Սահմանում 1

Scalar արտադրանքվեկտորներ կոչվում է այն թիվը, որը հավասար է այս վեկտորների դինների արտադրյալին և նրանց միջև անկյան կոսինուսին:

a → և b → վեկտորների արտադրյալի նշումն ունի a →, b → ձև: Եկեք փոխակերպենք բանաձևի.

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → և b → նշանակում են վեկտորների երկարությունները, a → , b → ^ նշանակում են տրված վեկտորների միջև եղած անկյունը։ Եթե ​​առնվազն մեկ վեկտորը զրո է, այսինքն՝ ունի 0 արժեք, ապա արդյունքը կլինի զրո, a → , b → = 0։

Վեկտորն ինքն իրենով բազմապատկելիս ստանում ենք նրա դինայի քառակուսին.

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Սահմանում 2

Վեկտորի սկալային բազմապատկումն ինքնին կոչվում է սկալյար քառակուսի:

Հաշվարկվում է ըստ բանաձևի.

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Գրելով a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → ցույց է տալիս, որ n p b → a → a →-ի թվային պրոյեկցիան է b → , n p a-ի վրա: → a → - b →-ի պրոյեկցիան համապատասխանաբար a →-ի վրա:

Մենք ձևակերպում ենք արտադրանքի սահմանումը երկու վեկտորի համար.

Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը a → ըստ b → կոչվում է a → վեկտորի երկարության արտադրյալ՝ b → պրոյեկցիայի միջոցով a → կամ b → երկարության արտադրյալը a → պրոյեկցիայի միջոցով, համապատասխանաբար.

Կետային արտադրանքը կոորդինատներում

Սկալյար արտադրյալի հաշվարկը կարող է կատարվել տվյալ հարթության կամ տարածության վեկտորների կոորդինատների միջոցով։

Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը հարթության վրա, եռաչափ տարածության մեջ, կոչվում է կոորդինատների գումար տրված վեկտորներ a → և b →.

Տրված վեկտորների կետային արտադրյալի հարթության վրա a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) դեկարտյան համակարգում հաշվարկելիս օգտագործեք.

a →, b → = a x b x + a y b y,

եռաչափ տարածության համար արտահայտությունը կիրառելի է.

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Փաստորեն, սա կետային արտադրանքի երրորդ սահմանումն է:

Եկեք ապացուցենք դա։

Ապացույց 1

Դա ապացուցելու համար մենք օգտագործում ենք a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y վեկտորների համար a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) դեկարտյան համակարգի վրա:

Վեկտորները պետք է հետաձգվեն

O A → = a → = a x, a y և O B → = b → = b x, b y:

Այդ դեպքում A B → վեկտորի երկարությունը հավասար կլինի A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) .

Դիտարկենք եռանկյուն O A B:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) ճիշտ է՝ հիմնված կոսինուսների թեորեմի վրա:

Պայմանով կարելի է տեսնել, որ O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , ուստի մենք տարբեր կերպ ենք գրում վեկտորների միջև անկյունը գտնելու բանաձևը.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Այնուհետև առաջին սահմանումից բխում է, որ b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , ուստի (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - բ → - ա → 2) .

Կիրառելով վեկտորների երկարությունը հաշվարկելու բանաձևը, մենք ստանում ենք.
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Եկեք ապացուցենք հավասարությունները.

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– համապատասխանաբար եռաչափ տարածության վեկտորների համար:

Կոորդինատներով վեկտորների սկալյար արտադրյալն ասում է, որ վեկտորի սկալյար քառակուսին հավասար է նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարին համապատասխանաբար տարածության և հարթության վրա։ a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) և (a →, a →) = a x 2 + a y 2:

Dot արտադրանքը և դրա հատկությունները

Կան կետային արտադրանքի հատկություններ, որոնք կիրառվում են a →, b → և c → համար.

1. commutativity (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. բաշխվածություն (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , գ →) ;
3. ասոցիատիվ հատկություն (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - ցանկացած թիվ;
4. սկալյար քառակուսին միշտ մեծ է զրոյից (a → , a →) ≥ 0 , որտեղ (a → , a →) = 0, երբ a → զրո։

Օրինակ 1

Հատկությունները բացատրվում են հարթության մեջ կետային արտադրյալի սահմանմամբ և իրական թվերի գումարման և բազմապատկման հատկություններով։

Ապացուցեք փոխադարձության հատկությունը (a → , b →) = (b → , a →) . Սահմանումից ունենք, որ (a → , b →) = a y b y + a y b y և (b → , a →) = b x a x + b y a y:

Փոխադրելիության հատկությամբ a x · b x = b x · a x և a y · b y = b y · a y հավասարությունները ճշմարիտ են, ուստի a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y:

Հետևում է, որ (a → , b →) = (b → , a →) . Ք.Ե.Դ.

Բաշխումը վավեր է ցանկացած թվի համար.

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

and (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

ուստի մենք ունենք

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Կետային արտադրանք օրինակներով և լուծումներով

Նման պլանի ցանկացած խնդիր լուծվում է սկալյար արտադրանքի վերաբերյալ հատկությունների և բանաձևերի միջոցով.

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^);
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y կամ (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a → , a →) = a → 2:

Դիտարկենք լուծումների մի քանի օրինակ։

Օրինակ 2

a →-ի երկարությունը 3 է, b → երկարությունը՝ 7։ Գտե՛ք կետային արտադրյալը, եթե անկյունը 60 աստիճան է։

Լուծում

Ըստ պայմանի, մենք ունենք բոլոր տվյալները, ուստի մենք հաշվարկում ենք բանաձևով.

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Պատասխան՝ (a → , b →) = 21 2:

Օրինակ 3

Տրված վեկտորները a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) : Ինչ է սկալյար արտադրանքը:

Լուծում

Այս օրինակում դիտարկվում է կոորդինատների հաշվարկման բանաձևը, քանի որ դրանք նշված են խնդրի հայտարարության մեջ.

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Պատասխան՝ (a → , b →) = - 9

Օրինակ 4

Գտե՛ք A B → և A C → ներքին արտադրյալը: Կոորդինատային հարթության վրա տրված են A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) կետերը:

Լուծում

Սկզբից հաշվարկվում են վեկտորների կոորդինատները, քանի որ կետերի կոորդինատները տրվում են պայմանով.

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Կոորդինատների օգտագործմամբ բանաձևի մեջ փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք.

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28:

Պատասխան՝ (A B → , A C →) = 28:

Օրինակ 5

Տրված a → = 7 m → + 3 n → և b → = 5 m → + 8 n → վեկտորները, գտե՛ք դրանց արտադրյալը: m → հավասար է 3-ի և n → հավասար է 2 միավորի, դրանք ուղղահայաց են։

Լուծում

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Կիրառելով բաշխիչ հատկությունը՝ մենք ստանում ենք.

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Մենք վերցնում ենք գործակիցը արտադրանքի նշանից դուրս և ստանում.

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Փոխադարձության հատկությամբ մենք փոխակերպում ենք.

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Արդյունքում մենք ստանում ենք.

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

Այժմ մենք կիրառում ենք սկալյար արտադրանքի բանաձևը պայմանով սահմանված անկյան տակ.

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 մ → 2 + 71 մ → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411:

Պատասխան՝ (a → , b →) = 411

Եթե ​​կա թվային պրոյեկցիա.

Օրինակ 6

Գտե՛ք a → և b → ներքին արտադրյալը: a → վեկտորն ունի a → = (9 , 3 , - 3) կոորդինատներ, b → պրոյեկցիան ունի կոորդինատներ (- 3 , - 1 , 1) ։

Լուծում

Պայմանով a → վեկտորները և b → պրոյեկցիան հակառակ ուղղված են, քանի որ a → = - 1 3 n p a → b → → , ուստի b → պրոյեկցիան համապատասխանում է n p a → b → → երկարությանը և «-» նշանով: նշան:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Փոխարինելով բանաձևին, մենք ստանում ենք արտահայտությունը.

