Վեկտորների վեկտորների արտադրյալը տարածության մեջ: վեկտորային արտադրանք

Ակնհայտ է, որ խաչաձև արտադրյալի դեպքում կարևոր է վեկտորների վերցման հերթականությունը, ավելին.

Նաև ուղղակիորեն սահմանումից հետևում է, որ ցանկացած սկալյար գործոնի k (թիվ) համար ճիշտ է հետևյալը.

Գոլգծային վեկտորների խաչաձև արտադրյալը հավասար է զրոյական վեկտորի: Ավելին, վեկտորային արտադրանքերկու վեկտորները զրո են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանք համագիծ են: (Այն դեպքում, երբ դրանցից մեկը զրոյական վեկտոր է, անհրաժեշտ է հիշել, որ զրոյական վեկտորը ըստ սահմանման համագիծ է ցանկացած վեկտորի հետ):

Վեկտորային արտադրանքն ունի բաշխիչ սեփականություն, այն է

Խաչաձև արտադրյալի արտահայտությունը վեկտորների կոորդինատներով:

Թող տրվի երկու վեկտոր

(ինչպես գտնել վեկտորի կոորդինատները նրա սկզբի և վերջի կոորդինատներով. տե՛ս վեկտորների կետային արտադրյալ հոդվածը, պարբերություն Կետային արտադրյալի այլընտրանքային սահմանում կամ երկու վեկտորների կետային արտադրյալի հաշվարկ, որոնք տրված են իրենց կոորդինատներով):

Ինչու՞ է ձեզ անհրաժեշտ վեկտորային արտադրանք:

Խաչաձև արտադրյալը օգտագործելու բազմաթիվ եղանակներ կան, օրինակ, ինչպես արդեն գրված է վերևում, երկու վեկտորների խաչաձև արտադրյալը հաշվարկելով, կարող եք պարզել, թե արդյոք դրանք համագիծ են:

Կամ այն ​​կարող է օգտագործվել որպես այս վեկտորներից կառուցված զուգահեռագծի տարածքը հաշվարկելու միջոց: Սահմանման հիման վրա ստացված վեկտորի երկարությունը այս զուգահեռագծի տարածքն է:

Նաև մեծ գումարկիրառություններ կան էլեկտրականության և մագնիսականության մեջ:

Վեկտորային արտադրանքի առցանց հաշվիչ:

Այս հաշվիչը օգտագործելով երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է առաջին տողում մուտքագրել առաջին վեկտորի կոորդինատները. երկրորդ - երկրորդ. Վեկտորների կոորդինատները կարող են հաշվարկվել սկզբի և վերջի կոորդինատներից (տես հոդված Վեկտորների կետային արտադրյալ , կետ Կետային արտադրյալի այլընտրանքային սահմանում կամ երկու վեկտորների կետային արտադրյալի հաշվարկ՝ հաշվի առնելով դրանց կոորդինատները:)

Սահմանում. Վեկտորի a (բազմապատկիչ) վեկտորի արտադրյալը վեկտորի (բազմապատկիչի) կողմից, որը համակողմանի չէ դրան, երրորդ վեկտոր c (արտադրյալն է), որը կառուցված է հետևյալ կերպ.

1) դրա մոդուլը թվայինորեն հավասար է նկ. 155), որը կառուցված է վեկտորների վրա, այսինքն՝ հավասար է նշված զուգահեռագծի հարթությանը ուղղահայաց ուղղությանը.

3) այս դեպքում c վեկտորի ուղղությունը ընտրվում է (երկու հնարավորից), որպեսզի c վեկտորները կազմեն աջակողմյան համակարգ (§ 110):

Նշանակում՝ կամ

Սահմանման լրացում. Եթե ​​վեկտորները համագիծ են, ապա պատկերը դիտարկելով որպես (պայմանականորեն) զուգահեռագիծ, բնական է զրոյական տարածք վերագրելը: Հետևաբար, համագիծ վեկտորների վեկտորային արտադրյալը համարվում է հավասար զրոյական վեկտորին։

Քանի որ զրոյական վեկտորին կարող է վերագրվել ցանկացած ուղղություն, այս կոնվենցիան չի հակասում սահմանման 2-րդ և 3-րդ կետերին:

Դիտողություն 1. «Վեկտորային արտադրյալ» տերմինում առաջին բառը ցույց է տալիս, որ գործողության արդյունքը վեկտոր է (ի տարբերություն սկալյար արտադրյալի, տե՛ս § 104, դիտողություն 1):

Օրինակ 1. Գտե՛ք վեկտորային արտադրյալը, որտեղ աջ կոորդինատային համակարգի հիմնական վեկտորները (նկ. 156):

