր հաստատունները վեկտորային արտադրյալներից դուրս: Փոքր փորձի դեպքում 2-րդ և 3-րդ գործողությունները կարող են կատարվել միաժամանակ:

(4) Առաջին և վերջին անդամները հավասար են զրոյի (զրոյական վեկտոր)՝ շնորհիվ հաճելի հատկության: Երկրորդ տերմինում մենք օգտագործում ենք վեկտորային արտադրանքի հակակոմուտացիոն հատկությունը.

(5) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ:

Արդյունքում, վեկտորը պարզվեց, որ արտահայտվում է վեկտորի միջոցով, որն այն էր, ինչ պահանջվում էր հասնել.

2) Երկրորդ քայլում մենք գտնում ենք մեզ անհրաժեշտ վեկտորի արտադրյալի երկարությունը: Այս գործողությունը նման է Օրինակ 3-ին.

3) Գտեք ցանկալի եռանկյունու մակերեսը.

Լուծման 2-3 քայլերը կարելի է դասավորել մեկ տողում:

Պատասխանել:

Դիտարկվող խնդիրը բավականին տարածված է վերահսկողական աշխատանք, ահա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ.

Օրինակ 5

Գտեք, եթե

Կարճ լուծում և պատասխան դասի վերջում. Տեսնենք, թե որքան ուշադիր էիք նախորդ օրինակներն ուսումնասիրելիս ;-)

Վեկտորների խաչաձև արտադրյալ կոորդինատներում

, տրված օրթոնորմալ հիմք , արտահայտվում է բանաձևով:

Բանաձևն իսկապես պարզ է՝ որոշիչի վերին տողում գրում ենք կոորդինատների վեկտորները, երկրորդ և երրորդ տողերում «փաթեթավորում» ենք վեկտորների կոորդինատները և դնում ենք. խիստ կարգով- նախ՝ «ve» վեկտորի կոորդինատները, ապա «կրկնակի-վե» վեկտորի կոորդինատները։ Եթե վեկտորները պետք է բազմապատկվեն այլ հերթականությամբ, ապա տողերը նույնպես պետք է փոխանակվեն.

Օրինակ 10

Ստուգեք՝ արդյոք հետևյալ տիեզերական վեկտորները համագիծ են.
ա)
բ)

ԼուծումԹեստը հիմնված է այս դասի պնդումներից մեկի վրա. եթե վեկտորները համագիծ են, ապա դրանց խաչաձև արտադրյալը զրո է (զրոյական վեկտոր). .

ա) Գտեք վեկտորի արտադրյալը.

Այսպիսով, վեկտորները համակողմանի չեն:

բ) Գտեք վեկտորի արտադրյալը.

Պատասխանելա) ոչ համագիծ, բ)

Այստեղ է, հավանաբար, բոլոր հիմնական տեղեկությունները վեկտորների վեկտորային արտադրյալի մասին։

Այս բաժինը շատ մեծ չի լինի, քանի որ քիչ խնդիրներ կան, որտեղ օգտագործվում է վեկտորների խառը արտադրյալը: Փաստորեն, ամեն ինչ կախված կլինի սահմանման, երկրաչափական իմաստի և մի երկու աշխատանքային բանաձևերի վրա։

Վեկտորների խառը արտադրյալը երեք վեկտորի արտադրյալն է:

Ահա թե ինչպես են գնացքի պես շարվել ու սպասում, չեն կարող սպասել, մինչև հաշվարկվեն։

Նախ կրկին սահմանումը և պատկերը.

ՍահմանումԽառը արտադրանք ոչ համաչափվեկտորներ, վերցված այս կարգով, կոչվում է զուգահեռականի ծավալը, կառուցված այս վեկտորների վրա, հագեցած «+» նշանով, եթե հիմքը ճիշտ է, և «-» նշանով, եթե հիմքը մնացել է։

Եկեք նկարենք: Մեզ համար անտեսանելի գծերը գծվում են կետագծով.

Եկեք խորանանք սահմանման մեջ.