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33:

Պատասխան՝ (a → , b →) = - 33 .

Խնդիրներ հայտնի սկալյար արտադրյալի հետ, որտեղ անհրաժեշտ է գտնել վեկտորի կամ թվային պրոյեկցիայի երկարությունը:

Օրինակ 7

Ի՞նչ արժեքը պետք է վերցնի λ-ն տրված սկալյար արտադրյալի համար a → \u003d (1, 0, λ + 1) և b → \u003d (λ, 1, λ) հավասար կլինի -1-ի:

Լուծում

Բանաձևից երևում է, որ անհրաժեշտ է գտնել կոորդինատների արտադրյալների գումարը.

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

Տրվածում ունենք (a → , b →) = - 1 ։

λ-ն գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք հավասարումը.

λ 2 + 2 · λ = - 1, հետեւաբար λ = - 1:

Պատասխան՝ λ = - 1 :

Սկալյար արտադրանքի ֆիզիկական նշանակությունը

Մեխանիկը դիտարկում է կետային արտադրանքի կիրառումը:

A-ն մշտական ​​ուժով F → շարժվող մարմին աշխատելիս M կետից N կետից կարող եք գտնել F → և M N → վեկտորների երկարությունների արտադրյալը նրանց միջև ընկած անկյան կոսինուսով, ինչը նշանակում է, որ աշխատանքը հավասար է: ուժի և տեղաշարժի վեկտորների արտադրյալին.

A = (F → , M N →) .

Օրինակ 8

Նյութական կետի տեղաշարժը 3 մետրով 5 Նտոնին հավասար ուժի ազդեցությամբ ուղղված է առանցքի նկատմամբ 45 աստիճան անկյան տակ։ Գտեք Ա.

Լուծում

Քանի որ աշխատանքը ուժի վեկտորի և տեղաշարժի արտադրյալն է, ապա, ելնելով F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° պայմանից, մենք ստանում ենք A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2:

Պատասխան՝ A = 15 2 2:

Օրինակ 9

Նյութական կետը, շարժվելով M-ից (2, - 1, - 3) դեպի N (5, 3 λ - 2, 4) F → = (3, 1, 2) ուժի ներքո, կատարել է 13 Ջ-ի հավասար աշխատանք: շարժման երկարությունը.

Լուծում

M N → վեկտորի տրված կոորդինատների համար ունենք M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) :

F → = (3 , 1 , 2) և M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) վեկտորների հետ աշխատանք գտնելու բանաձևով մենք ստանում ենք A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3): λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

Պայմանով տրվում է, որ A \u003d 13 J, ինչը նշանակում է 22 + 3 λ \u003d 13: Սա ենթադրում է λ = - 3 , հետևաբար M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) :

Ճանապարհորդության երկարությունը M N → գտնելու համար մենք կիրառում ենք բանաձևը և փոխարինում արժեքները.

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158:

Պատասխան՝ 158։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Կլինեն նաև ինքնուրույն լուծման առաջադրանքներ, որոնց պատասխանները կարող եք տեսնել։

Եթե ​​խնդրի մեջ և՛ վեկտորների երկարությունները, և՛ նրանց միջև եղած անկյունը ներկայացված են «արծաթե սկուտեղի վրա», ապա խնդրի վիճակը և դրա լուծումն այսպիսի տեսք ունեն.

Օրինակ 1Տրված են վեկտորներ. Գտե՛ք վեկտորների սկալյար արտադրյալը, եթե դրանց երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը ներկայացված են հետևյալ արժեքներով.

Վավերական է նաև մեկ այլ սահմանում, որը լիովին համարժեք է 1-ին սահմանմանը։

Սահմանում 2. Վեկտորների սկալյար արտադրյալը մի թիվ է (սկալար), որը հավասար է այս վեկտորներից մեկի երկարության և մեկ այլ վեկտորի պրոյեկցիայի արտադրյալին այն առանցքի վրա, որը որոշվում է այս վեկտորներից առաջինով: Բանաձևը ըստ սահմանման 2.

Այս բանաձևով խնդիրը կլուծենք հաջորդ կարևոր տեսական կետից հետո։

Վեկտորների սկալյար արտադրյալի սահմանումը կոորդինատներով

Նույն թիվը կարելի է ստանալ, եթե բազմապատկված վեկտորները տրվեն իրենց կոորդինատներով։

Սահմանում 3.Վեկտորների կետային արտադրյալը այն թիվն է, որը հավասար է դրանց համապատասխան կոորդինատների զույգ արտադրյալների գումարին:

Մակերեւույթի վրա

Եթե ​​երկու վեկտոր և հարթությունում սահմանվում են իրենց երկուսով Դեկարտյան կոորդինատներ

ապա այս վեկտորների կետային արտադրյալը հավասար է դրանց համապատասխան կոորդինատների զույգ արտադրյալների գումարին.

.

Օրինակ 2Գտեք վեկտորի պրոյեկցիայի թվային արժեքը վեկտորին զուգահեռ առանցքի վրա:

Լուծում. Մենք գտնում ենք վեկտորների սկալյար արտադրյալը՝ ավելացնելով նրանց կոորդինատների զույգ արտադրյալները.

Այժմ մենք պետք է հավասարեցնենք ստացված սկալյար արտադրյալը վեկտորի երկարության և վեկտորի պրոյեկցիայի արտադրյալին վեկտորին զուգահեռ առանցքի վրա (համաձայն բանաձևի):

Մենք գտնում ենք վեկտորի երկարությունը որպես նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատ.

.

Գրիր հավասարում և լուծիր այն.

Պատասխանել. Ցանկալի թվային արժեքը մինուս 8 է:

Տիեզերքում

Եթե ​​երկու վեկտորները և տարածության մեջ սահմանվում են իրենց երեք դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատներով

,

ապա այս վեկտորների սկալյար արտադրյալը նույնպես հավասար է դրանց համապատասխան կոորդինատների զույգ արտադրյալների գումարին, միայն թե արդեն երեք կոորդինատ կա.

.

Սկալյար արտադրյալը դիտարկված ձևով գտնելու խնդիրը սկալյար արտադրյալի հատկությունների վերլուծությունից հետո է: Քանի որ առաջադրանքում անհրաժեշտ կլինի որոշել, թե ինչ անկյուն են կազմում բազմապատկված վեկտորները։

Վեկտորների կետային արտադրանքի հատկությունները

Հանրահաշվական հատկություններ

1. (կոմուտատիվ հատկություննրանց սկալյար արտադրյալի արժեքը չի փոխվում բազմապատկված վեկտորների տեղերը փոխելուց):

2. (ասոցիատիվ հատկություն թվային գործոնի նկատմամբվեկտորի սկալյար արտադրյալը բազմապատկած ինչ-որ գործակցով և մեկ այլ վեկտոր հավասար է այս վեկտորների սկալյար արտադրյալին՝ բազմապատկած նույն գործակցով):

3. (բաշխիչ հատկություն վեկտորների գումարի նկատմամբԵրրորդ վեկտորի կողմից երկու վեկտորների գումարի սկալյար արտադրյալը հավասար է առաջին վեկտորի սկալյար արտադրյալների գումարին երրորդ վեկտորով, իսկ երկրորդ վեկտորը երրորդ վեկտորով):

4. (զրոյից մեծ վեկտորի սկալյար քառակուսի) եթե ոչ զրոյական վեկտոր է, և եթե զրոյական վեկտոր է:

Երկրաչափական հատկություններ

Ուսումնասիրվող գործողության սահմանումներում մենք արդեն անդրադարձել ենք երկու վեկտորների միջև անկյուն հասկացությանը։ Ժամանակն է հստակեցնել այս հայեցակարգը:

Վերևի նկարում տեսանելի են երկու վեկտորներ, որոնք բերված են ընդհանուր սկզբի։ Եվ առաջին բանը, որին պետք է ուշադրություն դարձնել. այս վեկտորների միջև կա երկու անկյուն. φ 1 և φ 2 . Այս անկյուններից ո՞րն է հայտնվում վեկտորների սկալյար արտադրյալի սահմանումներում և հատկություններում: Դիտարկված անկյունների գումարը 2 է π և հետևաբար այս անկյունների կոսինուսները հավասար են։ Կետային արտադրյալի սահմանումը ներառում է միայն անկյան կոսինուսը, այլ ոչ թե դրա արտահայտման արժեքը: Բայց սեփականության մեջ միայն մեկ անկյուն է համարվում։ Եվ սա այն երկու անկյուններից մեկն է, որը չի գերազանցում π այսինքն 180 աստիճան: Այս անկյունը ներկայացված է նկարում որպես φ 1 .

1. Երկու վեկտոր են կոչվում ուղղանկյուն և այս վեկտորների միջև անկյունը ճիշտ է (90 աստիճան կամ π /2) եթե Այս վեկտորների սկալյար արտադրյալը զրո է :

.

Վեկտորային հանրահաշիվում ուղղանկյունությունը երկու վեկտորների ուղղահայացությունն է:

2. Կազմում են երկու ոչ զրոյական վեկտորներ սուր անկյուն (0-ից մինչև 90 աստիճան, կամ, նույնն է, ավելի քիչ π կետային արտադրանքը դրական է .

3. Կազմում են երկու ոչ զրոյական վեկտորներ բութ անկյուն (90-ից մինչև 180 աստիճան, կամ, նույնն է, ավելին π /2 ) եթե և միայն եթե կետային արտադրանքը բացասական է .

Օրինակ 3Վեկտորները տրված են կոորդինատներով.

.

Հաշվի՛ր տրված վեկտորների բոլոր զույգերի կետային արտադրյալները: Ի՞նչ անկյուն (սուր, աջ, բութ) են կազմում վեկտորների այս զույգերը:

Լուծում. Կհաշվարկենք՝ գումարելով համապատասխան կոորդինատների արտադրյալները։

Մենք ստացանք բացասական թիվ, ուստի վեկտորները կազմում են բութ անկյուն:

Ստացանք դրական թիվ, ուստի վեկտորները կազմում են սուր անկյուն։

Մենք ստացել ենք զրո, ուստի վեկտորները կազմում են ուղիղ անկյուն։

Ստացանք դրական թիվ, ուստի վեկտորները կազմում են սուր անկյուն։

.

Ստացանք դրական թիվ, ուստի վեկտորները կազմում են սուր անկյուն։

Ինքնաթեստի համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչ Վեկտորների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի կետային արտադրյալը .

Օրինակ 4Հաշվի առնելով երկու վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը.

.

Որոշեք, թե թվի որ արժեքով են վեկտորները և ուղղանկյուն (ուղղահայաց):

Լուծում. Վեկտորները բազմապատկում ենք ըստ բազմանդամների բազմապատկման կանոնի.

Հիմա եկեք հաշվարկենք յուրաքանչյուր անդամ.

.

Կազմենք հավասարում (արտադրյալի հավասարությունը զրոյի), տանենք նման անդամներ և լուծենք հավասարումը.

Պատասխան՝ մենք ստացանք արժեքը λ = 1.8 , որի դեպքում վեկտորները ուղղանկյուն են:

Օրինակ 5Ապացուցեք, որ վեկտորը ուղղանկյուն (ուղղահայաց) վեկտորին

Լուծում. Ուղղանկյունությունը ստուգելու համար մենք բազմապատկում ենք վեկտորները և որպես բազմանդամներ՝ դրա փոխարեն փոխարինելով խնդրի պայմանում տրված արտահայտությունը.

.

Դա անելու համար անհրաժեշտ է առաջին բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամ (տերմին) բազմապատկել երկրորդի յուրաքանչյուր անդամով և ավելացնել ստացված արտադրյալները.

.

Արդյունքում պակասեցված մասնաբաժինը: Ստացվում է հետևյալ արդյունքը.

Եզրակացություն՝ բազմապատկման արդյունքում ստացանք զրո, հետևաբար՝ ապացուցված է վեկտորների ուղղահայացությունը։

Ինքներդ լուծեք խնդիրը և հետո տեսեք լուծումը

Օրինակ 6Հաշվի առնելով վեկտորների երկարությունները և , և այս վեկտորների միջև անկյունը հավասար է π /չորս. Որոշեք, թե ինչ արժեքով μ վեկտորներ և փոխադարձաբար ուղղահայաց են:

Ինքնաթեստի համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչ Վեկտորների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի կետային արտադրյալը .

Վեկտորների սկալյար արտադրյալի և n-չափական վեկտորների արտադրյալի մատրիցային ներկայացում

Երբեմն, պարզության համար, ձեռնտու է ներկայացնել երկու բազմապատկված վեկտորները մատրիցների տեսքով: Այնուհետև առաջին վեկտորը ներկայացված է որպես տողերի մատրիցա, իսկ երկրորդը՝ որպես սյունակային մատրիցա.

Այնուհետև վեկտորների սկալյար արտադրյալը կլինի այս մատրիցների արտադրյալը :

Արդյունքը նույնն է, ինչ ստացվել է այն մեթոդով, որը մենք արդեն քննարկել ենք: Մենք ստացանք մեկ առանձին թիվ, և մատրից-տողի արտադրյալը մատրից-սյունակի կողմից նույնպես մեկ եզակի թիվ է:

Մատրիցային ձևով հարմար է ներկայացնել վերացական n-չափ վեկտորների արտադրյալը։ Այսպիսով, երկու քառաչափ վեկտորների արտադրյալը կլինի չորս տարրերով տողի մատրիցի արտադրյալը սյունակային մատրիցով նաև չորս տարրերով, երկու հնգչափ վեկտորների արտադրյալը կլինի հինգ տարր ունեցող տողի մատրիցի արտադրյալը։ սյունակային մատրիցա՝ նաև հինգ տարրերով և այլն։

Օրինակ 7Գտեք վեկտորների զույգերի կետային արտադրանքները

,

օգտագործելով մատրիցային ներկայացում:

Լուծում. Վեկտորների առաջին զույգը. Մենք ներկայացնում ենք առաջին վեկտորը որպես տողերի մատրիցա, իսկ երկրորդը՝ որպես սյունակային մատրիցա։ Մենք գտնում ենք այս վեկտորների սկալյար արտադրյալը որպես տողի մատրիցի արտադրյալ սյունակային մատրիցով.

Նմանապես, մենք ներկայացնում ենք երկրորդ զույգը և գտնում ենք.

Ինչպես տեսնում եք, արդյունքները նույնն են, ինչ օրինակ 2-ի նույն զույգերի համար:

Անկյուն երկու վեկտորների միջև

Երկու վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևի ստացումը շատ գեղեցիկ է և հակիրճ:

Արտահայտել վեկտորների կետային արտադրյալը

(1)

կոորդինատային ձևով մենք նախ գտնում ենք օրտների սկալյար արտադրյալը: Իր հետ վեկտորի սկալյար արտադրյալը ըստ սահմանման հետևյալն է.