1. Քանի որ հիմնական վեկտորների երկարությունները հավասար են սանդղակի միավորին, զուգահեռագծի (քառակուսու) մակերեսը թվայինորեն հավասար է մեկի: Այսպիսով, վեկտորի արտադրյալի մոդուլը հավասար է մեկի:

2. Քանի որ հարթությանը ուղղահայացը առանցքն է, ցանկալի վեկտորային արտադրյալը վեկտոր է, որը համագիծ է k վեկտորին; և քանի որ երկուսն էլ ունեն մոդուլ 1, անհրաժեշտ խաչաձև արտադրյալը կա՛մ k է, կա՛մ -k:

3. Այս երկու հնարավոր վեկտորներից պետք է ընտրել առաջինը, քանի որ k վեկտորները կազմում են աջ համակարգ (իսկ վեկտորները՝ ձախ)։

Օրինակ 2. Գտե՛ք խաչաձև արտադրյալը

Լուծում. Ինչպես օրինակ 1-ում, մենք եզրակացնում ենք, որ վեկտորը կա՛մ k է, կա՛մ -k: Բայց հիմա մենք պետք է ընտրենք -k, քանի որ վեկտորները կազմում են ճիշտ համակարգը (իսկ վեկտորները կազմում են ձախը): Այսպիսով,

Օրինակ 3 Վեկտորներն ունեն համապատասխանաբար 80 և 50 սմ երկարություն և կազմում են 30° անկյուն: Ընդունելով մետրը որպես երկարության միավոր՝ գտե՛ք վեկտորի արտադրյալի երկարությունը a

Լուծում. Վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է ցանկալի վեկտորի արտադրյալի երկարությունը հավասար է

Օրինակ 4. Գտե՛ք նույն վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի երկարությունը՝ որպես երկարության միավոր վերցնելով սանտիմետրը:

Լուծում. Քանի որ վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է վեկտորի արտադրյալի երկարությանը, 2000 սմ է, այսինքն.

3 և 4 օրինակների համեմատությունը ցույց է տալիս, որ վեկտորի երկարությունը կախված է ոչ միայն գործոնների երկարությունից, այլև երկարության միավորի ընտրությունից։

Վեկտորային արտադրանքի ֆիզիկական նշանակությունը:Վեկտորային արտադրյալով ներկայացված բազմաթիվ ֆիզիկական մեծություններից մենք կդիտարկենք միայն ուժի պահը:

Թող A լինի ուժի կիրառման կետը: O կետի նկատմամբ ուժի պահը կոչվում է վեկտորային արտադրյալ: Քանի որ այս վեկտորային արտադրյալի մոդուլը թվայինորեն հավասար է զուգահեռագծի մակերեսին (Նկար 157), պահի մոդուլը հավասար է բազայի արտադրյալին բարձրությամբ, այսինքն՝ ուժը բազմապատկված է O կետից դեպի ուղիղ գիծ հեռավորության վրա, որի երկայնքով գործում է ուժը։

Մեխանիկայի մեջ ապացուցված է, որ կոշտ մարմնի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ է, որ ոչ միայն մարմնի վրա կիրառվող ուժերը ներկայացնող վեկտորների գումարը, այլև ուժերի մոմենտների գումարը հավասար լինի զրոյի։ Այն դեպքում, երբ բոլոր ուժերը զուգահեռ են նույն հարթությանը, մոմենտները ներկայացնող վեկտորների գումարումը կարող է փոխարինվել դրանց մոդուլների գումարմամբ և հանելով։ Բայց ուժերի կամայական ուղղությունների համար նման փոխարինումն անհնար է։ Ըստ այդմ՝ խաչաձև արտադրյալը սահմանվում է հենց որպես վեկտոր, այլ ոչ թե որպես թիվ։