2) վերցված վեկտորներ որոշակի կարգով, այսինքն՝ արտադրյալում վեկտորների փոխարկումը, ինչպես կարող եք կռահել, անհետևանք չի անցնում։

3) Նախքան երկրաչափական իմաստը մեկնաբանելը, նշեմ ակնհայտ փաստը. վեկտորների խառը արտադրյալը ԹԻՎ է: Ուսումնական գրականության մեջ դիզայնը կարող է փոքր-ինչ տարբեր լինել, ես օգտագործում էի խառը արտադրանքը նշանակում, իսկ հաշվարկների արդյունքը «պե» տառով:

Ըստ սահմանման խառը արդյունքը զուգահեռականի ծավալն է, կառուցված վեկտորների վրա (նկարը գծված է կարմիր վեկտորներով և սև գծերով)։ Այսինքն՝ թիվը հավասար է տվյալ զուգահեռականի ծավալին։

Նշում Նկարը սխեմատիկ է:

4) Եկեք նորից չանհանգստանանք հիմքի և տարածության կողմնորոշման հայեցակարգով։ Վերջնական մասի իմաստն այն է, որ ծավալին կարելի է մինուս նշան ավելացնել։ Պարզ ասած, խառը արտադրանքը կարող է բացասական լինել.

Վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալը հաշվարկելու բանաձևը ուղղակիորեն բխում է սահմանումից:

Վեկտորների համար և , տրված նրանց կոորդինատներով , խառը արտադրյալը հաշվարկվում է բանաձևով.

Թեմա 5. Ուղիղ գծեր և հարթություններ.

Ուղիղ մակերեսի վրա

1) - ընդհանուր հավասարում ուղիղ գիծ, որտեղ է ուղիղ գծի նորմալ վեկտորը;

2) - տրված վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

3) կանոնական հավասարում );

Հեռավորությունը կետից տող , որը տրված է հարթության վրա ընդհանուր հավասարմամբ, գտնում ենք բանաձևով.

Եթե կամ.

Եթե կամ

Գծերի հատման կետի կոորդինատները և գտնվել են որպես գծային հավասարումների համակարգի լուծում՝ կամ .

Ինքնաթիռի նորմալ վեկտորը , կոչվում է տվյալ հարթությանը ուղղահայաց ցանկացած ոչ զրոյական վեկտոր։

Ինքնաթիռ կոորդինատային համակարգում կարելի է տրվել հետևյալ տեսակներից մեկի հավասարմամբ.

1) - ընդհանուր հավասարում հարթություն, որտեղ է հարթության նորմալ վեկտորը;

2) - տվյալ վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող հարթության հավասարումը.

3) - երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը, և.

4) - հարթության հավասարումը կտրվածքների մեջ, որտեղ և են կոորդինատային առանցքների հարթությամբ կտրված հատվածների երկարությունները (նշանով) և («» նշանը, եթե հատվածը կտրված է առանցքի դրական մասի վրա և «» եթե բացասական կողմը )

Հեռավորությունը կետից ինքնաթիռ , տրված ընդհանուր հավասարմամբ, գտնում ենք բանաձևով.

Անկյուն,( )ինքնաթիռների միջև և , տրված ընդհանուր հավասարումներով, գտնում ենք բանաձևով.

Ուղիղ տարածության մեջ կոորդինատային համակարգում կարելի է տրվել հետևյալ տեսակներից մեկի հավասարմամբ.

1) - ընդհանուր հավասարում ուղիղ գիծ, որպես երկու հարթությունների հատման գծեր, որտեղ և են հարթությունների նորմալ վեկտորները և.

2) - տրված վեկտորին զուգահեռ կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ( կանոնական հավասարում );

3) - երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարում;

4) - տրված վեկտորին զուգահեռ կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը, պարամետրային հավասարում );

Անկյուն, ( ) ուղիղ գծերի միջև և տարածության մեջ , որը տրված է կանոնական հավասարումներով, գտնում ենք բանաձևով.

Գծի հատման կետի կոորդինատները , տրված պարամետրային հավասարմամբ և ինքնաթիռ , տրված ընդհանուր հավասարմամբ, որպես գծային հավասարումների համակարգի լուծում են գտնում.

Անկյուն, ( ) գծի միջև , տրված կանոնական հավասարմամբ և ինքնաթիռ , տրված ընդհանուր հավասարմամբ գտնում ենք բանաձևով.

Թեմա 6. Երկրորդ կարգի կորեր.

Երկրորդ կարգի հանրահաշվական կորկոորդինատային համակարգում կոչվում է կոր, ընդհանուր հավասարում որը նման է.

որտեղ թվերը միաժամանակ հավասար չեն զրոյի: Երկրորդ կարգի կորերի հետևյալ դասակարգումը կա. 1) եթե , ապա ընդհանուր հավասարումը սահմանում է կորը էլիպսաձև տիպ (շրջանակ (համար), էլիպս (համար), դատարկ հավաքածու, կետ); 2) եթե , ապա - կոր հիպերբոլիկ տեսակ (հիպերբոլա, մի զույգ հատվող գծեր); 3) եթե , ապա - կոր պարաբոլիկ տեսակ(պարաբոլա, դատարկ բազմություն, գիծ, զույգ զուգահեռ գծեր): Շրջան, էլիպս, հիպերբոլա և պարաբոլա կոչվում են երկրորդ կարգի ոչ այլասերված կորեր.

Ընդհանուր հավասարումը, որտեղ , որը սահմանում է ոչ դեգեներատիվ կոր (շրջան, էլիպս, հիպերբոլա, պարաբոլա), միշտ կարող է (օգտագործելով լրիվ քառակուսիների ընտրության մեթոդը) կրճատվել հետևյալ տեսակներից մեկի հավասարման.

1ա) -շրջանագծի հավասարումը կենտրոնացած կետի և շառավղի վրա (նկ. 5):

1բ)- էլիպսի հավասարումը, որը կենտրոնացած է կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ կետի և սիմետրիայի առանցքների վրա: Թվերը և - կոչվում են էլիպսի կիսաառանցքները էլիպսի հիմնական ուղղանկյունը; էլիպսի գագաթները .

Կոորդինատային համակարգում էլիպս կառուցելու համար. 1) նշեք էլիպսի կենտրոնը; 2) կենտրոնի միջով մենք կետագծով գծում ենք էլիպսի համաչափության առանցքը. 3) մենք կառուցում ենք էլիպսի հիմնական ուղղանկյունը կետագծով, որի կենտրոնը և կողմերը զուգահեռ են համաչափության առանցքներին. 4) հոծ գծով գծում ենք էլիպս՝ այն մակագրելով հիմնական ուղղանկյան մեջ, որպեսզի էլիպսը դիպչի իր կողերին միայն էլիպսի գագաթներին (նկ. 6):

Նմանապես կառուցվում է շրջան, որի հիմնական ուղղանկյունն ունի կողմեր (նկ. 5):

Նկ.5 Նկ.6

2) - հիպերբոլաների հավասարումներ (կոչ զուգորդել) կենտրոնացած կետի և համաչափության առանցքների վրա, որոնք զուգահեռ են կոորդինատային առանցքներին: Թվերը և - կոչվում են հիպերբոլաների կիսաառանցքները ; ուղղանկյուն, որի կողմերը զուգահեռ են համաչափության առանցքներին և կենտրոնացած են մի կետի վրա. հիպերբոլաների հիմնական ուղղանկյունը; Հիմնական ուղղանկյան հատման կետերը համաչափության առանցքների հետ. հիպերբոլաների գագաթներ; ուղիղ գծեր, որոնք անցնում են հիմնական ուղղանկյան հակառակ գագաթներով. հիպերբոլաների ասիմպտոտներ .

Կոորդինատային համակարգում հիպերբոլա կառուցելու համար. 1) նշեք հիպերբոլայի կենտրոնը; 2) կենտրոնի միջով մենք կետավոր գծով գծում ենք հիպերբոլայի համաչափության առանցքը. 3) մենք կառուցում ենք հիպերբոլայի հիմնական ուղղանկյունը կետավոր գծով կենտրոնով և կողմերով և համաչափության առանցքներին զուգահեռ. 4) մենք ուղիղ գծեր ենք գծում հիմնական ուղղանկյան հակառակ գագաթներով կետավոր գծով, որոնք հիպերբոլայի ասիմպտոտներ են, որոնց հիպերբոլայի ճյուղերը մոտենում են անորոշ ժամանակով, կոորդինատների սկզբնակետից անսահման հեռավորության վրա, առանց դրանք հատելու. 5) մենք հոծ գծով պատկերում ենք հիպերբոլայի (նկ. 7) կամ հիպերբոլայի (նկ. 8) ճյուղերը:

Նկ.7 Նկ.8

3ա)- պարաբոլայի հավասարումը գագաթով կետում և կոորդինատային առանցքին զուգահեռ սիմետրիայի առանցքով (նկ. 9):

3բ)- պարաբոլայի հավասարումը գագաթով կետում և կոորդինատային առանցքին զուգահեռ համաչափության առանցք (նկ. 10):

Կոորդինատների համակարգում պարաբոլա կառուցելու համար. 1) նշեք պարաբոլայի վերին մասը; 2) մենք գագաթի միջով կետավոր գծով գծում ենք պարաբոլայի համաչափության առանցքը. 3) մենք պատկերում ենք պարաբոլան հոծ գծով, ուղղելով դրա ճյուղը՝ հաշվի առնելով պարաբոլայի պարամետրի նշանը. at - պարաբոլայի համաչափության առանցքին զուգահեռ կոորդինատային առանցքի դրական ուղղությամբ (նկ. 9ա և 10ա); ժամը - կոորդինատային առանցքի բացասական կողմում (նկ. 9b և 10b) .