Այն, ինչ գրված է վերը նշված բանաձևում, նշանակում է. վեկտորի սկալյար արտադրյալն ինքն իր հետ հավասար է նրա երկարության քառակուսուն. Զրոյի կոսինուսը հավասար է մեկի, ուստի յուրաքանչյուր օրթի քառակուսին հավասար կլինի մեկի.

Քանի որ վեկտորները

զույգ-զույգ ուղղահայաց են, ապա օրթների զույգ արտադրյալները հավասար կլինեն զրոյի.

Այժմ կատարենք վեկտորային բազմանդամների բազմապատկումը.

Հավասարության աջ կողմում փոխարինում ենք օրտների համապատասխան սկալյար արտադրյալների արժեքները.

Մենք ստանում ենք երկու վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևը.

Օրինակ 8Հաշվի առնելով երեք միավոր Ա(1;1;1), Բ(2;2;1), Գ(2;1;2).

Գտեք անկյուն:

Լուծում. Մենք գտնում ենք վեկտորների կոորդինատները.

,

.

Օգտագործելով անկյան կոսինուսի բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Հետևաբար, .

Ինքնաթեստի համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչ Վեկտորների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի կետային արտադրյալը .

Օրինակ 9Տրվում է երկու վեկտոր

Գտե՛ք գումարը, տարբերությունը, երկարությունը, կետային արտադրյալը և դրանց միջև եղած անկյունը:

2. Տարբերություն

Վեկտորային և կետային արտադրյալը հեշտացնում է վեկտորների միջև անկյունը հաշվարկելը: Թող տրվեն $\overline(a)$ և $\overline(b)$ երկու վեկտորներ, որոնց միջև կողմնորոշված ​​անկյունը հավասար է $\varphi$-ի։ Եկեք հաշվարկենք $x = (\overline(a),\overline(b))$ և $y = [\overline(a),\overline(b)]$ արժեքները: Այնուհետև $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, որտեղ $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ և $\varphi$-ը ցանկալին է: անկյուն, այսինքն՝ $(x, y)$ կետն ունի բևեռային անկյուն, որը հավասար է $\varphi$-ին, և հետևաբար $\varphi$-ը կարելի է գտնել որպես atan2(y, x):

Եռանկյունի մակերեսը

Քանի որ վեկտորային արտադրանքը պարունակում է երկու վեկտորի երկարությունների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալը, վեկտորային արտադրանքը կարող է օգտագործվել ABC եռանկյունու տարածքը հաշվարկելու համար.

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Գծին պատկանող կետ

Թող տրվի $P$ կետ և $AB$ ուղիղ (տրված $A$ և $B$ երկու կետերով): Պետք է ստուգել՝ արդյոք կետը պատկանում է $AB$ տողին։

Կետը պատկանում է $AB$ տողին, եթե և միայն այն դեպքում, եթե $AP$ և $AB$ վեկտորները համագիծ են, այսինքն, եթե $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $:

Կետի պատկանելությունը ճառագայթին

Թող տրվի $P$ կետ և $AB$ ճառագայթ (տրված է երկու կետով՝ $A$ ճառագայթի սկիզբը և $B$ ճառագայթի կետը)։ Պետք է ստուգել՝ արդյոք կետը պատկանում է $AB$ ճառագայթին։

Պայմանին պետք է ավելացվի լրացուցիչ պայման, որ $P$ կետը պատկանում է $AB$ տողին. $AP$ և $AB$ վեկտորները համակողմանի են, այսինքն՝ դրանք համագիծ են, և դրանց սկալյար արտադրյալը ոչ բացասական է, այսինքն՝ $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0։

Հատվածին պատկանող կետ

Թող տրվի $P$ կետ և $AB$ հատված։ Պետք է ստուգել՝ արդյոք կետը պատկանում է $AB$ հատվածին։

Այս դեպքում կետը պետք է պատկանի և՛ $AB$, և՛ $BA$ ճառագայթին, ուստի պետք է ստուգվեն հետևյալ պայմանները.

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$:

Հեռավորությունը կետից տող

Թող տրվի $P$ կետ և $AB$ ուղիղ (տրված $A$ և $B$ երկու կետերով): Անհրաժեշտ է գտնել հեռավորությունը $AB$ ուղիղ գծի կետից։

Դիտարկենք ABP եռանկյունը: Մի կողմից, նրա տարածքը $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$ է:

Մյուս կողմից, նրա տարածքը $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$ է, որտեղ $h$-ը $P$-ից բարձրությունն է, այսինքն $P$-ից $AB հեռավորությունը: $. Որտեղից $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Հեռավորությունը կետից ճառագայթ

Թող տրվի $P$ կետ և $AB$ ճառագայթ (տրված է երկու կետով՝ $A$ ճառագայթի սկիզբը և $B$ ճառագայթի կետը)։ Անհրաժեշտ է գտնել կետից մինչև ճառագայթ հեռավորությունը, այսինքն՝ $P$ կետից մինչև ճառագայթի ցանկացած կետ ամենակարճ հատվածի երկարությունը։

Այս հեռավորությունը հավասար է կամ $AP$ երկարությանը կամ $P$ կետից մինչև $AB$ տող հեռավորությանը: Դեպքերից որն է տեղի ունենում, կարելի է հեշտությամբ որոշել ճառագայթի և կետի հարաբերական դիրքով: Եթե ​​PAB անկյունը սուր է, այսինքն $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, ապա պատասխանը $P$ կետից մինչև $AB$ տող հեռավորությունն է, հակառակ դեպքում պատասխանը երկարությունն է: $AB$ հատվածի:

Հեռավորությունը կետից տող

Թող տրվի $P$ կետ և $AB$ հատված։ Անհրաժեշտ է գտնել $P$-ից $AB$ հատվածի հեռավորությունը։

Եթե ​​$P$-ից $AB$ տողն ընկած ուղղահայաց հիմքը ընկնում է $AB$ հատվածի վրա, որը կարելի է ստուգել պայմաններով.

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

ապա պատասխանը $P$ կետից մինչև $AB$ տող հեռավորությունն է։ Հակառակ դեպքում հեռավորությունը հավասար կլինի $\min(AP, BP)$:

Վեկտորների կետային արտադրյալ

Մենք շարունակում ենք գործ ունենալ վեկտորների հետ: Առաջին դասին Վեկտորներ կեղծամների համարմենք դիտարկել ենք վեկտոր հասկացությունը, վեկտորներով գործողություններ, վեկտորային կոորդինատներ և վեկտորների հետ ամենապարզ խնդիրները: Եթե ​​որոնողական համակարգից առաջին անգամ եք եկել այս էջ, խորհուրդ եմ տալիս կարդալ վերը նշված ներածական հոդվածը, քանի որ նյութը յուրացնելու համար պետք է առաջնորդվեք իմ օգտագործած տերմիններով և նշումներով, ունենաք վեկտորների տարրական գիտելիքներ: և կարողանալ լուծել տարրական խնդիրներ: Այս դասը թեմայի տրամաբանական շարունակությունն է, և դրանում ես մանրամասն կվերլուծեմ տիպիկ առաջադրանքները, որոնք օգտագործում են վեկտորների սկալյար արտադրյալը: Սա ՇԱՏ ԿԱՐԵՎՈՐ աշխատանք է։. Փորձեք բաց չթողնել օրինակները, դրանք ուղեկցվում են օգտակար բոնուսով. պրակտիկան կօգնի ձեզ համախմբել լուսաբանված նյութը և «ձեռք բերել» ընդհանուր խնդիրների լուծմանը: վերլուծական երկրաչափություն.