Սահմանում. Վեկտորի a և b վեկտորի վեկտորի արտադրյալը վեկտոր է, որը նշվում է [«, b] (կամ l x b) նշանով, այնպես, որ 1) վեկտորի երկարությունը [a, b] հավասար է (p, որտեղ y-ն է. a և b վեկտորների միջև անկյունը (31); 2) [a, b) վեկտորը ուղղահայաց է a և b վեկտորներին, այսինքն. այս վեկտորների հարթությանը ուղղահայաց; 3) [a, b] վեկտորն ուղղված է այնպես, որ այս վեկտորի վերջից երևում է, որ ամենակարճ պտույտը a-ից b է կատարվում ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (նկ. 32): Բրինձ. 32 Նկ.31 Այլ կերպ ասած, a, b և [а, b) վեկտորները կազմում են վեկտորների աջ եռյակը, այսինքն. գտնվում է աջ ձեռքի բթամատի, ցուցամատի և միջնամատի նման: Եթե ​​a և b վեկտորները համագիծ են, ապա կենթադրենք, որ [a, b] = 0: Ըստ սահմանման, վեկտորի արտադրյալի երկարությունը թվայինորեն հավասար է բազմապատկված վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի Sa մակերեսին (նկ. 33): a և b, ինչպես կողքերում. 6.1. Վեկտորային արտադրյալի հատկությունները 1. Վեկտորային արտադրյալը հավասար է զրոյական վեկտորի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե բազմապատկված վեկտորներից առնվազն մեկը զրո է կամ երբ այս վեկտորները համագիծ են (եթե a և b վեկտորները համագիծ են, ապա նրանց միջև եղած անկյունը 0 կամ 7r է): Սա հեշտ է ստանալ այն փաստից, որ եթե զրոյական վեկտորը կոլինսարը դիտարկենք որևէ վեկտորի նկատմամբ, ապա a և b վեկտորների համակցվածության պայմանը կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ. Վեկտորային արտադրյալը հակակոմուտատիվ է, այսինքն՝ միշտ: Իրոք, վեկտորները (a, b) և ունեն նույն երկարությունը և համագիծ են: Այս վեկտորների ուղղությունները հակադիր են, քանի որ [a, b] վեկտորի վերջից երևում է ամենակարճ պտույտը a-ից դեպի b, որը տեղի է ունենում ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, իսկ վեկտորի վերջից [b, a]՝ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (Նկար 10): 34): 3. Վեկտորային արտադրյալն ունի բաշխիչ հատկություն գումարման նկատմամբ 4. Ա թվային գործակիցը կարելի է հանել վեկտորի արտադրյալի նշանից 6.2. Կոորդինատներով տրված վեկտորների վեկտորային արտադրյալը Թող a և b վեկտորները տրվեն հիմքում իրենց կոորդինատներով: Օգտագործելով վեկտորի արտադրյալի բաշխման հատկությունը՝ մենք գտնում ենք կոորդինատներով տրված վեկտորների վեկտորային արտադրյալը։ Խառը աշխատանք. Դուրս գրենք կոորդինատային օրթերի վեկտորային արտադրյալները (նկ. 35). Հետևաբար, a և b վեկտորների վեկտորների արտադրյալի համար (3) բանաձևից ստանում ենք հետևյալ որոշիչ արտահայտությունը 1-ին շարքի տարրերի նկատմամբ, ստանում ենք (. 4). Օրինակներ. 1. Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը Գտեք եռանկյան մակերեսը (նկ. 36): Հասկանալի է, որ ԲԲԸ եռանկյան b "d մակերեսը հավասար է O AC B զուգահեռագծի S տարածքի կեսին: Վեկտորային արտադրյալի հաշվարկը (a, b | վեկտորների a \u003d OA և b \u003d b \u003d ob): ), ստանում ենք (a, b), c) = [a, |b, c)) ընդհանուր դեպքում ճիշտ չէ:Օրինակ a = ss j-ի համար ունենք § 7. Վեկտորների խառը արտադրյալ Թող ունենանք. երեք a, b և c վեկտորները բազմապատկեք a և 1> վեկտորները վեկտորականորեն, արդյունքում ստացվում է [a, 1>] վեկտորը, այն մասշտաբային բազմապատկում ենք c վեկտորով. (k b), c թիվը ( [a, b], e) կոչվում է a, b.c վեկտորների խառը արտադրյալ և նշանակվում է (a, 1), e նշանով 7.1 Խառը արտադրյալի երկրաչափական նշանակությունը Մի կողմ դնենք. a, b վեկտորները և O ընդհանուր կետից (նկ. 37): Եթե բոլոր չորս կետերը O, A, B, C գտնվում են նույն հարթության մեջ ( a, b և c վեկտորները այս դեպքում կոչվում են համահավասար), ապա խառը արտադրյալ ([a, b], c) = 0: Սա բխում է այն փաստից, որ վեկտորը [a, b|-ն ուղղահայաց է այն հարթությանը, որում գտնվում են a և 1 վեկտորները», և, հետևաբար, վեկտորը c. / Եթե t O, A, B, C կետերը չեն գտնվում նույն հարթության վրա (a, b և c վեկտորները ոչ համահունչ են), մենք զուգահեռաբար կկառուցենք OA, OB և OS եզրերին (նկ. 38 ա). Խաչաձև արտադրյալի սահմանմամբ մենք ունենք (a,b) = So c, որտեղ So է OADB զուգահեռագծի տարածքը, իսկ c-ն միավոր վեկտոր է, որը ուղղահայաց է a և b վեկտորներին և այնպիսին, որ եռակի a , բ, գ ճիշտ է, այսինքն. a, b և c վեկտորները գտնվում են համապատասխանաբար որպես աջ ձեռքի բթամատ, ցուցամատ և միջին մատներ (նկ. 38 բ): Աջ սկալարի վերջին հավասարության երկու մասերը բազմապատկելով c վեկտորով, մենք ստանում ենք, որ վեկտորների վեկտորների արտադրյալը տրված է կոորդինատներով: Խառը աշխատանք. rc c թիվը հավասար է կառուցված զուգահեռականի h բարձրությանը, որը վերցված է «+» նշանով, եթե c և c վեկտորների միջև անկյունը սուր է (եռակի a, b, c ճիշտ է), և «+» նշանով: -», եթե անկյունը բութ է (եռակի a, b, c - ձախ), այնպես որ, այսպիսով, a, b և c վեկտորների խառը արտադրյալը հավասար է այս վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի V ծավալին, ինչպես եզրերի վրա: եթե a, b, c եռապատիկը ճիշտ է, և -V, եթե a , b, c եռապատիկը ձախ է: Ելնելով խառը արտադրյալի երկրաչափական նշանակությունից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ նույն a, b և c վեկտորները ցանկացած այլ կարգով բազմապատկելով՝ միշտ կստանանք կամ +7 կամ -K: նշանը պրո- Նկ. 38 հղումը կախված կլինի միայն նրանից, թե որ եռյակը կձևավորվի բազմապատկված վեկտորները՝ աջ թե ձախ: Եթե ​​a, b, c վեկտորները կազմում են ճիշտ եռյակ, ապա b, c, a և c, a, b եռյակները նույնպես ճիշտ կլինեն։ Միևնույն ժամանակ, բոլոր երեք եռյակները b, a, c; ա, գ, բ և գ, բ, ա - ձախ. Այսպիսով, (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b , ա). Եվս մեկ անգամ շեշտում ենք, որ վեկտորների խառը արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե բազմապատկված a, b, c վեկտորները համահավասար են. Խառը արտադրյալ կոորդինատներում Թող a, b, c վեկտորները տրվեն իրենց կոորդինատներով i, j, k հիմքում. a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c. = (x3, uz, 23): Գտնենք արտահայտություն նրանց խառը արտադրյալի համար (a, b, c): Մենք ունենք վեկտորների խառը արտադրյալ, որը տրված է i, J, k հիմքում իրենց կոորդինատներով, որը հավասար է երրորդ կարգի որոշիչին, որի ուղիղները կազմված են, համապատասխանաբար, բազմապատկվածի առաջին, երկրորդ և երրորդի կոորդինատներից։ վեկտորներ. a y\, Z|), b = (xx, y2.22), c = (x3, uz, 23) վեկտորների համադրելիության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը կարելի է գրել հետևյալ ձևով. z, ar2 y2 -2 =0. Ուզ օրինակ. Ստուգեք, արդյոք v = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) վեկտորները համահարթակ են: Դիտարկվող վեկտորները կլինեն համահավասար, թե ոչ համահավասար՝ կախված նրանից, թե որոշիչը հավասար է զրոյի, թե ոչ: Այն ընդլայնելով առաջին շարքի տարրերով, ստանում ենք. 7.3. Կրկնակի խաչաձև արտադրյալ Կրկնակի խաչաձև արտադրյալը [a, [b, c]] վեկտոր է a և [b, c] վեկտորներին ուղղահայաց։ Հետևաբար, այն գտնվում է b և c վեկտորների հարթությունում և կարող է ընդլայնվել այս վեկտորներում: Կարելի է ցույց տալ, որ [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) բանաձեւը վավեր է։ Վարժություններ 1. Երեք վեկտոր AB = c, W? = o և CA = b ծառայում են որպես եռանկյան կողմեր: Արտահայտե՛ք a, b և c չափերով վեկտորները, որոնք համընկնում են եռանկյան AM, DN, CP միջնորների հետ: 2. Ի՞նչ պայման պետք է կապել p և q վեկտորների միջև, որպեսզի p + q վեկտորը կիսի նրանց միջև եղած անկյունը: Ենթադրվում է, որ բոլոր երեք վեկտորները կապված են ընդհանուր ծագման հետ: 3. Հաշվե՛ք a = 5p + 2q և b = p - 3q վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի անկյունագծերի երկարությունը, եթե հայտնի է, որ |p| = 2v/2, |ք| = 3 H-(p7ci) = f. 4. a և b-ով նշելով ռոմբի ընդհանուր գագաթից դուրս եկող կողմերը, ապացուցեք, որ ռոմբի անկյունագծերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են: 5. Հաշվե՛ք a = 4i + 7j + 3k և b = 31 - 5j + k վեկտորների կետային արտադրյալը: 6. Գտե՛ք a = (6, 7, -6) վեկտորին զուգահեռ a0 միավոր վեկտորը: 7. Գտե՛ք a = l+ j- kHa վեկտորի պրոյեկցիան b = 21 - j - 3k: 8. Գտե՛ք վեկտորների միջև անկյան կոսինուսը IS «w, եթե A (-4.0.4), B (-1.6.7), C (1.10.9): 9. Գտե՛ք p° միավոր վեկտորը, որը միաժամանակ ուղղահայաց է a = (3, 6, 8) վեկտորին և x առանցքին: 10. Հաշվի՛ր a = 2i+J-k, b=i-3j + k վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի անկյունագծերի միջև ընկած անկյան սինուսը, ինչպես կողմերի վրա։ Հաշվե՛ք a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի h բարձրությունը, եթե որպես հիմք ընդունված է a և I վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագիծը։ Պատասխանները