Բրինձ. 9 ա Նկ. 9բ

Բրինձ. 10 ա Նկ. 10բ

Թեմա 7. Կոմպլեկտներ. Թվային հավաքածուներ. Գործառույթ.

Սահմանել զանգը ենթաբազմություն սահմանել, եթե բազմության բոլոր տարրերը պատկանում են բազմությանը և գրել: Սահմանում և կանչում է հավասար , եթե դրանք կազմված են նույն տարրերից եւ գրեն . Երկու բազմություն և հավասար կլինեն, եթե և միայն, եթե և .

Ասոցիացիա

հատում սահմանում է և կոչվում է բազմություն

տարբերությունը սահմանում է և կոչվում է բազմություն

Լրացում կոմպլեկտներ (մինչև ունիվերսալ հավաքածու) կոչվում է հավաքածու:

Կոմպլեկտի կարդինալության հասկացությունն առաջանում է, երբ բազմությունները համեմատվում են դրանց պարունակած տարրերի քանակով: Կոմպլեկտի կարդինալությունը նշվում է . Վերջավոր բազմության կարդինալությունը նրա տարրերի քանակն է:

Համարժեք հավաքածուներն ունեն նույն կարդինալությունը: Հավաքածուն կոչվում է անհաշվելի եթե դրա կարդինալությունը ավելի մեծ է, քան հավաքածուի կարդինալությունը:

Վավերական (իրական) թիվ կոչվում է անվերջ տասնորդական կոտորակ՝ վերցված «+» կամ «» նշանով։ Իրական թվերը նույնացվում են թվային տողի կետերով: մոդուլ Իրական թվի (բացարձակ արժեքը) ոչ բացասական թիվ է.

Հավաքածուն կոչվում է թվային եթե նրա տարրերը իրական թվեր են.թվային ընդմիջումներով թվերի բազմությունները կոչվում են՝ , , , , , , , , , .

Հակադարձ գործելու համար , , կոչվում է այնպիսի ֆունկցիա, որը սահմանված է բազմության վրա և յուրաքանչյուրին

Համապատասխանում է այնպես, որ. Գտնել ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան , դուք պետք է լուծեք հավասարումը համեմատաբար. Եթե ֆունկցիան , -ին խիստ միատոն է, ապա միշտ ունի հակադարձ, իսկ եթե ֆունկցիան մեծանում է (նվազում), ապա հակադարձ ֆունկցիան նույնպես մեծանում է (նվազում է)։

Եթե տրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցումը վերածվում է գրաֆիկի մի շարք փոխակերպումների (հերթափոխում, սեղմում կամ ձգում, ցուցադրում).

1) 2) փոխակերպումը սիմետրիկ կերպով ցուցադրում է գրաֆիկը առանցքի նկատմամբ. 3) փոխակերպումը գրաֆիկը տեղափոխում է առանցքի երկայնքով ըստ միավորների ( - դեպի աջ, - դեպի ձախ); 4) փոխակերպումը տեղափոխում է գծապատկերը առանցքի երկայնքով ըստ միավորների (-վերև,-ներքև); 5) փոխակերպման գրաֆիկը առանցքի երկայնքով ձգվում է ժամանակով, եթե կամ սեղմվում է ժամանակով, եթե ; 6) առանցքի երկայնքով գրաֆիկը փոխակերպելով սեղմվում է գործակցով, եթե կամ ձգվում է գործակցով, եթե .

Փոխակերպումների հաջորդականությունը ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելիս կարող է խորհրդանշական կերպով ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Նշում. Փոխակերպում կատարելիս հիշեք, որ առանցքի երկայնքով տեղաշարժի չափը որոշվում է հաստատունով, որն ուղղակիորեն ավելացվում է փաստարկին, և ոչ թե փաստարկին:

Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է, որի գագաթը ժամը է, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, եթե կամ ներքև, եթե: Գծային-կոտորակային ֆունկցիայի գրաֆիկը հիպերբոլա է՝ կենտրոնացած կետում, որի ասիմպտոտներն անցնում են կենտրոնով, կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ: , բավարարելով պայմանը։ կանչեց.