Վեկտորների գումարում, վեկտորը թվով բազմապատկելով… Միամտություն կլինի կարծել, թե մաթեմատիկոսներն այլ բան չեն մտածել։ Բացի արդեն դիտարկված գործողություններից, կան մի շարք այլ գործողություններ վեկտորներով, մասնավորապես. վեկտորների կետային արտադրյալ, վեկտորների խաչաձև արտադրյալև վեկտորների խառը արտադրյալ. Վեկտորների սկալյար արտադրյալը մեզ ծանոթ է դպրոցից, մյուս երկու արտադրյալներն ավանդաբար կապված են բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթացի հետ։ Թեմաները պարզ են, բազմաթիվ խնդիրների լուծման ալգորիթմը՝ կարծրատիպային ու հասկանալի։ Միակ բանը. Տեղեկատվության արժանապատիվ քանակ կա, ուստի անցանկալի է փորձել յուրացնել և լուծել ԱՄԵՆ ԻՆՉ ԵՎ ԱՆԳԱՄ։ Հատկապես դա վերաբերում է դեբիլներին, հավատացեք ինձ, հեղինակը բացարձակապես չի ցանկանում մաթեմատիկայից Չիկատիլոյին զգալ: Դե, ոչ մաթեմատիկայից, իհարկե, նույնպես =) Ավելի պատրաստված ուսանողները կարող են օգտագործել նյութերը ընտրողաբար, որոշակի իմաստով, «ձեռք բերելու» բացակայող գիտելիքները, ձեզ համար ես կլինեմ անվնաս կոմս Դրակուլա =)

Վերջապես, եկեք մի փոքր բացենք դուռը և տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում, երբ երկու վեկտորներ հանդիպում են միմյանց…

Վեկտորների սկալյար արտադրյալի սահմանում.
Սկալյար արտադրանքի հատկությունները. Տիպիկ առաջադրանքներ

Կետային արտադրանքի հայեցակարգը

Նախ՝ մասին անկյունը վեկտորների միջև. Կարծում եմ՝ բոլորը ինտուիտիվ հասկանում են, թե որն է վեկտորների միջև եղած անկյունը, բայց ամեն դեպքում՝ մի փոքր ավելին։ Դիտարկենք ազատ ոչ զրոյական վեկտորներ և . Եթե ​​այս վեկտորները հետաձգենք կամայական կետից, ապա կստանանք պատկեր, որը շատերն արդեն մտովի ներկայացրել են.

Խոստովանում եմ՝ այստեղ ես իրավիճակը նկարագրեցի միայն ըմբռնման մակարդակով։ Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է վեկտորների միջև անկյան խիստ սահմանում, խնդրում ենք դիմել դասագրքին, բայց գործնական առաջադրանքների համար մեզ, սկզբունքորեն, դա պետք չէ: Նաև ԱՅՍՏԵՂ ԵՎ ԱՎԵԼԻ, ես երբեմն անտեսելու եմ զրոյական վեկտորները՝ նրանց ցածր գործնական նշանակության պատճառով: Ես վերապահում եմ արել հատուկ կայքի առաջադեմ այցելուների համար, ովքեր կարող են կշտամբել ինձ հետևյալ հայտարարություններից մի քանիսի տեսական անավարտության համար:

կարող է ընդունել արժեքներ 0-ից մինչև 180 աստիճան (0-ից մինչև ռադիան) ներառյալ: Վերլուծականորեն այս փաստը գրված է որպես կրկնակի անհավասարություն. կամ (ռադիաններով):

Գրականության մեջ անկյունի պատկերակը հաճախ բաց է թողնվում և պարզապես գրվում:

Սահմանում:Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը ԹԻՎ է, որը հավասար է այս վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին.

Հիմա դա բավականին խիստ սահմանում է:

Մենք կենտրոնանում ենք էական տեղեկատվության վրա.

Նշանակում:սկալյար արտադրյալը նշվում է կամ պարզապես:

Վիրահատության արդյունքը ԹԻՎ էԲազմապատկեք վեկտորը վեկտորով, որպեսզի ստացվի թիվ: Իսկապես, եթե վեկտորների երկարությունները թվեր են, ապա անկյան կոսինուսը թիվ է, ապա դրանց արտադրյալը. կլինի նաև թիվ.

Ընդամենը տաքացման մի քանի օրինակ.

Օրինակ 1

Լուծում:Մենք օգտագործում ենք բանաձևը . Այս դեպքում:

Պատասխան.

Կոսինուսի արժեքները կարելի է գտնել եռանկյունաչափական աղյուսակ. Ես խորհուրդ եմ տալիս տպել այն. այն կպահանջվի աշտարակի գրեթե բոլոր հատվածներում և կպահանջվի բազմիցս:

Զուտ մաթեմատիկական տեսանկյունից սկալյար արտադրյալն անչափ է, այսինքն՝ արդյունքը տվյալ դեպքում ընդամենը թիվ է և վերջ։ Ֆիզիկայի խնդիրների տեսանկյունից սկալյար արտադրյալը միշտ ունի որոշակի ֆիզիկական նշանակություն, այսինքն՝ արդյունքից հետո պետք է նշվի այս կամ այն ​​ֆիզիկական միավորը։ Ուժի աշխատանքի հաշվարկման կանոնական օրինակը կարելի է գտնել ցանկացած դասագրքում (բանաձևը հենց կետային արտադրյալն է): Ուժի աշխատանքը չափվում է Ջուլերով, հետևաբար պատասխանը գրվելու է բավականին կոնկրետ, օրինակ.

Օրինակ 2

Գտեք, եթե , իսկ վեկտորների միջև անկյունը .

Սա օրինակ է ինքնորոշման համար, պատասխանը՝ դասի վերջում։

Անկյուն վեկտորների և կետային արտադրանքի արժեքի միջև

Օրինակ 1-ում սկալյար արտադրյալը ստացվել է դրական, իսկ օրինակ 2-ում՝ բացասական: Եկեք պարզենք, թե ինչից է կախված սկալյար արտադրանքի նշանը: Դիտարկենք մեր բանաձևը. . Ոչ զրոյական վեկտորների երկարությունները միշտ դրական են՝ , ուստի նշանը կարող է կախված լինել միայն կոսինուսի արժեքից։

Նշում: Ստորև բերված տեղեկատվությունը ավելի լավ հասկանալու համար ավելի լավ է ուսումնասիրել ձեռնարկի կոսինուսի գրաֆիկը Գրաֆիկները և ֆունկցիայի հատկությունները. Տեսեք, թե ինչպես է կոսինուսն իրեն պահում հատվածի վրա:

Ինչպես արդեն նշվեց, վեկտորների միջև անկյունը կարող է տարբեր լինել ներսում , և հնարավոր են հետևյալ դեպքերը.

1) Եթե անկյունվեկտորների միջև կծու: (0-ից 90 աստիճան), ապա , և կետային արտադրանքը դրական կլինի համահեղինակ, ապա նրանց միջև անկյունը համարվում է զրո, և սկալյար արտադրյալը նույնպես դրական կլինի։ Քանի որ , ապա բանաձևը պարզեցված է.

2) Եթե անկյունվեկտորների միջև հիմար: (90-ից 180 աստիճան), ապա և համապատասխանաբար, կետային արտադրանքը բացասական է: Հատուկ դեպք. եթե վեկտորները ուղղված հակառակը, ապա դիտարկվում է նրանց միջև եղած անկյունը տեղակայվել է(180 աստիճան): Սկալյար արտադրյալը նույնպես բացասական է, քանի որ

Ճիշտ են նաև հակառակ պնդումները.

1) Եթե , ապա այս վեկտորների միջև անկյունը սուր է: Որպես այլընտրանք, վեկտորները համակողմանի են:

2) Եթե , ապա այս վեկտորների միջև անկյունը բութ է: Որպես այլընտրանք, վեկտորները ուղղված են հակառակը:

Բայց երրորդ դեպքը առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում.