Նախքան վեկտորային արտադրյալ հասկացությունը տալը, անդրադառնանք a → , b → , c → վեկտորների դասավորված եռյակի կողմնորոշման հարցին եռաչափ տարածության մեջ։

Սկսելու համար մի կետից մի կողմ դնենք a → , b → , c → վեկտորները։ a → , b → , c → եռակի կողմնորոշումը աջ կամ ձախ է՝ կախված c → վեկտորի ուղղությունից։ Այն ուղղությունից, որով կատարվում է ամենակարճ պտույտը a → վեկտորի c → b → վեկտորի վերջից, կորոշվի a → , b → , c → եռակի ձևը։

Եթե ​​ամենակարճ պտույտը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ է, ապա a → , b → , c → վեկտորների եռապատիկը կոչվում է. ճիշտեթե ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ - ձախ.

Հաջորդը, վերցրեք երկուսը համագիծ վեկտորներ a → և b →. Ապա հետաձգենք A B → = a → և A C → = b → վեկտորները A կետից: Եկեք կառուցենք A D → = c → վեկտորը, որը միաժամանակ ուղղահայաց է և՛ A B → , և՛ A C → : Այսպիսով, A D → = c → վեկտորը կառուցելիս մենք կարող ենք երկու բան անել՝ տալով նրան կամ մեկ ուղղություն, կամ հակառակը (տես նկարազարդումը):

a → , b → , c → վեկտորների դասավորված եռյակը կարող է լինել, ինչպես պարզեցինք, աջ կամ ձախ՝ կախված վեկտորի ուղղությունից։

Վերոնշյալից մենք կարող ենք ներկայացնել վեկտորային արտադրանքի սահմանումը: Այս սահմանումը տրված է եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանված երկու վեկտորների համար։

Սահմանում 1

a → և b → երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը Մենք կանվանենք այնպիսի վեկտոր, որը տրված է եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում այնպես, որ.

• եթե a → և b → վեկտորները համագիծ են, ապա այն կլինի զրո;
• այն ուղղահայաց կլինի ինչպես a →​— վեկտորին, այնպես էլ b վեկտորին → այսինքն. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• դրա երկարությունը որոշվում է բանաձևով՝ c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → վեկտորների եռյակն ունի նույն կողմնորոշումը, ինչ տրված կոորդինատային համակարգը։

a → և b → վեկտորների խաչաձև արտադրյալն ունի հետևյալ նշումը՝ a → × b →.

Արտադրանքի խաչաձև կոորդինատներ

Քանի որ ցանկացած վեկտոր կոորդինատային համակարգում ունի որոշակի կոորդինատներ, կարելի է ներկայացնել վեկտորային արտադրյալի երկրորդ սահմանումը, որը թույլ կտա վեկտորների տրված կոորդինատներից գտնել նրա կոորդինատները։

Սահմանում 2

Եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալ a → = (a x ; a y ; a z) և b → = (b x ; b y ; b z) կանչել վեկտորը c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , որտեղ i → , j → , k → կոորդինատային վեկտորներ են:

Վեկտորային արտադրյալը կարող է ներկայացվել որպես երրորդ կարգի քառակուսի մատրիցայի որոշիչ, որտեղ առաջին շարքը orta վեկտորներն են i → , j → , k → , երկրորդ շարքը պարունակում է a → վեկտորի կոորդինատները, իսկ երրորդը։ b → վեկտորի կոորդինատներն են տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, այս մատրիցային որոշիչն ունի հետևյալ տեսքը. c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z.