3) Եթե անկյունվեկտորների միջև ուղիղ(90 աստիճան) հետո և կետային արտադրանքը զրո է: Ճիշտ է նաև հակառակը. եթե, ապա: Կոմպակտ հայտարարությունը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե տրված վեկտորները ուղղանկյուն են. Կարճ մաթեմատիկական նշում.

! Նշում : կրկնել մաթեմատիկական տրամաբանության հիմքերըԵրկկողմանի տրամաբանական հետևանքի պատկերակը սովորաբար կարդացվում է «եթե և միայն այն ժամանակ», «եթե և միայն եթե»: Ինչպես տեսնում եք, սլաքներն ուղղված են երկու ուղղությամբ՝ «սրանից հետևում է սա, և հակառակը՝ սրանից հետևում է սա»: Ի դեպ, ո՞րն է տարբերությունը միակողմանի հետևելու պատկերակից: Icon-ի պնդումները միայն դաոր «սրանից հետևում է սա», և ոչ այն, որ ճիշտ է հակառակը։ Օրինակ՝ , բայց ամեն կենդանի չէ, որ պանտերա է, ուստի պատկերակը չի կարող օգտագործվել այս դեպքում։ Միեւնույն ժամանակ, պատկերակի փոխարեն կարող էօգտագործել միակողմանի պատկերակ: Օրինակ՝ խնդիրը լուծելիս պարզեցինք, որ եզրակացրինք, որ վեկտորները ուղղանկյուն են. - Նման գրառումը կլինի ճիշտ, և նույնիսկ ավելի տեղին, քան .

Երրորդ դեպքը մեծ գործնական նշանակություն ունի., քանի որ այն թույլ է տալիս ստուգել՝ արդյոք վեկտորները ուղղանկյուն են, թե ոչ։ Այս խնդիրը կլուծենք դասի երկրորդ բաժնում։

Dot արտադրանքի հատկությունները

Վերադառնանք այն իրավիճակին, երբ երկու վեկտոր համահեղինակ. Այս դեպքում նրանց միջև անկյունը զրոյական է, և սկալյար արդյունքի բանաձևը ստանում է ձևը.

Ի՞նչ կլինի, եթե վեկտորը բազմապատկվի ինքն իրենով: Հասկանալի է, որ վեկտորն ինքնին ուղղորդված է, ուստի մենք օգտագործում ենք վերը նշված պարզեցված բանաձևը.

Համարը կոչվում է սկալյար քառակուսիվեկտորը և նշվում են որպես .

Այս կերպ, վեկտորի սկալյար քառակուսին հավասար է տվյալ վեկտորի երկարության քառակուսուն.

Այս հավասարությունից կարող եք ստանալ վեկտորի երկարությունը հաշվարկելու բանաձև.

Թեև դա անհասկանալի է թվում, բայց դասի առաջադրանքները ամեն ինչ իրենց տեղը կդնեն: Խնդիրները լուծելու համար մեզ նույնպես անհրաժեշտ է կետային արտադրանքի հատկությունները.

Կամայական վեկտորների և ցանկացած թվի համար ճշմարիտ են հետևյալ հատկությունները.

1) - տեղաշարժվող կամ կոմուտատիվսկալյար արտադրանքի օրենքը.

2) - բաշխում կամ բաշխիչսկալյար արտադրանքի օրենքը. Պարզ ասած, դուք կարող եք բացել փակագծերը:

3) - համադրություն կամ ասոցիատիվսկալյար արտադրանքի օրենքը. Հաստատունը կարելի է դուրս բերել սկալյար արտադրյալից:

Հաճախ բոլոր տեսակի հատկությունները (որոնք նույնպես ապացուցման կարիք ունեն) ուսանողների կողմից ընկալվում են որպես անհարկի աղբ, որը միայն պետք է անգիր անել և ապահով կերպով մոռանալ քննությունից անմիջապես հետո: Թվում է, թե ինչն այստեղ կարևոր է, բոլորն արդեն առաջին դասարանից գիտեն, որ ապրանքը չի փոխվում գործոնների փոխարկումից. Պետք է զգուշացնեմ, որ բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ նման մոտեցմամբ հեշտ է ամեն ինչ խառնել։ Այսպիսով, օրինակ, կոմուտատիվ հատկությունը վավեր չէ հանրահաշվական մատրիցներ. համար դա ճիշտ չէ վեկտորների խաչաձև արտադրյալ. Հետևաբար, առնվազն ավելի լավ է խորամուխ լինել ցանկացած հատկությունների մեջ, որոնք դուք կհանդիպեք բարձրագույն մաթեմատիկայի ընթացքում, որպեսզի հասկանաք, թե ինչ կարելի է անել և ինչ չի կարելի անել:

Օրինակ 3

.

Լուծում:Նախ, եկեք պարզենք իրավիճակը վեկտորի հետ կապված: Ինչի՞ մասին է խոսքը։ Վեկտորների գումարը և լավ սահմանված վեկտոր է, որը նշանակվում է . Վեկտորների հետ գործողությունների երկրաչափական մեկնաբանությունը կարելի է գտնել հոդվածում Վեկտորներ կեղծամների համար. Նույն մաղադանոսը վեկտորով վեկտորների գումարն է և .

Այսպիսով, ըստ պայմանի, պահանջվում է գտնել սկալյար արտադրանքը։ Տեսականորեն անհրաժեշտ է կիրառել աշխատանքային բանաձեւը , բայց դժվարությունն այն է, որ մենք չգիտենք վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը։ Բայց պայմանում վեկտորների համար տրված են նմանատիպ պարամետրեր, ուստի մենք կգնանք այլ ճանապարհով.

(1) Մենք փոխարինում ենք վեկտորների արտահայտությունները:

(2) Փակագծերը բացում ենք ըստ բազմանդամների բազմապատկման կանոնի, հոդվածում կարելի է գտնել գռեհիկ լեզվապտույտ. Կոմպլեքս թվերկամ Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրում. Չեմ կրկնվի =) Ի դեպ, սկալյար արտադրյալի բաշխիչ հատկությունը թույլ է տալիս բացել փակագծերը։ Մենք իրավունք ունենք.

(3) Առաջին և վերջին անդամներում մենք կոմպակտ գրում ենք վեկտորների սկալյար քառակուսիները. . Երկրորդ տերմինում մենք օգտագործում ենք սկալյար արտադրյալի փոխարկելիությունը.

(4) Ահա նմանատիպ տերմիններ.

(5) Առաջին տերմինում մենք օգտագործում ենք սկալյար քառակուսի բանաձևը, որը նշվել է ոչ այնքան վաղ անցյալում: Վերջին ժամկետում, համապատասխանաբար, նույն բանն է գործում. Երկրորդ տերմինը ընդլայնվում է ըստ ստանդարտ բանաձևի .

(6) Փոխարինեք այս պայմանները , և ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ կատարեք վերջնական հաշվարկները։

Պատասխան.

Կետային արտադրյալի բացասական արժեքը ցույց է տալիս այն փաստը, որ վեկտորների միջև անկյունը բութ է:

Առաջադրանքը բնորոշ է, ահա անկախ լուծման օրինակ.

Օրինակ 4

Գտե՛ք վեկտորների սկալյար արտադրյալը և, եթե հայտնի է, որ .

Այժմ ևս մեկ ընդհանուր առաջադրանք, պարզապես վեկտորի երկարության նոր բանաձևի համար: Նշումները այստեղ մի փոքր կհամընկնեն, ուստի պարզության համար ես այն կվերագրեմ այլ տառով.

Օրինակ 5

Գտե՛ք վեկտորի երկարությունը, եթե .

Լուծումկլինի հետևյալը.

(1) Մենք տրամադրում ենք վեկտորի արտահայտությունը:

(2) Մենք օգտագործում ենք երկարության բանաձևը՝ , մինչդեռ որպես «ve» վեկտոր ունենք ամբողջ թվային արտահայտություն։

(3) Մենք օգտագործում ենք դպրոցական բանաձևը գումարի քառակուսու համար: Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես է այն հետաքրքիր կերպով աշխատում այստեղ. - իրականում սա տարբերության քառակուսին է, և, փաստորեն, այդպես է: Ցանկացողները կարող են տեղ-տեղ վերադասավորել վեկտորները. - նույն բանը ստացվեց մինչև տերմինների վերադասավորում։

(4) Այն, ինչ հետևում է, արդեն ծանոթ է նախորդ երկու խնդիրներից:

Պատասխան.

Քանի որ մենք խոսում ենք երկարության մասին, մի մոռացեք նշել չափը `« միավորներ »:

Օրինակ 6

Գտե՛ք վեկտորի երկարությունը, եթե .

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Մենք շարունակում ենք օգտակար բաներ քամել սկալյար արտադրանքից: Եկեք նորից նայենք մեր բանաձեւին . Համամասնության կանոնով մենք վերակայում ենք վեկտորների երկարությունները ձախ կողմի հայտարարին.

Փոխանակենք մասերը.

Ո՞րն է այս բանաձևի իմաստը: Եթե ​​հայտնի են երկու վեկտորների երկարությունները և դրանց սկալյար արտադրյալը, ապա կարելի է հաշվել այդ վեկտորների միջև անկյան կոսինուսը և, հետևաբար, բուն անկյունը։

Արդյո՞ք սկալյար արտադրյալը թիվ է: Թիվ. Արդյո՞ք վեկտորի երկարությունները թվեր են: Թվեր. Այսպիսով, կոտորակը նույնպես թիվ է: Իսկ եթե հայտնի է անկյան կոսինուսը. , ապա օգտագործելով հակադարձ ֆունկցիան՝ հեշտ է գտնել հենց ինքը անկյունը. .

Օրինակ 7

Գտե՛ք անկյունը վեկտորների միջև և, եթե հայտնի է, որ.

Լուծում:Մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Հաշվարկների վերջնական փուլում կիրառվել է տեխնիկա՝ հայտարարի մեջ իռացիոնալության վերացում։ Իռացիոնալությունը վերացնելու համար համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեցի .

Այսպիսով, եթե , ապա՝

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները կարելի է գտնել ըստ եռանկյունաչափական աղյուսակ. Չնայած դա հազվադեպ է պատահում: Անալիտիկ երկրաչափության խնդիրներում որոշ անշնորհք արջի նման շատ ավելի հաճախ է հայտնվում, և անկյան արժեքը մոտավորապես պետք է գտնել հաշվիչի միջոցով: Փաստորեն, մենք նորից ու նորից կտեսնենք այս նկարը։

Պատասխան.

Կրկին մի մոռացեք նշել չափը՝ ռադիաններ և աստիճաններ: Անձամբ ես միտումնավոր «բոլոր հարցերը հեռացնելու» համար նախընտրում եմ նշել երկուսն էլ (եթե, իհարկե, պայմանով, պատասխանը պահանջվում է ներկայացնել միայն ռադիաններով կամ միայն աստիճաններով):

Այժմ դուք կկարողանաք ինքնուրույն հաղթահարել ավելի բարդ խնդիր.

Օրինակ 7*

Տրված են վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը: Գտե՛ք վեկտորների միջև եղած անկյունը, .

Խնդիրն այնքան էլ բարդ չէ, որքան բազմակողմանի:
Եկեք վերլուծենք լուծման ալգորիթմը.

1) Ըստ պայմանի, պահանջվում է գտնել վեկտորների և ի միջև անկյունը, ուստի անհրաժեշտ է օգտագործել բանաձևը. .

2) Մենք գտնում ենք սկալյար արտադրյալը (տե՛ս օրինակներ թիվ 3, 4):

3) Գտե՛ք վեկտորի երկարությունը և վեկտորի երկարությունը (տե՛ս օրինակներ թիվ 5, 6):

4) Լուծման ավարտը համընկնում է օրինակ 7-ի հետ. մենք գիտենք թիվը, ինչը նշանակում է, որ հեշտ է գտնել անկյունն ինքնին.

Կարճ լուծում և պատասխան դասի վերջում.

Դասի երկրորդ բաժինը նվիրված է նույն կետային արտադրյալին: Կոորդինատներ. Նույնիսկ ավելի հեշտ կլինի, քան առաջին մասում։

Վեկտորների կետային արտադրյալ,
տրված է կոորդինատներով օրթոնորմալ հիմունքներով

Պատասխան.

Ավելորդ է ասել, որ կոորդինատների հետ գործ ունենալը շատ ավելի հաճելի է։

Օրինակ 14

Գտե՛ք վեկտորների սկալյար արտադրյալը և եթե

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Այստեղ կարելի է օգտագործել գործողության ասոցիատիվությունը, այսինքն՝ չհաշվել, այլ անմիջապես հանել եռապատիկը սկալյար արտադրյալից և վերջին անգամ բազմապատկել դրանով։ Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։

Պարբերության վերջում վեկտորի երկարությունը հաշվարկելու սադրիչ օրինակ.

Օրինակ 15

Գտեք վեկտորների երկարությունները , եթե

Լուծում:կրկին նախորդ բաժնի մեթոդն ինքն իրեն հուշում է, բայց կա ևս մեկ ճանապարհ.

Գտնենք վեկտորը.

Եվ դրա երկարությունը՝ ըստ չնչին բանաձևի :

Սկալյար արտադրանքն այստեղ ընդհանրապես տեղին չէ:

Վեկտորի երկարությունը հաշվարկելիս որքանով է անգործունակ.
Դադարեցրեք. Ինչո՞ւ չօգտվել վեկտորի ակնհայտ երկարության հատկությունից: Ի՞նչ կարելի է ասել վեկտորի երկարության մասին: Այս վեկտորը 5 անգամ ավելի երկար է, քան վեկտորը։ Ուղղությունը հակառակ է, բայց դա նշանակություն չունի, քանի որ խոսքը երկարության մասին է։ Ակնհայտ է, որ վեկտորի երկարությունը հավասար է արտադրյալին մոդուլթվեր մեկ վեկտորի երկարությամբ.
- մոդուլի նշանը «ուտում է» թվի հնարավոր մինուսը։

Այս կերպ:

Պատասխան.

Վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևը, որոնք տրված են կոորդինատներով

Այժմ մենք ունենք ամբողջական տեղեկատվություն՝ վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի նախկինում ստացված բանաձևը վեկտորների կոորդինատներով արտահայտելու համար.

Հարթ վեկտորների միջև անկյան կոսինուսև , տրված օրթոնորմալ հիմք , արտահայտվում է բանաձևով:
.

Տիեզերական վեկտորների միջև անկյան կոսինուստրված օրթոնորմալ հիմունքներով, արտահայտվում է բանաձևով:

Օրինակ 16

Տրված են եռանկյան երեք գագաթներ։ Գտեք (գագաթի անկյուն):

Լուծում:Ըստ պայմանի, նկարը պարտադիր չէ, բայց դեռ.

Պահանջվող անկյունը նշվում է կանաչ աղեղով: Անմիջապես հիշեք անկյան դպրոցական նշանակումը. - հատուկ ուշադրություն միջիննամակ - սա մեզ անհրաժեշտ անկյան գագաթն է: Համառոտության համար այն կարելի էր գրել նաև պարզ.