Ընդլայնելով այս որոշիչն առաջին շարքի տարրերի վրա՝ ստանում ենք հավասարություն՝ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b =y a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Խաչի արտադրանքի հատկությունները

Հայտնի է, որ վեկտորի արտադրյալը կոորդինատներում ներկայացված է որպես c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z մատրիցի որոշիչ, ապա հիմքի վրա. մատրիցային որոշիչ հատկություններհետեւյալը վեկտորի արտադրանքի հատկությունները.

1. հակակոմուտատիվություն a → × b → = - b → × a →;
2. բաշխվածություն a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → կամ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ասոցիատիվություն λ a → × b → = λ a → × b → կամ a → × (λ b →) = λ a → × b → , որտեղ λ կամայական իրական թիվ է։

Այս հատկությունները բարդ ապացույցներ չունեն:

Օրինակ, մենք կարող ենք ապացուցել վեկտորային արտադրանքի հակակոմուտատիվության հատկությունը։

Հակակոմուտատիվության ապացույց

Ըստ սահմանման՝ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z and b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Եվ եթե մատրիցայի երկու տողերը փոխվում են, ապա մատրիցայի որոշիչի արժեքը պետք է փոխվի հակառակը, հետևաբար, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y. - b → × a → , որը և ապացուցում է վեկտորի արտադրյալի հակակոմուտատիվությունը։

Վեկտորային արտադրանք - Օրինակներ և լուծումներ

Շատ դեպքերում կան երեք տեսակի առաջադրանքներ.

Առաջին տիպի խնդիրներում սովորաբար տրվում են երկու վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը, սակայն անհրաժեշտ է գտնել խաչաձև արտադրյալի երկարությունը: Այս դեպքում օգտագործեք հետևյալ բանաձևը c → = a → b → sin ∠ a → , b →.

Օրինակ 1

Գտե՛ք a → և b → վեկտորների խաչաձև արտադրյալի երկարությունը, եթե հայտնի է a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4:

Լուծում

Օգտագործելով a → և b → վեկտորների արտադրյալի երկարության սահմանումը, լուծում ենք այս խնդիրը՝ a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2. .

Պատասխան. 15 2 2 .

Երկրորդ տիպի առաջադրանքները կապ ունեն վեկտորների կոորդինատների հետ, պարունակում են վեկտորային արտադրյալ, դրա երկարությունը և այլն։ որոնվել է հայտնի կոորդինատների միջոցով տրված վեկտորներ a → = (a x; a y; a z) և b → = (b x; b y; b z) .

Այս տեսակի առաջադրանքների համար դուք կարող եք լուծել առաջադրանքների բազմաթիվ տարբերակներ: Օրինակ, ոչ թե a → և b → վեկտորների կոորդինատները, այլ դրանց ընդլայնումները ձևի կոորդինատային վեկտորներում. b → = b x i → + b y j → + b z k → և c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, կամ a → և b → վեկտորները կարող են տրվել դրանց կոորդինատներով. մեկնարկային և ավարտական ​​կետերը.

Դիտարկենք հետևյալ օրինակները.

Օրինակ 2

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում դրված են երկու վեկտորներ a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) : Գտեք դրանց վեկտորային արտադրյալը:

Լուծում

Երկրորդ սահմանմամբ մենք գտնում ենք երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը տրված կոորդինատները a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + (( - 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Եթե ​​վեկտորի արտադրյալը գրենք մատրիցային որոշիչի միջոցով, ապա այս օրինակի լուծումը հետևյալն է՝ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 =. - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Պատասխան. a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Օրինակ 3

Գտե՛ք i → - j → և i → + j → + k → վեկտորների խաչաձև արտադրյալի երկարությունը, որտեղ i → , j → , k → - ուղղանկյուն դեկեկյան կոորդինատային համակարգի օրտներ։

Լուծում

Նախ գտնենք տրված վեկտորի i → - j → × i → + j → + k → կոորդինատները տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում։

Հայտնի է, որ i → - j → և i → + j → + k → վեկտորներն ունեն համապատասխանաբար (1 ; - 1 ; 0) և (1 ; 1 ; 1) կոորդինատներ։ Գտե՛ք վեկտորի արտադրյալի երկարությունը՝ օգտագործելով մատրիցային որոշիչը, այնուհետև մենք ունենք i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Հետեւաբար, i → - j → × i → + j → + k → վեկտորային արտադրյալը տրված կոորդինատային համակարգում ունի կոորդինատներ (- 1 ; - 1 ; 2):

Մենք գտնում ենք վեկտորի արտադրյալի երկարությունը բանաձևով (տե՛ս վեկտորի երկարությունը գտնելու բաժինը). i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Պատասխան. i → - j → × i → + j → + k → = 6. .