Գծագրից միանգամայն ակնհայտ է, որ եռանկյան անկյունը համընկնում է վեկտորների միջև անկյան հետ և, այլ կերպ ասած. .

Ցանկալի է սովորել, թե ինչպես կատարել մտավոր կատարված վերլուծությունը։

Գտնենք վեկտորները.

Եկեք հաշվարկենք սկալյար արտադրյալը.

Եվ վեկտորների երկարությունները.

Անկյան կոսինուս.

Առաջադրանքի այս կարգն է, որ ես խորհուրդ եմ տալիս դավաճաններին: Ավելի առաջադեմ ընթերցողները կարող են հաշվարկները գրել «մեկ տողով».

Ահա «վատ» կոսինուսի արժեքի օրինակ։ Ստացված արժեքը վերջնական չէ, հետևաբար, իմաստ չունի ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից։

Գտնենք անկյունը.

Եթե ​​նայեք գծագրին, ապա արդյունքը բավականին հավանական է: Անկյունը ստուգելու համար կարելի է չափել նաև անկյունաչափով։ Մի վնասեք մոնիտորի ծածկույթը =)

Պատասխան.

Պատասխանում մի մոռացեք դա հարցրեց եռանկյան անկյան մասին(և ոչ վեկտորների միջև անկյան մասին), մի մոռացեք նշել ճշգրիտ պատասխանը և անկյան մոտավոր արժեքը. հայտնաբերվել է հաշվիչի միջոցով:

Նրանք, ովքեր հաճույք են ստացել գործընթացից, կարող են հաշվարկել անկյունները և համոզվել, որ կանոնական հավասարությունը ճշմարիտ է

Օրինակ 17

Եռանկյունը տարածության մեջ տրվում է նրա գագաթների կոորդինատներով։ Գտեք կողմերի միջև եղած անկյունը և

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում

Վերջնական փոքր հատվածը նվիրված կլինի կանխատեսումներին, որոնցում «ներգրավված է» նաև սկալյար արտադրությունը.

Վեկտորի պրոյեկցիան վեկտորի վրա: Վեկտորային պրոյեկցիա կոորդինատային առանցքների վրա:
Վեկտորի ուղղության կոսինուսներ

Դիտարկենք վեկտորները և.

Մենք նախագծում ենք վեկտորը վեկտորի վրա, դրա համար մենք բաց ենք թողնում վեկտորի սկզբից և վերջից ուղղահայացներմեկ վեկտորի համար (կանաչ կետավոր գծեր): Պատկերացրեք, որ լույսի ճառագայթները ուղղահայաց են ընկնում վեկտորի վրա: Այնուհետև հատվածը (կարմիր գիծը) կլինի վեկտորի «ստվերը»: Այս դեպքում վեկտորի պրոյեկցիան վեկտորի վրա հատվածի երկարությունն է: Այսինքն՝ ՊՐՈԵԿՑԻԱՆ ԹԻՎ Է։

Այս ԹԻՎԸ նշվում է հետևյալ կերպ. , «մեծ վեկտորը» նշանակում է վեկտոր ՈՐԸնախագիծ, «small subscript vector»-ը նշանակում է վեկտորը ՎՐԱորը կանխատեսվում է.

Ինքնին մուտքն այսպես է ասվում. «a» վեկտորի պրոյեկցիան «be» վեկտորի վրա»:

Ի՞նչ կլինի, եթե «be» վեկտորը «չափազանց կարճ» է: Մենք գծում ենք «be» վեկտորը պարունակող ուղիղ գիծ։ Իսկ «ա» վեկտորն արդեն պրոյեկտվելու է դեպի «լինի» վեկտորի ուղղությամբ, պարզապես՝ «be» վեկտորը պարունակող ուղիղ գծի վրա։ Նույնը տեղի կունենա, եթե «a» վեկտորը մի կողմ դրվի երեսուներորդ թագավորությունում, այն դեռ հեշտությամբ կպրոյեկտվի «be» վեկտորը պարունակող գծի վրա։

Եթե ​​անկյունըվեկտորների միջև կծու(ինչպես նկարում), ապա

Եթե ​​վեկտորները ուղղանկյուն, ապա (պրոյեկցիան այն կետն է, որի չափերը ենթադրվում են զրո):

Եթե ​​անկյունըվեկտորների միջև հիմար(նկարում մտովի վերադասավորեք վեկտորի սլաքը), այնուհետև (նույն երկարությունը, բայց վերցված մինուս նշանով):

Մի կետից մի կողմ դրեք այս վեկտորները.

Ակնհայտ է, որ վեկտորը տեղափոխելիս նրա պրոյեկցիան չի փոխվում

Դասախոսություն: Վեկտորային կոորդինատներ; վեկտորների կետային արտադրյալ; անկյունը վեկտորների միջև

Վեկտորային կոորդինատներ

Այսպիսով, ինչպես նշվեց ավելի վաղ, վեկտորը ուղղորդված հատված է, որն ունի իր սկիզբն ու վերջը: Եթե ​​սկիզբը և վերջը ներկայացված են որոշ կետերով, ապա նրանք ունեն իրենց սեփական կոորդինատները հարթության վրա կամ տարածության մեջ:

Եթե ​​յուրաքանչյուր կետ ունի իր կոորդինատները, ապա մենք կարող ենք ստանալ ամբողջ վեկտորի կոորդինատները:

Ենթադրենք, մենք ունենք մի վեկտոր, որի վեկտորի սկիզբն ու վերջը ունեն հետևյալ նշանակումներն ու կոորդինատները՝ A(A x ; Ay) և B(B x ; By)

Այս վեկտորի կոորդինատները ստանալու համար անհրաժեշտ է վեկտորի վերջի կոորդինատներից հանել համապատասխան մեկնարկային կոորդինատները.

Տիեզերքում վեկտորի կոորդինատը որոշելու համար օգտագործեք հետևյալ բանաձևը.

Վեկտորների կետային արտադրյալ

Կետային արտադրանքի հասկացությունը սահմանելու երկու եղանակ կա.

• Երկրաչափական ճանապարհ. Ըստ նրա՝ սկալյար արտադրյալը հավասար է այս մոդուլների արժեքների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին։

• հանրահաշվական իմաստ. Հանրահաշվի տեսանկյունից երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը որոշակի արժեք է, որը բխում է համապատասխան վեկտորների արտադրյալների գումարից։

Եթե ​​վեկտորները տրված են տարածության մեջ, ապա դուք պետք է օգտագործեք նմանատիպ բանաձև.

Հատկություններ:

• Եթե ​​երկու միանման վեկտորները սկալյար կերպով բազմապատկեք, ապա դրանց սկալյար արտադրյալը կլինի ոչ բացասական.

• Եթե ​​երկու միանման վեկտորների սկալյար արտադրյալը պարզվեց, որ հավասար է զրոյի, ապա այս վեկտորները համարվում են զրո.

• Եթե ​​որոշակի վեկտորը բազմապատկվում է ինքն իրեն, ապա սկալյար արտադրյալը հավասար կլինի նրա մոդուլի քառակուսուն.

• Սկալյար արտադրյալն ունի հաղորդակցական հատկություն, այսինքն՝ սկալյար արտադրյալը չի ​​փոխվի վեկտորների փոխարկումից.

• Ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը կարող է զրո լինել միայն այն դեպքում, եթե վեկտորները միմյանց ուղղահայաց են.

• Վեկտորների սկալյար արտադրյալի համար կոմուտատիվ օրենքը վավեր է վեկտորներից մեկը թվով բազմապատկելու դեպքում.

• Կետային արտադրյալի միջոցով կարող եք նաև օգտագործել բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը.

Անկյուն վեկտորների միջև