Օրինակ 4

A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) երեք կետերի կոորդինատները տրված են ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում: Գտե՛ք միաժամանակ A B → և A C → մի քանի վեկտորներ:

Լուծում

A B → և A C → վեկտորները համապատասխանաբար ունեն հետևյալ կոորդինատները (- 1 ; 2 ; 2) և (0 ; 4 ; 1): Գտնելով A B → և A C → վեկտորների վեկտորային արտադրյալը, ակնհայտ է, որ այն ըստ սահմանման ուղղահայաց վեկտոր է և՛ A B →, և՛ A C → →, այսինքն՝ դա մեր խնդրի լուծումն է։ Գտեք այն A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →:

Պատասխան. - 6 i → + j → - 4 k → . ուղղահայաց վեկտորներից մեկն է։

Երրորդ տիպի խնդիրները ուղղված են վեկտորների վեկտորային արտադրյալի հատկությունների օգտագործմանը: Որը կիրառելուց հետո կստանանք տվյալ խնդրի լուծումը։

Օրինակ 5

a → և b → վեկտորները ուղղահայաց են, իսկ երկարությունները՝ համապատասխանաբար 3 և 4։ Գտեք 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → խաչաձև արտադրյալի երկարությունը. + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Լուծում

Վեկտորային արտադրյալի բաշխման հատկությամբ կարող ենք գրել 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ասոցիատիվության հատկությամբ վերջին արտահայտության մեջ հանում ենք վեկտորային արտադրյալների նշանից դուրս թվային գործակիցները՝ 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → ×. - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → և b → × b → վեկտորային արտադրյալները հավասար են 0-ի, քանի որ a → × a → = a → a → sin 0 = 0 և b → × b → = b → b → sin 0 = 0, ապա 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Վեկտորային արտադրյալի հակակոմուտատիվությունից հետեւում է - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Օգտագործելով վեկտորի արտադրյալի հատկությունները, մենք ստանում ենք 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → հավասարությունը:

Ըստ պայմանի՝ a → և b → վեկտորները ուղղահայաց են, այսինքն՝ նրանց միջև անկյունը հավասար է π 2-ի։ Այժմ մնում է միայն գտնված արժեքները փոխարինել համապատասխան բանաձևերով՝ 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60:

Պատասխան. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60:

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի երկարությունը ըստ սահմանման a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Քանի որ արդեն հայտնի է (դպրոցական դասընթացից), որ եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա երկու կողմերի երկարությունների արտադրյալի կեսին, բազմապատկված այս կողմերի միջև անկյան սինուսով: Հետևաբար, վեկտորի արտադրյալի երկարությունը հավասար է զուգահեռագծի մակերեսին՝ կրկնապատկված եռանկյունին, այն է՝ կողմերի արտադրյալը a → և b → վեկտորների տեսքով, որոնք անջատված են մեկ կետից, սինուսով։ նրանց միջև անկյան sin ∠ a → , b → .

Սա վեկտորային արտադրանքի երկրաչափական նշանակությունն է:

Վեկտորային արտադրանքի ֆիզիկական նշանակությունը

Մեխանիկայում՝ ֆիզիկայի ճյուղերից մեկը, վեկտորային արտադրյալի շնորհիվ կարող եք որոշել ուժի պահը տարածության կետի նկատմամբ։

Սահմանում 3

B կետի վրա կիրառված F → ուժի պահի տակ, A կետի նկատմամբ մենք կհասկանանք հետևյալ վեկտորային արտադրյալը A B → × F →.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Dot արտադրանքի հատկությունները

Scalar արտադրանքվեկտորներ, սահմանում, հատկություններ

Գծային գործողություններ վեկտորների վրա.

Վեկտորներ, հիմնական հասկացություններ, սահմանումներ, գծային գործողություններ դրանց վրա

Հարթության վրա վեկտորը նրա կետերի դասավորված զույգն է, մինչդեռ առաջին կետը կոչվում է վեկտորի սկիզբ, իսկ երկրորդը՝ վերջ՝ վեկտորի։

Երկու վեկտորները կոչվում են հավասար, եթե դրանք հավասար են և միակողմանի:

Վեկտորները, որոնք գտնվում են նույն գծի վրա, կոչվում են համուղղորդված, եթե դրանք համակողմանի են միևնույն վեկտորի հետ, որը չի գտնվում այս գծի վրա:

Վեկտորները, որոնք գտնվում են միևնույն գծի կամ զուգահեռ գծերի վրա, կոչվում են համագիծ, իսկ համագիծը, բայց ոչ միակողմանի, կոչվում են հակառակ ուղղորդված:

Ուղղահայաց գծերի վրա ընկած վեկտորները կոչվում են ուղղանկյուն:

Սահմանում 5.4. գումար ա+բ վեկտորներ ա և բ կոչվում է վեկտորի սկզբից եկող վեկտոր ա մինչև վեկտորի վերջը բ , եթե վեկտորի սկիզբը բ համընկնում է վեկտորի վերջի հետ ա .

Սահմանում 5.5. տարբերությունը ա - բ վեկտորներ ա և բ այդպիսի վեկտորը կոչվում է Հետ , որը վեկտորի հետ միասին բ տալիս է վեկտոր ա .

Սահմանում 5.6. աշխատանքկ ա վեկտոր ա մեկ թվով կկոչվում է վեկտոր բ , համագիծ վեկտոր ա , որն ունի մոդուլ հավասար | կ||ա |, և ուղղությունը, որը նույնն է, ինչ ուղղությունը ա ժամը կ>0 և հակառակը ա ժամը կ<0.

Վեկտորի թվով բազմապատկելու հատկությունները.

Գույք 1. k(ա+բ ) = կ ա+ k բ.

Գույք 2. (k+m)ա = k ա+ մ ա.

Գույք 3. k(մ ա) = (կմ)ա .

Հետևանք. Եթե ​​ոչ զրոյական վեկտորներ ա և բ համագիծ են, ապա կա թիվ կ, ինչ b= կ ա.

Երկու ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը աև բկոչվում է թիվ (սկալար), որը հավասար է այս վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև φ անկյան կոսինուսի արտադրյալին։ Սկալյար արտադրյալը կարող է արտահայտվել տարբեր ձևերով, օրինակ՝ ինչպես աբ, ա · բ, (ա , բ), (ա · բ) Այսպիսով, կետային արտադրանքը հետևյալն է.

ա · բ = |ա| · | բ| cos φ

Եթե ​​վեկտորներից գոնե մեկը հավասար է զրոյի, ապա սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի:

Փոխակերպման հատկություն. ա · բ = բ · ա(սկալյար արտադրյալը չի ​​փոխվում գործոնների փոխարկումից);

բաշխման սեփականություն: ա · ( բ · գ) = (ա · բ) · գ(արդյունքը կախված չէ բազմապատկման կարգից);

Համակցման հատկություն (սկալյար գործոնի նկատմամբ) (λ ա) · բ = λ ( ա · բ).

Ուղղանկյունության հատկություն (ուղղահայացություն). եթե վեկտորը աև բոչ զրոյական, ապա դրանց կետային արտադրյալը զրո է միայն այն դեպքում, երբ այս վեկտորները ուղղանկյուն են (միմյանց ուղղահայաց) ա ┴ բ;

Քառակուսի գույք. ա · ա = ա 2 = |ա| 2 (վեկտորի սկալյար արտադրյալն ինքն իր հետ հավասար է նրա մոդուլի քառակուսուն);

Եթե ​​վեկտորների կոորդինատները ա=(x 1, y 1, z 1) և բ=(x 2, y 2, z 2), ապա սկալյար արտադրյալն է ա · բ= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2:

Վեկտոր պահող վեկտորներ. ՍահմանումԵրկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը և հասկացվում է որպես վեկտոր, որի համար.

Մոդուլը հավասար է այս վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսին, այսինքն. , որտեղ է անկյունը վեկտորների և

Այս վեկտորը ուղղահայաց է բազմապատկված վեկտորներին, այսինքն.

Եթե ​​վեկտորները ոչ համագիծ են, ապա նրանք կազմում են վեկտորների աջ եռապատիկ:

Խաչի արտադրանքի հատկությունները:

1. Երբ գործոնների հերթականությունը փոխվում է, վեկտորային արտադրյալը փոխում է իր նշանը հակառակի վրա՝ պահպանելով մոդուլը, այսինքն.

2 .Վեկտորի քառակուսին հավասար է զրոյական վեկտորի, այսինքն.

3 .Սկալյար գործոնը կարելի է հանել վեկտորի արտադրյալի նշանից, այսինքն.

4 Ցանկացած երեք վեկտորների համար հավասարությունը

5 .Անհրաժեշտ և բավարար պայման երկու վեկտորների համագծի և .